第一篇：南師附中2014屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)課課練01集合的概念與運(yùn)算(學(xué)生版)
§01集合的概念
姓名等級(jí)
一、填空題：
1．已知集合A={1,2,4}，B＝{2,4,6}，則A∪B＝
2．集合{1,2,3,4}共有
3．已知集合A?{?1,1,2,4},B?{?1,0,2}, 則A∩B＝
4．設(shè)集合A={－1,1,3}，B={a+2,a2＋4}，A∩B={3}，則實(shí)數(shù)a＝________．
5．如果集合A＝{x| ax2＋2x＋1＝0}只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的值為．
6．已知集合A??xlog2x?2?,B?(??,a)，若A?B則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(c,??)，其
中c=．,eUA5?，則m＝． 7．設(shè)U?2,3,m?2m?3,A??|m?1|,2?，?UA?＝{5}?2
??
8．已知A?x|x2?2x?3?0，B?x|x2?ax?b?0，若A∪B=R，A?B??3,4?，則ab
＝．
9．若A=?x?x?1??3x?7?，則A∩Z的元素的個(gè)數(shù)為．
2????
???x2?x?2?0??M?xx?Z,且10．己知集合??2?={－2}，則k的取值范圍為 ??2x?(5?2k)x?5k?0???
二、解答題：
11．已知全集I=R，A={x|x2－3x＋2≤0}，B={x|x2－2ax＋a≤0,a∈R}，且B?A，求a的取值
范圍．
12．設(shè)平面點(diǎn)集A??(x,y)(y?x)(y?)?0?,B?(x,y)(x?1)?(y?1)?1，求?
?1x???22?
AIB所表示的平面圖形的面積.13．已知全集I=R，A={x|x2－x－6＜0}，B={x|x2＋2x－8＞0}，C={x|x2－4ax＋3a2＜0}．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使A∩B?C；
(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使?IA∩?IB?C．
三、反思與小結(jié)：
第二篇：集合的概念與運(yùn)算 南師附中一輪復(fù)習(xí)題 吐血推薦
南師附中2014屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)課課練
姓名等級(jí)
一、填空題：
1．已知集合A={1,2,4}，B＝{2,4,6}，則A∪B＝{1，2，4，6}
2.集合{1,2,3,4}共有個(gè)子集.16
3．已知集合A?{?1,1,2,4},B?{?1,0,2}, 則A∩B＝－1,2}
4．設(shè)集合A={－1,1,3}，B={a+2,a2＋4}，A∩B={3}，則實(shí)數(shù)a=． 1.5．如果集合A＝{x| ax2＋2x＋1＝0}只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的值為．1或0
6．已知集合A??xlog2x?2?,B?(??,a)，若A?B則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(c,??)，其中§01集合的概念
c.4
2,eU5?，則m＝．－4或2 7．設(shè)U?2,3,m?2m?3,A??|m?1|,2?，?UAA?＝?{5} ??
8．已知A?x|x2?2x?3?0，B?x|x2?ax?b?0，若A∪B=R，A?B??3,4?，則ab
＝．12
9．若A=?x?x?1??3x?7?，則A∩Z的元素的個(gè)數(shù)為．6 2????
???x2?x?2?0??10．己知集合M??xx?Z,且?2?={－2}，則k的取值范圍為 ???2x?(5?2k)x?5k?0??
3≤k＜2
二、解答題：
11．已知全集I=R，A={x|x2－3x＋2≤0}，B={x|x2－2ax＋a≤0,a∈R}，且B?A，求a的取值范
圍.解：A??x|1?x?2?
①當(dāng)??4a2?4a?0，即0?a?1時(shí)，B??，滿足B?A；
②當(dāng)??4a2?4a?0，即a?0或a?1時(shí)，若a?0，則B??0?，不滿足B?A，故a?0應(yīng)舍去；
若a?1，則B??1?，滿足B?A，故a?1滿足條件；
③當(dāng)??4a2?4a?0，即a?0或a?1時(shí)，f?x??x2?2ax?a的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∵B?A，∴方程x2?2ax?a?0的兩根位于1，2之間，???4a2?4a?0,??1?a?2,∴?，解集為空集。綜上可知，a的取值范圍為0?a?1。f1?0,????f?2??0,?
12．設(shè)平面點(diǎn)集A??(x,y)(y?x)(y?)?0?,B?(x,y)(x?1)2?(y?1)2?1，求AIB?
?1x????
所表示的平面圖形的面積.答案：? 2
13．已知全集I=R，A={x|x2－x－6＜0}，B={x|x2＋2x－8＞0}，C={x|x2－4ax＋3a2＜0}.（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使A∩B?C；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使?IA∩?IB?C。
解答：(1)a??1,2?(2)a?(?2,?)4
第三篇：2014屆 高三數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)1.1 第1講 集合的概念與運(yùn)算
集合與常用邏輯用語(yǔ)
第1講 集合的概念與運(yùn)算
1.設(shè)集合A={-1,0,1},B={0,1,2},若x∈A,且x?B,則x等于()
A.-1 B.0 【答案】A C.1 D.2 【解析】由題意可知x=-1.2.若集合A={x|-2 ③G={平面向量},⊕為平面向量的加法;④G={二次三項(xiàng)式},⊕為多項(xiàng)式的加法.其中G關(guān)于運(yùn)算⊕為“融洽集”的是()A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 【答案】B 【解析】②錯(cuò),因?yàn)椴粷M足條件(2);④錯(cuò),因?yàn)椴粷M足條件(1).故選B.8.已知集合A={3，2,a},B={1,a2},若A∩B={2},則a的值為 .【答案】-【解析】因?yàn)锳∩B={2},所以a2=2,所以a=或a=-.當(dāng)a=時(shí),集合A中元素不符合互異性,故舍去,所以a=-.9.已知集合A={x∈R||x-1|<2},Z為整數(shù)集,則集合A∩Z中所有元素的和等于 .【答案】 3 【解析】∵|x-1|<2,即-2 12.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.(1)若B?A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)當(dāng)x∈Z時(shí),求A的非空真子集的個(gè)數(shù);(3)當(dāng)x∈R時(shí),若A∩B=?,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解】(1)①當(dāng)m+1>2m-1,即m<2時(shí),B=?,滿足B?A.②當(dāng)m+1≤2m-1,即m≥2時(shí),要使B?A成立, 需可得2≤m≤3.綜上,m的取值范圍是m≤3.(2)當(dāng)x∈Z時(shí),A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}，所以A的非空真子集個(gè)數(shù)為28-2=254.(3)因?yàn)閤∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又A∩B=?, 則①若B=?,即m+1>2m-1,得m<2,滿足條件.②若B≠?,則要滿足的條件是 解得m>4.綜上,m的取值范圍是m<2或m>4. 第一編 集合與常用邏輯用語(yǔ) §1.1集合的概念及其基本運(yùn)算 基礎(chǔ)自測(cè) 1.（20082山東，1）滿足M??a1,a2,a3,a4?,且M??a1,a2,a3???a1,a2?的集合M的個(gè)數(shù)是.答案 2 2.設(shè)集合A=?1,2?，則滿足A?B=?1,2,3?的集合B的個(gè)數(shù)是.答案 4 3.設(shè)全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a-5|},M?U, UM={5,7},則a的值為。 答案 2或8 4.(20082四川理，1)設(shè)集合U=?1,2,3,4,5?,A??1,2,3?,B??2,3,4?,則U（A?B）等于.答案 ?1,4,5? 5.（20092南通高三模擬）集合A=?x||x?2|?2,x?R?，B=y|y??x2,?1?x?2，R（A?B）=.答案（-∞,0）?(0, +∞) 更多成套系列資源請(qǐng)您訪問(wèn)：http://jsgk.taobao.com 謝謝您對(duì)我們的幫助支持！ ?? 例1 若a,b?R,集合?1,a?b,a???0，b?,求b-a的值.?a??b?解 由?1,a?b,a???0，b?可知a≠0，則只能a+b=0，則有以下對(duì)應(yīng)關(guān)系： ?a???a?b?0?①或?b?a?b??1?a?b??a?b?0??b??a?a??b?1②由①得??a??1?b?1,符合題意；②無(wú)解.所以b-a=2.例2 已知集合A=?x|0?ax?1?5?，集合B=?x|???1??x?2?.2?(1)若A?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，試說(shuō)明理由.解 A中不等式的解集應(yīng)分三種情況討論： ①若a=0，則A=R;②若a＜0，則A=??x|4?x??1??aa?;?③若a＞0，則A=??x|?1?x?4? ?aa?,?(1)當(dāng)a=0時(shí)，若A?B，此種情況不存在.當(dāng)a＜0時(shí)，若A?B，如圖，?4???1??8則??a2??aa＜-8.1,∴????1∴?2，???aa?2?當(dāng)a＞0時(shí)，若A?B，如圖，?11????則??a?2?a2,∴?.∴a≥2.綜上知，此時(shí)a的取值范圍是a＜-8或a≥2.?4?a?2??a?2(2)當(dāng)a=0時(shí)，顯然B?A；當(dāng)a＜0時(shí),若B?A，如圖，?41則?????a??8?a2，∴?1?1∴-?a?0；?1a?2當(dāng)a＞0時(shí)，若B?A，如圖，???a?2???2,?則???1??1?a2,∴?a?2?,∴0＜a≤2.綜上知，當(dāng)B?A時(shí)，-1?a?2.0 ?4?a?22??a?2（3）當(dāng)且僅當(dāng)A、B兩個(gè)集合互相包含時(shí)，A=B.由（1）、（2）知，a=2.例3（14分）設(shè)集合A??x|x2?3x?2?0?,B??x|x2?2(a?1)x?(a2?5)?0?.（1）若A?B??2?,求實(shí)數(shù)a的值；（2）若A?B=A求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （3）若U=R，A?（UB）=A.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=?1,2?.2（1）∵A?B??2?,∴2?B，代入B中的方程,得a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;當(dāng)a=-1時(shí)，B=?x|x2?4?0????2,2?,滿足條件； 當(dāng)a=-3時(shí)，B=?x|x2?4x?4?0???2?,滿足條件； 綜上，a的值為-1或-3.4（2）對(duì)于集合B，?=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A?B=A∴B?A，分 分 ①當(dāng)?＜0,即a＜-3時(shí)，B=?，滿足條件； ②當(dāng)?=0，即a=-3時(shí)，B=?2?，滿足條件； ③當(dāng)?＞0，即a＞-3時(shí)，B=A=?1,2?才能滿足條件，6分 則由根與系數(shù)的關(guān)系得 5???a???1?2??2(a?1)2,矛盾； 即??2??a2?7?1?2?a?5?綜上，a的取值范圍是a≤-3.9分（3）∵A?（UB）=A，∴A?UB，∴A?B=?； 10分 ①若B=?，則?＜0?a??3適合； ②若B≠?，則a=-3時(shí)，B=?2?，A?B=?2?，不合題意； a＞-3，此時(shí)需1?B且2?B.將2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）； 將1代入B的方程得a2+2a-2=0?a??1?3.∴a≠-1且a≠-3且a≠-1?3.13分 綜上，a的取值范圍是a＜-3或-3＜a＜-1-3或-1-3＜a＜-1或-1＜a＜-1+3或a＞-1+3.14分 例4 若集合A1、A2滿足A1?=A2=A，則稱（A1，A2）為集合A的一種分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2時(shí)，（A1，A2）與（A2，A1）為集合A的同一種分拆，則集合A=?1,2,3?的不同分拆種數(shù)是.答案 27 1.設(shè)含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為?a,a?d,a?2d?,也可表示為a,aq,aq2,其中a,d,q?R,求常數(shù)q.解 依元素的互異性可知，a≠0,d≠0，q≠0,q≠?1.???a?d?aq,?a?d?aq2,由兩集合相等，有（1）?或（2）? 2?a?2d?aq?a?2d?aq.由（1）得a+2a（q-1）=aq,∵a≠0, ∴q-2q+1=0,∴q=1(舍去).由（2）得a+2a(q2-1)=aq,∵a≠0,∴2q2-q-1=0,∴q=1或q=-.21 22∵q≠1, ∴q=-12,綜上所述,q=-.212.（1）若集合P=x|x2?x?6?0,S??x|ax?1?0?,且S?P,求a的可取值組成的集合；（2）若集合A=?x|?2?x?5?,B??x|m?1?x?2m?1?,且B?A，求由m的可取值組成的集合.解（1）P=??3,2?.當(dāng)a=0時(shí)，S=?，滿足S?P； 當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax+1=0的解為x=-為滿足S?P,可使?1a1a??1a，131??3或??2,即a= 或a=-.故所求集合為?0，??.2??11?2?3（2）當(dāng)m+1＞2m-1，即m＜2時(shí)，B=?，滿足B?A；若B≠?，且滿足B?A，如圖所示，?m?1?2m?1,?m?2??則?m?1??2,即?m??3,∴2≤m≤3.?2m?1?5?m?3??綜上所述，m的取值范圍為m＜2或2≤m≤3,即所求集合為?m|m?3?.3.已知集合A=x|x2?(2?a)x?1?0,x?R,B??x?R|x?0?，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使得A?B=?？ 若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解 方法一 假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿足條件A?B=?，則有 （1）當(dāng)A≠?時(shí)，由A?B??,B=?x?R|x?0?，知集合A中的元素為非正數(shù)，設(shè)方程x+(2+a)x+1=0的兩根為x1,x2,則由根與系數(shù)的關(guān)系，得 ???(2?a)2?4?0??得a?0; ?x1?x2??(2?a)?0,解?xx?1?0?12?2??（2）當(dāng)A=?時(shí)，則有△=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a＜0.綜上（1）、（2），知存在滿足條件A?B=?的實(shí)數(shù)a,其取值范圍是（-4，+∞）.方法二 假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿足條件A?B≠?，則方程x2+(2+a)x+1=0的兩實(shí)數(shù)根x1,x2至少有一個(gè)為正，因?yàn)閤12x2=1＞0，所以兩根x1,x2均為正數(shù).則由根與系數(shù)的關(guān)系，得?2????(2?a)?4?0?a?0或a??4,即a??4.,解得?a??2???x1?x2??(2?a)?0又∵集合?a|a??4?的補(bǔ)集為?a|a??4?,∴存在滿足條件A?B=?的實(shí)數(shù)a,其取值范圍是（-4，+∞）.4.(20072陜西理，12)設(shè)集合S=?A0,A1,A2,A3?，在S上定義運(yùn)算?為：Ai?Aj=Ak,其中k為i+j被4除的余數(shù)，i,j=0，1，2，3,則滿足關(guān)系式(x?x)?A2=A0的x(x?S)的個(gè)數(shù)為.答案 2 一、填空題 1.(20082江西理，2)定義集合運(yùn)算：A*B=?z|z?xy,x?A,y?B?.設(shè)A=?1,2?,B??0,2?,則集合A*B 的所有元素之和為.答案 6 2.已知全集U={0，1，3，5，7，9}，A∩UB={1}，B={3，5，7}，那么（UA）∩(UB)=.答案 {0，9} 3.設(shè)全集U=R,集合M={x|x≤1或x≥3},集合P=?x|k?x?k?1,k?R?，且UM?P≠?，則實(shí)數(shù)k的取值 答案 0＜k＜3 4.集合A={y∈R|y=lgx，x＞1}，B={-2，-1，1，2}，則(RA)∩B=.答案 {-2，-1} 5.已知集合P={（x，y）||x|+|y|=1}，Q={（x，y）|x2+y2≤1}，則P與Q的關(guān)系為.答案 PQ 范圍是.2?6.（20092徐州模擬）設(shè)A，B是非空集合，定義A3B=?x|x?A?B且x?A?B?，已知A=??x|y?2x?x?，?? B=y|y?2x,x?0，則A3B=.答案 ?0,1??(2,??) 7.集合A={x||x-3|＜a，a＞0}，B={x|x2-3x+2＜0}，且B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案 ［2，+∞） 8.(20082福建理，16)設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、b≠0）,則稱P是一個(gè)數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域;數(shù)集F={a+b2|a,b∈Q}也是數(shù)域.有下列命題: ①整數(shù)集是數(shù)域; ②若有理數(shù)集Q?M,則數(shù)集M必為數(shù)域; ③數(shù)域必為無(wú)限集; ④存在無(wú)窮多個(gè)數(shù)域. 其中正確的命題的序號(hào)是.(把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上) 答案 ③④ 二、解答題 9.已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.（1）若A是空集，求m的取值范圍；（2）若A中只有一個(gè)元素，求m的值； （3）若A中至多只有一個(gè)元素，求m的取值范圍. 解 集合A是方程mx-2x+3=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解集.（1）∵A是空集，∴方程mx2-2x+3=0無(wú)解.∴Δ=4-12m＜0,即m＞（2）∵A中只有一個(gè)元素，∴方程mx2-2x+3=0只有一個(gè)解. 若m=0，方程為-2x+3=0，只有一解x=1332132??ab∈P（除數(shù) . ;若m≠0，則Δ=0，即4-12m=0,m= 13. ∴m=0或m=. 13(3)A中至多只有一個(gè)元素包含A中只有一個(gè)元素和A是空集兩種含義，根據(jù)（1）、（2）的結(jié)果，得m=0或m≥10.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求實(shí)數(shù)a的值； （2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值. 解（1）由題意知：a+2=1或（a+1）2=1或a2+3a+3=1， ∴a=-1或-2或0，根據(jù)元素的互異性排除-1，-2,∴a=0即為所求. 1?a?2?a?2a???a?0?a?0???a?b4（2）由題意知,?或???或?或?, 2b?1b?01??b?bb?2a???b????2?1?a???0?4或??1?1b??2?.根據(jù)元素的互異性得??a?b即為所求.11.已知集合A=?x|???2?1,x?R?,B=x|x?2x?m?0, x?1?6??（1）當(dāng)m=3時(shí)，求A?（RB）； （2）若A?B??x|?1?x?4?，求實(shí)數(shù)m的值.解 由6x?1?1,得x?5x?1?0.∴-1＜x≤5,∴A=?x|?1?x?5?.（1）當(dāng)m=3時(shí)，B=?x|?1?x?3?，則RB=?x|x??1或x?3?，∴A?（RB）=?x|3?x?5?.(2)∵A=?x|?1?x?5?,A?B??x|?1?x?4?,∴有42-234-m=0,解得m=8.此時(shí)B=?x|?2?x?4?,符合題意，故實(shí)數(shù)m的值為8.12.設(shè)集合A={（x,y）|y=2x-1,x∈N},B={(x,y)|y=ax-ax+a,x∈N}，問(wèn)是否存在非零整數(shù)a,使A∩B≠?？若存在，* 2*請(qǐng)求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由. 解 假設(shè)A∩B≠?，則方程組???y?2x?1??y?ax2有正整數(shù)解，消去y，?ax?a得ax2-(a+2)x+a+1=0.（*）由Δ≥0，有（a+2）2-4a(a+1)≥0,解得-233?a?233.因a為非零整數(shù)，∴a=±1， 當(dāng)a=-1時(shí)，代入（*），解得x=0或x=-1,而x∈N*.故a≠-1.當(dāng)a=1時(shí)，代入（*）, 解得x=1或x=2，符合題意.故存在a=1,使得A∩B≠?,此時(shí)A∩B={（1，1），（2，3）}.§1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 基礎(chǔ)自測(cè) 1.(20092成化高級(jí)中學(xué)高三期中考試)若命題“對(duì)?x?R，x2+4cx+1＞0”是真命題，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是.答案(?11,)22 2.（20082湖北理，2）若非空集合A、B、C滿足A∪B=C，且B不是A的子集，則下列說(shuō)法中正確的是.(填序號(hào)) ①“x∈C”是“x∈A”的充分條件但不是必要條件 ② “x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件 ③ “x∈C”是“x∈A”的充要條件 ④“x∈C”既不是“x∈A”的充分條件也不是“x∈A”的必要條件 答案② 3.若命題p的否命題為r，命題r的逆命題為s，則s是p的逆命題t的 命題.答案 否 4.（20082浙江理，3）已知a,b都是實(shí)數(shù),那么“a2＞b2”是“a＞b”的 條件.答案 既不充分也不必要 5.設(shè)集合A、B，有下列四個(gè)命題： ①AB?對(duì)任意x∈A都有x?B;②AB?A∩B=?;③AB?BA;④AB?存在x∈A,使得x?B.其中真命題的序號(hào)是.（把符合要求的命題序號(hào)都填上） 答案 ④ （1）正三角形的三內(nèi)角相等；（2）全等三角形的面積相等； （3）已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，若a=b,c=d,則a+c=b+d. 解（1）原命題即是“若一個(gè)三角形是正三角形，則它的三個(gè)內(nèi)角相等”. 例1 把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題. 逆命題：若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，則這個(gè)三角形是正三角形（或?qū)懗桑喝齻€(gè)內(nèi)角相等的三角形是正三角形）. 否命題：若一個(gè)三角形不是正三角形，則它的三個(gè)內(nèi)角不全相等. 逆否命題：若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角不全相等，那么這個(gè)三角形不是正三角形（或?qū)懗桑喝齻€(gè)內(nèi)角不全相等的三角形不是正三角形）. （2）原命題即是“若兩個(gè)三角形全等，則它們的面積相等.” 逆命題：若兩個(gè)三角形面積相等，則這兩個(gè)三角形全等（或?qū)懗桑好娣e相等的三角形全等）. 否命題：若兩個(gè)三角形不全等，則這兩個(gè)三角形面積不相等（或?qū)懗桑翰蝗鹊娜切蚊娣e不相等）. 逆否命題：若兩個(gè)三角形面積不相等，則這兩個(gè)三角形不全等. （3）原命題即是“已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若a=b,c=d，則a+c=b+d”.其中“已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)”是大前提，“a與b,c與d都相等”是條件p，“a+c=b+d”是結(jié)論q，所以 逆命題：已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若a+c=b+d，則a與b，c與d都相等. 否命題：已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若a與b,c與d不都相等，則a+c≠b+d. 逆否命題：已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若a+c≠b+d,則a與b,c與d不都相等. 例2 指出下列命題中，p是q的什么條件（在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選出一種作答）. （1）在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB；（2）對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;（3）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B； （4）已知x、y∈R，p：（x-1）2+（y-2）2=0，q：（x-1）（y-2）=0. 解（1）在△ABC中，∠A=∠B?sinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因?yàn)锳與B不可能互補(bǔ)（因?yàn)槿切稳齻€(gè)內(nèi)角和為180°),所以只有A=B.故p是q的充要條件.(2)易知: ?p:x+y=8, ?q:x=2且y=6,顯然?q??p.但?p?q,即?q 是?p 的充分不必要條件,根據(jù)原命題和逆否命題的等價(jià)性知,p是q的充分不必要條件. (3)顯然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分條件.(4)條件p:x=1且y=2,條件q:x=1或y=2,所以p?q但qp,故p是q的充分不必要條件. 例3（14分）已知ab≠0， 求證：a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 證明（必要性） ∵a+b=1，∴a+b-1=0，2分 ∴a3+b3+ab-a2-b2=（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）5分 =（a+b-1）（a-ab+b）=0.7分（充分性） ∵a+b+ab-a-b=0， 即（a+b-1）（a2-ab+b2）=0，9分 又ab≠0,∴a≠0且b≠0, 22∴a-ab+b=（a-)2?332222b342b＞0, 2∴a+b-1=0,即a+b=1, 12分 綜上可知,當(dāng)ab≠0時(shí),a+b=1的充要條件是 a+b+ab-a-b=0.14分 3322 1.寫出下列命題的否命題，并判斷原命題及否命題的真假： （1）如果一個(gè)三角形的三條邊都相等，那么這個(gè)三角形的三個(gè)角都相等；（2）矩形的對(duì)角線互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形. 解（1）否命題是：“如果一個(gè)三角形的三條邊不都相等，那么這個(gè)三角形的三個(gè)角也不都相等”. 原命題為真命題，否命題也為真命題. （2）否命題是：“如果四邊形不是矩形，那么對(duì)角線不互相平分或不相等” 原命題是真命題，否命題是假命題. （3）否命題是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”. 原命題是假命題，否命題是真命題.2.（20082湖南理，2）“|x-1|＜2成立”是“x(x-3)＜0成立”的 條件.答案必要不充分 3.證明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac＜0. 證明 充分性：若ac＜0,則b2-4ac＞0,且 ca＜0, ∴方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相異實(shí)根，且兩根異號(hào)，即方程有一正根和一負(fù)根. 必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根，則Δ=b2-4ac＞0,x1x2=綜上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac＜0.ca＜0,∴ac＜0. 一、填空題 1.下列命題：①5＞4或4＞5；②9≥3；③命題“若a＞b,則a+c＞b+c”的否命題；④命題“矩形的兩條對(duì)角線相等”的逆命題.其中假命題的個(gè)數(shù)為.答案 1 2.（20082重慶理，2）設(shè)m，n是整數(shù)，則“m，n均為偶數(shù)”是“m+n是偶數(shù)”的 條件.3.“x＞1”是“x2＞x”的 條件.答案 充分不必要 答案 充分不必要 4.（20092成化高級(jí)中學(xué)高三期中考試）已知函數(shù)f(x)=ax+b(0≤x≤1),則“a+2b＞0”是“f(x)＞0”恒成立的 條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）答案 必要不充分 5.在△ABC中，“sin2A= 答案 必要不充分性 6.（20082安徽理，7）a＜0方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)數(shù)根的 條件.答案 充分不必要 7.設(shè)集合A=?x||x|?4?,B?x|x2?4x?3?0,則集合?x|x?A且x?A?B?=.答案 ?x|1?x?3? 8.設(shè)A=(x,y)|x2?(y?1)2?1,B??(x,y)|x?y?m?0?,則使A?B成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是.答案 m? 二、解答題 9.求關(guān)于x的方程x-mx+3m-2=0的兩根均大于1的充要條件. 解 設(shè)方程的兩根分別為x1、x2，則原方程有兩個(gè)大于1的根的充要條件是 ???m2?4(3m?2)?0,???m2?12m?8?0,???? ?(x1?1)?(x2?1)?0，即?(x1?x2)?2?0，??xx?(x?x)?1?0.（x?1)(x2?1)?0,12???1?12232”是“A=30°”的 條件.????2?1 ??m?6?27或m?6?27,?又∵x1+x2=m,x1x2=3m-2,∴?m?2,?1?m?.2?故所求的充要條件為m≥6+27.10.已知x,y∈R. 求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0. 證明（充分性） 若xy≥0,則x,y至少有一個(gè)為0或同號(hào).∴|x+y|=|x|+|y|一定成立. （必要性）若|x+y|=|x|+|y|,則(x+y)2=(|x|+|y|)2,x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2, ∴xy=|xy|,∴xy≥0.綜上，命題得證.11.a,b,c為實(shí)數(shù)，且a=b+c+1.證明：兩個(gè)一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.證明 假設(shè)兩個(gè)方程都沒(méi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則 Δ1=1-4b≤0,Δ2=a2-4c≤0,∴Δ1+Δ2=1-4b+a2-4c≤0. ∵a=b+c+1,∴b+c=a-1.∴1-4(a-1)+a2≤0, 即a-4a+5≤0.但是a-4a+5=(a-2)+1＞0,故矛盾. 所以假設(shè)不成立，原命題正確，即兩個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.12.設(shè)?、?是方程x-ax+b=0的兩個(gè)根，試分析a＞2且b＞1是兩根?、?均大于1的什么條件？ 解 令p:a＞2,且b＞1;q: ?＞1,且?＞1,易知?+?=a, ??=b. ①若a＞2,且b＞1,即??????2????1，不能推出?＞1且?＞1. 22 221??????6可舉反例：若?則2，????3????6??1所以由??，?2?p推不出q ②若?＞1,且?＞1，則?+?＞1+1=2, ??＞1.所以由q可推出p.綜合知p是q的必要不充分條件，也即a＞2,且b＞1是兩根?、?均大于1的必要不充分條件.§1.3簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 基礎(chǔ)自測(cè) 1.已知命題p:?x?R,sinx?1,則?p為.答案 ?x?R,sinx?1 2.已知命題p:3≥3;q:3＞4，則下列判斷不正確的是（填序號(hào)）.①p?q為假，p?q為假,? p為真 ③p?q為真，p?q為假，?p為真 ③p?q為假，p?q為假，?p為假 ④ p?q為真，p?q為假，?p為假 答案 ①②③ 3.(20082廣東理，6)已知命題p：所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)；命題q：正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題中為真命題 ①(?p)?q ②p?q ③(?p)?(?q)④(?p)?(?q)的是（填序號(hào)）.答案 ④ 4.下列命題中不是全稱命題的是(填序號(hào)).①圓有內(nèi)接四邊形 ②3 ＞2 ③3≤ 2④若三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5，則這個(gè)三角形為直角三角形 答案 ②③④ 答案 所有點(diǎn)都不在函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上 5.命題：“至少有一個(gè)點(diǎn)在函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上”的否定是.例1分別指出由下列命題構(gòu)成的“p?q”、“p?q”、“?p”形式的命題的真假.(1)p:3是9的約數(shù),q:3是18的約數(shù); (2)p:菱形的對(duì)角線相等,q:菱形的對(duì)角線互相垂直;(3)p:方程x2+x-1=0的兩實(shí)根符號(hào)相同, q:方程x2+x-1=0的兩實(shí)根絕對(duì)值相等.(4)p:?是有理數(shù),q: ?是無(wú)理數(shù). 解（1）∵p是真命題，q是真命題，∴p?q是真命題，p?q是真命題，?p是假命題.(2)∵∵p是假命題,q是真命題,∴p?q是真命題，p?q是假命題，?p是真命題.(3)∵p是假命題，q是真命題，∴p?q是假命題，p?q是假命題，?p是真命題.（4）∵p是假命題，q是真命題，∴p?q是真假命題，p?q是假命題，?p是真命題.例2(14分)已知兩個(gè)命題r(x):sinx+cosx＞m,s(x):x2+mx+1＞0.如果對(duì)?x∈R,r(x)與s(x)有且僅有一個(gè)是真命題.求實(shí)數(shù)m的取值范圍實(shí)心.解 ∵sinx+cosx=2sin（x+ ?4）≥-2， ∴當(dāng)r(x)是真命題時(shí)，m＜-2 3分 又∵對(duì)?x∈R，s(x)為真命題，即x2+mx+1＞0恒成立， 有Δ=m-4＜0,∴-2＜m＜2.6分 ∴當(dāng)r(x)為真，s(x)為假時(shí)，m＜-2， 同時(shí)m≤-2或m≥2,即m≤-2;當(dāng)r(x)為假，s(x)為真時(shí)，m≥-2且-2＜m＜2, 即-2≤m＜2.例3 寫出下列命題的“否定”，并判斷其真假. （1）p：?x∈R，x2-x+1 9分 12分 綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤-2或-2≤m＜2.14分 ≥0； （2）q：所有的正方形都是矩形；（3）r：?x∈R，x2+2x+2≤0；（4）s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x+1=0. 解（1）?p:?x?R,x2?x?因?yàn)?x?R,x2?x?141412?0 3，這是假命題，恒成立.?(x?)?02(2)?q:至少存在一個(gè)正方形不是矩形，是假命題.(3)?r:?x?R,x?2x?2＞0，是真命題，這是由于?x?R,x2?2x?2?(x?1)2?1?1＞0成立.3(4)?s:?x?R,x?1≠0，是假命題，這是由于x=-1時(shí)，x+1=0.23 1.分別指出由下列命題構(gòu)成的“p?q”、“p?q”、“?p”形式的命題的真假.（1）p：4∈{2，3}，q：2∈{2，3}；（2）p：1是奇數(shù)，q：1是質(zhì)數(shù)； （3）p：0∈?，q：{x|x2-3x-5＜0}?R；（4）p：5≤5，q：27不是質(zhì)數(shù)； （5）p：不等式x2+2x-8＜0的解集是{x|-4＜x＜2}, q：不等式x2+2x-8＜0的解集是{x|x＜-4或x＞2}. 解（1）∵p是假命題，q是真命題，∴p?q為真，p?q為假，?P為真.（2）∵1是奇數(shù)，∴p是真命題，又∵1不是質(zhì)數(shù)，∴q是假命題，因此p?q為真，p?q為假，?p為假.(3)∵0??，∴p為假命題，又∵x2-3x-5＜0,?3?229?x?3?292，∴x|x2?3x?5?0??x|??????3?229?x?3?29????R成立.2??∴q為真命題.∴p?q 為真命題，p?q為假命題，?p為真命題.（4）顯然p：5≤5為真命題，q:27不是質(zhì)數(shù)為真命題，∴p?q 為真命題，p?q為真命題，?p為假命題.（5）∵x2+2x-8＜0, ∴(x+4)(x-2)＜0.2即-4＜x＜2，∴x+2x-8＜0的解集為?x|?4?x?2?,∴命題p為真，q為假.∴p?q 為真，p?q為假，?p為假.2．已知a＞0,設(shè)命題p：函數(shù)y=a在R上單調(diào)遞減，q：不等式x+|x-2a|＞1的解集為R，若p和q中有且只有一個(gè)命題為真命題，求a的取值范圍. 解 由函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞減知0＜a＜1，所以命題p為真命題時(shí)a的取值范圍是0＜a＜1，令y=x+|x-2a|，則y=??2x?2a?2a12x(x?2a)(x?2a)不等式x+|x-2a|＞1的解集為R，只要ymin＞1即可，而函y在R上的最小值為2a,所以2a 12＞1，即a＞.即q真?a＞. 12所以命題p和q有且只有一個(gè)命題正確時(shí)a的取值范圍是0＜a≤3.寫出下列命題的否定并判斷真假. （1）p：所有末位數(shù)字是0的整數(shù)都能被5整除；（2）q：?x≥0，x2＞0; (3)r：存在一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和大于180°;(4)t:某些梯形的對(duì)角線互相平分. 或a≥1.解(1)?p:存在一個(gè)末位數(shù)字是0的整數(shù)不能被5整除,假命題.（2）?q:?x?0,x2?0.真命題.(3)?r：所有三角形的內(nèi)角和都小于等于180°，真命題.(4)?t:每一個(gè)梯形的對(duì)角線都不互相平分，真命題.一、填空題 1.今有命題p、q，若命題m為“p且q”，則“?p 或?q”是?m的 條件.答案 充要 2.已知命題p:???0?,q:?1???1,2?,由它們組成的“p或q”, “p且q”和“?p”形式的復(fù)合命題中，真命 題的個(gè)數(shù)為.答案 1 3.“p∨q”為真命題”是“p∧q為真命題”的 條件.答案 必要不充分 4.命題“存在x∈Z使2x2+x+m≤0”的否定是.答案 對(duì)任意x∈Z，都有2x2+x+m＞0 5.若命題p:x?A?B，則?p是.答案 x?A或x?B 6.若p、q是兩個(gè)簡(jiǎn)單命題，且“p∨q”的否定是真命題，則必有p，q.(用“真”、“假”填空).答案 假 假 7.（20092姜堰中學(xué)高三綜合卷）已知命題P:“?x?R,x2+2x-3≥0”,請(qǐng)寫出命題P的否定：.答案 ?x?R，x+2x-3＜08.令p(x):ax2+2x+1＞0,若對(duì)?x∈R，p（x）是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案 a＞1 二、解答題 9.指出下列命題的真假： （1）命題“不等式（x+2）≤0沒(méi)有實(shí)數(shù)解”；（2）命題“1是偶數(shù)或奇數(shù)”；（3）命題“22 2屬于集合Q，也屬于集合R”； (4)命題“AA?B”.解（1）此命題為“?p”的形式,其中p:“不等式(x+2)2≤0有實(shí)數(shù)解”，因?yàn)閤=-2是該不等式的一個(gè)解，所以p是真命題，即?p是假命題，所以原命題是假命題. （2）此命題是“p∨q”的形式，其中p:“1是偶數(shù)”，q:“1是奇數(shù)”，因?yàn)閜為假命題，q為真命題， 所以p∨q是真命題，故原命題是真命題. （3）此命題是“p∧q”的形式，其中p:“2屬于集合Q”，q:“2屬于集合R”，因?yàn)閜為假命題,q為真命題，所以p∧q是假命題，故原命題是假命題.（4）此命題是“?p”的形式，其中p:“A?A?B",因?yàn)閜為真命題，所以“?p”為假命題，故原命題是假命題.10.寫出下列命題的否命題及命題的否定形式,并判斷真假:(1)若m＞0,則關(guān)于x的方程x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根;(2)若x、y都是奇數(shù)，則x+y是奇數(shù)；（3）若abc=0，則a、b、c中至少有一個(gè)為零. 解（1）否命題：若m≤0，則關(guān)于x的方程x2+x-m=0無(wú)實(shí)數(shù)根；（假命題） 命題的否定：若m＞0，則關(guān)于x的方程x+x-m=0無(wú)實(shí)數(shù)根.（假命題）（2）否命題：若x、y不都是奇數(shù)，則x+y不是奇數(shù);（假命題） 命題的否定：若x、y都是奇數(shù)，則x+y不是奇數(shù).（真命題）（3）否命題：若abc≠0,則a、b、c全不為0；（真命題） 命題的否定：若abc=0，則a、b、c全不為0.（假命題） 211.已知命題p：方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù)根；命題q:方程4x2+4(m-2)x+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根.若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求m的取值范圍. ???m2?4?0解 由p得：?則m＞2.，?m?0由q知：Δ′=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)＜0,則1＜m＜3. ∵“p或q”為真，“p且q”為假，∴p為真，q為假，或p為假，q為真. ?m?2?m?2則?或?,解得m≥3或1＜m≤2.1?m?3m?1或m?3??12.（1）是否存在實(shí)數(shù)p，使“4x+p＜0”是“x-x-2＞0”的充分條件？如果存在，求出p的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)p,使“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的必要條件？如果存在，求出p的取值范圍. 解（1）當(dāng)x＞2或x＜-1時(shí),x2-x-2＞0,由4x+p＜0,得x＜-“x＜- 2p4,故- p4≤-1時(shí)， p4”?“x＜-1”?“x2-x-2＞0”.∴p≥4時(shí)，“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的充分條件. （2）不存在實(shí)數(shù)p滿足題設(shè)要求.單元檢測(cè)一 一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分） 1.(20082北京理，1)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x＜-1或x＞4},那么集合A∩(uB)=.答案 ?x|?1?x?3? 2.已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q成立的 條件.答案 充分不必要 3.（20092江安中學(xué)第三次月考）已知集合N=?x|a?1?x?2a?1?是集合M=?x|?2?x?5?的子集，則a的取值范圍為.答案 2＜a≤3 4.“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”的 條件.答案 充要 5.設(shè)集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的 條件.答案 必要不充分 6.已知命題p:?x∈R，使tanx=1,命題q：x2-3x+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列結(jié)論： ①命題“p∧q”是真命題； ②命題“p∧?q”是假命題； ③命題“?p?q”是真命題； ④命題“?p??q”是假命題.其中正確的是（填序號(hào)）.答案 ①②③④ 7.(20082天津理，6)設(shè)集合S={x||x-2|＞3},T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，則a的取值范圍是.答案-3＜a＜-1 8.若集合A={1，m2}，集合B={2，4}，則“m=2”是“A∩B={4}”的 條件.答案 充分不必要 9.若數(shù)列{an}滿足an?1an22=p（p為正常數(shù)，n∈N），則稱{an}為“等方比數(shù)列”.*甲:數(shù)列{an}是等方比數(shù)列； 乙：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則甲是乙的 條件.答案 必要不充分 10.（20082浙江理，2）已知U=R，A={x|x＞0},B={x|x≤-1}，則（A∩UB）∪（B?答案 {x|x＞0或x≤-1} 11.設(shè)集合A={5,log2（a+3）}，集合B={a，b}，若A∩B={2}，則A∪B=.答案 {1，2，5} 12.已知條件p：|x+1|＞2,條件q:5x-6＞x，則非p是非q的 條件. 答案 充分不必要 13.不等式|x|＜a的一個(gè)充分條件為0＜x＜1,則a的取值范圍為. 答案 a≥1 14.下列命題中： ①若p、q為兩個(gè)命題，則“p且q為真”是“p或q為真”的必要不充分條件； ②若p為：?x∈R，x2+2x+2≤0,則?p為：?x∈R，x2+2x+2＞0; ③若橢圓x2 2U A）=.16?y225=1的兩焦點(diǎn)為F1、F2，且弦AB過(guò)F1點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)為16； 2④若a＜0,-1＜b＜0,則ab＞ab＞a. 所有正確命題的序號(hào)是. 答案 ②④ 二、解答題（本大題共6小題，共90分） 15.（14分）設(shè)命題p：（4x-3）2≤1;命題q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若?p是?q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 設(shè)A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},易知A={x| 12≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}. 1??a?B，∴?2,?a?1?1?由?p是?q的必要不充分條件，從而p是q的充分不必要條件，即A 故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是［0，12］.16.（14分）已知集合U=R,UA=x|x2?6x?0，B={x|x2+3（a+1）x+a2-1=0}，且A∪B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解 ∵A={0，-6}，A∪B=A，∴B?A.（1）當(dāng)B=A時(shí)，由?(2)當(dāng)BA時(shí)， ①若B=?，則方程x2+3(a+1)x+a2-1=0無(wú)實(shí)根.即Δ＜0,得9(a+1)2-4(a2-1)＜0,解得-②若B≠?，則方程x2+3(a+1)x+a2-1=0有相等的實(shí)根，即Δ=0,即a=-1或a=-135135????0?(?6)??3(a?1)??0?a?12,得a=1, ＜a＜-1. .由a=-1得B={0},有BA； 由a=-135,得B={125}不滿足BA，舍去，綜上可知，-x?13135＜a≤-1或a=1.17.（14分）已知p：|1-范圍.|≤2，q：x2-2x+1-m2≤0（m＞0），且?p是?q的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值解 方法一 由x2-2x+1-m2≤0，得1-m≤x≤1+m, ∴?q:A={x|x＞1+m或x＜1-m,m＞0},由|1-x?13|≤2，得-2≤x≤10， ∴?p:B??x|x?10或x??2?，∵?p是? q的必要而不充分條件， ?m?0?∴AB??1?m??2,解得m≥9.?1?m?10?方法二∵?p是? q的必要而不充分條件， ∴q是p的必要而不充分條件，∴p是q的充分而不必要條件，由x2-2x+1-m2≤0.得1-m≤x≤1+m(m＞0)，∴q:B=?x|1?m?x?1?m?.又由|1-x?13|≤2，得-2≤x≤10，∴p：A=?x|?2?x?10?.又∵p是q的充分而不必要條件. ∴BA??m?0??1?m??2，解得m≥9.?1?m?10?18.（16分）求關(guān)于x的方程ax2-(a2+a+1)x+a+1=0至少有一個(gè)正根的充要條件. 解 方法一 若a=0，則方程變?yōu)?x+1=0,x=1滿足條件，若a≠0，則方程至少有一個(gè)正根等價(jià)于 a?1a?a?1?0? ?0或?a2?a?1?0?a??a2?a?1?0?a??a?1或??0?a????(a2?a?1)2?4a(a?1)?0??-1＜a＜0或a＞0.綜上：方程至少有一正根的充要條件是a＞-1. 方法二 若a=0，則方程即為-x+1=0, ∴x=1滿足條件；若a≠0，∵Δ=(a2+a+1)2-4a(a+1)=(a2+a)2+2(a2+a)+1-4a(a+1) =(a2+a)2-2a(a+1)+1=(a2+a-1)2≥0，∴方程一定有兩個(gè)實(shí)根. ?a2?a?1?0??a,解得a≤-1, 故而當(dāng)方程沒(méi)有正根時(shí)，應(yīng)有?a?1??0??a∴至少有一正根時(shí)應(yīng)滿足a＞-1且a≠0, 綜上：方程有一正根的充要條件是a＞-1.19.（16分）記函數(shù)f(x)=2?（1）求A； x?3x?1的定義域?yàn)锳，g(x)=lg?(x?a?1)(2a?x)?(a?1)的定義域?yàn)锽.（2）若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解（1）由2-x?3x?1?0,得x?1x?1?0,∴x＜-1或x≥1，即A=（-∞,-1）??1,???.(2)由（x-a-1）(2a-x)＞0,得(x-a-1)(x-2a)＜0.∵a＜1,∴a+1＞2a,∵B=(2a,a+1).又∵B?A,∴2a≥1或a+1≤-1,即a≥ 12或a≤-2.∵a＜1,∴ ??12≤a＜1或a≤-2, 故B?A時(shí)，a的取值范圍是???,?2???,1?.?2?120.（16分）設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2-4ax+3a2＜0,其中a＜0；q：實(shí)數(shù)x滿足x2-x-6≤0，或x2+2x-8＞0，且?p是?q的必 不充分條件，求a的取值范圍. 解 設(shè)A={x|p}={x|x2-4ax+3a2＜0,a＜0}={x|3a＜x＜a,a＜0}, B={x|q}={x|x-x-6≤0或x+2x-8＞0}={x|x-x-6≤0}∪{x|x+2x-8＞0} ={x|-2≤x≤3}∪{x|x＜-4或x＞2}=?x|x??4或x??2?.∵?p是?q的必要不充分條件,∴?q??p,且?p則?x|?q?22 ?q.R?x|?p?.而?x|?q??RB=?x|?4??a??4,或?綜上可得-?a?0.x??2?,?x|?p?=A=?x|x?3a或x?a,a?0?，∴?x|?4?x??2?則??3a??2,?a?0,?x|x?3a或x?a,a?0?，23?a?0或a??4.第四篇：2013屆高三數(shù)學(xué)全程復(fù)習(xí)01 第一編 集合與常用邏輯用語(yǔ)(共19頁(yè))教學(xué)案 新人教版
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