第一篇：《抽屜原理》教案

數(shù)學(xué)廣角——鴿巢問(wèn)題

《抽屜原理》教案

一、教學(xué)內(nèi)容

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)教材第68~69頁(yè)。

二、教材分析

“數(shù)學(xué)廣角”是人教版六年級(jí)下冊(cè)第五單元的內(nèi)容。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有一類與“存在性”有關(guān)的問(wèn)題，如任意367名學(xué)生中，一定存在兩名學(xué)生，他們?cè)谕惶爝^(guò)生日。在這類問(wèn)題中，只需要確定某個(gè)物體（或某個(gè)人）的存在就可以了，并不需要指出是哪個(gè)物體（或哪個(gè)人），也不需要說(shuō)明通過(guò)什么方式把這個(gè)存在的物體（或人）找出來(lái)。這類問(wèn)題依據(jù)的理論，我們稱之為“抽屜原理”。本節(jié)課教材借助把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒中的操作情境，介紹了一類較簡(jiǎn)單的“抽屜原理”，即把n+1個(gè)物體任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜里（m>n，n是非0自然數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少2個(gè)物體。關(guān)于這類問(wèn)題，學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中已積累了一定的感性經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)時(shí)可以充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，放手讓學(xué)生自主思考，先采用自己的方法進(jìn)行“證明”，然后再交流，在交流中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“枚舉法”、“反證法”、“假設(shè)法”等方法進(jìn)行比較，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用一般性的數(shù)學(xué)方法來(lái)思考問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。讓學(xué)生通過(guò)本內(nèi)容的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生加深理解，學(xué)會(huì)利用“抽屜問(wèn)題”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。在此過(guò)程中，讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過(guò)程。實(shí)際上，通過(guò)“說(shuō)理”的方式來(lái)理解“抽屜原理”的過(guò)程就是一種數(shù)學(xué)證明的雛形，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力，為以后學(xué)習(xí)較嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明做準(zhǔn)備。還

要注意培養(yǎng)學(xué)生的“模型”思想，這個(gè)過(guò)程是將具體問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，能從紛繁的現(xiàn)實(shí)素材中找出最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和能力的重要方面。

三、學(xué)情分析

抽屜原理是學(xué)生從未接觸過(guò)的新知識(shí)，難以理解抽屜原理的真正含義，發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)多的學(xué)生他們自己提前先學(xué)了，在具體分的過(guò)程中，都在運(yùn)用平均分的方法，也能就一個(gè)具體的問(wèn)題得出結(jié)論。但是這些學(xué)生中大多數(shù)只“知其然，不知其所以然”，為什么平均分能保證“至少”的情況，他們并不理解。有時(shí)要找到實(shí)際問(wèn)題與“抽屜原理”之間的聯(lián)系并不容易，即使找到了，也很難確定用什么作為“抽屜”，要用幾個(gè)“抽屜”。

1．年齡特點(diǎn)：六年級(jí)學(xué)生既好動(dòng)又內(nèi)斂，教師一方面要適當(dāng)引導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要?jiǎng)?chuàng)造條件和機(jī)會(huì)，讓學(xué)生發(fā)表見(jiàn)解，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性。

2．思維特點(diǎn)：知識(shí)掌握上，六年級(jí)的學(xué)生對(duì)于總結(jié)規(guī)律的方法接觸比較少，尤其對(duì)于“數(shù)學(xué)證明”。因此，教師要耐心細(xì)致的引導(dǎo)，重在讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和過(guò)程，而不是生搬硬套，只求結(jié)論，要讓學(xué)生不知其然，更要知其所以然。

四、教學(xué)目標(biāo)

1．經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”，會(huì)用“抽屜原理”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

2．通過(guò)操作發(fā)展學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。3．通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力。

五、教學(xué)方法

1.適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)枚舉法和假設(shè)法進(jìn)行比較，并通過(guò)逐步類推，使學(xué)生逐步理解“抽屜問(wèn)題”的“一般化模型”。

2.引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建解決抽屜原理類問(wèn)題的模式：明確“待分的物體”→哪是“抽屜”→平均分 →商+1

六、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：經(jīng)歷抽屜原理的探究過(guò)程，初步了解抽屜原理。難點(diǎn)：理解抽屜原理，并對(duì)一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題加以模型化。

七、教學(xué)準(zhǔn)備 課件、學(xué)習(xí)單

八、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境 提出問(wèn)題； 1.游戲?qū)?/p>

師：我們先來(lái)玩一個(gè)小游戲，有3本書放進(jìn)2個(gè)抽屜里，怎樣放？有幾種放法？想想看。

生：有兩種，一種是3本放在一個(gè)抽屜里。師：3本放在一個(gè)抽屜里，那么另外一個(gè)抽屜？

生：另外一個(gè)抽屜是空的。還有一種是一個(gè)抽屜放1本，另外一個(gè)抽屜放2本。

課件演示。

師：假設(shè)我們沒(méi)有書，也沒(méi)有課件，那我們應(yīng)該怎么來(lái)思考這個(gè)問(wèn)題呢？

生：畫圖??

師畫示意圖，一起觀察分析，得出3本書放進(jìn)2個(gè)抽屜，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少有2本書。

抽屜原理是一種很神奇規(guī)律，因?yàn)樗軌驇椭覀兘鉀Q很多生活中的問(wèn)題，大家想了解它嗎？

師：誰(shuí)能解釋一下總有和至少這兩個(gè)詞的意思？ 生：總有就是肯定有，至少就是不少于的意思。?? 2.揭示課題

師：剛才這個(gè)小游戲展示了抽屜原理中最簡(jiǎn)單的一種問(wèn)題。抽屜原理很神奇，我們用它可以解決很多有趣的的問(wèn)題，想弄明白這個(gè)原理嗎？這節(jié)課我們就一起來(lái)探究這種神秘的原理。板書課題《抽屜原理》

（二）探究原理 建立模型 1.出示學(xué)習(xí)目標(biāo)，全班齊讀。

2.出示探究任務(wù)，先獨(dú)立思考，再小組合作交流談?wù)摗?/p>

?用實(shí)物或畫圖的方法列舉出，把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中，一共有（）種情況，從中發(fā)現(xiàn)不管怎么放，總有一個(gè)筆筒里至少放進(jìn)去（）枝鉛筆。

?利用假設(shè)法把4枝鉛筆平均放進(jìn)3個(gè)筆筒里，每個(gè)筆筒里只能放（）枝鉛筆，剩下的（）枝鉛筆還要放進(jìn)其中一支筆筒里，所以至少有（）枝鉛筆放入同一個(gè)筆筒。用一個(gè)有余數(shù)的除法算式表示。3.匯報(bào)展示

4.師生一起探究交流。

課件演示，利用列舉法和假設(shè)法進(jìn)行驗(yàn)證。6.學(xué)以致用（問(wèn)題二）

1)7只鴿子飛回5個(gè)鴿舍，至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里。為什么？

2)把5本書進(jìn)2個(gè)抽屜中，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)3本書。這是為什么？

3)把7本書進(jìn)2個(gè)抽屜中，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)多少本書？為什么？

4)把9本書進(jìn)2個(gè)抽屜中，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)多少本書？為什么？

5)8只鴿子飛回3個(gè)鴿舍，至少有（）只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍。為什么？ 7.歸納小結(jié)

“抽屜原理”類問(wèn)題解決模式：明確“待分物體”—確定“抽屜”—平均分—商＋1 8.抽屜原理簡(jiǎn)介

（三）有效訓(xùn)練

一副撲克牌(除去大小王)52張中有四種花色，從中隨意抽5張牌，無(wú)論怎么抽,為什么總有兩張牌是同一花色的？

（四）總結(jié)提升

這節(jié)課你有哪些收獲？可以從知識(shí)上、學(xué)習(xí)方法上、數(shù)學(xué)小知識(shí)上進(jìn)行總結(jié)。

1.自我檢測(cè) 1)把13本書分給4名學(xué)生，不管怎么分，總有一個(gè)學(xué)生至少分得（）本書。

2)四（1）班有學(xué)生38人，同一個(gè)月份出生的學(xué)生至少有（）人。

3)在某班學(xué)生中，有8個(gè)人都訂閱了《小朋友》、《少年報(bào)》、《少年報(bào)》三種報(bào)刊中的一種或者幾種，這8個(gè)人中至少有（）個(gè)人所訂的報(bào)刊種類相同。

4)給正方體的6個(gè)面涂上紅色或藍(lán)色，不管怎么涂，至少有（）個(gè)面的顏色相同。

2.課后延伸

1）給6名學(xué)生分書，肯定有一個(gè)學(xué)生至少分到5本書，這些書至少有（）本。

2）請(qǐng)你任意寫出4個(gè)自然數(shù)，在這4個(gè)自然數(shù)中，必定有這樣的兩個(gè)數(shù)，它們的差是3的倍數(shù)，試一試，想一想，為什么？

九、板書設(shè)計(jì)

抽屜原理

列舉法 假設(shè)法 至少

3（3,0）4÷3=1??1

明確“待分物體” 3（2,1）7÷5=1??2

確定“抽屜” 4（4,0,0）5÷2=2??1

平均分 4（3,1,0）7÷2=3??1

商+1 4（2,2,0）8÷3=2??2

4（2,1,1,）

第二篇：抽屜原理教案

抽屜原理教案

一、教學(xué)內(nèi)容：

教材第70頁(yè)、72頁(yè)例

一、例二及做一做。二．、教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能

1.理解最簡(jiǎn)單的“抽屜原理”及“抽屜原理”的一般形式。

2．經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”，會(huì)用“抽屜原理”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。過(guò)程與方法

通過(guò)操作發(fā)展學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。情感態(tài)度與價(jià)值觀

體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和能力。

三、教學(xué)重點(diǎn)：

理解抽屜原理的推導(dǎo)過(guò)程。教學(xué)難點(diǎn);理解抽屜原理的一般規(guī)律。

四、教學(xué)方法：

教法：創(chuàng)設(shè)情境 引導(dǎo)探究 學(xué)法：小組合作

討論

五、師生課前準(zhǔn)備：4支鉛筆

3個(gè)文具盒 投影儀

五、教學(xué)過(guò)程

（一）課前游戲引入 1.坐凳子游戲：

教師和5名學(xué)生做游戲 2.用一副牌展示“抽屜原理”。

師：這有一副牌，老師用它變一個(gè)魔術(shù)。想看嗎？這個(gè)魔術(shù)的名字叫“猜花色”。老師隨意抽五張牌。我能猜到，至少有兩位同學(xué)的手中的花色是相同的，你們信嗎？（老師與學(xué)生合作完成魔術(shù)）師：通過(guò)者個(gè)游戲你們能猜到我們今天研究的內(nèi)容嗎？ 3.揭示課題，板書課題《抽屜原理》

抽屜原理很神奇，我們用它可以解決很多有趣的的問(wèn)題，想弄明白這個(gè)原理嗎？這節(jié)課我們就一起來(lái)探究這種神秘的原理。

（二）探究原理

建立模型

1.合作探究（問(wèn)題一）

師:同學(xué)們手中都有文具盒和鉛筆，現(xiàn)在分小組動(dòng)手操作：學(xué)生取出4枝筆，3個(gè)文具盒。然后把4枝筆放入3個(gè)文具盒中，擺一擺，想一想共有有幾種放法？還有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生取出學(xué)具，帶著問(wèn)題展開(kāi)小組活動(dòng)。2.匯報(bào)展示

學(xué)習(xí)小組派代表到臺(tái)前展示成果。要求學(xué)生邊擺邊說(shuō)，老師同時(shí)在黑板上板書草圖?？赡軙?huì)出現(xiàn)以下幾種放法：

放法：（0,1,3）（2,2,0）（2,1,1）(4,0,0)教師：通過(guò)剛才的操作，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生：我們發(fā)現(xiàn)不管怎么放，總是有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)去了2枝筆。理由是??

3教師引導(dǎo)學(xué)生用平均分的方法解決問(wèn)題

小組帶著問(wèn)題再次展開(kāi)探究。

生：每個(gè)文具盒先放1枝，余下的一枝不管放到哪個(gè)文具盒里都可以得出，總有一個(gè)文具盒至少放進(jìn)2枝筆。4.學(xué)以致用

課件出示：

將5枝筆放入4個(gè)文具盒?? 將50枝筆放入49個(gè)文具盒?? 將1000枝筆放入999個(gè)文具盒??

教師：同學(xué)們仔細(xì)觀察文具盒數(shù)和所對(duì)應(yīng)的鉛筆數(shù)你發(fā)現(xiàn)了什么？ 組織學(xué)生相互儀一儀，得出結(jié)論。

小小收獲:只要放進(jìn)的鉛筆數(shù)比文具盒數(shù)多1，總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)2枝鉛筆。

師：看來(lái)同學(xué)們都用用平均分的方法就可以解決這個(gè)問(wèn)題呢？ 師：如果要放的鉛筆數(shù)比文具盒數(shù)多2，多3，多4呢？ 4.嘗試練習(xí)

有7只鴿子，要飛進(jìn)5個(gè)鴿舍里，總有一個(gè)鴿舍里至少飛進(jìn)2個(gè)鴿子，為什么？

三、合作探究（問(wèn)題二）

課件出示：如果將5本書放入2個(gè)抽屜，那么不管怎么放，肯定有一

個(gè)文具盒至少放進(jìn)了（）枝筆？

組織學(xué)生分組討論，相互交流。師：能否用算式解答呢？ 生列式計(jì)算5÷2＝2??1 2+1=3 生：至少放3枝，商＋1。

1、如果一共有7本書會(huì)怎樣呢？

2、如果一共有9本書會(huì)怎樣呢？ 學(xué)生獨(dú)立完成，然后匯報(bào)

3、二次嘗試練習(xí)：

如果把5本書放進(jìn)3個(gè)抽屜，不管怎么放總有一個(gè)抽屜至少有幾本書？

四、課堂總結(jié)

通過(guò)學(xué)習(xí)你有什么收獲？

五、課堂檢測(cè)

1． 14本書放入5個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜至少有幾本書？（10分）2． 26本書放入7個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜至少有幾本書？（10分）3． 六（2）班有學(xué)生39人，我們可以肯定，在這39人中，至少有

幾人的生日在同一個(gè)月？想一想，為什么？（10分）

六、板書設(shè)計(jì)

（0,1,3）（2,2,0）（2,1,1）(4,0,0)只要放進(jìn)的鉛筆數(shù)比文具盒數(shù)多1，總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)2枝鉛筆。

5÷2=2……1 2+1=3 7÷2=3……1 3+1=4

第三篇：抽屜原理教案

“抽屜原理”教學(xué)設(shè)計(jì)

胡家營(yíng)學(xué)區(qū) 霍衛(wèi)國(guó)

【教學(xué)內(nèi)容】

《人教版教科書·數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)第70、71頁(yè)。

【教學(xué)目標(biāo)】

1．經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”，會(huì)用“抽屜原理”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

2．通過(guò)操作發(fā)展學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。3．通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】

經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”。【教學(xué)難點(diǎn)】 理解“抽屜原理”，并對(duì)一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題加以“模型化”。

【教具、學(xué)具準(zhǔn)備】

課件、水杯、吸管、作業(yè)紙?！窘虒W(xué)過(guò)程】

一、課前游戲引入。

師：同學(xué)們?cè)谖覀兩险n之前，先做個(gè)小游戲：老師這里準(zhǔn)備了4把椅子，請(qǐng)5個(gè)同學(xué)上來(lái)，誰(shuí)愿來(lái)？（學(xué)生上來(lái)后）

師：聽(tīng)清要求，老師說(shuō)開(kāi)始以后，請(qǐng)你們5個(gè)都坐在椅子上，每個(gè)人必須都坐下，好嗎？（好）。這時(shí)教師面向全體，背對(duì)那5個(gè)人。師：開(kāi)始。

師：都坐下了嗎？ 生：坐下了。

師：我沒(méi)有看到他們坐的情況，但是我敢肯定地說(shuō)：“不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩個(gè)同學(xué)”我說(shuō)得對(duì)嗎？ 生：對(duì)！

師：老師為什么能做出準(zhǔn)確的判斷呢？道理是什么？這其中蘊(yùn)含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)原理，這節(jié)課我們就一起來(lái)研究這個(gè)原理。下面我們開(kāi)始上課，可以嗎？

二、通過(guò)操作，探究新知 教學(xué)例1 出示題目：有3支吸管，2個(gè)盒子，把3支吸管放進(jìn)2個(gè)盒子里，有幾種不同的放法？ 師：請(qǐng)同學(xué)們實(shí)際放放看，誰(shuí)來(lái)展示一下你擺放的情況？（指名擺）根據(jù)學(xué)生擺的情況，師板書各種情況（3，0）（2，1）

師：5個(gè)人坐在4把椅子上，不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩個(gè)同學(xué)。3支吸管放進(jìn)2個(gè)盒子里呢？

生：不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2支吸管？

是：是這樣嗎？誰(shuí)還有這樣的發(fā)現(xiàn)，再說(shuō)一說(shuō)。同桌互相說(shuō)一說(shuō)。

師：那么，把4支吸管放進(jìn)3個(gè)盒子里，怎么放？有幾種不同的放法？請(qǐng)同學(xué)們實(shí)際放放看。（師巡視，了解情況，個(gè)別指導(dǎo)）

師：誰(shuí)來(lái)展示一下你擺放的情況？根據(jù)學(xué)生擺的情況，師板書各種情況。（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1），師：還有不同的放法嗎？ 生：沒(méi)有了。

師：你能發(fā)現(xiàn)什么？

生：不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2支吸管。

師：“總有”是什么意思？ 生：一定有 師：“至少”有2支什么意思？

生：不少于兩只，可能是2支，也可能是多于2支？ 師：就是不少于2支。（通過(guò)操作讓學(xué)生充分體驗(yàn)感受）

師：把3支吸管放進(jìn)2個(gè)盒子里，和把4支吸管放進(jìn)3個(gè)盒子里，不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2支吸管。這是我們通過(guò)一一列舉發(fā)現(xiàn)了這個(gè)結(jié)論。我們能不能找到一種更為直接的方法，也能得到這個(gè)結(jié)論呢？ 學(xué)生思考——組內(nèi)交流——匯報(bào)

師：哪一組同學(xué)能把你們的想法匯報(bào)一下？

組1生：我們發(fā)現(xiàn)如果每個(gè)盒子里放1枝鉛筆，最多放4支，剩下的1支不管放進(jìn)哪一個(gè)盒子里，總有一個(gè)盒子里至少有2支吸管。

師：你能結(jié)合操作給大家演示一遍嗎？（學(xué)生操作演示）師：這種分法，實(shí)際就是先怎么分的？ 生眾：平均分

師：為什么要先平均分？（組織學(xué)生討論）

生1：要想發(fā)現(xiàn)存在著“總有一個(gè)盒子里一定至少有2枝”，先平均分,余下1枝，不管放在那個(gè)盒子里，一定會(huì)出現(xiàn)“總有一個(gè)盒子里一定至少有2枝”。生2：這樣分，只分一次就能確定總有一個(gè)盒子至少有幾枝筆了？ 師：同意嗎？

師：哪位同學(xué)能把你的想法算式表達(dá)出來(lái)？

生： 4÷ 3=1……1 不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。師：把6枝筆放進(jìn)5個(gè)盒子里呢？還用擺嗎？

生：6枝鉛筆放在5個(gè)盒子里，不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。師：把7枝筆放進(jìn)6個(gè)盒子里呢？ 把8枝筆放進(jìn)7個(gè)盒子里呢？

把100枝筆放進(jìn)99個(gè)盒子里呢？??

生1：筆的枝數(shù)比盒子數(shù)多1，不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。

師：這么大是數(shù)同學(xué)們很快就能得出結(jié)論。如果鉛筆數(shù)比盒子數(shù)不是多一，會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？

出示題目：把5支鉛筆放進(jìn)3個(gè)杯子呢？

（留給學(xué)生思考的空間，師巡視了解各種情況）學(xué)生匯報(bào)。

總結(jié)：只要鉛筆數(shù)是杯子數(shù)的一倍多不超過(guò)兩倍，無(wú)論怎么放總有一個(gè)杯子里的鉛筆至少有2支。師：再多呢？

把5支鉛筆放進(jìn)2個(gè)杯子里呢？（小組討論 指明同學(xué)演示并匯報(bào)）教師總結(jié)，也是用平均分的思想。把7支鉛筆放進(jìn)3個(gè)杯子里呢？

把15支鉛筆放進(jìn)4個(gè)杯子里呢？

學(xué)生小組探究并匯報(bào)。教師點(diǎn)評(píng)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律。

商+1

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)的就是課本中70和71頁(yè)的內(nèi)容。打開(kāi)書結(jié)合我們今天研究的內(nèi)容把書好好的看一下。（教師巡視）

師：我們今天用小棒和杯子研究的這一類的問(wèn)題呢，最早把一些物品放進(jìn)抽屜里來(lái)研究的所以稱為“抽屜原理”，用它可以解決許多有趣的問(wèn)題，下面我們應(yīng)用這一原理解決問(wèn)題。

課堂練習(xí)70、71頁(yè)“做一做”。（獨(dú)立完成，交流反饋）

三、拓展提升（教師點(diǎn)撥，課下思考）

一副撲克牌，去掉了兩張王牌，還剩52張，任意抽出5張，同種花色的至少有幾張？為什么？

四、學(xué)生反思，自我評(píng)價(jià)。

第四篇：抽屜原理教案

抽屜原理教學(xué)設(shè)計(jì)

清溪中心小學(xué) 汪謙

教材內(nèi)容

義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書第十二冊(cè)第五單元第一節(jié) 教學(xué)目標(biāo)

1．基礎(chǔ)知識(shí)目標(biāo)：經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”。

2．能力訓(xùn)練目標(biāo)： 1)、會(huì)用“抽屜原理”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題； 2)、通過(guò)操作發(fā)展學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。

3．個(gè)性品質(zhì)目標(biāo)： 通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力，產(chǎn)生主動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)過(guò)程

一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課

師帶領(lǐng)學(xué)生玩“搶椅子”的游戲，規(guī)則這4位學(xué)生必須都坐下。引導(dǎo)學(xué)生觀察游戲結(jié)果——不管怎么坐，總有一個(gè)座位上至少坐了2位同學(xué)。師：為什么？（學(xué)生回答）

師：可不可能一個(gè)椅子上坐3位同學(xué)？（可能）可不可能每個(gè)椅子上只坐1位同學(xué)？（不可能）也就是說(shuō)，不管怎么坐，總有一個(gè)椅子上至少要坐2位同學(xué)。師：那么像這樣的現(xiàn)象中隱藏著設(shè)么數(shù)學(xué)奧秘呢？大家想不想弄明白？好，就讓我們一起走進(jìn)數(shù)學(xué)廣角來(lái)研究這個(gè)原理。希望大家都能積極的動(dòng)手動(dòng)腦，參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)，齊心協(xié)力把這個(gè)數(shù)學(xué)奧秘弄懂！

二、探究新知

（一）教學(xué)例1

1、出示題目：把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒里。

師：剛才我們做游戲，不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐了2位同學(xué)。那么，把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒里，有多少種放法呢？會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？大家可不可以大膽的猜測(cè)一下？

（學(xué)情預(yù)設(shè)：不管怎么放，總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)了2枝鉛筆。）

2、理解“至少” 師：“至少”是什么意思？如何理解呢？（最少2枝，也可能比2枝多）

師：到底我們猜測(cè)的對(duì)不對(duì)呢？怎么樣證明這種現(xiàn)象呢？下面，就需要自己動(dòng)手利用學(xué)具去擺一擺，動(dòng)腦去想一想，看看能不能證明我們這個(gè)猜想。

3、自主探究

（1）兩人一組利用手中的學(xué)具1擺一擺，想一想，可以怎么樣去擺放？老師幫大家準(zhǔn)備了一個(gè)記錄單，你們可以把擺放的不同方法記錄下來(lái)，以便你們分析結(jié)果是不是符合我們之前的猜測(cè)。（2）全班交流，學(xué)生匯報(bào)。第一種方法：

（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）學(xué)生解釋自己的想法，驗(yàn)證猜測(cè)。

教師課件演示，驗(yàn)證結(jié)論。（像大家剛才這樣把每一種放法都列舉出來(lái)，然后去一一驗(yàn)證，這種方法叫列舉法）第二種方法：

師：還有別的思考方法，來(lái)驗(yàn)證我們之前的猜測(cè)嗎？ 假設(shè)法：（學(xué)生匯報(bào)）

師課件演示，說(shuō)明：先假設(shè)每個(gè)文具盒里各放入1枝鉛筆，余下1枝鉛筆不管放進(jìn)哪個(gè)文具盒里，一定會(huì)出現(xiàn)“總有一個(gè)文具盒里至少有2枝鉛筆”的現(xiàn)象。

4、優(yōu)化方法

那么把5枝鉛筆放進(jìn)4個(gè)文具盒里，會(huì)怎樣呢？ 那么把6枝鉛筆放進(jìn)5個(gè)文具盒里，會(huì)怎樣呢？ 那么把7枝鉛筆放進(jìn)6個(gè)文具盒里，會(huì)怎樣呢？ 那么把100枝鉛筆放進(jìn)99個(gè)文具盒里，會(huì)怎樣呢？（學(xué)生解釋說(shuō)明，師課件演示）

師：你們?yōu)槭裁炊加玫诙N方法，而不用列舉法呢？

5、發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：通過(guò)剛才我們分析的這些現(xiàn)象，你發(fā)現(xiàn)了什么？（當(dāng)筆的枝數(shù)比鉛筆盒數(shù)多1時(shí)，不管怎么放，總有一個(gè)文具盒里至少放2枝鉛筆。）

師：同學(xué)們能有這么了不起的發(fā)現(xiàn)，真不錯(cuò)！說(shuō)明大家認(rèn)真動(dòng)腦思考了。那么老師這有一道和我們剛才這些題稍稍不同的題，看看你們能不能用這種思維來(lái)解決一下？

6、出示做一做：7只鴿子飛回5個(gè)鴿舍，至少有（）只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里？

（1）學(xué)生獨(dú)立思考，可以自己想辦法解決。（2）全班匯報(bào)，解釋說(shuō)明。

（3）教師用課件演示（雖然鴿子的只數(shù)比鴿舍的數(shù)量多2，但是也是至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里。）

師：同學(xué)們真是太了不起了，善于運(yùn)用分析、推理的方法來(lái)證明問(wèn)題，得出結(jié)論。同學(xué)們的思維在不知不覺(jué)中也提升了許多。大家敢不敢再來(lái)挑戰(zhàn)一道更難的題目？

（二）教學(xué)例2

1、出示例2：把5本書放進(jìn)2個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)幾本書？

2、學(xué)生利用學(xué)具探究

3、學(xué)生匯報(bào)，教師課件演示

如果把我們的這種思維方法用式子表示出來(lái)，該怎樣列式？ 5÷2=2…..1（3）

4、拓展：把7本書放進(jìn)2個(gè)抽屜里呢？ 把9本書放進(jìn)2個(gè)抽屜里呢？用式子怎么表示？ 7÷2=3….1（4）9÷2=4…1（5）

師：同學(xué)們觀察這些板書，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律嗎？（商+余數(shù)）（商+1）

5、做一做：8只鴿子飛回3個(gè)鴿舍，至少有（）只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里。為什么？ 學(xué)生獨(dú)立思考，匯報(bào)交流。板書式子：8÷3=2…2（2+1=3）

教師課件演示：至少有3只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里，所以應(yīng)該是商加1.（三）結(jié)論

師：同學(xué)們，真的非常厲害，剛才我們一起探究的這種現(xiàn)象，就成為“抽屜原理” 課件出示。

三、拓展應(yīng)用

“抽屜原理”在現(xiàn)實(shí)生活中引用也是非常廣泛的。下面，老師再帶大家做一個(gè)小游戲。撲克牌游戲。

2011年4月15日

第五篇：抽屜原理

抽屜原理

把5個(gè)蘋果放到4個(gè)抽屜中，必然有一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)蘋果，這是抽屜原理的通俗解釋。一般地，我們將它表述為：

第一抽屜原理：把（mn＋1）個(gè)物體放入n個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至少有（m＋1）個(gè)物體。

使用抽屜原理解題，關(guān)鍵是構(gòu)造抽屜。一般說(shuō)來(lái)，數(shù)的奇偶性、剩余類、數(shù)的分組、染色、線段與平面圖形的劃分等，都可作為構(gòu)造抽屜的依據(jù)。

例1 從1，2，3，…，100這100個(gè)數(shù)中任意挑出51個(gè)數(shù)來(lái)，證明在這51個(gè)數(shù)中，一定：

（1）有2個(gè)數(shù)互質(zhì)；

（2）有2個(gè)數(shù)的差為50；

（3）有8個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1。

證明：（1）將100個(gè)數(shù)分成50組：

{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。

在選出的51個(gè)數(shù)中，必有2個(gè)數(shù)屬于同一組，這一組中的2個(gè)數(shù)是兩個(gè)相鄰的整數(shù)，它們一定是互質(zhì)的。

（2）將100個(gè)數(shù)分成50組：

{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。

在選出的51個(gè)數(shù)中，必有2個(gè)數(shù)屬于同一組，這一組的2個(gè)數(shù)的差為50。

（3）將100個(gè)數(shù)分成5組（一個(gè)數(shù)可以在不同的組內(nèi)）：

第一組：2的倍數(shù)，即{2，4，…，100}；

第二組：3的倍數(shù)，即{3，6，…，99}；

第三組：5的倍數(shù)，即{5，10，…，100}；

第四組：7的倍數(shù)，即{7，14，…，98}；

第五組：1和大于7的質(zhì)數(shù)即{1，11，13，…，97}。

第五組中有22個(gè)數(shù)，故選出的51個(gè)數(shù)至少有29個(gè)數(shù)在第一組到第四組中，根據(jù)抽屜原理，總有8個(gè)數(shù)在第一組到第四組的某一組中，這8個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)大于1。

例2 求證：可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。

證明：因1996÷4＝499，故只需證明可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是1的自然數(shù)，它是499的倍數(shù)就可以了。

得到500個(gè)余數(shù)r1，r2，…，r500。由于余數(shù)只能取0，1，2，…，499這499個(gè)值，所以根據(jù)抽屜原理，必有2個(gè)余數(shù)是相同的，這2個(gè)數(shù)的差就是499的倍數(shù)，這個(gè)差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互質(zhì)的，故它的前若干位由1組成的自然數(shù)是499的倍數(shù)，將它乘以4，就得到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。

例3 在一個(gè)禮堂中有99名學(xué)生，如果他們中的每個(gè)人都與其中的66人相識(shí)，那么可能出現(xiàn)這種情況：他們中的任何4人中都一定有2人不相識(shí)（假定相識(shí)是互相的）。

分析：注意到題中的說(shuō)法“可能出現(xiàn)……”，說(shuō)明題的結(jié)論并非是條件的必然結(jié)果，而僅僅是一種可能性，因此只需要設(shè)法構(gòu)造出一種情況使之出現(xiàn)題目中所說(shuō)的結(jié)論即可。

解：將禮堂中的99人記為a1，a2，…，a99，將99人分為3組：

（a1，a2，…，a33），（a34，a35，…，a66），（a67，a68，…，a99），將3組學(xué)生作為3個(gè)抽屜，分別記為A，B，C，并約定A中的學(xué)生所認(rèn)識(shí)的66人只在B，C中，同時(shí)，B，C中的學(xué)生所認(rèn)識(shí)的66人也只在A，C和A，B中。如果出現(xiàn)這種局面，那么題目中所說(shuō)情況

/ 7

就可能出現(xiàn)。

因?yàn)槎Y堂中任意4人可看做4個(gè)蘋果，放入A，B，C三個(gè)抽屜中，必有2人在同一抽屜，即必有2人來(lái)自同一組，那么他們認(rèn)識(shí)的人只在另2組中，因此他們兩人不相識(shí)。

例4 如右圖，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，…，8的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)上，開(kāi)始時(shí)相對(duì)的滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同。當(dāng)兩個(gè)圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)。

分析：此題中沒(méi)有直接提供我們用以構(gòu)造抽屜和蘋果的數(shù)量關(guān)系，需要轉(zhuǎn)換一下看問(wèn)題的角度。

解：內(nèi)外兩環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)可看成一環(huán)靜止，只有一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)。一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)一周后，每個(gè)滾珠都會(huì)有一次與標(biāo)有相同數(shù)字的滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)，那么這種局面共要出現(xiàn)8次。將這8次局面看做蘋果，再需構(gòu)造出少于8個(gè)抽屜。

注意到一環(huán)每轉(zhuǎn)動(dòng)45°角就有一次滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周共有8次滾珠相對(duì)的局面，而最初的8對(duì)滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同，所以數(shù)字相同的滾珠相對(duì)的情況只出現(xiàn)在以后的7次轉(zhuǎn)動(dòng)中，將7次轉(zhuǎn)動(dòng)看做7個(gè)抽屜，8次相同數(shù)字滾珠相對(duì)的局面看做8個(gè)蘋果，則至少有2次數(shù)字相對(duì)的局面出現(xiàn)在同一次轉(zhuǎn)動(dòng)中，即必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)。

例5 有一個(gè)生產(chǎn)天平上用的鐵盤的車間，由于工藝上的原因，只能控制盤的重量在指定的20克到20.1克之間?，F(xiàn)在需要重量相差不超過(guò)0.005克的兩只鐵盤來(lái)裝配一架天平，問(wèn)：最少要生產(chǎn)多少個(gè)盤子，才能保證一定能從中挑出符合要求的兩只盤子？

解：把20～20.1克之間的盤子依重量分成20組：

第1組：從20.000克到20.005克；

第2組：從20.005克到20.010克；

……

第20組：從20.095克到20.100克。

這樣，只要有21個(gè)盤子，就一定可以從中找到兩個(gè)盤子屬于同一組，這2個(gè)盤子就符合要求。

例6 在圓周上放著100個(gè)籌碼，其中有41個(gè)紅的和59個(gè)藍(lán)的。那么總可以找到兩個(gè)紅籌碼，在它們之間剛好放有19個(gè)籌碼，為什么？

分析：此題需要研究“紅籌碼”的放置情況，因而涉及到“蘋果”的具體放置方法，由此我們可以在構(gòu)造抽屜時(shí)，使每個(gè)抽屜中的相鄰“蘋果”之間有19個(gè)籌碼。

解：依順時(shí)針?lè)较驅(qū)⒒I碼依次編上號(hào)碼：1，2，…，100。然后依照以下規(guī)律將100個(gè)籌碼分為20組：

（1，21，41，61，81）；

（2，22，42，62，82）；

……

（20，40，60，80，100）。

將41個(gè)紅籌碼看做蘋果，放入以上20個(gè)抽屜中，因?yàn)?1=2×20＋1，所以至少有一個(gè)抽屜中有2+1=3（個(gè)）蘋果，也就是說(shuō)必有一組5個(gè)籌碼中有3個(gè)紅色籌碼，而每組的5個(gè)籌碼在圓周上可看做兩兩等距，且每2個(gè)相鄰籌碼之間都有19個(gè)籌碼，那么3個(gè)紅色籌碼中必有2個(gè)相鄰（這將在下一個(gè)內(nèi)容——第二抽屜原理中說(shuō)明），即有2個(gè)紅色籌碼之間有19個(gè)籌碼。

下面我們來(lái)考慮另外一種情況：若把5個(gè)蘋果放到6個(gè)抽屜中，則必然有一個(gè)抽屜空著。這種情況一般可以表述為：

/ 7

第二抽屜原理：把（mn-1）個(gè)物體放入n個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至多有（m-1）個(gè)物體。

例7 在例6中留有一個(gè)疑問(wèn)，現(xiàn)改述如下：在圓周上放有5個(gè)籌碼，其中有3個(gè)是同色的，那么這3個(gè)同色的籌碼必有2個(gè)相鄰。

分析：將這個(gè)問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化：

如右圖，將同色的3個(gè)籌碼A，B，C置于圓周上，看是否能用另外2個(gè)籌碼將其隔開(kāi)。

解：如圖，將同色的3個(gè)籌碼放置在圓周上，將每2個(gè)籌碼之間的間隔看做抽屜，將其余2個(gè)籌碼看做蘋果，將2個(gè)蘋果放入3個(gè)抽屜中，則必有1個(gè)抽屜中沒(méi)有蘋果，即有2個(gè)同色籌碼之間沒(méi)有其它籌碼，那么這2個(gè)籌碼必相鄰。

例8 甲、乙二人為一個(gè)正方形的12條棱涂紅和綠2種顏色。首先，甲任選3條棱并把它們涂上紅色；然后，乙任選另外3條棱并涂上綠色；接著甲將剩下的6條棱都涂上紅色。問(wèn)：甲是否一定能將某一面的4條棱全部涂上紅色？

解：不能。

如右圖將12條棱分成四組：

第一組：{A1B1，B2B3，A3A4}，第二組：{A2B2，B3B4，A4A1}，第三組：{A3B3，B4B1，A1A2}，第四組：{A4B4，B1B2，A2A3}。

無(wú)論甲第一次將哪3條棱涂紅，由抽屜原理知四組中必有一組的3條棱全未涂紅，而乙只要將這組中的3條棱涂綠，甲就無(wú)法將某一面的4條棱全部涂紅了。

下面我們討論抽屜原理的一個(gè)變形——平均值原理。

我們知道n個(gè)數(shù)a1，a2，…，an的和與n的商是a1，a2，…，an這n個(gè)數(shù)的平均值。平均值原理：如果n個(gè)數(shù)的平均值為a，那么其中至少有一個(gè)數(shù)不大于a，也至少有一個(gè)不小于a。

例9 圓周上有2000個(gè)點(diǎn)，在其上任意地標(biāo)上0，1，2，…，1999（每一點(diǎn)只標(biāo)一個(gè)數(shù)，不同的點(diǎn)標(biāo)上不同的數(shù)）。求證：必然存在一點(diǎn)，與它緊相鄰的兩個(gè)點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三個(gè)數(shù)之和不小于2999。

解：設(shè)圓周上各點(diǎn)的值依次是a1，a2，…，a2000，則其和

a1＋a2+…＋a2000=0+1+2+…+1999=1999000。

下面考慮一切相鄰三數(shù)組之和：

（a1＋a2＋a3）+（a2＋a3＋a4）＋…＋（a1998+a1999＋a2000）＋（a1999＋a2000＋a1）＋（a2000＋a1＋a2）

=3（a1＋a2＋…＋a2000）

＝3×1999000。

這2000組和中必至少有一組和大于或等于

但因每一個(gè)和都是整數(shù)，故有一組相鄰三數(shù)之和不小于2999，亦即存在一個(gè)點(diǎn)，與它緊相鄰的兩點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三數(shù)之和不小于2999。

例10 一家旅館有90個(gè)房間，住有100名旅客，如果每次都恰有90名旅客同時(shí)回來(lái)，那么至少要準(zhǔn)備多少把鑰匙分給這100名旅客，才能使得每次客人回來(lái)時(shí)，每個(gè)客人都能用自己分到的鑰匙打開(kāi)一個(gè)房門住進(jìn)去，并且避免發(fā)生兩人同時(shí)住進(jìn)一個(gè)房間？

解：如果鑰匙數(shù)小于990，那么90個(gè)房間中至少有一個(gè)房間的鑰匙數(shù)少房間就打不開(kāi)，因此90個(gè)人就無(wú)法按題述的條件住下來(lái)。

/ 7

另一方面，990把鑰匙已經(jīng)足夠了，這只要將90把不同的鑰匙分給90個(gè)人，而其余的10名旅客，每人各90把鑰匙（每個(gè)房間一把），那么任何90名旅客返回時(shí)，都能按要求住進(jìn)房間。

最后，我們要指出，解決某些較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，往往要多次反復(fù)地運(yùn)用抽屜原理，請(qǐng)看下面兩道例題。

例11 設(shè)有4×28的方格棋盤，將每一格涂上紅、藍(lán)、黃三種顏色中的任意一種。試證明：無(wú)論怎樣涂法，至少存在一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形。

證明：我們先考察第一行中28個(gè)小方格涂色情況，用三種顏色涂28個(gè)小方格，由抽屜原理知，至少有10個(gè)小方格是同色的，不妨設(shè)其為紅色，還可設(shè)這10個(gè)小方格就在第一行的前10列。

下面考察第二、三、四行中前面10個(gè)小方格可能出現(xiàn)的涂色情況。這有兩種可能：

（1）這三行中，至少有一行，其前面10個(gè)小方格中，至少有2個(gè)小方格是涂有紅色的，那么這2個(gè)小方格和第一行中與其對(duì)應(yīng)的2個(gè)小方格，便是一個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)角，這個(gè)長(zhǎng)方形就是一個(gè)四角同是紅色的長(zhǎng)方形。

（2）這三行中每一行前面的10格中，都至多有一個(gè)紅色的小方格，不妨設(shè)它們分別出現(xiàn)在前三列中，那么其余的3×7個(gè)小方格便只能涂上黃、藍(lán)兩種顏色了。

我們先考慮這個(gè)3×7的長(zhǎng)方形的第一行。根據(jù)抽屜原理，至少有4個(gè)小方格是涂上同一顏色的，不妨設(shè)其為藍(lán)色，且在第1至4列。

再考慮第二行的前四列，這時(shí)也有兩種可能：

（1）這4格中，至少有2格被涂上藍(lán)色，那么這2個(gè)涂上藍(lán)色的小方格和第一行中與其對(duì)應(yīng)的2個(gè)小方格便是一個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)角，這個(gè)長(zhǎng)方形四角同是藍(lán)色。

（2）這4格中，至多有1格被涂上藍(lán)色，那么，至少有3格被涂上黃色。不妨設(shè)這3個(gè)小方格就在第二行的前面3格。

下面繼續(xù)考慮第三行前面3格的情況。用藍(lán)、黃兩色涂3個(gè)小方格，由抽屜原理知，至少有2個(gè)方格是同色的，無(wú)論是同為藍(lán)色或是同為黃色，都可以得到一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形。

總之，對(duì)于各種可能的情況，都能找到一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形。

例12 試卷上共有4道選擇題，每題有3個(gè)可供選擇的答案。一群學(xué)生參加考試，結(jié)果是對(duì)于其中任何3人，都有一道題目的答案互不相同。問(wèn)：參加考試的學(xué)生最多有多少人？

解：設(shè)每題的三個(gè)選擇分別為a，b，c。

（1）若參加考試的學(xué)生有10人，則由第二抽屜原理知，第一題答案分別為a，b，c的三組學(xué)生中，必有一組不超過(guò)3人。去掉這組學(xué)生，在余下的學(xué)生中，定有7人對(duì)第一題的答案只有兩種。對(duì)于這7人關(guān)于第二題應(yīng)用第二抽屜原理知，其中必可選出5人，他們關(guān)于第二題的答案只有兩種可能。對(duì)于這5人關(guān)于第三題應(yīng)用第二抽屜原理知，可以選出4人，他們關(guān)于第三題的答案只有兩種可能。最后，對(duì)于這4人關(guān)于第四題應(yīng)用第二抽屜原理知，必可選出3人，他們關(guān)于第四題的答案也只有兩種。于是，對(duì)于這3人來(lái)說(shuō)，沒(méi)有一道題目的答案是互不相同的，這不符合題目的要求?？梢?jiàn)，所求的最多人數(shù)不超過(guò)9人。

另一方面，若9個(gè)人的答案如下表所示，則每3人都至少有一個(gè)問(wèn)題的答案互不相同。

所以，所求的最多人數(shù)為9人。練習(xí)13

1.六（1）班有49名學(xué)生。數(shù)學(xué)王老師了解到在期中考試中該班英文成績(jī)除3人外均在86分以上后就說(shuō)：“我可以斷定，本班同學(xué)至少有4人成績(jī)相同?！闭?qǐng)問(wèn)王老師說(shuō)得對(duì)嗎？為什么？

2.現(xiàn)有64只乒乓球，18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里最多可以放6只乒乓球，至少有幾個(gè)

/ 7

乒乓球盒子里的乒乓球數(shù)目相同？

3.某校初二年級(jí)學(xué)生身高的厘米數(shù)都為整數(shù)，且都不大于160厘米，不小于150厘米。問(wèn)：在至少多少個(gè)初二學(xué)生中一定能有4個(gè)人身高相同？

4.從1，2，…，100這100個(gè)數(shù)中任意選出51個(gè)數(shù)，證明在這51個(gè)數(shù)中，一定：

（1）有兩個(gè)數(shù)的和為101；

（2）有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)；

（3）有一個(gè)數(shù)或若干個(gè)數(shù)的和是51的倍數(shù)。

5.在3×7的方格表中，有11個(gè)白格，證明

（1）若僅含一個(gè)白格的列只有3列，則在其余的4列中每列都恰有兩個(gè)白格；

（2）只有一個(gè)白格的列只有3列。

6.某個(gè)委員會(huì)開(kāi)了40次會(huì)議，每次會(huì)議有10人出席。已知任何兩個(gè)委員不會(huì)同時(shí)開(kāi)兩次或更多的會(huì)議。問(wèn)：這個(gè)委員會(huì)的人數(shù)能夠多于60人嗎？為什么？

7.一個(gè)車間有一條生產(chǎn)流水線，由5臺(tái)機(jī)器組成，只有每臺(tái)機(jī)器都開(kāi)動(dòng)時(shí)，這條流水線才能工作。總共有8個(gè)工人在這條流水線上工作。在每一個(gè)工作日內(nèi)，這些工人中只有5名到場(chǎng)。為了保證生產(chǎn)，要對(duì)這8名工人進(jìn)行培訓(xùn)，每人學(xué)一種機(jī)器的操作方法稱為一輪。問(wèn)：最少要進(jìn)行多少輪培訓(xùn)，才能使任意5個(gè)工人上班而流水線總能工作？

8.有9名數(shù)學(xué)家，每人至多能講3種語(yǔ)言，每3人中至少有2人能通話。求證：在這9名中至少有3名用同一種語(yǔ)言通話。

練習(xí)13

1.對(duì)。解：因?yàn)?9-3=3×（100-86+1）+1，即46=3×15+1，也就是說(shuō)，把從100分至86分的15個(gè)分?jǐn)?shù)當(dāng)做抽屜，49-3=46（人）的成績(jī)當(dāng)做物體，根據(jù)第二抽屜原理，至少有4人的分?jǐn)?shù)在同一抽屜中，即成績(jī)相同。

2.4個(gè)。解：18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里至多可以放6只乒乓球。為使相同乒乓球個(gè)數(shù)的盒子盡可能少，可以這樣放：先把盒子分成6份，每份有18÷6=3（只），分別在每一份的3個(gè)盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球，即3個(gè)盒子中放了1只乒乓球，3個(gè)盒中放了2只乒乓球……3個(gè)盒子中放了6只乒乓球。這樣，18個(gè)盒子中共放了乒乓球

（1+2+3+4+5+6）×3=63（只）。

把以上6種不同的放法當(dāng)做抽屜，這樣剩下64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一個(gè)抽屜里的任何一個(gè)盒子里（除已放滿6只乒乓球的抽屜外），都將使該盒子中的乒乓球數(shù)增加1只，這時(shí)與比該抽屜每盒乒乓數(shù)多1的抽屜中的3個(gè)盒子里的乒乓球數(shù)相等。例如剩下的1只乒乓球放進(jìn)原來(lái)有2只乒乓球的一個(gè)盒子里，該盒乒乓球就成了3只，再加上原來(lái)裝有3只乒乓球的3個(gè)盒子，這樣就有4個(gè)盒子里裝有3個(gè)乒乓球。所以至少有4個(gè)乒乓球盒里的乒乓球數(shù)目相同。

3.34個(gè)。

解：把初二學(xué)生的身高厘米數(shù)作為抽屜，共有抽屜

160-150+1=11（個(gè)）。

根據(jù)抽屜原理，要保證有4個(gè)人身高相同，至少要有初二學(xué)生

3×11+1=34（個(gè)）。

4.證：（1）將100個(gè)數(shù)分成50組：

/ 7

｛1，100｝，｛2，99｝，…，｛50，51｝。

在選出的51個(gè)數(shù)中，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組的兩數(shù)之和為101。

（2）將100個(gè)數(shù)分成10組：

｛1,2,4,8,16,32,64｝, ｛3,6,12,24,48,96｝，｛5,10,20,40,80｝, ｛7,14,28,56｝，｛9,18,36,72｝, ｛11,22,44,88｝，｛13,26,52｝, ｛15,30,60｝,…, ｛49,98｝, ｛其余數(shù)｝。

其中第10組中有41個(gè)數(shù)。在選出的51個(gè)數(shù)中，第10組的41個(gè)數(shù)全部選中，還有10個(gè)數(shù)從前9組中選，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組中的任意兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)。

（3）將選出的51個(gè)數(shù)排成一列：

a1，a2，a3，…，a51。

考慮下面的51個(gè)和：

a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+a3+…+a51。

若這51個(gè)和中有一個(gè)是51的倍數(shù)，則結(jié)論顯然成立；若這51個(gè)和中沒(méi)有一個(gè)是51的倍數(shù)，則將它們除以51，余數(shù)只能是1，2，…，50中的一個(gè)，故必然有兩個(gè)的余數(shù)是相同的，這兩個(gè)和的差是51的倍數(shù)，而這個(gè)差顯然是這51個(gè)數(shù)（a1，a2，a3，…，a51）中的一個(gè)數(shù)或若干個(gè)數(shù)的和。

5.證：（1）在其余4列中如有一列含有3個(gè)白格，則剩下的5個(gè)白格要放入3列中，將3列表格看做3個(gè)抽屜，5個(gè)白格看做5個(gè)蘋果，根據(jù)第二抽屜原理，5（=2×3-1）個(gè)蘋果放入3個(gè)抽屜，則必有1個(gè)抽屜至多只有（2-1）個(gè)蘋果，即必有1列只含1個(gè)白格，也就是說(shuō)除了原來(lái)3列只含一個(gè)白格外還有1列含1個(gè)白格，這與題設(shè)只有1個(gè)白格的列只有3列矛盾。所以不會(huì)有1列有3個(gè)白格，當(dāng)然也不能再有1列只有1個(gè)白格。推知其余4列每列恰好有2個(gè)白格。

（2）假設(shè)只含1個(gè)白格的列有2列，那么剩下的9個(gè)白格要放入5列中，而9=2×5-1，由第二抽屜原理知，必有1列至多只有2-1=1（個(gè)）白格，與假設(shè)只有2列每列只1個(gè)白格矛盾。所以只有1個(gè)白格的列至少有3列。

6.能。

解：開(kāi)會(huì)的“人次”有 40×10=400（人次）。設(shè)委員人數(shù)為N，將“人次”看做蘋果，以委員人數(shù)作為抽屜。

若N≤60，則由抽屜原理知至少有一個(gè)委員開(kāi)了7次（或更多次）會(huì)。但由已知條件知沒(méi)有一個(gè)人與這位委員同開(kāi)過(guò)兩次（或更多次）的會(huì)，故他所參加的每一次會(huì)的另外9個(gè)人是不相同的，從而至少有7×9=63（個(gè)）委員，這與N≤60的假定矛盾。所以，N應(yīng)大于60。

7.20輪。

解：如果培訓(xùn)的總輪數(shù)少于20，那么在每一臺(tái)機(jī)器上可進(jìn)行工作的工人果這3個(gè)工人某一天都沒(méi)有到車間來(lái)，那么這臺(tái)機(jī)器就不能開(kāi)動(dòng)，整個(gè)流水線就不能工作。故培訓(xùn)的總輪數(shù)不能少于20。

另一方面，只要進(jìn)行20輪培訓(xùn)就夠了。對(duì)3名工人進(jìn)行全能性培訓(xùn)，訓(xùn)練他們會(huì)開(kāi)每一臺(tái)機(jī)器；而對(duì)其余5名工人，每人只培訓(xùn)一輪，讓他們每人能開(kāi)動(dòng)一臺(tái)機(jī)器。這個(gè)方案實(shí)施后，不論哪5名工人上班，流水線總能工作。

8.證：以平面上9個(gè)點(diǎn)A1，A2，…，A9表示9個(gè)數(shù)學(xué)家，如果兩人能通話，就把表示他們的兩點(diǎn)聯(lián)線，并涂上一種顏色（不同的語(yǔ)言涂上不同顏色）。此時(shí)有兩種情況：

（1）9點(diǎn)中有任意2點(diǎn)都有聯(lián)線，并涂了相應(yīng)的顏色。于是從某一點(diǎn)A1出發(fā)，分別與

/ 7

A2，A3，…，A9聯(lián)線，又據(jù)題意，每人至多能講3種語(yǔ)言，因此A1A2，A1A3，…，A1A9中至多只能涂3種不同的顏色，由抽屜原理知，這8條線段中至少有2條同色的線段。不妨設(shè)A1A2與A1A3是同色線段，因此A1，A2，A3這3點(diǎn)表示的3名數(shù)學(xué)家可用同一種語(yǔ)言通話。

（2）9點(diǎn)中至少有2點(diǎn)不聯(lián)線，不妨設(shè)是A1與A2不聯(lián)線。由于每3人中至少有兩人能通話，因此從A1與A2出發(fā)至少有7條聯(lián)線。再由抽屜原理知，其中必有4條聯(lián)線從A1或A2 出發(fā)。不妨設(shè)從A1出發(fā)，又因A1至多能講3種語(yǔ)言，所以這4條聯(lián)線中，至少有2條聯(lián)線是同色的。若A1A3與A1A4同色，則A1，A3，A4這3點(diǎn)表示的3名數(shù)學(xué)家可用同一種語(yǔ)言通話。

/ 7