第一篇：弦切角、切割線、相交弦三條圓這一章已刪定理的證明

肯特教育歡迎各位朋友批評指正，王老師1820366037

3弦切角、切割線、相交弦

三條圓這一章已刪定理的證明

一、弦切角定理

1、弦切角的定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖（1）所示，AB為圓的一條弦，BC為圓的切線，∠ABC即為圓的的弦切角。

圖（1）

BC2、弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角，等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半。證明如下：

A

圖（2）

如圖（2）所示，已知AB為⊙O的直徑，BD為過圓上B點的切線，求證：（1）∠CBD=∠CAB,∠CBD=∠CEB（2）∠CBD=∠COB 21證明：（1）∵AB為⊙O的直徑，BD為過B點的切線∴AB⊥BD

∴∠ABD=90o

肯特教育歡迎各位朋友批評指正，王老師***∴∠ABC＋∠CBD=90°

∵AB為⊙O直徑

∴∠ACB=90°

則∠ABC＋∠CAB=90°

∴∠CBD=∠CAB

∵∠CAB和∠CEB同弧所對的圓周角∴∠CAB=∠CEB

則∠CBD=∠CEB

（2）∵∠CAB和∠COB是同弧所對的圓周角和圓心角∴ ∠CAB=∠COB

21又∵∠CBD=∠CAB

∴∠CAB=∠COB 21

二、切割線定理及推論

1、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。證明如下：

圖（3）

如圖（3）所示，直線PA與圓相切于A點，直線PC與圓相交于B、C兩點，求證：PA2=PB·PC

證明：連結(jié)BA、CA

∵PA為圓的切線∴∠PAB=∠PCA（弦切角定理）

∵∠PAB=∠PCA，∠BPA=∠APC（公共角）∴△PAB∽△PCA

∴PA

PC = PB

PA

∴ PA2=PB·PC

第二篇：郭氏數(shù)學(xué) 圓的切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理

郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料

切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理

以及與圓有關(guān)的比例線段

1.切線長概念

切線長是在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長度，“切線長”是切線上一條線段的長，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長度。2.切線長定理

對于切線長定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個切點的連線為直徑；（3）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，連結(jié)兩個切點可得到一個等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點的兩個半徑的夾角互補；（5）圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引的兩條切線所夾的角。

3.弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。

直線AB切⊙O于P，PC、PD為弦，圖中幾個弦切角呢？（四個）4.弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。

5.弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。

6.遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長定理。7.與圓有關(guān)的比例線段 定理 圖形 已知

結(jié)論 證法 相交弦定⊙O中，AB、CD為弦，交PA·PB＝PC·PD.連結(jié)AC、BD，理

于P.△APC∽△DPB.相交弦定⊙O中，AB為直徑，CD⊥ABPC2＝PA·PB.用相交弦定理.理的推論

于P.證：郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料

切割線定理

⊙O中，PT切⊙O于T，PT2＝PA·PB 割線PB交⊙O于A

連結(jié)TA、TB，證：△PTB∽△PAT

切割線定理推論

PB、PD為⊙O的兩條割線，PA·PB＝PC·PD 交⊙O于A、C

過P作PT切⊙O于T，用兩次切割線定理

圓冪定理

⊙O中，割線PB交⊙O于P'C·P'D＝r2－延長P'O交⊙O于M，延A，CD為弦 OP'2 長OP'交⊙O于N，用相交

PA·PB＝OP2－r2 弦定理證；過P作切線用

r為⊙O的半徑

切割線定理勾股定理證

8.圓冪定理：過一定點P向⊙O作任一直線，交⊙O于兩點，則自定點P到兩交點的兩條線段之積為常數(shù)|圓冪定理。

【典型例題】

例1.如圖1，正方形ABCD的邊長為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過A作半圓切線，切點為F，交CD于E，求DE：AE的值。|（R為圓半徑），因為

叫做點對于⊙O的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱為

圖1 解：由切線長定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 設(shè)CE為x，在Rt△ADE中，由勾股定理

∴，郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料

例2.⊙O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

圖2 解：由相交弦定理，得

AE·BE＝CE·DE

∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，∴，即

∴CE＝3cm或CE＝4cm。

故應(yīng)填3或4。

點撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。

例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則 解：∵∠P＝∠P

∠PAC＝∠B，∴△PAC∽△PBA，∴，________。

∴。

又∵PA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得

∴，即，故應(yīng)填PC。

點撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。

例4.如圖3，P是⊙O外一點，PC切⊙O于點C，PAB是⊙O的割線，交⊙O于A、B兩點，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是___________cm。郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料

圖3 解：∵PC是⊙O的切線，PAB是⊙O的割線，且PA：PB＝1：4 ∴PB＝4PA 又∵PC＝12cm 由切割線定理，得 ∴ ∴，∴

∴PB＝4×6＝24（cm）

∴AB＝24－6＝18（cm）

設(shè)圓心O到AB距離為d cm，由勾股定理，得

故應(yīng)填。

例5.如圖4，AB為⊙O的直徑，過B點作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點E，AE的延長線交BC于點D，（1）求證：

；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的長。

圖4 點悟：要證 證明：（1）連結(jié)BE，即要證△CED∽△CBE。

（2）。

又∵，∴厘米。

點撥：有切線，并需尋找角的關(guān)系時常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料

例6.如圖5，AB為⊙O的直徑，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延長線于E。

圖5 求證：

證明：連結(jié)BD，∵AE切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ABD

∵AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD

∵AB為⊙O的直徑

∴∠ADB＝90°

∴∠E＝∠ADB＝90°

∴△ADE∽△BAD

∴

∴

∵CD∥AB

∴AD＝BC，∴

例7.如圖6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB為割線。求證：AD·BC＝CD·AB

圖6 點悟：由結(jié)論AD·BC＝CD·AB得，顯然要證△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC 證明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAD＝∠PBA

又∠APD＝∠BPA，∴△PAD∽△PBA

∴

同理可證△PCD∽△PBC

∴

∵PA、PC分別切⊙O于A、C ∴PA＝PC ∴

郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料

∴AD·BC＝DC·AB

例8.如圖7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB邊為直徑作⊙O，交斜邊BC于點D，過D點作⊙O的切線交AC于E。

圖7 求證：BC＝2OE。

點悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證OE是△ABC的中位線。而OA＝OB，只須證AE＝CE。

證明：連結(jié)OD。

∵AC⊥AB，AB為直徑

∴AC為⊙O的切線，又DE切⊙O于D ∴EA＝ED，OD⊥DE

∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB

在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B ∵∠ODE＝90°

∴ ∴∠C＝∠EDC

∴ED＝EC ∴AE＝EC ∴OE是△ABC的中位線

∴BC＝2OE

一、選擇題

1.已知：PA、PB切⊙O于點A、B，連結(jié)AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，則PA＝（）A.B.C.5 D.8 2.下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（）

A.平行四邊形 B.矩形

C.菱形 D.梯形

3.已知：如圖1直線MN與⊙O相切于C，AB為直徑，∠CAB＝40°，則∠MCA的度數(shù)（）

圖1 A.50° B.40° C.60° D.55° 4.圓內(nèi)兩弦相交，一弦長8cm且被交點平分，另一弦被交點分為1：4，則另一弦長為（）A.8cm B.10cm C.12cm D.16cm 5.在△ABC中，D是BC邊上的點，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延長線與△ABC的外接圓的交點，那么DE長等于（）A.B.C.D.6.PT切⊙O于T，CT為直徑，D為OC上一點，直線PD交⊙O于B和A，B在線段PD上，若CD 郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料

＝2，AD＝3，BD＝4，則PB等于（）

A.20 B.10 C.5 D.二、填空題

7.AB、CD是⊙O切線，AB∥CD，EF是⊙O的切線，它和AB、CD分別交于E、F，則∠EOF＝_____________度。

8.已知：⊙O和不在⊙O上的一點P，過P的直線交⊙O于A、B兩點，若PA·PB＝24，OP＝5，則⊙O的半徑長為_____________。

9.若PA為⊙O的切線，A為切點，PBC割線交⊙O于B、C，若BC＝20，則PC的長為_____________。

10.正△ABC內(nèi)接于⊙O，M、N分別為AB、AC中點，延長MN交⊙O于點D，連結(jié)BD交AC于P，則_____________。

三、解答題

11.如圖2，△ABC中，AC＝2cm，周長為8cm，F(xiàn)、K、N是△ABC與內(nèi)切圓的切點，DE切⊙O于點M，且DE∥AC，求DE的長。

圖2

12.如圖3，已知P為⊙O的直徑AB延長線上一點，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求證：CB平分∠DCP。

圖3

13.如圖4，已知AD為⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，過B的割線BMN交AD的延長線于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半徑。

圖4