第一篇：6-07.資料-算術(shù)與幾何平均一種證明

湖南省新寧縣第一中學(xué)李水平專用教案第六章—不等式

資料1：算術(shù)平均值不小于幾何平均數(shù)的一種證明(局部調(diào)整法)

結(jié)論：設(shè)a1，a2，a3，……，an為正實(shí)數(shù)，這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值記為A，幾何平均值記為G，即A＝a1?a2???an,G?a1a2??an，n

則有A≥G.當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝……＝an時(shí)，A＝G.特別地當(dāng)n＝2時(shí)，a?b≥ab 2

當(dāng)n＝3時(shí)，a?b?c≥abc.3

證明：用局部調(diào)整法證明均值不等式A≥G.設(shè)這n個(gè)正數(shù)不全相等.不失一般性，設(shè)0＜a1≤a2≤……≤an，易證a1＜A＜an，且a1＜G＜an.在這n個(gè)數(shù)中去掉一個(gè)最小數(shù)a1，將a1換成A，再去掉一個(gè)最大數(shù)an，將an換成a1＋an－A，其余各數(shù)不變，于是得到第二組正數(shù)：A，a2，a3，……，an－1，a1＋an－A.這一代換具有下列性質(zhì)：

① 兩組數(shù)的算術(shù)平均值不變，設(shè)第二組數(shù)的算術(shù)平均值為A1，那么

A1＝A?a2?a3????an?1?a1?an?A?A n

② 兩組數(shù)的幾何平均值最大.設(shè)第二組數(shù)的幾何平均值為G1，則

G1＝Aa2a3??an?1(a1?an?A)

∵A(a1＋an－A)－a1an＝(A－a1)(an－A)

由 a1＜A＜an，得(A－a1)(an－A)＞0

則 A(a1＋an－A)＞a1an.∴Aa2a3……an－1(a1＋an－A)＞a1a2……an－1＋an.G1＞G.若第二組數(shù)全相等，則A1＝G1，于是A＝A1＝G1＞G證明完畢.若第二組數(shù)不全相等，再作第二次替換.仍然是去掉第二組數(shù)中的最小數(shù)b1和最大數(shù)bn，分別用A1(即A)和b1＋bn－A代替，因?yàn)橛衎1＜A1＜bn且A1＝A.因而第二組數(shù)中的A，不是最小數(shù)b1，也不是最大數(shù)bn，不在去掉之列，在替換中不會(huì)被換掉，而只會(huì)再增加，如此替換下去，每替換一次，新數(shù)中至少增加一個(gè)A，經(jīng)過(guò)n－2次替換，新數(shù)中至少出現(xiàn)n－2個(gè)A，最多經(jīng)過(guò)n－1次替換，得到一個(gè)全部是A的新數(shù)組.此時(shí)新數(shù)組的算術(shù)平均值等于幾何平均值.在每次替換中，數(shù)組的算術(shù)平均值不變，始終等于A，而幾何平均值不斷增大，即G＜G1＜G2＜……＜Gk，而Gk＝Ak＝A，因而G≤A成立.17

第二篇：1.1.3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式導(dǎo)學(xué)案

蘭州新區(qū)永登縣第五中學(xué)高二數(shù)學(xué)（文）導(dǎo)學(xué)案

班級(jí)：小組名稱：姓名：得分：

2．若正數(shù)x,y滿足xy2?4,計(jì)算x?2y的最值

三、拓展探究

1．若a?b?0,計(jì)算a?

2．若a?2,b?3,求a?b?

3．（參考例6）設(shè)0?x?1,求x(1?x)的最大值（思考：根據(jù)此題你能得到什么結(jié)論？）

導(dǎo)學(xué)案 §1.1.3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式

設(shè)計(jì)人：薛東梅審核人：梁國(guó)棟、趙珍

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．了解三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式；2．會(huì)用平均不等式求一些特定函數(shù)的最大（小）值。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式及定理3的應(yīng)用 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：應(yīng)用不等式解決應(yīng)用問題

學(xué)習(xí)方法：六動(dòng)感悟法（讀，想，記，思，練，悟）

一、自學(xué)評(píng)價(jià)

1．三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式

（1）如果a,b,c?R?,那么a3?b3?c33abc，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立。（2）定理3：

即：2．基本不等式的推廣：

思考：利用平均不等式求最值的要注意條件？

注意：（1）獲得定值需要一定的技巧，如配系數(shù)、拆項(xiàng)、分離常數(shù)、平方變形等；（2）連續(xù)多次使用平均不等式定理時(shí)，要注意前后等號(hào)成立的條件是否一致； 3．思考并完成例54．如果x?0,如何求2x?

二、檢測(cè)交流

1．已知a,b,c?R?,求證（8的最值

b(a?b)的最小值。

(a?2)(b?3)的最小值？ x2

abcbca??)(??)?9（思考：根據(jù)此題你能得到什么結(jié)論？）bcaabc

第三篇：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

6.2.3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

●教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤

M

42，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.＋

2.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥

2P，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.(二)能力訓(xùn)練要求

通過(guò)兩個(gè)例題的研究，進(jìn)一步掌握均值不等式定理，并會(huì)用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值.(三)德育滲透目標(biāo)

掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)順序定理及相應(yīng)的一組不等式，使學(xué)生認(rèn)清定理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和取“＝”條件.要在分析具體問題的特點(diǎn)的過(guò)程中尋求運(yùn)用公式的適當(dāng)形式和具體方式，自覺提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.●教學(xué)重點(diǎn)

基本不等式a＋b≥2ab和

2a?b2

≥ab（a＞0，b＞0）的應(yīng)用，應(yīng)注意：

(1)這兩個(gè)數(shù)(或三個(gè)數(shù))都必須是正數(shù)，例如：當(dāng)xy＝4時(shí)，如果沒有x、y都為正數(shù)的條件，就不能說(shuō)x＋y有最小值4，因?yàn)槿舳际秦?fù)數(shù)且滿足xy＝4，x＋y也是負(fù)數(shù)，此時(shí)x＋y可以取比4小的值.(2)這兩個(gè)(或三個(gè))數(shù)必須滿足“和為定值”或“積為定值”，如果找不出“定值”的條件，就不能用這個(gè)定理.例如，求當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x2＋

1x

1x的最小值，若寫成y＝x2＋

1x

1x

≥

2x?

2?2x，就說(shuō)“最小值為2x”是錯(cuò)誤的，因?yàn)閤2·

12x

12x

4不是定值，而2x仍為

1x

隨x變化而變化的值.正確的解法是：由于x2·

12x

·＝為定值，故x2＋＝x2＋

12x

＋≥3·3x?

22x2x

?

?

32，即y的最小值為

322

.(3)要保證等號(hào)確定能成立，如果等號(hào)不能成立，那么求出的值仍不是最值.●教學(xué)難點(diǎn)

如何湊成兩個(gè)(或三個(gè))數(shù)的和或積是定值.例如“教學(xué)重點(diǎn)”(2)中y＝x2＋

1x

湊成y＝

x2＋

12x

＋

12x

.●教學(xué)方法 啟發(fā)式教學(xué)法 ●教具準(zhǔn)備

投影片一張 記作§６.2.2 A

Ⅰ.課題導(dǎo)入

上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了一個(gè)重要定理：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)(以下簡(jiǎn)稱均值不等式).這個(gè)定理有時(shí)可以直接運(yùn)用，有時(shí)用它的變形或推廣形式，(打出投影片§6.2.2 A，教師引導(dǎo)學(xué)生略作分析)，使同學(xué)們掌握下面幾個(gè)重要的不等式：

(1)a＋b≥2ab（a，b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)；(2)(3)(4)

a?b2

?

ab（a＞0，b＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)；

ba

?

ab

3≥2（ab＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)；

?

a?b?c

abc（a＞0，b＞0，c＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”號(hào)；

(5)a＋b＋c≥3abc（a＞0，b＞0，c＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”號(hào).在此基礎(chǔ)上，上述重要不等式有著廣泛的應(yīng)用，例如：證明不等式，求函數(shù)最值，判斷變量或數(shù)學(xué)式子的取值范圍等等.它們涉及到的題目活，變形多，必須把握好湊形技巧.今天，我們就來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)均值不等式的應(yīng)用.Ⅱ.講授新課

［例1］已知x、y都是正數(shù)，求證：

(1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2P；(2)如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值

4S2.［師］本題顯然是均值不等式的應(yīng)用，在運(yùn)用均值不等式時(shí)應(yīng)注意：“算術(shù)平均數(shù)”是以“和”為其本質(zhì)特征，而“幾何平均數(shù)”是以“積”為其本質(zhì)特征.［生］∵x，y都是正數(shù)

∴

x?y

2?

xy

x?y2

?

P，(1)當(dāng)積xy＝P為定值時(shí)，有即x＋y≥2

P.上式中，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取“＝”號(hào)，因此，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2P.(3)當(dāng)和x＋y＝S為定值時(shí)，有xy?即xy≤

S2，S2.14

上式中，當(dāng)x=y時(shí)取“=”號(hào)，因此，當(dāng)x=y時(shí)積xy有最大值 S2.［師生共析］通過(guò)對(duì)本題的證明，運(yùn)用均值不等式解決函數(shù)的最值問題時(shí)，有下面的方法：若兩個(gè)正數(shù)之和為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，它們的積有最大值；若兩個(gè)正數(shù)之積為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，它們的和有最小值.在利用均值不等式求函數(shù)的最值問題時(shí)，我們應(yīng)把握好以下兩點(diǎn)：(1)函數(shù)式中，各項(xiàng)(必要時(shí)，還要考慮常數(shù)項(xiàng))必須都是正數(shù).例如，對(duì)于函數(shù)式x＋地認(rèn)為關(guān)系式x＋

1x

1x，當(dāng)x＜0時(shí)，絕不能錯(cuò)誤

1x

≥2成立，并由此得出x＋

1x

1x的最小值是2.事實(shí)上，當(dāng)x＜0時(shí)，x＋＞0?－（x＋

1x的最大值是－2，這是因?yàn)閤＜0?－x＞0，－

1x

1x）＝（－x）＋（－

1x）

≥2(?x)?(?)＝2?x＋≤－2.可以看出，最大值是－2，它在x＝－1時(shí)取得.(2)函

數(shù)式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)，并且只有當(dāng)各項(xiàng)相等時(shí)，才能利用均值不等式求函數(shù)的最值.［例2］已知a，b，c，d都是正數(shù)，求證（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.［師］運(yùn)用均值不等式，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，是證明本題的關(guān)鍵.［生］∵a，b，c，d都是正數(shù)，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0.∴

ab?cd

??

ab?cd＞0，ac?bd＞0.ac?bd

由不等式的性質(zhì)定理4的推論1，得

(ab?cd)(ac?bd)

≥abcd

即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.［師生共析］用均值不等式證明題時(shí)，要注意為達(dá)到目標(biāo)可先宏觀，而后微觀；均值不等式在運(yùn)用時(shí)，常需先湊形后運(yùn)用；均值不等式和不等式的基本性質(zhì)聯(lián)合起來(lái)證題是常用的行之有效的方法.利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理(均值不等式)，可以很容易地解決本章開始的引言中提出的問題：

某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為4800 m3，深為3 m，如果池底每1 m2的造價(jià)為150元，池壁每1 m的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元?

［師］應(yīng)用題的最值問題，主要是選取適當(dāng)?shù)淖兞?，再依?jù)題設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型(即函數(shù)關(guān)系式)，由變量和常量之間的關(guān)系，選取基本不等式求最值.(在教師的引導(dǎo)分析下，師生共同完成解答過(guò)程).［生］設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為x m，則另一邊的長(zhǎng)度為

48003x

m，又設(shè)水池總造價(jià)為

ｌ元.根據(jù)題意，得

ｌ＝1５0×

4800

3＋120（2×3x＋2×3×

1600x

48003x）

＝240000＋７20（x＋）.≥240000＋７20×2x?

1600x

＝240000＋７20×2×40＝2９７６00.當(dāng)x＝

1600x，即x＝40時(shí)，ｌ有最小值297600.因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40 m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元.［師生共析］我們應(yīng)用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理(即均值不等式)順利解決了本章引例中的問題.用均值不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：

(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；

(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.Ⅲ.課堂練習(xí)

1.已知x≠0，當(dāng)x取什么值時(shí)，x2＋分析：注意到x＋

81x的值最小?最小值是多少?

81x

是和的形式，再看x·＞0.81x

＝８1為定值，從而可求和的最小值.解：x≠0?x2＞0，81x

81x

∴x2＋≥2x?

81x

81x

＝1８，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝，即x＝±3時(shí)取“＝”號(hào).81x

故x=±3時(shí)，x+的值最小，其最小值是18.2.一段長(zhǎng)為Ｌ m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少?

分析：均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，解題過(guò)程中要(1)先構(gòu)造定值，(2)建立函數(shù)關(guān)系式，(3)驗(yàn)證“＝”號(hào)成立，(4)確定正確答案.解法一：設(shè)矩形菜園的寬為x m，則長(zhǎng)為（Ｌ－2x）m，其中0＜x＜

2，其面積

S＝x（Ｌ－2x）

＝

·2x（Ｌ－2x）≤

（2x?L?2x)?

L

8當(dāng)且僅當(dāng)2x＝Ｌ－2x，即x＝

L

L

4時(shí)菜園面積最大，即菜園長(zhǎng)

L2

m，寬為

L4

m時(shí)菜園面

積最大為

m.L?x2

解法二：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m，則寬為

x(L?x)

(x?

L?x)2

m，面積

S＝

?

（x?L?x)

≤?

L

（m2）.L2

當(dāng)且僅當(dāng)x＝Ｌ－x，即x＝

L4

（m）時(shí)，矩形的面積最大.也就是菜園的長(zhǎng)為

L

L2

m，寬為

m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為

m2.3.設(shè)0＜x＜2，求函數(shù)f（x）＝3x(8?3x)的最大值，并求出相應(yīng)的x值.分析：根據(jù)均值不等式：ab?８－3x是否為正數(shù)；二要考查式子

解：∵0＜x＜2 ∴3x＞0，８－3x＞0 ∴f（x）＝3x(8?3x)≤

3x?(8?3x)

24312a?b2，研究3x(8?3x)的最值時(shí)，一要考慮3x與

［3x＋（８－3x）］是否為定值.＝4

當(dāng)且僅當(dāng)3x＝８－3x時(shí)，即x＝時(shí)取“＝”號(hào).4

3故函數(shù)f（x）的最大值為4，此時(shí)x＝.Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理及其推廣的幾個(gè)重要不等式順利解決了函數(shù)的一些最值問題.在解決問題時(shí)，我們重點(diǎn)從以下三個(gè)方面加以考慮：一是均值不等式成立的條件(各因式或項(xiàng)都取正值)；二是合理尋求各因式或項(xiàng)的積或和為定值；三是確定等號(hào)能夠成立.只有這樣，我們才能在分析具體問題的特點(diǎn)的過(guò)程當(dāng)中合理運(yùn)用公式的適當(dāng)形式和具體方式，解決某些函數(shù)的最值問題.Ⅴ.課后作業(yè)

(一)課本P11習(xí)題6.24、５、７.(二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P12 §６.3.1不等式的證明.2.預(yù)習(xí)提綱：

(1)用比較法證明不等式.(2)用比較法證明不等式的一般步驟：

作差(或商)→變形→判斷差的符號(hào)(或商與1的大小)→得證.●板書設(shè)計(jì)

第四篇：教師版：推理與證明專題資料

第十講 推理與證明專題資料

一、推理：

（一）合情推理：歸納推理、類比推理.1.歸納推理：根據(jù)某類事物的部分對(duì)象具有的某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這種特征的推理，是“部分到整體，個(gè)別到一般”的推理。

2.類比推理：兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有相似特征的推理，是“特殊到特殊”的推理.（二）演繹推理：根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）推導(dǎo)出特殊性命題為真的推理。常用模式“三段論”：大前提、小前提、結(jié)論。

【歷練鞏固】

例1（11，陜西，13）觀察下列等式

1=

12+3+4=9

3+4+5+6+7=2

54+5+6+7+8+9+10=49

??

照此規(guī)律，第n個(gè)等式為

解： n?(n?1)?(n?2)?...?(3n?2)?(2n?1)2。

練習(xí)1（11，江西，7）觀察下列各式：55=3125, 56=15625, 57=78125，···，則52011 的末四位數(shù)字為()

A、3125B、5625C、0625D、8125 解：D.例2（09，上海，3）以下是面點(diǎn)師一個(gè)工作環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型： 在數(shù)軸上取閉區(qū)間?0,1?，對(duì)折（0與1兩點(diǎn)重合）后再均勻地拉成一個(gè)單位長(zhǎng)度線段（原來(lái)的和變?yōu)?，變?yōu)?等）算一次操作，重復(fù)操作，第n次操作后變?yōu)?的點(diǎn)有個(gè).解：用現(xiàn)場(chǎng)折紙條的操作，可知有2n?1個(gè).3414121

2?ABC三邊上的高為hA,hB,hC，例3設(shè)P為?ABC內(nèi)一點(diǎn)，P到三邊的距離為lA,lB,lC，則有l(wèi)AlBlC???hAhBhC

類比到空間中，設(shè)P是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對(duì)面的距離分別為hA,hB,hC,hD，P到四個(gè)面的距離為lA,lB,lC,lD，則有：

解：面積法：

llAlBlClll???1；體積法：A?B?C?D?1 hAhBhChAhBhChD

二、證明：

（一）直接證明：

1.分析法：從欲證結(jié)論出發(fā)，對(duì)結(jié)論進(jìn)行等價(jià)變形，建立未知結(jié)論和已知的“條件，結(jié)論”因果關(guān)系；

2.綜合法：從已知條件和結(jié)論出發(fā)，以演繹推理中的“三段論”規(guī)則為工具，推出未知結(jié)論；

3.歸納法：證明格式為：

①先證當(dāng)n?n0時(shí)命題成立（n0為需證的初始自然數(shù)）；

②假設(shè)n?k?k?n0?時(shí)命題成立，并在此前提下可以推出n?k?1時(shí)命題也成立；

由①②，命題對(duì)一切n?n0的自然數(shù)恒成立.（二）間接證明：

反證法：證明欲證命題的等價(jià)命題——逆否命題.例3（反證法）給定實(shí)數(shù)a,a?0且a?1，設(shè)函數(shù)y?x?1?1??x?R,x??.ax?1?a?

求證：經(jīng)過(guò)改函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸.（253-14.4）解：y1?y2(x1?x2)，即：x1?1x?1?2?(x1?1)(ax2?1)?(x2?1)(ax1?1)ax1?1ax2?

1?(z?1)(x1?x2)?0

例4（分析法）在?ABC中，?A,?B,?C成等差數(shù)列，其對(duì)邊分別為a,b,c.求證：113.(253.4)??a?bb?ca?b?c

ca??1?a2?c2?ac?b2；?B?600，用余弦定理即可.a?ba?c解：變形為

例5（綜合法、歸納法）用綜合法和歸納法兩種方法證明：（255.14.6）

1?11111111???????????????(n?N?)2342n?12nn?1n?2n?n

練習(xí)2（08，遼寧，21）在數(shù)列?an?，?bn?中，a1=2，b1=4，且an，bn，an?1成等差數(shù)列，bn，an?1，bn?1成等比數(shù)列（n?N*）.求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)?an?，?bn?的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論.2解：由條件得2bn?an?an?1，an?1?bnbn?1

由此可得a2?6，b2?9，a3?12，b3?16，a4?20，b4?25．

猜測(cè)an?n(n?1)，bn?(n?1)2．

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立．

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak?k(k?1)，bk?(k?1)2，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，ak?1?2bk?ak?2(k?1)2?k(k?1)?(k?1)(k?2)，2akbk?1??2?(k?2)2． bk

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．

由①②，可知an?n(n?1)，bn?(n?1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立．

【選擇題】

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“Sn?

等于（）A.1 21111??????1(n?N*)”時(shí)，S1n?1n?2n?33n?111?23111??234B.C.D.以上都不對(duì)

1.C考查：歸納法初值

【解】當(dāng)n=1時(shí)，左邊最后一個(gè)式子的分母為4，所以為

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1?111??.234111????n?n（n∈N*，n＞1）”時(shí)，由n=k（k232?1

＞1）不等式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()

A.2k?1B.2k?1C.2kD.2k?1

2.C 考查：歸納法第二步

【解】左邊的特點(diǎn)：分母逐漸增加1，末項(xiàng)為

末項(xiàng)為111;由n=k，末項(xiàng)為到n=k+1，2n?12k?11k，∴應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為22k?1?12k?1?2k

11113.設(shè)f（n）=+++?+n∈N *），那么f（n+1）－f（n）等于()n?1n?2n?32n

1111A.B.C.+2n?12n?22n?12n?2

11D.－ 2n?12n?2=

3.D 考查：歸納法第二步

11111 + +?+ + +－n?2n?32n2n?12n?2

11111111（++?+）=+－=－.n?1n?2n?12n?12n2n?12n?22n?2fn?1）－（f）n【解】（=

第五篇：資料移交證明

尚品·清河工程監(jiān)理資料移交證明

尚品·清河工程自2009年底開工以來(lái)，歷經(jīng)三年時(shí)間，近期已全部完成，并通過(guò)了建設(shè)主管部門驗(yàn)收。根據(jù)監(jiān)理合同要求，監(jiān)理單位應(yīng)向建設(shè)單位提交三份監(jiān)理資料。監(jiān)理資料內(nèi)容與城建檔案館提交內(nèi)容一致，包括：監(jiān)理規(guī)劃及監(jiān)理細(xì)則（第一卷）、監(jiān)理例會(huì)會(huì)議紀(jì)要（第二卷）、監(jiān)理月報(bào)（第三卷）、監(jiān)理工程師通知單（第四卷）、質(zhì)量評(píng)估報(bào)告（第五卷）。

本工程竣工驗(yàn)收備案時(shí)，監(jiān)理單位已向城建檔案館提交一份完整的監(jiān)理資料，現(xiàn)將合同約定的另外二份監(jiān)理資料移交建設(shè)單位。

特此證明。

監(jiān)理單位：

移交人：日期：

建設(shè)單位：

移交人：日期：