第一篇：凹凸公司設(shè)計(jì)合同書(shū)2014

室內(nèi)設(shè)計(jì)委托合同

合同編號(hào)：SNSJ201406012

委托方（甲方）：

承接方（乙方）：

根據(jù)《中華人民共和國(guó)經(jīng)濟(jì)合同法》、《工程勘察設(shè)計(jì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)》和有關(guān)法律、法規(guī)規(guī)定，結(jié)合本公司所具有技術(shù)水準(zhǔn)及本工程具體情況，本著精益求精、精誠(chéng)合作的原則，甲乙雙方就該工程室內(nèi)裝飾設(shè)計(jì)事宜達(dá)成如下協(xié)議。

一、工程概況：

1、甲方委托室內(nèi)設(shè)計(jì)的地址，房型:，用途:，使用面積:平方米。

二、設(shè)計(jì)程序：

1、甲方委托乙方室內(nèi)設(shè)計(jì)，經(jīng)雙方協(xié)商設(shè)計(jì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每平方米即元。設(shè)計(jì)協(xié)議簽訂后，即由甲方付與乙方方案設(shè)計(jì)定金為總設(shè)計(jì)費(fèi)的40%，即 元。

2、乙方在收到甲方提供的有關(guān)圖紙，對(duì)工程進(jìn)行實(shí)地勘測(cè)后在 天內(nèi)，提出設(shè)計(jì)構(gòu)想，形成設(shè)計(jì)方案平面圖，創(chuàng)意概念圖，由甲方審閱。

3、乙方完成初步設(shè)計(jì)方案后，甲方與乙方設(shè)計(jì)師經(jīng)過(guò)溝通確定平面方案圖，填寫(xiě)設(shè)計(jì)方案進(jìn)程表（見(jiàn)附件），由雙方簽字確認(rèn)。乙方設(shè)計(jì)師將在年月日至年月日，共天完成效果設(shè)計(jì)方案，由甲方審閱，方案確定后，填寫(xiě)設(shè)計(jì)方案進(jìn)程表（見(jiàn)附件），由雙方簽字確認(rèn)，乙方則再收取第二期50%的設(shè)計(jì)費(fèi)即 乙方設(shè)計(jì)師將在年月日至月日，共天完成施工圖紙(包括平面圖、頂面圖、強(qiáng)電圖、弱電圖、立面圖、水路圖、剖面圖、大樣圖)。

4、施工圖由甲方負(fù)責(zé)確認(rèn)，確認(rèn)后甲方在索取圖紙時(shí)，須支付尾款設(shè)計(jì)費(fèi)的10%即元。

在施工過(guò)程中由乙方設(shè)計(jì)師到現(xiàn)場(chǎng)負(fù)責(zé)指導(dǎo)，設(shè)計(jì)師應(yīng)有三至四次去現(xiàn)場(chǎng)放樣及指導(dǎo)施工，以達(dá)到設(shè)計(jì)效果。

三、施工圖由甲方簽字確認(rèn)后，并由乙方蓋好公司公章后，施工圖才算正式有效。

否則應(yīng)為無(wú)效，乙方不對(duì)所有施工圖負(fù)責(zé)。

四、雙方責(zé)任：

<一>甲方責(zé)任：

1.甲方保證提交的資料真實(shí)有效，若提交的資料錯(cuò)誤或變更，引起設(shè)計(jì)修改，須另付修改費(fèi)。

2.在合同履行期間，甲方要求終止或解除合同，甲方應(yīng)書(shū)面通知乙方，乙方未開(kāi)始設(shè)計(jì)工作的，不退還甲方已付的定金;已開(kāi)始設(shè)計(jì)的，甲方應(yīng)根據(jù)乙方已進(jìn)行的實(shí)際工作量，不足一半時(shí)，按該階段設(shè)計(jì)費(fèi)的一半支付;超過(guò)一半時(shí)，按該階段設(shè)計(jì)費(fèi)的全部支付。

3.事先經(jīng)甲乙雙方確認(rèn)的方案，在施工中途甲方提出2次以上的修改，乙方工作量相應(yīng)增加設(shè)計(jì)費(fèi)。

4.對(duì)未經(jīng)甲方確認(rèn)的，或未付清設(shè)計(jì)費(fèi)的圖紙均不能外帶。

5.施工中，甲方要求更改設(shè)計(jì)圖紙必須經(jīng)乙方同意。如甲方提出的修改圖紙影響房屋結(jié)構(gòu)或裝修內(nèi)部結(jié)構(gòu)，乙方不同意修改，而甲方執(zhí)意要改的，其一切后果均由甲方自負(fù)。

6.甲方有責(zé)任保護(hù)乙方的設(shè)計(jì)版權(quán)，未經(jīng)乙方同意，甲方對(duì)乙方交付的設(shè)計(jì)文件不得向第三方轉(zhuǎn)讓或用于本合同外的項(xiàng)目，如發(fā)生以上情況，乙方有權(quán)按設(shè)計(jì)費(fèi)雙倍收取違約金。

7.負(fù)責(zé)承擔(dān)要求設(shè)計(jì)師外出考察或選料時(shí)所需的出差費(fèi)用。

8.凡甲方在設(shè)計(jì)圖紙上簽字或付清全部設(shè)計(jì)費(fèi)后三天內(nèi)未提出異議者均作為甲方對(duì)設(shè)計(jì)圖紙的簽收和確認(rèn)。

<二>乙方責(zé)任：

1.乙方按本合同約定向甲方交付設(shè)計(jì)文件。

2.乙方對(duì)設(shè)計(jì)文件出現(xiàn)的錯(cuò)誤負(fù)責(zé)修改。由于乙方設(shè)計(jì)錯(cuò)誤造成工程質(zhì)量事故損失，乙方除負(fù)責(zé)采取補(bǔ)救措施外，應(yīng)免收受損失部分的設(shè)計(jì)費(fèi)。

3.合同生效后，乙方要求終止或解除合同，乙方應(yīng)雙倍返還設(shè)計(jì)定金。

4.乙方負(fù)責(zé)向甲方施工時(shí)解釋圖紙和協(xié)助解決技術(shù)上的疑難問(wèn)題。

五、其它：

1.本合同中所稱室內(nèi)裝修設(shè)計(jì)系解決功能，藝術(shù)性的“形”的設(shè)計(jì)，而不含原有建筑構(gòu)造的安全鑒定，及其構(gòu)造變更后的加固和技術(shù)措施。若業(yè)主需要應(yīng)另行委托設(shè)計(jì)。

2.凡本設(shè)計(jì)在實(shí)施前甲方或施工企業(yè)均應(yīng)按規(guī)定辦理有關(guān)審批手續(xù)，并應(yīng)遵循相關(guān)規(guī)范與要求。若有差異均應(yīng)以規(guī)范或?qū)徟Y(jié)論為準(zhǔn)，否則乙方不承擔(dān)責(zé)任。甲方或施工企業(yè)在實(shí)施前均應(yīng)與設(shè)計(jì)師進(jìn)行圖紙交底，凡未會(huì)審交底而進(jìn)入施工所產(chǎn)生的一切問(wèn)題均與乙方無(wú)關(guān)。

3.如本設(shè)計(jì)項(xiàng)目非本公司施工的，由于甲方所請(qǐng)施工公司或施工隊(duì)不理解圖紙而需乙方多次到施工現(xiàn)場(chǎng)的，市區(qū)內(nèi)甲方應(yīng)支付乙方元/次的外出費(fèi)，市區(qū)外甲方應(yīng)支付乙方元/次的外出費(fèi)，甲方承擔(dān)交通費(fèi)及旅差費(fèi)。

4.對(duì)甲方提出的有違反設(shè)計(jì)規(guī)范的建意及要求，乙方有權(quán)不予采納，如甲

方要求乙方強(qiáng)制采納設(shè)計(jì)的，乙方不承擔(dān)由此引起的一切后果。

5.本合同在履行過(guò)程中發(fā)生糾紛，委托方與設(shè)計(jì)方應(yīng)及時(shí)協(xié)商解決。協(xié)商不成的，可訴請(qǐng)人民法院解決。

6.本合同未盡事宜，雙方可簽訂補(bǔ)充協(xié)議作為附件，補(bǔ)充協(xié)議與本合同具有同等效力。

7.本合同不含開(kāi)具發(fā)票，如需索要發(fā)票另加收稅金費(fèi)用。

8.本合同一式兩份，甲乙雙方各執(zhí)一份，本協(xié)議履行完后自行終止。

甲方簽字（蓋章）：

地址：

電話：

年月日（蓋章）：地址： 電話： 年月日乙方簽字

第二篇：裝飾設(shè)計(jì)公司合同書(shū)

甲方：電話：

乙方：電話：

依照《中華人民共和國(guó)合同法》及其它有關(guān)法律、法規(guī)，結(jié)合本市家裝特點(diǎn)，甲、乙雙方在平等、自愿、協(xié)商一致的基礎(chǔ)上，就乙方承包甲方的家庭裝修工程的有關(guān)事宜，達(dá)成以下協(xié)議：

第一條工程地點(diǎn)：

第二條工程內(nèi)容及做法(詳見(jiàn)圖紙及報(bào)價(jià)單)

第三條工程期限：

第四條合同價(jià)款：本合同工程造價(jià)為(人民幣)------------------------------元

金額大寫(xiě)：----------元(詳見(jiàn)工程報(bào)價(jià)單)

第五條工程款分三次支付：

第一次支付合同總價(jià)款的60%-----------------

第二次支付合同總價(jià)款的35%------------------

第三次支付合同總價(jià)款的5%--------------------

議，同時(shí)調(diào)整有關(guān)工程費(fèi)用及工期。

第七條工程保修：工程保修期為一年，維修期為五年。（除人為損壞）

第八條本合同工程竣工雙方辦理完結(jié)算手續(xù)自動(dòng)終止。

第九條其他說(shuō)明：

第一項(xiàng) 甲方工作

1、為乙方入場(chǎng)創(chuàng)造條件，解決施工用電、用水，道路暢通并承擔(dān)

其費(fèi)用，協(xié)調(diào)鄰里關(guān)系，保證工程順利進(jìn)行。

2、辦理施工所涉及的各種申請(qǐng)，審批等手續(xù)并承擔(dān)其費(fèi)用。、參與工程質(zhì)量和施工進(jìn)度的監(jiān)督，負(fù)責(zé)材料進(jìn)場(chǎng)，工程質(zhì)量驗(yàn)

收。、協(xié)調(diào)有關(guān)部門(mén)做好現(xiàn)場(chǎng)保衛(wèi)，消防，垃圾處理等工作并承擔(dān)其

費(fèi)用。

第二項(xiàng) 乙方工作

1、施工中嚴(yán)格執(zhí)行安全施工操作規(guī)范、防火規(guī)定、施工規(guī)范及質(zhì)

量標(biāo)準(zhǔn)，按期保質(zhì)完成工程。

2、嚴(yán)格執(zhí)行本市有關(guān)施工現(xiàn)場(chǎng)管理的規(guī)定，不得擾民及污染環(huán)境。第六條工程變更：工程項(xiàng)目或方式如需變更，雙方應(yīng)協(xié)商一致，簽定書(shū)面協(xié)

3、保護(hù)好原居室室內(nèi)的家具和陳設(shè)，保證居室內(nèi)上、下水道的暢

通。

4、保證施工現(xiàn)場(chǎng)的整潔，工程完工后負(fù)責(zé)清掃施工現(xiàn)場(chǎng)（不含清

潔）。

第三項(xiàng) 工期

1、由于工程量變化，設(shè)計(jì)變更，不可抗外界因素或經(jīng)甲方同意的，工期相應(yīng)順延。

2、因甲方未按合同約定完成其應(yīng)負(fù)責(zé)的工作而影響工期的，工期

順延；因甲方提供的材料，設(shè)備質(zhì)量不合格而影響工程質(zhì)量的，返工費(fèi)用由甲方負(fù)責(zé)。、甲方未按工期支付工程款，乙方有權(quán)停止施工。

第四項(xiàng) 合同履行期間如因施工變更所增加的款項(xiàng)，甲方應(yīng)在變更協(xié)

議達(dá)成后一次結(jié)清所增加的款項(xiàng)，方可生效。

第五項(xiàng) 工程收款收據(jù)以有公司法人簽字或加蓋公司財(cái)務(wù)章為有效收

據(jù)。

第六項(xiàng) 工程質(zhì)量及驗(yàn)收、無(wú)論是甲方或乙方提供的材料均應(yīng)按期到場(chǎng)，并由對(duì)方驗(yàn)收放

可使用，以確保工程質(zhì)量，由于某方提供的材料出現(xiàn)問(wèn)題，損

失由其負(fù)責(zé)。、公司保證每個(gè)工程均達(dá)到優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)，但不保證一點(diǎn)毛病沒(méi)有，正常的拼裝縫及誤差屬正?，F(xiàn)象，不屬于質(zhì)量問(wèn)題。、工程竣工后，乙方提出工程結(jié)算單，甲方當(dāng)場(chǎng)對(duì)工程進(jìn)行驗(yàn)收

審查，并結(jié)清全部余款。乙方應(yīng)及時(shí)做好驗(yàn)收后的善后工作。

4、辦理驗(yàn)收手續(xù)，甲方擅自提前使用，由此發(fā)生的質(zhì)量問(wèn)題由甲

方負(fù)責(zé)。

第十條 本合同不含五金，電料，鎖具，燈具（乙方負(fù)責(zé)安裝）

第十一條 本合同一式兩份，甲乙雙方各執(zhí)一份，雙方簽字蓋章后生效。

甲方簽字：乙方簽字：

年月日簽定

第三篇：凹凸人 含義

凹凸人的由來(lái)

《辭源》注解，凹是指低的地方，凸是指高的地方，這兩個(gè)字是漢語(yǔ)文字中最為典型的象形字之一；從中國(guó)傳統(tǒng)文化看，凹凸兩儀，四象萌生，八卦循環(huán)，萬(wàn)物成長(zhǎng)！

在傳統(tǒng)觀念里，凹凸這個(gè)詞是中性甚或貶義的，表示道路坑洼不平、人生波折起伏；而在現(xiàn)代，人們賦予了它新的內(nèi)涵，凹凸代表人生不平凡，代表事績(jī)不平庸，代表個(gè)性不保守，代表夢(mèng)想不平淡。

作為凹凸人網(wǎng)創(chuàng)始人的鄒秀峰，他之所以提出凹凸人這個(gè)理念，源于自己雖坎坷但頗具傳奇色彩的創(chuàng)業(yè)經(jīng)歷。

凹凸人網(wǎng)從最初的建立BBS平臺(tái)起家，創(chuàng)辦之初他回想自己當(dāng)初求職時(shí)最需要的不止是信息，更多的還有人脈和資源。于是他給研究生們寫(xiě)了一封信，稱“我們需要抱團(tuán)取暖，我們需要有自己的一個(gè)平臺(tái)，在這里交流學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步?！本褪沁@個(gè)舉動(dòng)，讓當(dāng)時(shí)苦于無(wú)崗位無(wú)職業(yè)的研究生們很快聚集在一起。

而這個(gè)嘗試堅(jiān)定了他立志要做一個(gè)有別于市場(chǎng)上其他人才服務(wù)網(wǎng)站的交流網(wǎng)站，它將更關(guān)注“人”，更注重人才的成長(zhǎng)。

“凹中處事，凸中做人”這個(gè)含義也是在這時(shí)提出。在這里的任何一個(gè)人，都有凹和凸兩面。

凹：代表低調(diào)、缺點(diǎn)、不足（需要彌補(bǔ)和提高）；

凸：代表高調(diào)、優(yōu)點(diǎn)、長(zhǎng)處（可以保持和發(fā)揮）；

凹凸人：希望人才可以清晰的認(rèn)識(shí)到自己的缺點(diǎn)和不足，通過(guò)學(xué)習(xí)彌補(bǔ)并提高。同時(shí)也要了解自己的優(yōu)勢(shì)和長(zhǎng)處，積極發(fā)揮和創(chuàng)造。

凹中處事，凸中做人：做好工作是本分的事情，因此即使事情做的再漂亮也沒(méi)必要去炫耀和宣揚(yáng)，而做人才是一切事業(yè)的根本，只有先具備優(yōu)良的道德情操，正直誠(chéng)信的作風(fēng)，才能真正立足于天地，正所謂，自強(qiáng)不息，厚德載物。

但這個(gè)凹凸人不是代表一個(gè)人，應(yīng)該是一群有凹有凸擁有高學(xué)歷的人。

隨著凹凸人網(wǎng)逐步走向正規(guī)，越來(lái)越多的人問(wèn)鄒秀峰，當(dāng)初為什么會(huì)選擇“凹凸人”這個(gè)名稱。他開(kāi)始考慮“凹凸”就像在描述他或者更多如他一樣正奮斗的人——一路坑洼，在不斷取舍中尋找適合自己的事業(yè)。

至于凹和凸怎么平衡它？其實(shí)不管“凹”還是“凸”，它的最上面都是平的。這取決于心態(tài)。

凹：代表已經(jīng)失去或大意丟失的（失?。?。

凸：代表已經(jīng)擁有或正在努力的（成功）

凹凸人：我們沒(méi)有失敗，只是還尚未成功。我們沒(méi)有失敗，只有沉默，是面對(duì)挫折與逆境的積蓄力量的沉默。

有舍才得，有容乃大：在過(guò)去，我們或許舍棄了高薪和地位。但正因?yàn)槟菚r(shí)的“舍”才能去親身體會(huì)、去嘗試、去成就自己和他人，從而得到了更多的資源和經(jīng)驗(yàn)。就像一個(gè)拳頭，只有收回去再出擊才是最有力量的。

凹凸人這個(gè)群體身上應(yīng)該有這樣一個(gè)烙?。盒袆?dòng)時(shí)干練、迅捷，不為感情所左右；退避時(shí)能審時(shí)度勢(shì)，全身而退，而且能抓住最佳機(jī)會(huì)東山再起。有忍的精神，讓的胸懷，糊涂的智慧，瘋傻的清醒；是大智慧與大容忍的結(jié)合體，是笑傲人生的大哲人。

我們能做到的是在眾多誘惑或障礙中不斷的取舍，以一顆博大的心。正確且無(wú)私的接受或給予身邊所有人指點(diǎn)，通過(guò)不斷交流，規(guī)避缺點(diǎn)發(fā)揮優(yōu)點(diǎn)。使自己更加符合凹凸人這個(gè)角色，從而精彩自己的凹凸人生！

同時(shí)希望通過(guò)匯聚所有有著強(qiáng)烈社會(huì)責(zé)任的各界人士的愛(ài)心，搭建起一個(gè)充滿愛(ài)心和感恩之心的平臺(tái)，通過(guò)專業(yè)服務(wù)，協(xié)助人才職業(yè)發(fā)展和成長(zhǎng)，努力構(gòu)建人才結(jié)構(gòu)和促進(jìn)人才職業(yè)成長(zhǎng)。

第四篇：設(shè)計(jì)合同書(shū)

江蘇興港建設(shè)集團(tuán)有限公司設(shè)計(jì)合同書(shū)

甲方：蘇州翰林尚品文化發(fā)展有限公司

乙方：江蘇興港建設(shè)集團(tuán)有限公司

依據(jù)《中華人民共和國(guó)合同法》和有關(guān)法規(guī)的規(guī)定，在甲方完全認(rèn)可乙方能力后，乙方經(jīng)過(guò)慎重考慮接受甲方的委托，就委托設(shè)計(jì)事項(xiàng)，雙方經(jīng)協(xié)商一致，簽訂本合同，信守執(zhí)行：

一、合同內(nèi)容和要求：

1、店面商業(yè)空間整合設(shè)計(jì)規(guī)劃

2、土建內(nèi)結(jié)構(gòu)合理改造

3、品牌導(dǎo)入設(shè)計(jì)與物料落實(shí)設(shè)計(jì)（拎袋，標(biāo)識(shí)系統(tǒng)，戶外廣告及展覽，折頁(yè)宣傳設(shè)計(jì)）

4、門(mén)頭形象設(shè)計(jì)

5、初期市場(chǎng)DM宣傳設(shè)計(jì)（海報(bào)，宣傳單頁(yè)等印刷品）

6、服務(wù)至2012年12月31日

二、費(fèi)用

費(fèi)用共計(jì)人民幣￥70000元（大寫(xiě)：人民幣柒萬(wàn)元整）

三、付款方式

1、本合同簽訂后，甲方即向乙方支付設(shè)計(jì)總費(fèi)用的30％，即人民幣

2、空間設(shè)計(jì)初稿設(shè)計(jì)完成，甲方初步確認(rèn)甲方即向乙方支付設(shè)計(jì)總費(fèi)用的20％，即人民幣

3、施工圖紙完稿，甲確認(rèn)設(shè)計(jì)方案，滿意后即向乙方支付設(shè)計(jì)總費(fèi)用的30％，即人民幣，乙交付施工圖紙與物料落實(shí)方案。

4、在完成一章節(jié)中的第3和第5點(diǎn)設(shè)計(jì)內(nèi)容和要求后，在2012年12月31日后五個(gè)工作日內(nèi)付清余款總費(fèi)用的20%。

還希望甲方認(rèn)真審核方案，與設(shè)計(jì)方配合，由于甲方原因在確認(rèn)方案后又進(jìn)行推翻設(shè)計(jì)修改的按照乙方損失工作量適當(dāng)加收10％－30％，具體雙方商議

第五篇：凹凸函數(shù)的性質(zhì)

凹凸函數(shù)的性質(zhì)

12文麗瓊 營(yíng)山中學(xué)

四川營(yíng)山 637700 2營(yíng)山駱市中學(xué)

四川營(yíng)山

638150

摘要：若函數(shù)f(x)為凹函數(shù)，則f(x?x112???xnn???xnn)?f(x1)?f(x2)???f(xn)nf(x1)?f(x2)???f(xn)n

?xx

若函數(shù)f(x)為凸函數(shù)，則f(2)?

從而使一些重要不等式的證明更簡(jiǎn)明。

中圖分類號(hào)：

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)號(hào)：

文章編號(hào)：

高二數(shù)學(xué)不等式，教材上只要求學(xué)生掌握兩個(gè)數(shù)的均值不等式，教材上的閱讀材料中，證明了三個(gè)數(shù)的均值不等式，從而推廣到多個(gè)數(shù)的情形。學(xué)有余力的學(xué)生，會(huì)去證多個(gè)數(shù)的情形。仿照書(shū)上去證，幾乎不可能。下面介紹凹凸函數(shù)的性質(zhì)，并用來(lái)證明之，較簡(jiǎn)便易行。

凹函數(shù)定義 若函數(shù)f(x)上每一點(diǎn)的切線都在函數(shù)圖像的下方，則函數(shù)f(x)叫做凹函數(shù)。如圖

（一）凸函數(shù)定義 若函數(shù)f(x)上每一點(diǎn)的切線都在函數(shù)圖像的上方，則函數(shù)f(x)叫做凸函數(shù)。如圖

（二）性質(zhì)定理 若函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，則

f(x1?x2???xnn???xnn)?f(x1)?f(x2)???f(xn)nf(x1)?f(x2)???f(xn)n

若函數(shù)f(x)是凸函數(shù)，則

?xxf(12)?

證明：若函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，如下圖

?xx點(diǎn)P（12

???xnn?xx,f(12???xnn)）在f(x)上

設(shè)過(guò)P點(diǎn)的切線方程為：y=ax+b 則

f(x1?x2???xnn)?a?x1?x2???xnn?b

（1）

∵f(x)是凹函數(shù)，切線在函數(shù)圖像下方

∴f(x1)?ax1?b;f(x2)?ax2?b;…;f(xn)?axn?b ∴f(x1)?f(x2)???f(xn)n???xnn?a?x1?x2???xnn?b

(2)由（1），（2）得

?xxf(12)?f(x1)?f(x2)???f(xn)n

若函數(shù)f(x)為凸函數(shù)，如下圖

?xx

點(diǎn)P（12

???xnn?xx,f(12???xnn)）在f(x)上

設(shè)過(guò)P點(diǎn)的切線方程為：y=ax+b 則

f(x1?x2???xnn)?a?x1?x2???xnn?b

（1）

∵f(x)是凸函數(shù)，切線在函數(shù)圖像上方

∴f(x1)?ax1?b;f(x2)?ax2?b;…;f(xn)?axn?b ∴f(x1)?f(x2)???f(xn)n?a?x1?x2???xnn?b

(2)由（1），（2）得

?xxf(12???xnn)?f(x1)?f(x2)???f(xn)n

定理證明過(guò)程要結(jié)合圖像形象理解，也便于掌握。下面證明均值不等式和高斯不等式。

?xx均值不等式：12???xnn?nx?x12???xn

（x1,x2,?,xn＞0）

證明：∵ y=lgx 是凸函數(shù)

∴l(xiāng)g(x1?x2???xnn2)?lg(x1)?lg(x2)???lg(xn)n

?xx

∴l(xiāng)g(1???xnn)?lgnx?x12???xn

即

x?x12???xnn?nx?x12???xn

（x1,x2,?,xn＞0）

高斯不等式：證明：∵ y?x?x1n22???xn?11xx??12???1xn

（x1,x2,?,xn＞0）

1(x>0)是凹函數(shù) x11

2∴

1(x1?x2???xn)／n?xx1???n1xn

即

x1?x2???xnn2?11xx?12???1xn

（x1,x2,?,xn＞0）

以上兩個(gè)不等式的證明，非常簡(jiǎn)明，下面再舉幾個(gè)性質(zhì)定理應(yīng)用的例子。例1 A、B、C為三角形三內(nèi)角，求證sinA+sinB+sinC≤

證明：∵A、B、C為三角形三內(nèi)角 ∴A+B+C=π

A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx(0

∴

3333 2

∴sinA?sinB?sinCπ?sin

即

SinA+sinB+sinC≤

222222n1x?x2???xn)?x?x???x例2 求證(1nn

證明：∵ y?x 為凹函數(shù)

x?x2???xn)?x?x???x

∴(1nn?x???x????xxxx12n例3 求證（（k∈N?）)?nn

證明：∵ y?x

（k∈N?）為凹函數(shù)

2222n12k2k2k22kn12k2x?x2???xn)

∴(1n2k?x2k1?x2???xnn2k2k

通過(guò)以上例子，可以看出，關(guān)鍵在于找到合適的凹函數(shù)或凸函數(shù)，再用性質(zhì)定理，問(wèn)題可得解決。