第一篇：2013年高考數(shù)學(xué) 最后沖刺基礎(chǔ)公式記憶 六、立體幾何 文（最終版）

六、立體幾何

39、證明直線與直線平行的方法

（1）三角形中位線（2）平行四邊形（一組對邊平行且相等）

40、證明直線與平面平行的方法

（1）直線與平面平行的判定定理（證平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行）

（2）先證面面平行

41、證明平面與平面平行的方法

平面與平面平行的判定定理（一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行）．．．．

42、證明直線與直線垂直的方法

轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直

43、證明直線與平面垂直的方法

（1）直線與平面垂直的判定定理（直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直）．．．．

（2）平面與平面垂直的性質(zhì)定理（兩個平面垂直，一個平面內(nèi)垂直交線的直線垂直另一個平面）

44、證明平面與平面垂直的方法

平面與平面垂直的判定定理（一個平面內(nèi)有一條直線與另一個平面垂直）

45、柱體、椎體、球體的側(cè)面積、表面積、體積計算公式

圓柱側(cè)面積=2?rl，表面積=2?rl?2?r

圓椎側(cè)面積=?rl，表面積=?rl??r 22

1V柱體?Sh（S是柱體的底面積、h是柱體的高）.3

1V錐體?Sh（S是錐體的底面積、h是錐體的高）.3

432球的半徑是R，則其體積V??R,其表面積S?4?R． 346、異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角的定義及計算

47、點到平面距離的計算（定義法、等體積法）

48、直棱柱、正棱柱、長方體、正方體的性質(zhì)：側(cè)棱平行且相等，與底面垂直。

正棱錐的性質(zhì)：側(cè)棱相等，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心。

第二篇：高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題

高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題匯編（高分必備）

1.三角函數(shù)

（1）求值：主要考角的變換（配角，二倍角正逆兩用，齊次式，角度相對性）

（2）圖像性質(zhì)：降冪公式、輔助角公式、五點作圖（方法）、四大性質(zhì)、有范圍的值域問

題

（3）正余弦定理：正余弦定理、面積公式（倆公式）、向量數(shù)量積、測量航海等實際應(yīng)用

問題

（4）與二次函數(shù)、斜率、圓、橢圓參數(shù)方程相關(guān)的最值問題

2.概率統(tǒng)計

（1）幾何概型：分清數(shù)軸和線性規(guī)劃（坐標(biāo)系）、積分（兩種問題）有關(guān)問題

（2）條件概率：根據(jù)條件敘述判斷得到

（3）古典概型

（4）二項分布

3.立體幾何

（1）線面平行垂直位置關(guān)系、空間角

（2）體積、面積、三視圖、斜二側(cè)畫法

4.導(dǎo)數(shù)

（1）兩種切線問題：已知是切點；不是切點

（2）兩種單調(diào)性問題：求單調(diào)區(qū)間；已知單調(diào)性

（3）與之相關(guān)的不等式證明、零點個數(shù)問題

5.數(shù)列,n?1?S1（1）an??相關(guān)思想 S?S,n?2n?1?n

（2）累加、累乘、錯位相減、列項相消

（3）數(shù)學(xué)歸納法

（4）二項式定理

（5）遞推、同除、湊配等方法

（6）等差等比數(shù)列相關(guān)公式

（7）分段數(shù)列

（8）函數(shù)相關(guān)

6.解析幾何

（1）求軌跡：直接、轉(zhuǎn)代、參數(shù)

（2）幾何性質(zhì)

（3）與判別式、韋達定理、面積、中點、弦長、最值（本身隱含，函數(shù)，均值）直線設(shè)

法相關(guān)的問題

第三篇：高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題七 立體幾何教案 文

專題七 立體幾何

自查網(wǎng)絡(luò)

核心背記

一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

（一）多面體

1．棱柱可以看成是一個多邊形（包含圖形所圍成的平面部分）上各點都沿同一個方向移動____所形成的幾何體．

2．主要結(jié)構(gòu)特征：棱柱有兩個面互相平行，而其余 的交線都互相平行，其余的這些面都是四邊形．

3．側(cè)棱和底面____的棱柱叫做直棱柱，底面為 的直棱柱叫做正棱柱． 4．有一個面是多邊形，而其余各面都 的三角形的多面體叫做棱錐．

5．如果棱錐的底面是 一，它的頂點又在過 且與底面垂直的直線上，則這個棱錐叫做正棱錐，正棱錐各側(cè)面都是 一的等腰三角形，這些等腰三角形____都相等，叫做棱錐的斜高．

6.棱錐被 一的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺．一—— 7.由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．正棱臺各側(cè)面都是全等的等腰梯形，這些 一叫做棱臺的斜高．正棱臺中兩底面中心連線，相應(yīng)的邊心距和 ．組成一個直角梯形；兩底面中心連線，和兩底面相應(yīng)的外接圓半徑組成一個直角梯形．

（二）旋轉(zhuǎn)體

1．分別以

一、直角梯形中——、——____所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱、圓錐、圓臺．旋轉(zhuǎn)軸叫做所圍成的幾何體的軸；在軸上的這條邊叫做這個幾何體的高；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的 叫做這個幾何體的底面；不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的 叫做這個幾何體的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做側(cè)面的母線，’ 2．-個半圓繞著____所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫球面，球面所圍成的幾何體稱為 1

球．球面也可以看做空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合．

3．球的截面性質(zhì)：球的截面是 ；球心和截面（不過球心）圓心的連線 于截面；設(shè)球的半徑為R，截面圓的半徑為r，球心到截面圓的距離d就是球心0到截面圓心0i的距離，它們的關(guān)系是 一．

4．球的大圓、小圓：球面被 的平面截得的圓叫做球的大圓；球面被 的平面截得的圓叫做球的小圓．

（三）投影

1．當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時，平行投影具有如下性質(zhì)：①直線或線段的平行投影是____；②平行直線的平行投影是 ；③平行于投射面的線段，它的投影與這條線段 ；④與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形 ；⑤在同一直線或平行線上，兩條線段的平行投影的比等于____． 2.-個． 把一個圖形照射在一個平面上，這個圖形的影子就是它在這個平面上的中心投影．空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線還是直線，但是平行線可能變成____．

3．在物體的平行投影中，如果投射線與投射面____，則稱這樣的平行投影為正投影． 4．除了平行投影的性質(zhì)正投影還具備如下性質(zhì)：

直于投射面的直線或線段的正投影是 ．②于投射霹的平面圖形的正投影是

（四）斜二測畫法與三視圖

1．斜二測畫法的作圖規(guī)則可以簡記為：水平方向方向長度 豎直方向線，變?yōu)?方線，長度

2.投射面與視圖：通常，總是選取三個____的平面作為投射面，來得到三個投影圖．一個投射面水平放 置，叫做水平投射面，投射到水平投射面內(nèi)的圖形叫做，一個投射面放置在正前方，這個投射面叫做直立投射面．投射到直立投射面內(nèi)的圓形叫做 和直立、水平兩個投射面都垂直的投射面叫做側(cè)立投射l面．投射到側(cè)立投射面內(nèi)的圓形叫做

3.三視圖定義：將空間圖形向水平投射面，直立投射 面、側(cè)立投射面作正投影．然后把這個投影按一定的布局放 在一個平面內(nèi)，這樣構(gòu)成的圖形叫做空悶圖形的三視圖．

4．三視圖的畫法要求；三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從物體的 看到的物體的正投影圍成的平面圖形．

5.一個物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在 的下面，長度與 一樣；左視圖放在主視圖的，高度與____一樣，寬度與——的寬度—樣為了便于記憶．通常說：“長對正 高平齊、寬相等”或“主左一樣高、主俯—樣長、左俯—樣寬

6．畫三視圖時應(yīng)注意：被擋住的輪廓要畫成瘦線，尺寸線用細(xì)實線標(biāo)出；φ表示直徑，R表示半徑；單位不注明按mm計，二、空間幾何體的表面積與體積

（一）柱、錐、臺的表面積公式

1．設(shè)直棱柱的高為b，底面多邊形的周長為c，則直棱柱側(cè)面面積計算公式為——．設(shè)圓柱的底面半徑為r 周長為C，側(cè)面母線長為l，則圓柱的側(cè)面積是____． 2.設(shè)正棱錐的底面邊長為a，底面周長為C，斜高為h，則正n梭錐的側(cè)面積計算公式為一·如果圓錐底面半徑為r，周長為C，側(cè)面母線長為l，那么圓錐的側(cè)面積是一．

3.如果設(shè)正棱臺下底面邊長為a、周長為C，上底面邊長為a'、周長為C'斜高為h'，則正竹棱臺的側(cè)面積公式為____ ．如果圓臺的上下底面半徑分為r'，r，周長為C，C，側(cè)面母線長為l，那么圓臺的側(cè)面積是

（二）柱、錐、臺的體積公式

1.棱柱的底面面積為S，高為h，則體積為——’

底面半徑為r，高是h的圓柱體的體積計算公式是—一．

2.若一個棱錐的底面面積為S．高為h，那么它的體積公式為____．若圓錐的底面圓的半徑為r，高為h,則體積為____．

3.若臺體（棱臺、圓臺）上、下底面面積分別為S，S，高為h，則臺體的體積公式為一，若圓臺的上、下底面半徑分別為r，r，高為h．則圓臺的體積公式為

（三）球的表面積與體積公式設(shè)球的半徑為R．則球的表面積計算公式為-.即球面面積等于它的大圓面積的____．球的體積公 式為

三、平面的基本性質(zhì)與推論

（一）平面的定義平面是一個不加定義，只需理解的最基本的原始概 念．在生活中平靜的水面、鏡面、書桌面都給我們平面的印 象，立體幾何中的平面就是由此抽象出來的．平面是處處平直的面，它是向四面八方 一的．無大小、厚薄之 分，它是不可度量的．

（二）平面的基本性質(zhì)及推論 1．平面的基本性質(zhì) 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的 都在這個平面內(nèi)，這 時我們說：直線在平面內(nèi)或平面____直線．

2.平面的基本性質(zhì)2：經(jīng)過____的三點，有且只 有一個平面，即：____的三點確定一個平面．

3.推論1：經(jīng)過一條直線和____一點，有且只 有一個平面． 4.推論2：經(jīng)過兩條 直線有且只有一個平面． 5.推論3：經(jīng)過兩條 直線有且只有一個平面．

6．面面相交：如果兩個平面有一條公共直線，則稱之 為兩平面相交，這條公共直線也叫做兩個平面的交線．平面口與p相交，交線是Z，符號表示為 ．

7．平面的基本性質(zhì)3：如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們 一條經(jīng)過 一的公共直線．

（三）異面直線

1．_ ___的直線叫做異面直線．

2．異面直線的判定：與一平面相交于一點的直線與平面內(nèi)一 的直線是異面直線，用符號表示為：若ABn口-B，B垂z，Zc口，則直線AB與直線z是異面直線．

四、空間中的平行關(guān)系

（一）平面的基本性質(zhì)4與等角定理

1．平面的基本性質(zhì)4：平行子同一直線的兩條直線____．符號表示為：若直線矗∥6．c∥6，那么——．

2.等角定理：如果一個角的p邊與另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，并且一，那么這兩個角相等．

（二）空間四邊形順次連接____ 的四點A．B，C．D所梅成的圖形叫做空聞四邊形．其中，四個點A，B，C．D，每個點都Ⅱq它的____ ．所連接的相鄰頂點fa-的線段叫做它的____．連接不相鄰的頂點的線段叫做空間四邊形的____．

（三）直線與平面平行

1.直線a和平面口只有一個公共點A，叫做 直線與平面____．這個公共點A叫做直線與平面的交點．記作____．

2．直線a與平面a沒有公共點，叫做直線與平面平行．記作一 一．

3.判定定理：如果____的一條直線和——的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行． 4．性質(zhì)定理：如果一條直線與一個平面平行，____ 的平面和這個平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行．

（四）平面與平面平行

1．兩不重合平面有公共點就叫兩平面相交，記作口n盧2 Z．若兩個平面 一，則稱這兩個平面為平行平面，“平面口平行于平面p"可以記作“口∥∥．

2．平面與平面平行的判定定理；如果一個平面內(nèi)有兩條 一直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．3．推論：如果—個平面內(nèi)有兩條____直線分別平行于另—個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面平行．

4．性質(zhì)定理：如果兩個____平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．符號語言表示為：口//p，a(l y=a，pffy=b凈_，．。__．_一．

5．兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的 一直線平行于另一個平面． 五，空間中的垂直關(guān)系

（一）直線與平面垂直

1．如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角為 一，則稱這兩條直線互相垂直．

2．直線與平面垂直的定義：如果一條直線Z和一個平面口相交于點O，并且Z和這個平面內(nèi)過點0的直線都垂直，則該直線垂直于這個平面．這條直線叫做平面的——，這個平面叫做直線的____，交點叫做__-。_．。．-。-．．-．。_一．

3.點到平面的距離：垂線上任意一點到____間的線段，叫做這個點到這個平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到平面的距離．

4．判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直，則這條直線與這個平面垂直． 5．推論：如果在兩條__— 直線中，有一條直線垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面?！?/p>

6.性質(zhì)定理：如果兩條直線垂直予同一個平面，那么這兩條直線—__-7.如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的—一直線．

（二）平面與平面垂直

1*如果兩個相交平面的一與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條直線互相____．就稱這p個平面互相垂直．

2.如果-個平面過另一個平面的一，則這兩個平面互相垂直．

3．如果兩個平面互相垂直，那么在—一垂直予它們____

二、的直線垂直于另一個平面． 4.如果p個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的 一點垂直于第二AI平面的直線在——平面內(nèi)．

參考答案

一、（一）1．相同的距離 2．每相鄰兩個面 3.垂直正多邊形 4．有一個公共頂點

5．正多邊形底面中心全等底邊上的高 6．平行于底面

7．等腰梯形的高斜高側(cè)援

(=)1．矩形的一條邊 直焦三角形的一條直角邊垂直于底邊的腰圓面曲面

(=)1．所有點經(jīng)過

2．不在同一直線上不共線 3．直線外． ． 4．相交 5．平行 6．a(chǎn) 7．有且只有這個點 ’

（三）1．既不平行也不相交 2．不經(jīng)過該點

四、（一）1．互相平行a//c2．方向相同

（二）不共面頂點邊對角線

（三）1．相交ana=A 2.a//a3．不在一個平面內(nèi)平面內(nèi)4．經(jīng)過這條直線

（四）1．沒有公共點2．相交3．相交4．平行a//b 5．任意

五、（一）1-直角2．任何垂線垂面垂足3．垂足4．相交5．平行6．平行7．任意條

（二）1．交線垂直2．一條垂線3．_AI平面內(nèi)交線4．第一個

規(guī)律探究

1．在正棱錐中，要利用四個直角三角形（高、斜高及底 面邊心距組成一個直角三角形，高、側(cè)棱與底面外接圓的 半徑組成一個直角三角形，底面的邊心距、外接圓半徑及 底邊一半組成一個直角三角形，側(cè)棱、斜高與底邊一半組 成一個直角三角形）進行有關(guān)計算． 2.在正棱臺中，要充分利用三個直角梯形（高、斜高及上 下底面的邊心距組成一個直角梯形，側(cè)棱、斜高及上下底邊 的一半組成—個直角梯形，側(cè)梭、高及上下底面外接圓半徑組成—個直角梯形）、兩個直角三角形（上下底面的邊心距，外接圓半徑和邊的一半）進行有關(guān)計算．

3．解與直觀圖有關(guān)的問題時，應(yīng)熟練掌握斜二測畫法的規(guī)則，關(guān)鍵是確定宣觀圖的頂點或其他關(guān)鍵點．因此，盡量把頂點或其他關(guān)鍵點放在軸上或與軸平行的直線上．

4．學(xué)習(xí)三視圖應(yīng)會選取投射面，正確放置三視圖中三個圖的位置，掌握三視圖之間的聯(lián)系和規(guī)律：正俯長對正，正側(cè)高平齊，俯側(cè)寬相同．

5．棱柱、棱錐、棱臺等多面體的表面積可以分別求各面面積，再求和．對于直棱柱、正棱錐、正棱臺也可直接利用公式，6．圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面積就是其側(cè)面展開圖的面積，要熟記公式．

7．有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的問題或球與多面體的切、接問題，特別要注意應(yīng)用軸截面． 8．有關(guān)體積的問題，要注意“等積變換”“分割求和” “拼補求差”等解題思路．

9．結(jié)合模型，在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握柱、錐、臺的表面積公式和體積公式．

10.球的體積公式和表面積公式是用無限分割的極限思想推導(dǎo)出來的．主要是記憶、掌握公式．

11.求柱、錐、臺體的表面積就是求它們的側(cè)面積和底面積之和，對于圓柱、圓錐、圓臺，已知上、下底面半徑和母線長可以用表面積公式直接求出；對于棱柱、棱錐、棱臺沒有一般計算公式，可以直接根據(jù)條件求各個面的面積．

12.求柱、錐、臺體的體積時，根據(jù)體積公式，需要具備已知底面積和高兩個重要條件，底面積一般可由底 面邊長或半徑求出，但當(dāng)高不知道時，求高比較困難，一般要轉(zhuǎn)化勾平面幾何知識求出高．

13．證明直線共面可通過先證明其中的兩條直線確定一個平面，再證明其余的直線都在這個平面內(nèi)；也可以利用共面向量定理來證明．證明空間幾點共面，可先取不共線的三點確定—個平面，再證明其他的點都在這個平面內(nèi)’ 14.理解“有且只有一個”的含義，它強調(diào)存在性和唯一性兩個方面，也稱為“確定”平面． 15．求證三點及三點以上的點共線，主要是依據(jù)平面的基本性質(zhì)3，只要證明這些點都是兩個平面的公共點' 那么它們都在這兩個平面的交線上；求證三條直線或三條以上的直線共點的一般方法是：首先證明其中兩條直線交于一點，再證明其余各直線都經(jīng)過這點-16．平面的基本性質(zhì)2及其推論是空間中確定平面的依據(jù)，也是證明兩個平面重合的依據(jù)，還為立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題提供了理論依據(jù)和具體辦法．

17．直線和平面平行時，注意把直線和平面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線和直線的位置關(guān)系，直線 6

和平面平行的性質(zhì)定理在應(yīng)用時，要特別注意“一條直線平行于一個平面，就平行于這個平面的一切直線”的錯誤結(jié)論．

18.以求角為背景考查兩個平行平面間的性質(zhì)，也可以是已知角利用轉(zhuǎn)化和降維的思想方法求鏘其他幾何參量．19.線面平行和面面平行的判定和性質(zhì) 20．轉(zhuǎn)化思想方法：直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的實質(zhì)就是線線平行與線面平行的轉(zhuǎn)化．

21.要能夠靈活地作出輔助線或輔助平面來解題．對 此需強調(diào)兩點；第一，輔助線、輔助面不能隨意作，要有理 論根據(jù)；第二，輔助線或輔助面有什么性質(zhì)，一定要以某一 性質(zhì)定理為依據(jù)，決不能憑主觀臆斷，否則謬誤難免．

22.直線與平面垂直，只需這條直線垂直于這個平面 內(nèi)的兩條相交直線，至于這兩條相交直線是否和已知直線 有公共點，這無關(guān)緊要．

23.三垂線定理及其逆定理是立體幾何中的重要定 理，復(fù)習(xí)運用時要注意：

①弄清定理中所指明的三種垂線，②定理中的直線a-定在某直線的射影所在的平面a內(nèi)，因此要熟練地掌握直線n在不同位置時的情況．

24.在證明兩平面垂直時，一般先從現(xiàn)有直線的平面 中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中沒有明確給出，則 可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)，并 有利于證明，不能隨意添加，如有平面垂直時，一般要用性 質(zhì)定理，在一個面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直． 25．線面垂直的判定和性質(zhì)：①依定義，所成角為90。，②判定定理；③性質(zhì)定理；④其他結(jié)論，如，如果兩條平行 線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面．

26.應(yīng)用三垂線定理的難點主要是對非水平放置的圖 形的辨認(rèn)，在解證中可按照“一定平面，二定垂線，三找斜 線，射影可見，直線隨便”的原則去認(rèn)定圖形．其關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，即把已知的線線垂直轉(zhuǎn)化為所需的線線垂直’也就是斜線和它在平面內(nèi)的射影的轉(zhuǎn)化，因此，尋找斜線、射影非常重要．

實際應(yīng)用

3．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AClBD，垂足為H，PH是四棱錐的高．(I)證明．平面PAC_1_平面PBD：，(Ⅱ)若AB-廂，/APB一/ADB= 60。，求四棱錐 P-ABCD的體積．

參考答案 1．【答案lD【命題立意】本題考查幾何體的直觀圖和三視圖的有關(guān)知識，考查學(xué)生的空間想象能力．【解題思路】由已知條件和直觀圖（斜二測）可知D正確． 2．【答案】D【命題立意】本題考查空間想象能力及平行與垂直關(guān)系的推理與論證．【解題思路】A錯，平行直線的平行投影仍可平行；B錯'平行于同～直線的兩平面可平行或相交；c錯，垂直于同一平面的兩平面可平行或相交；D正確，空間想象易知垂直于同一平面的兩直線平行，

第四篇：【三輪押題沖刺】2013高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識最后一輪拿分測驗 空間中的平行關(guān)系(word版,含答案)[小編推薦]

空間中的平行關(guān)系

【考點導(dǎo)讀】

1．掌握直線和平面平行、兩個平面平行的判定定理和性質(zhì)定理。

2．明確定義與定理的不同，定義是可逆的，既是判定也是性質(zhì)，而判定定理與性質(zhì)定理多是不可逆的。

3．要能靈活的對“線線平行”、“線面平行”和“面面平行”進行轉(zhuǎn)化。

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1．若a、b為異面直線，直線c∥a，則c與b的位置關(guān)系是異面或相交

2．給出下列四個命題:

①垂直于同一直線的兩條直線互相平行.②垂直于同一平面的兩個平面互相平行.③若直線

④若直線l1,l2l1,l2。與同一平面所成的角相等,則是異面直線,則與l1,l2l1,l2互相平行.都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個數(shù)是4個。

3．對于任意的直線l與平面a,在平面a內(nèi)必有直線m,使m與l垂直。

4.m和n是分別在兩個互相垂直的面α、β內(nèi)的兩條直線，α與β交于l，m和n與l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置關(guān)系是既不可能垂直，也不可能平行。5.已知a、b、c是三條不重合的直線，α、β、r是三個不重合的平面，下面六個命題： ①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥r，b∥r?a∥b；③α∥c，β∥c?α∥β；

④α∥r，β∥r?α∥β；⑤a∥c，α∥c?a∥α；⑥a∥r，α∥r?a∥α．

其中正確的命題是①④。

【范例導(dǎo)析】

空間四邊形ABCD中，P、Q、R分別AB、AD、CD 的中點，平面PQR交BC于S ,求證：四邊形PQRS為平行四邊形。

證明：∵PQ為AB、AD中點∴PQ//BD

又PQ?平面BCD，BD?平面BCD∴PQ//平面BCD

又平面PQR∩平面BCD＝RS , PQ?平面RQR∴PQ//RS

∵R為DC中點,∴ S為BC中點,∴PQ// RS 且PQ= RS ∴ PQRS 為平行四邊形

點評：靈活運用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理,“線線平行”與“線面平行”的轉(zhuǎn)化是證平行關(guān)系的常用方法。

變式題：如圖，在四面體ABCD中，截面EFGH是平行四邊形．

求證：AB∥平面EFG．

證明 ：∵面EFGH是截面．

∴點E，F(xiàn)，G，H分別在BC，BD，DA，AC上．

∴

EH 面ABC，GF 面ABD，由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD． 又 ∵

EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB

∴EH∥AB．

∴AB∥面EFG．

例2． 如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，并且CM=DN.求證:MN∥平面AA1B1B.A

1C1

分析：“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”是可以

互相轉(zhuǎn)化的。本題可以采用任何一種轉(zhuǎn)化方式。

簡證：法1：把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“線線平行”。

即在平面ABB1A1內(nèi)找一條直線與MN平行，如圖所示作平行線即可。法2：把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“線線平行”。連CN并延長交直線BA于點P，連B1P，就是所找直線，然后再設(shè)法證明MN∥B1P.法3：把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“面面平行”。

過M作MQ//BB1交BC于B1，連NQ,則平面MNQ與平面ABB1A1平行，從而證得MN∥平面ABB1A1.點評：證明線面或面面平行的時候一定要注意相互的轉(zhuǎn)化，非常靈活。例3．已知：a、b是異面直線，a?平面?，b?平面?，a∥?，b∥?． 求證： ?∥?． 證法1：在a上任取點P，顯然點P不在直線b上．于是b和點P確定平面??． 且?與?有公共點P∴ ?∩?＝b′且b′和a交于P，∵ b∥?，∴ b∥b′∴ b′∥?, 而a∥?? 這樣?內(nèi)相交直線a和b′都平行于?? ∴ ?∥?．

證法2：設(shè)AB是a、b的公垂線段，過AB和b作平面?，則?∩?＝b′，過AB和a作平面?，則?∩?＝a′． a∥??a∥a′b∥??b∥b′ ∴AB⊥a?AB⊥a′，AB⊥b?AB⊥b′ 于是AB⊥???且AB⊥??，∴ ?∥?．

【反饋演練】

1.對于平面M與平面N, 有下列條件: ①M、N都垂直于平面Q;②M、N都平行于平面Q;③ M內(nèi)不共線的三點到N的距離相等;④ l, M內(nèi)的兩條直線, 且l // M, m // N;⑤ l, m是異面直線,且l // M, m // M;l // N, m // N, 則可判定平面M與平面N平行的條件的個數(shù)是：2個。2．對于平面?和共面的直線m、n,下列命題中真命題是（3）。（1）若m??,m?n,則n∥?（2）若m∥?,n∥?,則m∥n

（3）若m??,n∥?,則m∥n（4）若m、n與?所成的角相等，則m∥n

b′

3.設(shè)a、b是兩條異面直線，那么下列四個命題中的假命題是（2）。（1）經(jīng)過直線a有且只有一個平面平行于直線b（2）經(jīng)過直線a有且只有一個平面垂直于直線b

（3）存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個互相平行的平面（4）存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個互相垂直的平面

4．關(guān)于直線a、b、l及平面M、N，下列命題中正確的是（4）。

（1）若a∥M，b∥M，則a∥b（2）若a∥M，b⊥a，則b⊥M（3）若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，則l⊥M（4）若a⊥M，a∥N，則M⊥N 5．“任意的a??，均有a//?”是“任意b??，均有b//?”的充要條件。6.在正方體AC1中，過A1C且平行于AB的截面是面A1B1CD.7．在長方體ABCD—A1B1C1D1中，經(jīng)過其對角線BD1的平面分別與棱AA1,CC1相交于E,F兩點，則四邊形EBFD!的形狀為平行四邊形。

8．正方體ABCD_A1B1C1D1的棱長為2，點M是BC的中點，點P是平面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足PM=2，P到直線A1D

1，則點P的軌跡為雙曲線。9．已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的正視圖

8000

cm

側(cè)視圖

俯視圖

體積是。

10.已知Ｐ為平行四邊形ＡＢＣＤ所在平面外一點，Ｍ為ＰＢ的中點，求證：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．

證明連ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，連ＭＯ，則ＭＯ為△ＰＢＤ的中位線，∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ?平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．

11．如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點（1）求證：MN//平面PAD；（2）若MN?BC?

4，PA? 求異面直線PA與MN所成的角的大小

略證：（1）取PD的中點H，連接AH，?NH//DC,NH?

2DC

為平行四邊形

?NH//AM,NH?AM?AMNH

?MN//AH,MN?PAD,AH?PAD?MN//PAD

(2): 連接AC并取其中點為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以?ONM就是異面直線PA與MN所成的角，由MN?BC?

4，PA?OM=2，ON=2

3所以?ONM?30，即異面直線PA與MN成30的角

12．兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE。

證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，則MP∥AB，NQ∥AB。

∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ，故四邊形MPQN為平行四邊形 ∴MN∥PQ

∵PQ?平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE。

證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC，AM

?AHAB

FN

AHAB

00

P

∴AC

連結(jié)NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得BF

?

∴ NH//AF//BE

由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ∴MN∥平面BCE。