第一篇：構(gòu)造函數(shù)

構(gòu)造函數(shù)

1.設(shè)

f(x)，g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x?0時，f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，且g(?3)?0，則不等式f(x)g(x)?0的解集為______.2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)?0，當x?0時，有x?

f?(x)?f(x)?0

恒成立，則不等式x2f(x)?0的解集為__________.3.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x?(??,0)時，有x?<0成立，若a?30.3?

b

f?(x)+f(x)1

3f(3

0.3)，b??log?3??

f(log

?

3)，c?(log

9)?f(log

9)，則a、、c的大小關(guān)系為__________.f(x)，則當a?0

4.已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f?(x)?系為__________.時，f(a)與ea?

f(0)的大小關(guān)

5.若函數(shù)f(x)對任意的x?R都有f?(x)?

A.3f(ln2)?2f(ln3)

f(x)

成立，則__________.B.3f(ln2)?2f(ln3)

C.3f(ln2)?2f(ln3)D.3f(ln2)與2f(ln3)的大小關(guān)系不確定

6.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(?1)?0，當x?0時，(x2

?1)?f?(x)?2x?f(x)?0，則不等式f(x)?0的解集為__________.7.已知函數(shù)f(x)是定義在(0,??)的非負可導(dǎo)函數(shù)，且滿足x?對任意正數(shù)a、b，若a

f?(x)+f(x)?0，B.af(b)?bf(a)C.af(a)?f(b)

D.bf(b)?f(a)，8.已知f(x)與g(x)都是定義在R上的函數(shù)，g(x)?0，f?(x)g(x)?

f(x)?a?g(x)，x

f(x)g?(x)?0

f(1)g(1)

?

f(?1)g(?1)

?

.在有窮數(shù)列?

?f(n)?

?(n?1,2,?,10)中，前kg(n)??

項和

為

1516，則k=__________.

第二篇：構(gòu)造函數(shù)法

函數(shù)與方程數(shù)學(xué)思想方法是新課標要求的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)造函數(shù)法便是其中的一種。

高等數(shù)學(xué)中兩個重要極限

1．limsinx?1 x?0x

11x2．lim(1?)?e（變形lim(1?x)x?e）x?0x??x

由以上兩個極限不難得出，當x?0時

1．sinx?x，2．ln(1?x)?x（當n?N時，(1?)n?e?(1?)n?1）．

下面用構(gòu)造函數(shù)法給出兩個結(jié)論的證明．

（1）構(gòu)造函數(shù)f(x)?x?sinx，則f?(x)?1?cosx?0，所以函數(shù)f(x)在(0,??)上單調(diào)遞增，f(x)?f(0)?0．所以x?sinx?0，即sinx?x．

（2）構(gòu)造函數(shù)f(x)?x?ln(1?x)，則f?(x)?1??1n1n1x??0．所以函數(shù)f(x)在1?x1?x

(0,??)上單調(diào)遞增，f(x)?f(0)?0，所以x?ln(1?x)，即ln(1?x)?x． ?1?要證?1???n?事實上：設(shè)1?n?11?1??e,兩邊取對數(shù)，即證ln?1???, nn?1??11?t,則n?(t?1), nt?1

1因此得不等式lnt?1?(t?1)t

1構(gòu)造函數(shù)g(t)?lnt??1(t?1),下面證明g(t)在(1,??)上恒大于0． t

11g?(t)??2?0, tt

∴g(t)在(1,??)上單調(diào)遞增，g(t)?g(1)?0, 即lnt?1?, 1

t

1?1??1?∴ ln?1???,∴?1???n??n?n?1n?1?e,以上兩個重要結(jié)論在高考中解答與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的命題有著廣泛的應(yīng)用．

第三篇：拷貝構(gòu)造函數(shù)剖析

拷貝構(gòu)造函數(shù)剖析

在講課過程中，我發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生對拷貝構(gòu)造函數(shù)的理解不夠深入，不明白自定義拷貝構(gòu)造函數(shù)的必要性。因此，我將這部分內(nèi)容，進行了總結(jié)。

拷貝構(gòu)造函數(shù)是一種特殊的構(gòu)造函數(shù)，其形參為本類的對象引用。功能：使用一個已經(jīng)存在的對象始初化同類的一個新對象。這樣得到對象和原來的對象具有完全相同的數(shù)據(jù)成員，即相同的屬性。

拷貝構(gòu)造函數(shù)的函數(shù)原型：

A(const A& other){ … … }

拷貝構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用場合：

當用類的一個對象去初始化該類的另一個對象時；若函數(shù)的形參為類對象，調(diào)用函數(shù)時，實參賦值給形參；當函數(shù)的返回值是類對象時。比如：

A a1(10);

A a2 = a1;

A a3(a1);// 構(gòu)造函數(shù) // 拷貝構(gòu)造函數(shù) // 拷貝構(gòu)造函數(shù)

默認拷貝構(gòu)造函數(shù)：成員變量之間的“值”拷貝

編寫拷貝構(gòu)造函數(shù)的必要性

class A

{

public:

A(const char* data)

{

name = new char[strlen(data)+ 1];

strcpy(name, data);

}

A(const A& other)

{

name = new char[strlen(other.name)+ 1];

strcpy(name, other.name);

}

private:

char* name;

};

考察：char* data = “abcd”;A a1(data);A a2 = a1;

如果未定義拷貝構(gòu)造函數(shù)，會有何種后果？

現(xiàn)將a1賦給a2，缺省拷貝構(gòu)造函數(shù)的“位拷貝”意味著執(zhí)行a2.name = a1.name。這將造成二個錯誤：一是a2.name和a1.name指向同一塊內(nèi)存，任何一方變動都會影響另一方；二是在對象被析構(gòu)時，name被釋放了兩次。

第四篇：構(gòu)造函數(shù)證明不等式

在含有兩個或兩個以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個字母的二次式，這時可考慮用判別式法。一般對與一元二次函數(shù)有關(guān)或能通過等價轉(zhuǎn)化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時要注意根的取值范圍和題目本身條件的限制。

例1.設(shè)：a、b、c∈R，證明：a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0成立，并指出等號何時成立。

解析：令f(a)?a2?(3b?c)a?c2?3b2?3bc

⊿＝(3b?c)2?4(c2?3b2?3bc)??3(b?c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)?0，∴a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0恒成立。

當⊿＝0時，b?c?0，此時，f(a)?a2?ac?c2?3ab?(a?c)2?0，∴a??b?c時，不等式取等號。

?4?例2.已知：a,b,c?R且a?b?c?2,a2?b2?c2?2，求證： a,b,c??0,?。

?3??a?b?c?222解析：?2 消去c得：此方程恒成立，a?(b?2)a?b?2b?1?0，22?a?b?c?2∴⊿＝(b?2)2?4(b2?2b?1)??3b2?4b?0，即：0?b??4?同理可求得a,c??0,?

?3?4。3② 構(gòu)造函數(shù)逆用判別式證明不等式

對某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造二項平方和函數(shù)：f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2

由f(x)?0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題，獲得簡捷明快的證明。

例3.設(shè)a,b,c,d?R?且a?b?c?d?1，求證：4a?1?4b?1?4c?1?4d?1﹤6。解析：構(gòu)造函數(shù)：

f(x)?(4a?1x?1)2?(4b?1x?1)2?(4c?1x?1)2?(4d?1x?1)

2＝8x2?2(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)x?4.(?a?b?c?d?1)由f(x)?0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)2?128?0.∴4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?42﹤6.例4.設(shè)a,b,c,d?R?且a?b?c?1，求解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)?(＝(1ax?a)2?(149??的最小值。abc2bx?b)2?(3cx?c)2

1492??)x?12x?1,(?a?b?c?1)abc111由f(x)?0（當且僅當a?,b?,c?時取等號），632149得⊿≤0,即⊿＝144-4（??）≤0

abc111149

∴當a?,b?,c?時，(??)min?36 632abc

構(gòu)造函數(shù)證明不等式

1、利用函數(shù)的單調(diào)性

+例

5、巳知a、b、c∈R，且a b?mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數(shù)思想，構(gòu)造出與所證不等式密切相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值而證之，思路則更為清新。

a?x+，其中x∈R，0

b?xb?x證明：令 f（x）= ∵b-a>0 b?a+ 在R上為減函數(shù) b?xb?a+從而f（x）= 在R上為增函數(shù)

b?x∴y= ∵m>0 ∴f（m）> f（0）

∴a?ma> b?mb例

6、求證：a?b1?a?b≤

a?b1?a?b（a、b∈R）

[分析]本題若直接運用比較法或放縮法，很難尋其線索。若考慮構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的單調(diào)性證明，問題將迎刃而解。

[證明]令 f（x）=

x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數(shù)（證略）1?x 而 0<∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）

即： a?b1?a?b≤

a?b1?a?b

[說明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)，若用定義來證明，則證明過程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系；反過來，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。

2、利用函數(shù)的值域

例

7、若x為任意實數(shù)，求證：—

x11≤≤ 221?x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。聯(lián)想到函數(shù)的值域，于是構(gòu)造函數(shù)f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域為[—，]即可。

1?x222x2證明：設(shè) y=，則yx-x+y=0 21?x ∵x為任意實數(shù) ∴上式中Δ≥0，即（-1）-4y≥0 1 411得：—≤y≤

22x11 ∴—≤≤

21?x22 ∴y≤2[說明]應(yīng)用判別式說明不等式，應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域。

另證：類比萬能公式中的正弦公式構(gòu)造三角函數(shù)更簡單。

例

8、求證：必存在常數(shù)a，使得Lg（xy）≤ Lga.lg2x?lg2y

對大于1的任意x與y恒成立。

[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數(shù)，視參數(shù)為變元的函數(shù)，然后根據(jù)變元函數(shù)的值域來求解a，從而說明常數(shù)a的存在性。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。

22證明：∵lgx?lgy > 0(x>1,y>1)∴原不等式可變形為：Lga≥

lgx?lgylgx?lgy22

2（lgx?lgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1?222222lgx?lgylgx?lgylgx?lgylgx?lgy 而 lgx>0,lgy>0, ∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy > 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgx?lgy ∴ 1

從而要使原不等式對于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥10

2即可。

故必存在常數(shù)a，使原不等式對大于1的任意x、y恒成立。

3、運用函數(shù)的奇偶性

xx<(x≠0)1?2x2xx 證明：設(shè)f（x）=-(x≠0)x1?22 例

9、證明不等式：

?x?x?x2xx ∵f（-x）=-= x+ ?x1?222?12xxx

[1-(1-2)]+ 1?2x2xx =-x+= f(x)x1?22 = ∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱

x ∵當x>0時，1-2<0，故f(x)<0 當x<0時，根據(jù)圖象的對稱性知f(x)<0 故當 x≠0時,恒有f(x)<0 即：xx<(x≠0)x1?22 [小結(jié)]本題運用了比較法，實質(zhì)是根據(jù)函數(shù)的奇偶性來證明的，本題也可以運用分類討論思想。但利用偶函數(shù)的軸對稱性和奇函數(shù)的中心對稱性，常能使所求解的問題避免復(fù)雜的討論。

第五篇：構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)

合理構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)問題

構(gòu)造函數(shù)是解導(dǎo)數(shù)問題的基本方法，但是有時簡單的構(gòu)造函數(shù)對問題求解帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的，那么怎樣合理的構(gòu)造函數(shù)就是問題的關(guān)鍵。

例1：已知函數(shù)f?x??ln?ax?1??x3?x2?ax.(1)若2為y?f?x?的極值點，求實數(shù)a的值； 3(2)若y?f?x?在?1,???上增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若a??1時，方程f?1?x???1?x??3b有實根，求實數(shù)b的取值范圍。x

變量分離直接構(gòu)造函數(shù) 抓住問題的實質(zhì)，化簡函數(shù)

1、已知f?x?是二次函數(shù)，不等式f?x??0的解集是?0,5?，且f?x?在區(qū)間??1,4?上的最大值12.（1）求f?x?的解析式；

（2）是否存在自然數(shù)m，使得方程f?x??37?0在區(qū)間?m,m?1?內(nèi)有且只有兩個不等的x實數(shù)根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請說明理由。

變式練習：設(shè)函數(shù)f?x??x?6x?5,x?R，求已知當x??1,???時，f?x??k?x?1?恒

3成立，求實數(shù)k的取值范圍。

抓住常規(guī)基本函數(shù)，利用函數(shù)草圖分析問題

例： 已知函數(shù)f?x??n?lnx的圖像在點P(m,f?m?)處的切線方程為y?x, 設(shè)g?x??mx?n?2lnx.x（1）求證：當x?1時，g?x??0恒成立；（2）試討論關(guān)于x的方程mx?n?g?x??x3?2ex2?tx根的個數(shù)。x第 1 頁

共 1 頁 一次函數(shù)，二次函數(shù)，指對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，簡單的分式根式函數(shù)，絕對值函數(shù)的圖象力求清晰準確，一些綜合性的問題基本上是這些函數(shù)的組合體，如果適當分解和調(diào)配就一定能找到問題解決的突破口，使問題簡單化明確化。

復(fù)合函數(shù)問題一定要堅持定義域優(yōu)先的原則，抓住函數(shù)的復(fù)合過程能夠逐層分解。例：已知函數(shù)f?x???單調(diào)遞增。

（1）求實數(shù)a的值.（2）若關(guān)于x的方程f2x?m有3個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍.（3）若函數(shù)y?log2?f?x??p?的圖像與坐標軸無交點，求實數(shù)p的取值范圍。復(fù)合函數(shù)尤其是兩次復(fù)合，一定要好好掌握，構(gòu)造兩種函數(shù)逐層分解研究，化繁為簡，導(dǎo)數(shù)仍然是主要工具。

1423x?x?ax2?2x?2在區(qū)間??1,1?上單調(diào)遞減，在區(qū)間?1,2?上43??

導(dǎo)數(shù)—構(gòu)造函數(shù)

一：常規(guī)的構(gòu)造函數(shù)

例一.若sin3??cos3??cos??sin?,0???2?，則角?的取值范圍是（）(A)[0,?4]

(B)[??5?,?]

(C)[,]

4(D)[?3?4,2)

x?y?xy變式、已知3?3?5?5成立，則下列正確的是（）

A.x?y?0

B.x?y?0

C.x?y?0

D.x?y?0

2變式.f?(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若對x?R，2f(x)?xf?(x)?x恒成立，則下列命題可能錯誤的是()A．f(0)?0 B．f(1)?4f(2)C．f(?1)?4f(?2)D．4f(?2)?f(1)

二：構(gòu)造一次函數(shù)

例

二、對于滿足|a|?2的所有實數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>a+2x恒成立的x的取值范圍.第 2 頁

共 2 頁 三：變形構(gòu)造函數(shù) 例三．已知函數(shù)f(x)?12x?ax?(a?1)lnx，a?1． 2（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：若a?5，則對任意x1,x2?(0,??)，x1?x2，有

例

四、已知函數(shù)f(x)?(a?1)lnx?ax2?1.（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)a??2，證明：對任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.四：消參構(gòu)造函數(shù)

例

五、設(shè)函數(shù)f?x??x?aln?1?x?有兩個極值點x1，x2，且x1?x2．

2f(x1)?f(x2)??1．

x1?x2（I）求a的取值范圍，并討論f?x?的單調(diào)性；（II）證明：f?x2??

五：消元構(gòu)造函數(shù)

例

六、已知函數(shù)f?x??lnx，g?x??ex．

（Ⅰ）若函數(shù)??x??f?x??1?2ln2． 4x?1，求函數(shù)??x?的單調(diào)區(qū)間； x?1（Ⅱ）設(shè)直線l為函數(shù)的圖象上一點A?x0,f?x0??處的切線．證明：在區(qū)間?1,???上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y?g?x?相切．

第 3 頁

共 3 頁 六：二元合一構(gòu)造函數(shù)

12ax?bx(a?0)且導(dǎo)數(shù)f'(1)?0 2（1）試用含有a的式子表示b，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）對于函數(shù)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)如果在函數(shù)圖象上存在點M(x0,y0)（其中x0?(x1,x2)）使得點M處的切線l//AB，則稱AB存在“跟隨切線”。

x?x2特別地，當x0?1時，又稱AB存在“中值跟隨切線”。試問：在函數(shù)f(x)上是否存在2兩點A、B使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出A、B的坐標，若不存在，說明理由。例

七、已知函數(shù)f(x)?lnx?

七：構(gòu)造函數(shù)解不等式

例

八、設(shè)函數(shù)f(x)＝?x3?2mx2?m2x?1?m(其中m >-2)的圖像在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行；

（Ⅰ）求m的值與該切線方程；

（Ⅱ）若對任意的x1,x2??0,1?,f?x1??f?x2??M恒成立，則求M的最小值；（Ⅲ）若a?0, b?0, c?0且a+b+c=1，試證明：

例

九、設(shè)函數(shù)f(x)?lnx?px?1

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)?lnx?px?1的極值點

（Ⅱ）當p?0時，若對任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范圍。

abc9???

1?a21?b21?c210ln22ln32ln42lnn22n2?n?1（Ⅲ）證明：2?2?2?????2?(n?N,n?2)

234n2(n?1)

例

十、證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(?1)?

第 4 頁

共 4 頁

1n11?3都成立.2nn1、移項法構(gòu)造函數(shù)

【例1】已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當x??1時，恒有1?

2、作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)?1?ln(x?1)?x x?112x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)2g(x)?23x的圖象的下方； 3111?1)?2?3 都成立.nnn

3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明

【例3】證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln（4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

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共 5 頁