第一篇：【精品】高一數(shù)學(xué) 4.6兩角和與差的正弦余弦正切(備課資料) 大綱人教版必修

●備課資料

1.下列命題中的假命題是（）．．．A.存在這樣的α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ B.不存在無窮多個(gè)α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ C.對(duì)于任意的α和β，都有cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ D.不存在這樣的α和β值，使得cos（α＋β）≠cosαcosβ－sinαsinβ 答案：B 2.在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，則△ABＣ一定是鈍角三角形嗎？ 解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π 且A＋B＋C＝π 即：A＋B＝π－C

由已知得cos A·cos B－sinA·sinB＞0 即：cos（A＋B）＞0 ∴cos（π－C）＝－cos C＞0 即cos C＜0 ∴C一定為鈍角

∴△ABC一定為鈍角三角形.3.已知sinα+sinβ=

22，求cosα+cosβ的最大值和最小值.分析：令cosα+cosβ=x，然后利用函數(shù)思想.解：令cosα+cosβ＝x，則得方程組：

①2+②2得2+2cos(α－β)=x

2+∴cos(α－β)=2x2?34

∵|cos(α－β)|≤1 ∴|2x2?34|≤1 解之得：－142?x?142 ∴cosα+cosβ的最大值是14142，最小值是－2.●備課資料 1.已知：α∈（35??3???，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）????5?＝－1213 求：cos（α＋β）.解：由已知：α∈（?3?，??）

?－α∈（－3??，－??）???－α∈（－??，0）又∵cos（?3?－α）＝5

∴sin（?4?－α）＝－5

由β∈（0，??）???＋β∈（???，2）

又∵sin（5?4＋β）＝sin［π＋（??＋β）］

＝－sin（?12?＋β）＝－13

即sin（?12?＋β）＝13

∴cos（?5?＋β）＝13

又（??＋β）－（??－α）＝α＋β

∴cos（α＋β）＝cos［（???＋β）－（?－α）］

＝cos（??＋β）cos（????－α）＋sin（?＋β）sin（?－α）

＝531213?5?13?(?45)??3365 2.已知：α、β為銳角，且cosα＝4165，cos（α＋β）＝－65，求cosβ的值.解：∵0＜α·β＜??

∴0＜α＋β＜π 由cos（α＋β）＝－1665 得sin（α＋β）＝6365 又∵cosα＝45，∴sinα＝35 ∴cosβ＝cos［（α＋β）－α］

＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sinα 2 ＝（－＝463316）×＋×

5655655 1335，cosB＝，求cos C的值.513評(píng)述：在解決三角函數(shù)的求值問題時(shí)，一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系.3.在△ABC中，已知sinA＝分析：本題中角的限制范圍就隱含在所給的數(shù)字中，輕易忽視，就會(huì)致錯(cuò).解：由sinA＝32＜知0°＜A＜45°或135°＜A＜180°，5251?，∴60°＜B＜90°，13212∴sinB＝

13又cos B＝若135°＜A＜180°則A＋B＞180°不可能.4.516∴cos C＝－cos（A＋B）＝.65∴0°＜A＜45°，即cos A＝●備課資料

1.對(duì)等式sin（α＋β）＝sinα＋sinβ的正確認(rèn)識(shí)是()A.一定成立 B.一定不成立

C.只有有限對(duì)α、β的值使等式成立

D.有無窮多對(duì)α、β的值使等式成立，但不是對(duì)所有α、β成立 答案：C 說明：sin（α＋β）是兩角α與β的和的正弦，它表示角α＋β終邊上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)與原點(diǎn)到這點(diǎn)的距離之比，在一般情況下，sin（α＋β）≠sinα＋sinβ.只有在某些特殊情況下，sin（α＋β）才等于sinα＋sinβ.11???1?，sin（0＋）＝sin＝，sin0＋sin＝0＋＝，22???2???這時(shí)有sin（0＋）＝sin0＋sin.??例如：當(dāng)α＝0，β＝2.若sinα·sinβ＝1，則cosα·cosβ＝.分析：由于sinα、sinβ∈［－1，1］

僅當(dāng)sinα＝sinβ＝±1時(shí)，sinα、sinβ才有可能等于1，這時(shí)α、β的終邊一定同時(shí)落在y軸的正半軸或負(fù)半軸上，此時(shí)cos α＝0，cosβ＝0，故cosα·cosβ＝0.答案：0 3.（2003·上?！だ?）函數(shù)y=sinxcos(x+

??)+cos xsin(x+)的最小正周期??T=_________.解：∵f(x)=sin(2x+∴T=

?)?2?=π.?答案：π.●備課資料

1.已知cosθ＝－，且θ∈（π，解：∵cosθ＝－且θ∈（π，∴sinθ＝－ 則tanθ＝

?）＝4tan??tan434535353??），則tan（θ－）的值為多少? 243?)2?4 ∴tan（θ－

1?tan?tan?44?113? ＝471?32.若tan（α＋β）＝，tan（β－

25?1?）＝，求tan（α＋）的值.444??）＋（β－）＝α＋β，所44分析：注意已知角與所求角的關(guān)系，則可發(fā)現(xiàn)（α＋以可將α＋???化為（α＋β）－（β－），從而求得tan（α＋）的值.444?）4?)］ 4解：tan（α＋＝tan［（α＋β）－（β－tan(???)?tan(??)4 ＝

?1?tan(???)tan(??)4?21??1254?3 將tan（α＋β）＝，tan（β－)＝代入上式，則，原式＝

21224451??543.已知tanα＝，tan（α－β）＝－，求tan（β－2α).解：∵α＋（α－β）＝2α－β

∴tan（β－2α）＝tan［－（2α－β）］ ＝－tan（2α－β）12254 ＝－tan［α＋（α－β)］ ＝tan??tan(???)

tan?tan(???)?112?(?)5 ＝212?(?)?125＝－1 123xx2sinx－tan＝ 22cosx?cos2x3xx3xx＋＝2x，－＝x 22224.證明tan分析：細(xì)心觀察已知等式中的角，發(fā)現(xiàn)它們有隱含關(guān)系：∴sinx＝sin3xx3xxcos－cossin 22223xxcos 22

① ② cosx＋cos2x＝2cos①÷②即得：

3xxsin2sinx2?2 ?3xcosx?cos2xcosxcos22sin＝tan3xx－tan.22●備課資料

1.已知α、β為銳角，cosα=，cos(α+β)=－

1711，求β的值.14分析：注意觀察α、α+β及β間的關(guān)系，先求角β的一個(gè)三角函數(shù)值，再根據(jù)β為銳角求出β.解：∵α為銳角，且cosα=，∴sinα=1?cos2??43.717又∵α、β均為銳角 ∴0＜α+β＜π 且cos(α+β)=－11，14∴sin(α+β)=1?cos2(???)=

53.14則cosβ=cos［(α+β)－α］

=cos（α+β)cosα+sin(α+β)sinα =(－11153431)×+×= 1427147∴β=?.35 評(píng)述：（1）在和（差）角公式的運(yùn)用中,要注意和、差的相對(duì)關(guān)系，如（α+β)－α=β.(2)求角的基本步驟：①求角的范圍；②求角的一個(gè)三角函數(shù)值；③寫出滿足條件的角.2.已知?3?123＜β＜α＜，cos(α－β)=，sin(α+β)=－，求sin2α的值.24135分析：注意觀察α－β、α+β和2α間的關(guān)系，再選擇適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行計(jì)算.解：由題設(shè)知α－β為銳角，所以sin（α－β）=又∵α+β是第三象限角 ∴cos(α+β)=－，由2α=(α+β)+(α－β)得sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］

=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)=－56 655，1345評(píng)述：在三角變換中，角的變換是常用技巧，本題是將角2α變換成（α+β)+(α－β)，使已知式中的角與待求式中的角聯(lián)系起來.3.若A+B=?，求（1+tanA)(1+tanB)的值.4分析：注意待求式與正切和角公式間的聯(lián)系，將正切和角公式變形解題.解：（1+tanA)(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanAtanB.又tan(A+B)=且A+B=? 4tanA?tanB

1?tanAtanB∴tan(A+B)=1 ∴tanA+tanB=1－tanAtanB 即tanA+tanB+tanAtanB=1 ∴(1+tanA)(1+tanB)=2.評(píng)述：在解題過程中要注意分析條件和結(jié)論中的關(guān)系式與有關(guān)公式間的聯(lián)系，并將公式進(jìn)行變形加以運(yùn)用.4.化簡(jiǎn)3?tan18?1?3tan18?3?tan18?1?3tan18?

分析：注意把所要化簡(jiǎn)的式子與正切的差角公式進(jìn)行比較.解：=tan60??tan18?

1?tan60?tan18?=tan(60°－18°)=tan42°

評(píng)述：在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值時(shí)，通常將常數(shù)寫成角的一個(gè)三角函數(shù)，再根據(jù)有關(guān)公式進(jìn)行變形.5.化簡(jiǎn)（tan10°－3)

cos10? sin50?分析：切、弦混合式在不能直接運(yùn)用公式的情況下，考慮將切化弦.解：原式=（tan10°－tan60°)cos10?sin50? =(sin10?sin60?coscos10??cos60?)10?sin50? =sin(?50?)coscos10?cos60?·10?sin50?

=?1cos60? =－2.評(píng)述：（1）切化弦是三角函數(shù)化簡(jiǎn)的常用方法之一.（2）把函數(shù)值化成tan60°在本題的化簡(jiǎn)中是必經(jīng)之路.●備課資料 1.求證：sinx?cosxsinx?cosx＝tan(x－?4)2sin(x??)證明：左邊＝

2cos(x??4)＝tan(x－?4)＝右邊 或：右邊＝tan(x－?4)sin(x??＝4)cos(x?? 4)sinxcos??cosxsin?＝4cosxcos??4 4?sinxsin4＝sinx?cosxsinx?cosx＝左邊 2.若0＜α＜β＜?4，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，則()A.ab＜1

B.a＞b C.a＜b

D.ab＞2 解：sinα＋cosα＝2sin(α＋?4)＝a sinβ＋cosβ＝2sin(β＋

?4)＝b 又∵0＜α＜β＜?4 ∴0＜α＋???4＜β＋4＜2 ∴sin(α＋∴a＜b 答案：C ??)＜sin(β＋)443.已知tanA與tan(－A+

??

2)是x+px+q=0的解，若3tanA=2tan(－A)，求p和q的44值.分析：因?yàn)閜和q是兩個(gè)未知數(shù)，所以須根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于p、q的方程組，解出 p、q.解:設(shè)t=tanA，則tan(由3tanA=2tan(得3t=

1?tanA1?t??－A)=

1?tanA1?t4?－A)42(1?t)1?t1解之得t=或t=－2.31?1?t1當(dāng)t=時(shí)，tan(－A)==，341?t25?p=－［tanA+tan(－A)］=－，64111?q=tanAtan(－A)=×=.3264?1?t當(dāng)t=－2時(shí)，tan(－A)==－3，41?tp=－［tanA+tan(q=tanAtan(?－A)］=5，4?－A)=6 4∴滿足條件的p、q的值為：

5?p????6?p?5或? ?1q?6??q??6?評(píng)述：(1)“列方程求解未知數(shù)”是基本的數(shù)學(xué)思想方法.(2)如果tanα、tanβ是某一元二次方程的根，則由韋達(dá)定理可與公式T(α+β)聯(lián)系起來；若

22cosα、sinα是某一元二次方程的根，則由韋達(dá)定理與公式sinα+cosα=1聯(lián)系起來.●備課資料

1.tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝_____.解：原式＝tan2A［tan(30°－A)＋tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］ ＝tan2Atan［(30°－A)＋(60°－A)］［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］

＝tan2Atan(90°－2A)［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］

＝tan2A·cot2A［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］ ＝1 ［師］評(píng)述：先仔細(xì)觀察式子中所出現(xiàn)的角，靈活應(yīng)用公式進(jìn)行變形，然后化簡(jiǎn)、求值.222.已知tanα、tanβ是方程x－3x－3＝0的兩個(gè)根，求sin(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值.解：由題意知??tan??tan??3

?tan??tan???3∴tan(α＋β)＝tan??tan?31?tan?tan?＝1?(?3)?34

sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos

2(α＋β)＝cos2(α＋β)［tan2

(α＋β)－3tan(α＋β)－3］ ＝11?tan2(???)［tan2

(α＋β)－3tan(α＋β)－3］ ＝1［(3)2－3×3－31?(3)244］＝－3 43.已知α、β為銳角，cosα＝45，tan(α－β)＝－13，求cosβ的值.解：由α為銳角，cosα＝45，∴sinα＝35.由α、β為銳角，又tan(α－β)＝－13

∴cos(α－β)＝31010 sin(α－β)＝－1010 ∴cosβ＝cos［α－(α－β)］

＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)＝45×31010＋35×(－1091010)＝50

第二篇：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式教案

兩角和與差的余弦、正弦、正切

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：兩角和的正切公式；兩角差的正切公式 能力目標(biāo)：掌握T（α＋β），T（α－β)的推導(dǎo)及特征；能用它們進(jìn)行有關(guān)求值、化簡(jiǎn)

情感態(tài)度：提高學(xué)生簡(jiǎn)單的推理能力；培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)；提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì) 教學(xué)重點(diǎn)

兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)及特征 教學(xué)難點(diǎn)

靈活應(yīng)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值.教學(xué)過程

Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧

首先，我們來回顧一下前面所推導(dǎo)兩角和與差的余弦、正弦公式.(學(xué)生作答，老師板書)sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ（S（α＋β））sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））

要準(zhǔn)確把握上述各公式的結(jié)構(gòu)特征.Ⅱ.講授新課

一、推導(dǎo)公式

［師］上述公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，我們不難得出： 當(dāng)cos（α＋β）≠0時(shí)

tan（α＋β）＝sin(???)sin?cos??cos?sin? ?cos(???)cos?cos??sin?asin?如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0，我們可以 將分子、分母都除以cosαcosβ，從而得到： tan（α＋β）＝tan??tan?

1?tan?tan?不難發(fā)現(xiàn)，這一式子描述了兩角α與β的和的正切與這兩角的正切的關(guān)系.同理可得：tan（α－β）＝tan??tan?

1?tan?tan?或?qū)⑸鲜街械摩掠茫麓妫部傻玫酱耸?這一式子又描述了兩角α與β的差的正切與這兩角的正切的關(guān)系.所以，我們將這兩式分別稱為兩角和的正切公式、兩角差的正切公式，簡(jiǎn)記為T（α＋β），T（α－β）.但要注意：運(yùn)用公式T（α±β）時(shí)必須限定α、β、α±β都不等于因?yàn)閠an（?＋kπ）不存在.2?＋kπ（k∈Z）.2二、例題講解

［例1］不查表求tan75°，tan15°的值.解：tan75°＝tan（45°＋30°）＝tan45??tan30?

1?tan45?tan30? 3?13＝=2+3 31?3tan15°＝tan（45°－30°）

3tan45??tan30?3?2?3 ＝＝1?tan45?tan30?31?31?［例2］求下列各式的值（1）tan71??tan26?

1?tan71?tan26?1?tan275?（2）

tan75?(1)分析：觀察題目結(jié)構(gòu)，聯(lián)想學(xué)過的公式，不難看出可用兩角差的正切公式.解：tan71??tan26?

1?tan71?tan26?＝tan（71°－26°）＝tan45°＝1(2)分析：雖不可直接使用兩角和的正切公式，但經(jīng)過變形可使用之求解.解：由tan150°＝tan（75°＋75°）＝1?tan275?1?tan275?得：＝22

tan75?2tan75?2tan75?

1?tan275?＝221＝2cot150° tan150?＝2cot（180°－30°）＝－2cot30°＝－23 ［例3］利用和角公式計(jì)算1?tan15?的值.1?tan15?tan45??tan15?

1?tan45?tan15?分析：因?yàn)閠an45°＝1，所以原式可看成這樣,我們可以運(yùn)用正切的和角公式，把原式化為tan（45°＋15°）,從而求得原式的值.解：∵tan45°＝1 ∴1?tan15?tan45??tan15??

1?tan15?1?tan45?tan15?＝tan（45°＋15°)＝tan60° ＝3

課后作業(yè)

課本P41習(xí)題4.6 4，6

第三篇：《兩角和與差的正弦余弦和正切公式》教學(xué)設(shè)計(jì)（范文）

三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)

化簡(jiǎn)要求：

1）能求出值應(yīng)求值?

2）使三角函數(shù)種類最少

3）項(xiàng)數(shù)盡量少

4）盡量使分母中不含三角函數(shù)

5）盡量不帶有根號(hào)

常用化簡(jiǎn)方法：

線切互化，異名化同名，異角化同角，角的變換，通分，逆用三角公式，正用三角公式。

例

1、三角函數(shù)式給值求值：

給值求值是三角函數(shù)式求值的重點(diǎn)題型，解決給值求值問題關(guān)鍵：找已知式與所求式之間的角、運(yùn)算以及函數(shù)的差異，角的變換是常用技巧，給值求值問題往往帶有隱含條件，即角的范圍，解答時(shí)要特別注意對(duì)隱含條件的討論。

例

2、三角函數(shù)給值求角

此類問題是三角函數(shù)式求值中的難點(diǎn)，一是確定角的范圍，二是選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)。

解決此類題的一般步驟是：

1）求角的某一三角函數(shù)值

2）確定角的范圍

3）求角的值

例3.總結(jié)：

解決三角函數(shù)式求值化簡(jiǎn)問題，要遵循“三看”原則：

①看角，通過角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理拆分，盡量向特殊? 角和可計(jì)算角轉(zhuǎn)化，從而正確使用公式。

②看函數(shù)名，找出函數(shù)名稱之間的差異，把不同名稱的等式盡量化成 同名或相近名稱的等式，常用方法有切化弦、弦化切。

③看式子結(jié)構(gòu)特征，分析式子的結(jié)構(gòu)特征，看是否滿足三角函數(shù)公式，若有分式，應(yīng)通分，可部分項(xiàng)通分，也可全部項(xiàng)通分。

“一看角，二看名，三是根據(jù)結(jié)構(gòu)特征去變形”

第四篇：兩角和與差的正弦余弦正切公式的教學(xué)反思

1、本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是通過復(fù)習(xí),進(jìn)一步理解兩角和與差的正弦、余弦正切公式;利用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值;通過復(fù)習(xí)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,自覺地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來分析問題,提高學(xué)生分析問題解決問題的能力.教學(xué)的重點(diǎn)是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式的應(yīng)用.難點(diǎn)是求值過程中角的范圍分析及角的變換。

2、本節(jié)課中，自主學(xué)習(xí)的內(nèi)容主要有兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，共8個(gè)，二倍角公式及其變形；合作探究三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用與逆用,三角函數(shù)公式的變形應(yīng)用,角的變換三類問題。

3、通過學(xué)生課前預(yù)習(xí)，達(dá)到對(duì)基本公式的掌握；通過課堂探究，培養(yǎng)學(xué)生自主解決問題的能力。

4、自主學(xué)習(xí)的內(nèi)容主要是通過展示，在這個(gè)過程中，提出公式的證明與公式的推導(dǎo)等問題，達(dá)到對(duì)公式的掌握；合作探究的三個(gè)問題通過分組探究，各組討論，推選代表進(jìn)行展示。

第五篇：高中數(shù)學(xué) 3.1.3兩角和與差的正切教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教B版必修4

《兩角和與差的正切》教學(xué)設(shè)計(jì)

課前預(yù)習(xí)問題串：

1、兩角和與差的正切如何推導(dǎo)？

2、兩角和與差的正切有何限制條件？

3、公式特點(diǎn)是什么？如何記憶？

4、公式有什么用處？有什么變形？

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)目標(biāo)：掌握公式的推導(dǎo)過程，理解公式成立的條件；會(huì)利用公式求值。

2、能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、類比、聯(lián)想能力。

3、情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)：發(fā)展學(xué)生的正向、逆向思維和發(fā)散思維能力，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

二、教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正切公式推導(dǎo)及應(yīng)用

三、教學(xué)難點(diǎn)：公式的逆向和變形應(yīng)用

四、教學(xué)過程

1、復(fù)習(xí)引入：寫出兩角和與差的正、余弦公式

2、公式推導(dǎo)

3、公式深化

（1）兩角和與差的正切公式有什么限制條件？

（2）公式的特點(diǎn)是什么？如何記憶？

4、應(yīng)用舉例

tan170?tan430 例

1、求值(1)tan75(2)000

變式練習(xí)(1)tan150

通過這幾個(gè)練習(xí)，你有什么收獲？、不查表求值 1?tan750例21?tan750

1?tan17tan43tan530?tan230(2)1?tan530tan230

cos150?sin150變式練習(xí)

cos150?sin150

收獲：

例

3、求值 tan150?tan300?tan150tan300

變式練習(xí)：求證 tan800-tan200-3tan800tan200=3

收獲：

五、鞏固訓(xùn)練

1(1)tan??4,cot??,則tan(???)?________

3(2)已知向量a?(cos?,2),向量b?(sin?,1),且a//b,則tan(??)?______

4?(3)若銳角?、?滿足(1?3tan?)(1?3tan?)?4,則?+?=_______

(4)若角?、?為銳角，且tan?=cos??sin?,則tan(???)?_____

cos??sin?

六、歸納小結(jié)

（1）知識(shí)總結(jié)：

（2）思想方法總結(jié)：

七、布置作業(yè)

1、課本140頁課堂練習(xí)3-1A5、B1

2、課后思考題：

當(dāng)A?B?C?k?(k?Z),并且tanA,tanB,tanC存在時(shí)，tanA?tanB?tanC與tanAtanBtanC有何關(guān)系？其逆命 題成立嗎？為什么？