第一篇：《數(shù)學(xué)歸納法》練習(xí)題

《數(shù)學(xué)歸納法》練習(xí)題

一、選擇題：

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n?1)(n?2)...(n?n)?2n?1?3?...(2n?1)”從k到k?1左端需增乘的代數(shù)

（）式為

A．2k?1B．2(2k?1)C．2k?12k?3D． k?1k?

12.凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n?1邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(n?1)為（）

A．f(n)?n?1B．f(n)?nC．f(n)?n?1D．f(n)?n?

23.如果命題p(n)對(duì)n?k成立，那么它對(duì)n?k?2也成立，又若p(n)對(duì)n?2成立，則下列結(jié)論正確的是（）

A．p(n)對(duì)所有自然數(shù)n成立B．p(n)對(duì)所有正偶數(shù)n成立

C．p(n)對(duì)所有正奇數(shù)n成立D．p(n)對(duì)所有大于1的自然數(shù)n成立

4.已知f(n)?111????(n?N?)，則f(k?1)?（）n?1n?23n?1

11B．f(k)? 3k?23(k?1)?1

111111????D．f(k)?3k?23k?33k?4k?13k?4k?1 －A．f(k)?C．f(k)?5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋?＋n×3n1＝3n(na－b)＋c對(duì)一切n∈N*都成立，則a、b、c的值

為()

1111A．a(chǎn)＝，b＝c＝B．a(chǎn)＝b＝c＝C．a(chǎn)＝0，b＝c＝D．不存在這樣的a、b、c 244

46.用數(shù)學(xué)歸納法說明：1+111??????n?n(n?1)，在第二步證明從n=k到n=k+1成立時(shí)，左邊232?

1增加的項(xiàng)數(shù)是()

kkk-1kA.2B.2-1個(gè)C.2個(gè)D.2+1個(gè)

4(k?1)?1?52(k?1)?1可變形為7.用數(shù)學(xué)歸納法證明34n?1?52n?1(n?N)能被8整除時(shí)，當(dāng)n?k?1時(shí)，（）

3Ａ．56·34k?1?25(34k?1?52k?1)·34k?1?52·52k Ｃ．34k?1?52k?1Ｄ．25(34k?1?52k?1)Ｂ．34

18．在數(shù)列{an}中，a1Sn＝n(2n－1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式()3

A.1111B.C.D.(n－1)(n＋1)2n(2n＋1)(2n－1)(2n＋1)(2n＋1)(2n＋2)

二、填空題：

9．猜想1＝1,1－4＝－(1＋2),1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n個(gè)式子為_____________________ 10.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1?111127????n?1?成立，起始值至少應(yīng)取為． 2426

411.樓梯共有n級(jí)，每步只能跨上1級(jí)或2級(jí)，走完該n級(jí)樓梯共有f(n)種不同的走法，則f(n)、f(n-1)、f(n-2)的關(guān)系為____________

三、解答題：

12.用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n?1)?(n?2)???(n?n)?n(3n?1)(n?N?)．

213用數(shù)學(xué)歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.14.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1??n?N?)．

15．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1,2,3，?.(1)求a1，a2；(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格的證明．

12.證明：（1）當(dāng)n?1時(shí)，左邊?2，右邊?1?(3?1)?2?左邊，等式成立． 2

k(3k?1)． 2（2）假設(shè)n?k時(shí)等式成立，即(k?1)?(k?2)???(k?k)?

則當(dāng)n?k?1時(shí)，左邊?(k?2)?(k?3)???(k?k)?(k?k?1)?(k?k?2)?[(k?1)?(k?2)???(k?k)]?3k?2?k(3k?1)?3k?2

33k2?7k?4(k?1)(3k?4)?? 22

(k?1)[3(k?1)?1]，2

?n?k?1時(shí)，等式成立． ?

由（1）和（2）知對(duì)任意n?N，等式成立．

13.證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，4+3=91能被13整除

2k+1k+2(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，4+3能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，2(k+1)+1k+32k+12k+22k+12k+14+3=4·4+3·3－4·3+4·3

2k+12k+1k+2=4·13+3·(4+3)

2k+12k+1k+2∵4·13能被13整除，4+3能被13整除

∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.*2n+1n+2由①②知，當(dāng)n∈N時(shí)，4+3能被13整除.14.證明：（1）當(dāng)n?1時(shí)，左邊?1，右邊?2，1?2，所以不等式成立．

（2）假設(shè)n?

k時(shí)不等式成立，即1?2×1+11+2????? 則當(dāng)a?k?

1時(shí)，1?

??? 即當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式也成立．

由（1）、（2）可知，對(duì)于任意n?N時(shí)，不等式成立．

15.解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，12于是(a1－1)－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1

212當(dāng)n＝2時(shí)，x－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，22?

121于是(a2－)－a2(a2－a2＝0，22

1解得a2＝.6

(2)由題設(shè)(Sn－1)－an(Sn－1)－an＝0，2

S2

n－2Sn＋1－anSn＝0.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.①

1112由(1)得S1＝a1，S2＝a1＋a2＋＝226

33n由①可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3，?.4n＋

1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．(i)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立．(ii)假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立． 綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝

1k＋1，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得Sk＋1＝Sk＋1＝，故nk＋12－Skk＋2knn＋1對(duì)所有正整數(shù)n都成立．

第二篇：1年級(jí)奧數(shù)練習(xí)題

例題6小丁丁今年6歲，爺爺說：“你長到10歲的時(shí)候，爺爺正好是70歲，”問爺爺今 年幾歲？

解答：根據(jù)爺爺?shù)脑?，爺爺比小丁丁?0-10=60歲，那么今年?duì)敔斠彩潜刃《《〈?0歲，小丁丁今年6歲，所以爺爺今年就是6+60=66歲。

例題7 媽媽買來了40個(gè)草莓，亮亮第一天吃了一些，第二天又吃了一些，這是還剩下1 2個(gè)草莓，亮亮兩天一共吃了多少個(gè)草莓？

解答：40-12=28（個(gè)）亮亮兩天一共吃了28個(gè)草莓。用草莓的總數(shù)減去剩下草莓的個(gè)數(shù)，就等于兩天一共吃掉草莓的個(gè)數(shù)。例題

8早上上學(xué)，小萍走進(jìn)教室，看見教室里已經(jīng)來了8名同學(xué)，過了一會(huì)兒，又來 了5名同學(xué)，現(xiàn)在教室里一共有幾名同學(xué)呢？

解答：8+5+1=14（人）粗心的同學(xué)一看題目就回答教室里現(xiàn)在的同學(xué)是8+5=13名，但仔細(xì)想想題目中說“小萍走進(jìn)教室，看見教室里已經(jīng)來了8名同學(xué)”，并沒有數(shù)自己。所以還要算上小萍自己才是現(xiàn)在教室里一共的同學(xué)人數(shù)。例題91，2，5，6，9，（），（），14 解答：通過觀察我們發(fā)現(xiàn)：1+1=2，2+3=5，5+1=6，6+3=9……后一個(gè)數(shù)在前一個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上分別+1，+3，+1，+3，+1，+3……所以后面的數(shù)應(yīng)該是9+1=10，10+3=13，空白處應(yīng)該填10，13。例題

10小芳用了5元錢后現(xiàn)在有6元錢，小芳原來有多少元？ 解答： 5+6=11（元）

因?yàn)樵瓉碛械腻X數(shù)-用了的錢數(shù)=剩下的錢數(shù)，所以用了的錢數(shù)+剩下的錢數(shù)=原來有的錢數(shù)

【小結(jié)】在解還原問題的題目時(shí)一般采用倒推法，這種解題方法一般是從結(jié)果出發(fā)，利用已知條件一步一步倒著分析，推理直到得出答案

例題11 姐姐今年8歲，爸爸今年32歲，四年后爸爸比姐姐大多少歲？ 解答：32-8=24（歲）

因?yàn)榘职趾徒憬愕哪挲g差不變，所以四年后的年齡差等于今年的年齡差。

【小結(jié)】 解這類題的關(guān)鍵是理解兩人的年齡差是固定不變的，即兩人的年齡是同時(shí)增長的。例題12計(jì)算：21+22+23+24+25+26+27+28+29的和等于多少？ 解答：21+22+23+24+25+26+27+28+29 =21+29+22+28+23+27+24+26+25 =50+50+50+50+25 =225 【小結(jié)】 對(duì)于這類題目要注意觀察數(shù)字的規(guī)律和符號(hào)的規(guī)律

例題13 小明在操場上排隊(duì)做操，老師數(shù)了數(shù)人數(shù)發(fā)現(xiàn)在小明的前面有6人，后面有8 人，問這隊(duì)共有多少人？

由圖可知：總?cè)藬?shù)是 6+8+1=15 【小結(jié)】 對(duì)于這類題目可以用以下公式：總?cè)藬?shù)=排在前面的人數(shù)+排在后面的人數(shù)+1 例題15 今天老師帶著一年級(jí)的小朋友到路邊植樹。小朋友們每隔1米種一棵樹（馬路 兩頭都種了樹），最后發(fā)現(xiàn)一共種了11棵，請(qǐng)問這條馬路有多少米？ 解答：畫示意圖如下：

由圖可見，這段馬路的11棵樹之間有10個(gè)“空”，也就是10個(gè)間隔。每個(gè)間隔長1米，10個(gè)間隔長10米。也就是說這段馬路長10米。像這類問題一般叫做“植樹問題?！? 【小結(jié)】植樹問題通用公式：距離=間隔×段數(shù)

需要注意的是植樹的方式，不同方式之間的主要區(qū)別在于棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系。

不封閉體系，兩端種樹：棵數(shù)=段數(shù)+1 一端種樹：棵數(shù)=段數(shù)

兩端都不種：棵數(shù)=段數(shù)-1 封閉體系： 棵數(shù)=段數(shù) 例題 16 把1，2，3，5，7，8填入下面的圈圈中，使得每個(gè)三角形上的三個(gè)數(shù)相加的 和相等，要怎么填呢？

解答：圈圈中填的是1~9，1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，所以旁邊三個(gè)三角形每個(gè)三角形上的和是15，中間的三角形和也是15，中間剩下的那個(gè)填5，其余的慢慢填就好了。同學(xué)們也可以通過嘗試來得到結(jié)果的。

圖中1和9，3和8，2和7的位置可以互換。

例題17糖果

判斷：小易的糖果比薇薇多，薇薇的糖果比欣欣少，那么下面哪個(gè)說法是對(duì)的？

（1）小易的糖果比欣欣多

（2）小易的糖果比欣欣少

解答：根據(jù)題目我們無法知道小易和欣欣誰的糖果多，所以兩個(gè)判斷都是錯(cuò)的。例題18計(jì)算

算一算，下面的式子答案是多少？ 1、11+12+14+18+26+29=

2、（3+5+7+9+11）-（2+4+6+8+10）= 例題19 有一根木頭，每1米鋸一下，每鋸一下需要1分鐘，總共6分鐘鋸?fù)?，那么這 根木頭有多長呢？（假設(shè)木頭的長度為整數(shù)）

解答：每鋸一下需要1分鐘，共鋸了6分鐘，所以鋸了6下。鋸6下共有7 段（這個(gè)同學(xué)們可以通過實(shí)物模擬，了解為什么是7段），每段1米，所以長7米。例題20硬幣

有7枚硬幣，分給2個(gè)人，要求每個(gè)人得到的硬幣數(shù)都是奇數(shù)，能做到么？如果分給3個(gè)人，要求每個(gè)人得到的硬幣數(shù)都是奇數(shù)，能做到么？

解答：7是一個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)奇數(shù)相加一定是一個(gè)偶數(shù)，所以把7個(gè)硬幣分給兩個(gè)人，每個(gè)人所得硬幣數(shù)都是奇數(shù)是不可能的。分給3個(gè)人的話，可以；7可以拆成一個(gè)奇數(shù)加上一個(gè)偶數(shù)，而這個(gè)偶數(shù)可以拆成兩個(gè)奇數(shù)相加，所以三個(gè)奇數(shù)相加可以為7；比如1，1，5或1，3，3。

第三篇：四年級(jí)奧數(shù)練習(xí)題

四年級(jí)練習(xí)題

班級(jí)：姓名：.今有雞、兔同籠，上有三十五頭，下有九十四腳，雞、兔各幾只？

2.冬冬的存錢罐里有一些硬幣，他倒出來數(shù)了數(shù)，2角和5角硬幣共36枚，共計(jì)99角。問這兩種硬幣各多少枚？

3.同學(xué)們參加數(shù)學(xué)競賽，男生的平均分是60分，女生的平均分是70分，全體同學(xué)一共得了6300分，平均每人得了63分。參加數(shù)學(xué)競賽的有多少名男生？多少名女生？

4.鶴壁市數(shù)學(xué)競賽，共出15道題，每做對(duì)一道得8分，每做錯(cuò)一道扣4分。齊齊做了全題目共得72分，他做對(duì)幾道題？

5.新學(xué)期開學(xué)了，學(xué)校安排學(xué)生宿舍。如果每間5人，則有14人沒有床位；如果每間7人，則多6個(gè)床位。該校有宿舍多少間？共有多少名學(xué)生？

6.一棵石榴樹上結(jié)有石榴，石榴數(shù)目減去6，乘以6，除以6，結(jié)果等于6.請(qǐng)你算一算，這棵石榴樹上一共有多少個(gè)石榴？

7.實(shí)驗(yàn)小學(xué)進(jìn)行團(tuán)體體操表演，如果每行排8人，則多出17人，如果每行排10人，還多出5人，問排成多少行？有多少學(xué)生？

8.小朋友們分一堆蘋果。先把一半分給年齡較小的，然后再把其余的一半加3人分給年齡較大的，最后還剩下5個(gè)蘋果。問這堆蘋果原來有多少個(gè)？

9.小敏用8元錢正好買了面值為20分和100分的郵票共16張，則20分的郵票有多少張？100分的郵票有多少張？

10.在一場NBA籃球賽中，巨星姚明開場后不久連連得分。已知他投中10個(gè)球（沒有罰球），共得23分，問姚明投中多少個(gè)2分球？多少個(gè)3分球？

11.老師把練習(xí)本獎(jiǎng)給三好學(xué)生，每人9本少15本；每人7本則少7本。這批三好學(xué)生有多少人？有多少本練習(xí)本？

12.師徒二人輪流加工一批零件，師傅每小時(shí)加工60個(gè)，徒弟每小時(shí)加工40個(gè)，他們一共加工了260個(gè)零件，平均每小時(shí)加工52個(gè)，求師、徒各加工了幾小時(shí)？

第四篇：奧數(shù)等差數(shù)列練習(xí)題

等差數(shù)列

1.一個(gè)劇場設(shè)置了22排座位，第一排有36個(gè)座位，往后每排都比前一排多2個(gè)座位，這個(gè)劇場共有多少個(gè)座位？

2.自1開始，每隔兩個(gè)數(shù)寫一個(gè)數(shù)來，得到數(shù)列：1,4,7,10,13，….，求出這個(gè)數(shù)列前100項(xiàng)只和？

3.影劇院有座位若干排，第一排有25個(gè)座位，以后每排比前一排多3個(gè)座位。最后一排有94個(gè)座位。問這個(gè)影劇院共有多少個(gè)座位？

4.小張看一本故事書，第一天看了25頁，以后每天比前一天多看的頁數(shù)相同，第25天看了97頁剛好看完。問：這本書共有多少頁？

5.已知數(shù)列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，….，這個(gè)數(shù)列的第30項(xiàng)是哪個(gè)數(shù)字？到第25項(xiàng)止，這些數(shù)的和是多少？

植樹問題

1.在一段公路的一旁栽95棵樹，兩頭都栽，每兩棵樹之間相距5米，這段公路長多少米？

2.有三根木料，打算把每根鋸成3段，每鋸開一處，需要3分鐘，全部鋸?fù)晷瓒嗌贂r(shí)間？

3.一座樓房每上一層要走16個(gè)臺(tái)階，到小英家要走64個(gè)臺(tái)階。她家住在幾樓？

第五篇：猜數(shù)游戲練習(xí)題

猜數(shù)游戲練習(xí)題

（一）我們一起填一填。1.含有未知數(shù)的（）叫做方程。2.求方程的解的過程叫做（）。

3.使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫（）。

（二）判斷。（正確的在括號(hào)里面畫“√”，錯(cuò)的畫“×”）1.含有未知數(shù)的式子叫方程。（）2.3-2x這個(gè)式子是方程。（）3.31=27x這個(gè)式子是方程。（）4.x=7是方程2x-3=11的解。（）5.求方程的解的過程叫解方程。（）

（三）解方程，并檢驗(yàn)。

3x+8=38 3x-4=11 4x+6=26 8x÷8=1.5 2x-13=25 5x+7=42

（四）解決問題

1.小軍心里想了一個(gè)數(shù)，他用這個(gè)數(shù)乘3，再減去40，等于20，他心里想的數(shù)是多少？（用方程解答）

2.我心里想的一個(gè)數(shù)，它乘2，再加上10就等于100.你能利用我們學(xué)過的方程知識(shí)求出這個(gè)數(shù)是幾嗎？

3.學(xué)校環(huán)?；顒?dòng)小組中男生有28人，比女生人數(shù)的2倍多6人。環(huán)?；顒?dòng)小組中女生有多少人？

4.學(xué)校軍樂隊(duì)人數(shù)比數(shù)學(xué)興趣小組人數(shù)的2倍少2人，軍樂隊(duì)有56人，參加興趣小組的有多少人？

（五）擴(kuò)展提高

1.從甲地到乙地鐵路線全長1392千米，119次列車和118次列車分別從甲、乙兩地同時(shí)相對(duì)開出，6小時(shí)后，兩車到達(dá)同一地點(diǎn)，甲車行了711.3千米，乙車平均每小時(shí)行多少千米？

2.方程bx-2.3=0.2與9x+1.2=3的解相同，求b-0.8的值。3.兩數(shù)相除的商是5，余數(shù)是8，并且被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是99，求除數(shù)。