第一篇：《抽屜原理》教學案例_梅冬珍

六年級下冊《抽屜原理》教學設計

秭歸縣駐香港部隊秭歸希望小學 梅冬珍

【背景與導讀】

《抽屜原理》是義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學六年級下冊第五單元數(shù)學廣角的教學內容。教材通過幾個直觀例子，借助實際操作，向學生介紹“抽屜原理”，使學生在理解“抽屜原理”這一數(shù)學方法的基礎上，對一些簡單的實際問題加以“模型化”，會用“抽屜原理”加以解決。“抽屜原理”在生活中運用廣泛，學生在生活中常常能遇到實例，但并不能有意識的從數(shù)學角度來理解和運用。教學中我有意識的讓學生理解“抽屜原理”的“一般化模型”。六年級學生的邏輯思維能力、小組合作能力和動手操作能力都有了較大的提高，加上已有的生活經驗，很容易感受到用“抽屜原理”解決問題帶來的樂趣。同時我也知道一節(jié)成功的課堂教學，不僅是要讓學生掌握所學的知識，更重要的是要創(chuàng)造一種和諧愉悅的氣氛，讓學生能夠從中感受到學習的樂趣，并主動地去探求知識，發(fā)展思維。因此，在教學過程的設計中，我力圖從以下幾個方面來反映和體現(xiàn)《數(shù)學課程標準》的理念。

1、認真鉆研教材，讓教材為我所用。在準確把握教材編寫意圖，深刻理解教材內容，領悟教材所反應的知識要點、教學思想方法基礎上，在充分了解學生已有的學習水平和生活經驗基礎上，對教材內容進行恰當?shù)剡x擇與改編、刪減與補充，設計出有利于學生學習的教學方案。

2、從興趣入手，讓學生置身游戲中開始學習，為理解抽屜原理埋下伏筆。

3、采用自主探索，合作交流的學習方式，充分發(fā)揮學生的積極性、主動性和創(chuàng)造性。使學生在觀察、操作、討論、交流、猜測、歸納、分析和整理的過程中，理解問題的提出、概念的形成和結論的獲得，以及數(shù)學知識的應用，主動地參與教學的全過程，逐步地培養(yǎng)創(chuàng)新意識，形成初步的探索和解決問題的能力?！窘虒W內容】

《義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》六年級下冊第70、71頁?！窘滩姆治觥?/p>

《抽屜原理》是義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學六年級下冊第五單元數(shù)學廣角的教學內容。這部分教材通過幾個直觀例子，借助實際操作，向學生介紹“抽屜原理”，使學生在理解“抽屜原理”這一數(shù)學方法的基礎上，對一些簡單的實際問題加以“模型化”，會用“抽屜原理”加以解決?！緦W情分析】

“抽屜原理”在生活中運用廣泛，學生在生活中常常能遇到實例，但并不能有意識地從數(shù)學的角度來理解和運用“抽屜原理”。教學中應有意識地讓學生理解“抽屜原理”的“一般化模型”。六年級學生的邏輯思維能力、小組合作能力和動手操作能力都有了較大的提高，加上已有的生活經驗，很容易感受到用“抽屜原理”解決問題帶來的樂趣?！窘虒W目標】

1．經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。

2．通過操作發(fā)展學生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學思維。

3．通過“抽屜原理”的靈活應用感受數(shù)學的魅力。【教學重點】

經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”?！窘虒W難點】

理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”?！窘叹?、學具準備】

教師準備白板課件，每組都有相應數(shù)量的杯子和小棒?！窘虒W過程】

一、創(chuàng)設情境，激趣導入。

師：同學們，在我們上課之前，先做個游戲：老師這里準備了4把椅子，請5個同學上來，誰愿來？（請五位同學上來）

師：聽清要求，老師說開始，你們5個同學圍繞凳子轉動，當老師說搶時，你們都坐在凳子上，好嗎？（好）。這時教師面向全體，背對那5個同學。

師：轉。

師：搶。都坐下了嗎？ 生：坐下了。

師：我沒有看到他們坐的情況，但是我敢肯定地說：“不管怎么坐，總有一個凳子上至少坐兩個同學”我說得對嗎？

生：對！

師：如果老師讓這五位同學反復再搶，我還敢肯定的說，總有一個凳子上至少坐兩個同學。老師為什么能做出準確的判斷呢？其實這里面蘊含著一個有趣的數(shù)學原理，這節(jié)課我們就用你們準備好的小棒和杯子來研究這個原理。

【反思：興趣是最好的老師，我開課以“搶椅子”，讓學生置身游戲中開始學習，為理解抽屜原理埋下伏筆。這個游戲雖簡單卻能真實的反映“抽屜原理”的本質。通過小游戲，一下就抓住了學生的注意力，讓學生覺得這節(jié)課要探究的問題，好玩、有趣、有意義?！?/p>

二、合作交流，探究新知。

多媒體出示：3根小棒，2個杯子，把3根小棒放進2個杯子里，怎么放？有幾種不同的放法？

師：請同桌同學實際放放看，并把各種擺放的情況記錄下來。師巡回指導。

集體交流。誰來展示一下你擺放的情況？（指名到白板上操作）根據學生擺的情況，師板書各種情況：（2，1）根據學生的擺放，師問：能不能說總有一個杯子里有2根小棒。

生：能。

當學生說出（3，0）這種擺法時，師問：還能說總有一個杯子里有2根小棒嗎？學生交流，得出不能這樣說。師順勢引導：綜合這兩種擺法，我們該怎么說，使這兩種情況都成立呢？

生：不管怎么放，總有一個杯子里至少有2根小棒。師：“總有”是什么意思？ 生：一定有 師：“至少”有2根什么意思？

生：不少于兩根，可能是2根，也可能是多于2根。師：就是不能少于2根。用一個數(shù)學符號該怎樣表示。

生：≥。（通過操作讓學生充分體驗感受）

【反思：先作了一個鋪墊性的實驗。讓學生明白“怎么放”，并幫助學生理解“總有”、“至少”的含義都是為后面的進一步深入學習打下良好的基礎?！?/p>

師：那么，把4根小棒放進3個杯子里，怎么放？有幾種不同的放法？同學們剛才總結的規(guī)律還成立嗎？（不管怎么放，總有一個杯子里至少有2根小棒）請同學們大膽猜一猜：有的同學說成立，有的同學說不成立。請同學們驗證一下。（師巡視，了解情況，個別指導）

師：誰來展示一下你擺放的情況？（指名到白板上操作）根據學生擺的情況，師板書各種情況。

（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1），師：還有不同的放法嗎？ 生：沒有了。

師：通過操作，你發(fā)現(xiàn)什么？

生：不管怎么放，總有一個杯子里至少有2根小棒。

師：哪些同學的猜測是正確的？（猜錯了的學生低著頭）

師：把3根小棒放進2個杯子里，和把4根小棒放進3個杯子里，不管怎么放，總有一個杯子里至少有2根小棒。這是我們通過實際操作體現(xiàn)了這個結論。那么，請同學們仔細觀察這四種放法，你認為哪種放法最能體現(xiàn)總有一個杯子里至少有2根小棒。

學生思考——組內交流——匯報

師：哪一組同學能把你們的想法匯報一下？

生1：我們發(fā)現(xiàn)如果每個杯子里放1根小棒，最多放3根，剩下的1根不管放進哪一個杯子里，總有一個杯子里至少有2根小棒。

師：你能結合操作給大家演示一下嗎？（學生操作演示）師：同學們自己說說看，同位之間邊演示邊說一說。師：這種分法，實際就是先怎么分的？ 生眾：平均分

師：為什么要先平均分？（組織學生討論）生2：要想發(fā)現(xiàn)存在著“總有一個杯子里一定至少有2根”，先平均分,余下1根，不管放在哪個杯子里，一定會出現(xiàn)“總有一個杯子里至少有2根。

生3：這樣分，只分一次就能確定總有一個杯子至少有幾根了？ 師：同意嗎？ 生：同意。

師：哪位同學能用算式表示？ 生：4÷3=1??1 師：至少數(shù)=？ 生：1+1=2

師：那么把5根小棒放進4個杯子里呢？ 生：5÷4=1??1 至少數(shù)=1+1=2 師：把100根小棒放進99個杯子里呢？?? 你發(fā)現(xiàn)什么？

生1：小棒的根數(shù)比杯子數(shù)多1，不管怎么放，總有一個杯子里至少有2根小棒。師：你的發(fā)現(xiàn)和他一樣嗎？（一樣）你們太了不起了！同桌互相說一遍。

多媒體出示：把5根小棒放進2個杯子里，不管怎么放，總有一個杯子里至少有幾根？ 把7根小棒放進2個杯子里，不管怎么放，總有一個杯子里至少有幾根小棒？ 把9根小棒放進2個杯子里，不管怎么放，總有一個杯子里至少有幾根小棒？（留給學生思考的空間，師巡視了解各種情況）學生匯報。

生1：把5根小棒放進2個杯子里，如果每個杯子里先放2根，還剩1根，這根小棒不管放到哪個杯子里，總有一個杯子里至少有3根小棒。

師：觀察板書你能發(fā)現(xiàn)什么？ 生1：“總有一個杯子里至少有2根”只要用“商+1”就可以得到。

師：如果把5根小棒放進3個杯子里，不管怎么放，總有一個杯子里至少有幾根？ 生：“總有一個杯子里至少有3根”只要用5÷3=1??2，用“商+2”就可以了。

生：不同意！先把5根小棒平均分放到3個杯子里，每個杯子里先放1根，還剩2根，這2根再平均分，不管分到哪兩個杯子里，總有一個杯子里至少有2根小棒，不是3根小棒。

師：到底是“商+1”還是“商+余數(shù)”呢？誰的結論對呢？在小組里進行研究、討論。交流、說理活動。生1：我們組通過討論并且實際分了分，結論是總有一個杯子里至少有2根，不是3根小棒。

生2：把5根小棒平均分放到3個杯子里，每個杯子里先放1根，余下的2根可以在2個杯子里再各放1根，結論是“總有一個杯子里至少有2根小棒”。

生3∶我們組的結論是5根小棒平均分放到3個杯子里，“總有一個杯子里至少有2根，用“商加1”就可以了，不是“商加2”。

師：現(xiàn)在大家都明白了吧？

【反思：課堂上給學生充分展示交流的空間，在學生自主探索的基礎上，引發(fā)學生的思維步步深入，使學生經歷了一個初步的 “數(shù)學證明”的過程，培養(yǎng)了學生的推理能力和邏輯能力。同時也培養(yǎng)了學生的問題意識，讓學生借助直觀和假設法最核心的思路 “有余數(shù)除法”形式，使學生更好的理解抽屜原理解決問題的一般思路?！?/p>

三、聯(lián)系生活，拓展運用

1、解釋開課時我們玩的搶凳子游戲，老師為什么不用看，就知道總有一個凳子上至少坐兩個同學。

2．7只鴿子飛回5個鴿籠，至少有2只鴿子要飛進同一個鴿籠里，為什么？

3、從一副撲克牌中，去掉了兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，請大家猜測一下，同種花色的至少有幾張？為什么？如果任意抽出9張呢？

【反思：適當設計形式多樣化的練習，可以引起并保持學生的練習興趣。抽屜原理是這么的有趣，一節(jié)課的時間難以滿足學生的興趣與欲望。因此，我布置了具有開放性、趣味性、挑戰(zhàn)性的練習，給學生提供了發(fā)揮創(chuàng)造力的舞臺空間，使學生的學習活動不局限在課內，而且延伸到課外，讓學生體會到學有所用，用有所樂！】

四、全課小結。

通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲？還有不懂的問題嗎？

五、板書設計。

抽屜原理

多

物體數(shù) ﹥ 抽屜數(shù) ↓

小棒數(shù) ﹥ 杯子數(shù) 商 余數(shù) 商+1=至少數(shù)←平均分 ÷ 3 = 1??1 1+1=2 5 ÷ 4 = 1??1 1+1=2 100 ÷ 99 = 1??1 1+1=2 ?? ÷ 3 = 1??2 1+1=2

【點評與拓展】

這是一節(jié)快樂的數(shù)學課！在這節(jié)課中——

學生的情感體驗是愉悅的。從學生喜歡的“搶凳子”游戲開始，讓學生初步體驗不管怎么坐，總有一個凳子上至少坐著兩個學生，使學生明確這是現(xiàn)實生活中存在著的一種現(xiàn)象，激發(fā)了學生的學習興趣，讓學生利用已有的經驗初步感知抽象的“抽屜原理”。

學生知識的獲得是輕松的。讓每個學生親歷了知識發(fā)生、發(fā)展的過程，不是生搬硬套的只求結論，而是讓學生知其然，更知其所以然。課堂始終以實驗、設疑、觀察、思考、討論貫穿于整個教學活動中，我認為課堂是緊湊、高效、生動的。不足之處是“抽屜原理”在生活中運用靈活廣泛，學生在生活中常常能遇到實例，但在應用過程中學生并不能有意識地從數(shù)學的角度來理解和運用“抽屜原理”。我們教學中應有意識地讓學生理解“抽屜原理”的“一般化模型”。因此，在今后的教學中還要多了解學生，多挖掘學生的潛力，充分調動學生學習的積極性和主動性來發(fā)展學生思維。同時還要增強提問的指向性、目的性。

總之，這節(jié)課學生學得輕松，教師教得愉快。愿我們在新課程的理念下更多地享受這種快樂。

第二篇：抽屜原理教學案例

《抽屜原理》教學案例

本節(jié)課我主要鼓勵學生借助學具、實物操作等方式進行“說理”，讓學生初步經歷“數(shù)學證明”的過程。在經歷“數(shù)學化”過程中，結合學生已有的知識水平和思維特點，創(chuàng)造一種和諧愉悅的氛圍，采用“動手實踐、自主探索”的學習方式，讓學生能夠從中感受到學習的樂趣，并主動地去探求知識，發(fā)展思維。因此，我力圖從以下幾個方面來反映和體現(xiàn)《數(shù)學課程標準》的理念?！窘虒W目標】

1．經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。

2．通過操作發(fā)展學生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學思維。

3．通過“抽屜原理”的靈活應用感受數(shù)學的魅力?！窘虒W重、難點】

經歷“抽屜原理”的探究過程，理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”?！窘虒W過程】

一、用一副牌展示“抽屜原理”。

師：這有一副牌，老師用它變一個魔術。想看嗎？這個魔術的名字叫“猜花色”。老師請5名同學每人隨意抽一張牌。我能猜到，至少有兩位同學的手中的花色是相同的，你們信嗎？（老師與學生合作完成魔術）師：誰能猜一猜，我是用什么方法知道的結果？ 二、揭示課題，板書課題《抽屜原理》 師：剛才老師和這5名同學合作展示了抽屜原理中最簡單的一種問題。抽屜原理很神奇，我們用它可以解決很多有趣的的問題，想弄明白這個原理嗎？這節(jié)課我們就一起來探究這種神秘的原理

二、探究新知

（一）教學例1

1．出示題目：有4枝鉛筆，3個盒子，把4枝鉛筆放進3個盒子里，怎么放？有幾種不同的放法？

師：請同學們實際放放看，誰來展示一下你擺放的情況？（指名擺）根據學生擺的情況，師出示各種情況。

板書：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1），引導學生得出：不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝筆。

問題：

（1）“總有”是什么意思？（一定有）

（2）“至少”有2枝什么意思？（不少于兩只，可能是2枝，也可能是多于2枝？）

如果把6枝鉛筆放進5個文具盒里呢？把7枝鉛筆放進6個文具盒里呢？ 把10枝鉛筆放進9個文具盒里呢？把100枝鉛筆放進99個文具盒里呢？發(fā)現(xiàn)了什么？

教師引導學生總結規(guī)律：我們把4枝筆放進3個盒子里，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。這是我們通過實際操作現(xiàn)了這個結論。那么，你們能不能找到一種更為直接的方法得到這個結論呢？ 學生思考并進行組內交流，教師選代表進行總結：如果每個盒子里放1枝鉛筆，最多放3枝，剩下的1枝不管放進哪一個盒子里，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。首先通過平均分，余下1枝，不管放在那個盒子里，一定會出現(xiàn)“總有一個盒子里一定至少有2枝”。

問題：把6枝筆放進5個盒子里呢？還用擺嗎？把7枝筆放進6個盒子里呢？把8枝筆放進7個盒子里呢？把9枝筆放進8個盒子里呢？??你發(fā)現(xiàn)什么？（筆的枝數(shù)比盒子數(shù)多1，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。）

總結：只要放的鉛筆數(shù)盒數(shù)多1，總有一個盒里至少放進2支。總有一個抽屜至少放進數(shù)量怎么算？ 生：“商+余數(shù)”

師：“商+余數(shù)”就是總有一個杯子至少放的數(shù)量嗎？讓我們帶著這個問題繼續(xù)探究。

出示（1）8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有幾只飛進同一個鴿舍？為什么？ 要求:用實驗和算式結合理解。生：8 ÷3=2??2 生：至少有3只鴿子飛進同一鴿舍，因為剩余的2只盡量分別飛進不同的鴿舍。應該是“2+1”而不是“2+2”

出示做一做：（2）15只鴿子飛進4個鴿舍，總有一個鴿舍至少有幾只？ 15÷4=3??3 3＋1=4（只）學生討論實驗

得出結論：總有一個鴿舍至少飛進的鴿子數(shù)是“商＋1”，而不是“商+余數(shù)”。教師小結: 今天我們研究的這種現(xiàn)象是數(shù)學中有趣的抽屜原理，我們用的小棒（鴿子）是被分的物體，那么，杯子（鴿籠）就當成“抽屜”。即把M個物體放進N個抽屜里，M÷N=A??B，總有一個抽屜里至少放（A＋1）個物體

（二）教學例2

1．出示題目：把5本書放進2個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜里至少有幾本書？把7本書放進2個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜里至少有幾本書？把9本書放進2個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜里至少有幾本書？

（留給學生思考的空間，師巡視了解各種情況）

2．學生匯報，教師給予表揚后并總結：

總結1：把5本書放進2個抽屜里，如果每個抽屜里先放2本，還剩1本，這本書不管放到哪個抽屜里，總有一個抽屜里至少有3本書。

總結2：“總有一個抽屜里的至少有2本”只要用“商+1”就可以得到。

問題：如果把5本書放進3個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜里至少有幾本書？用“商+2”可以嗎？（學生討論）

引導學生思考：到底是“商+1”還是“商+余數(shù)”呢？誰的結論對呢？（學生小組里進行研究、討論。）

總結：用書的本數(shù)除以抽屜數(shù)，再用所得的商加1，就會發(fā)現(xiàn)“總有一個抽屜里至少有商加1本書”了。

三、解決問題 聯(lián)系生活 拓展運用

1、玩撲克游戲。54張撲克牌出去大小王，在52張中，最少抽出幾張，一定有2張同樣的花色。

2、讓學生舉出生活中的事例，并加以分析。

評析：讓學生體會到數(shù)學來源于生活，在生活中享受學習運用數(shù)學的樂趣。

板書設計：

抽屜原理

一、當物體數(shù)＞ 抽屜數(shù)（物體數(shù)不是抽屜數(shù)的倍數(shù)）

物體 抽屜（物體數(shù)不是抽屜數(shù)的倍數(shù)）

鉛筆 鉛筆盒 總有一個鉛筆盒中至少有“商+1”枝鉛筆 假設法：4 ÷ 3 = 1??1 2 6 ÷ 5 = 1??1 2 7 ÷ 6 = 1??1 2 8 ÷ 7 = 1??1 2 鴿子 鴿舍 總有一個鴿舍至少有“商+1”只鴿子 8 ÷ 3= 2??2 3 15 ÷ 4= 3??3 4

二、當物體數(shù)＞ 抽屜數(shù)（物體數(shù)是抽屜數(shù)的倍數(shù)）

只要物體數(shù)比抽屜數(shù)多（物體數(shù)是抽屜數(shù)的倍數(shù)），總有一個抽屜中至少有 “商”個物體。÷ 2 = 2 2 9 ÷ 2 = 4 1 只要物體的數(shù)量比抽屜的數(shù)量多，當物體數(shù)不是抽屜數(shù)的倍數(shù)時，總有一個抽屜中至少有“商+1”個物體；當物體數(shù)是抽屜數(shù)的倍數(shù)時，總有一個抽屜中至少有“商”個物體。

總結：只要物體數(shù)比抽屜數(shù)多，總有一個抽屜中至少有“商+1” 個 或“商”個物體。

教學反思：

我認為解決抽屜原理不可能總是依靠實踐操作，玩的目的也是讓學生找到規(guī)律，建立一個解決同類問題的模型。因此在教學抽屜原理時，讓學生在玩中，在解決問題中層層深入，創(chuàng)設數(shù)學問題情景，在交流中引導學生對“枚舉法”、“假設法”等方法進行比較，使學生逐步學會運用一般性的數(shù)學方法來思考問題，發(fā)展學生的抽象思維能力。使學生找到解決問題的關鍵，幫助建立了數(shù)學模型。在接下來的教學中，抓住假設法中最核心的思路用“有余數(shù)除法” 形式表示出來，使學生學生借助直觀的分一分，把筆盡量 “平均分”給各個抽屜里，看每個抽屜里能分到多少支筆，余下的筆不管放到哪個抽屜里，總有一個抽屜里比平均分得的筆數(shù)多1個。特別是對“某個抽屜至少數(shù)”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余數(shù)”，適時挑出針對性問題進行交流、討論，使學生從本質上理解了“抽屜原理”。

本課教學我認為存在不足之處：

“抽屜原理”在生活中運用靈活廣泛，學生在生活中常常能遇到實例，但在應用過程中學生并不能有意識地從數(shù)學的角度來理解和運用“抽屜原理”。我們教學中應有意識地讓學生理解“抽屜原理”的“一般化模型”。因此，在今后的教學中還要多了解學生，多挖掘學生的潛力，充分調動學生學習的積極性和主動性發(fā)展學生思維。

通過這節(jié)課的教學使我也認識到：在教學時應放手讓學生自主思考，先讓學生采用自己的方法進行“證明”，然后再進行交流，只要是合理的，都應給予鼓勵，當然更要優(yōu)化探究過程，只有這樣才有助于培養(yǎng)學生具體情況具體分析的數(shù)學思維能力，才能真正構建出高效率的數(shù)學課堂。

第三篇：《數(shù)學廣角-抽屜原理》教學案例-（范文）

《數(shù)學廣角-抽屜原理》教學案例

《抽屜原理》是義務教育課程標準實驗教科書人教版六年級下冊第五單元數(shù)學廣角的教學內容。本節(jié)課我主要鼓勵學生借助學具、實物操作、觀看課件等方式進行“說理”，讓學生初步經歷“數(shù)學證明”的過程。在經歷“數(shù)學化”過程中，結合學生已有的知識水平和思維特點，創(chuàng)造一種和諧愉悅的氛圍，采用“動手實踐、自主探索”的學習方式，讓學生能夠從中感受到學習的樂趣，并主動地去探求知識，發(fā)展思維。因此，我力圖從以下幾個方面來反映和體現(xiàn)《數(shù)學課程標準》的理念。

1、認真鉆研教材，讓教材為我所用。在準確把握教材編寫意圖，深刻理解教材內容，領悟教材所反應的知識要點、教學思想方法基礎上，在充分了解學生已有的學習水平和生活經驗基礎上，對教材內容進行恰當?shù)剡x擇與改編、刪減與補充，設計出有利于學生學習的教學方案。

2、把課堂交給學生，讓學生成為認識、探索、發(fā)展的主體?！稊?shù)學課程標準》 指出：“學生是數(shù)學學習的主人，而教師則是數(shù)學學習的組織者、引導者與合作者。”學生在教師的指導下，在觀察、操作、討論、交流、猜測、歸納、分析和整理的過程中，理解數(shù)學問題的提出、數(shù)學概念的形成和數(shù)學結論的獲得，以及數(shù)學知識的應用，主動地參與教學的全過程，逐步地培養(yǎng)創(chuàng)新意識，形成初步的探索和解決問題的能力。教學片段與反思 教學目標：

1、知識與技能

初步了解抽屜原理，運用抽屜原理知識解決簡單的實際問題。

2、過程與方法 經歷抽屜原理的探究過程，通過動手操作、分析、推理等活動，發(fā)現(xiàn)、歸納、總結原理。

3、情感與態(tài)度

通過“抽屜原理”的靈活應用感受數(shù)學的魅力；提高同學們解決問題的能力和興趣。

教學重點：經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。教學難點：理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。教學過程：

片段一：創(chuàng)設情景 導入新課 活動：游戲“搶椅子”。

師：游戲規(guī)則：四名同學搶三個凳子，這4位學生必須都坐下。師:同學們觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象？

生：不管怎么坐，一定有一個凳子上坐了2位同學

師：像這樣的現(xiàn)象中隱藏著什么數(shù)學奧秘？本節(jié)課就讓我們一起走進數(shù)學廣角來研究這個原理！

評析：此游戲在很多公開課和教案設計中都設計，因為它能非常直觀讓學生參與其中，通過參與引發(fā)思考，這樣不僅能激發(fā)學生的學習興趣，為學生學習新知做好心理上的準備，使學生一開始就以一種躍躍欲試的愉悅狀態(tài)投入到整堂課的學習當中。

片段二：自主探究 合作交流

出示題目：

1、把3根小棒放進2個杯子里，你發(fā)現(xiàn)什么？ 擺一擺：

生：我發(fā)現(xiàn)有兩種情況分別是：（1、2）（0、3）生：一定有一個杯子里放2根或3根的小棒。師我們繼續(xù)研究：

2、把4根小棒放進3個杯子里呢？

生：說出四種情況分別是（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）師板書：并說明這種方法叫列舉法。

生：一定有一個杯子里放進了2根3根或4根。師:“一定有”是什么意思？ 生：“一定有”即“總有”的意思。

師：“2根、3根、4根”可以說是“2根或2根以上”用什么詞語表示最貼切？ 生：“至少有2根”。

師：非常貼切！那么，請同學們用“總有”和“至少”對上述現(xiàn)象進行表述。生：總有一個杯子里至少放進了2根小棒

3、出示：把5根小棒放進4個杯子里。會有什么結論？那么，把6枝小棒放進5個杯子里，把7根鉛筆放進6個杯子里？把100根放進99杯子里呢？用你喜歡的方法進行探究。

生：我根據以上的實驗進行推理。生：我用的是假設法。

生:我把100枝小棒平均放在99個杯子里，剩下的1枝任意放進一個杯子。得出結論：

生:當小棒的根數(shù)比杯子多1時，不管怎么放，總有一個杯子里至少放2根小棒。

4、出示：把5枝小棒放進2個杯子里，不管怎么放，你會得出什么結論？如果一共有7枝？9枝呢？你能用又快又簡單的方法嗎？

生：我把5枝小棒平均放在2個杯子里，每個杯子放2枝，還剩1枝任意放在一個杯子。所以，總有一個杯子里至少放3根小棒，那么，算式 5÷2=2……1 2＋1=3（根）生：把7枝、9枝平均放在2個杯子里，總有一個抽屜至少放進4枝、5枝小棒。

教師板書： 總有一個抽屜至少放進 7÷2=3……1 3＋1=4（枝）9÷2=4……1 4＋1=5（枝）師：總有一個抽屜至少放進數(shù)量怎么算？ 生：“商+余數(shù)”

師：“商+余數(shù)”就是總有一個杯子至少放的數(shù)量嗎？讓我們帶著這個問題繼續(xù)探究。

出示（1）8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有幾只飛進同一個鴿舍？為什么？ 要求:用實驗和算式結合理解。生：8 ÷3=2……2 生：至少有3只鴿子飛進同一鴿舍，因為剩余的2只盡量分別飛進不同的鴿舍。應該是“2+1”而不是“2+2”

出示做一做：（2）15只鴿子飛進4個鴿舍，總有一個鴿舍至少有幾只？ 15÷4=3……3 3＋1=4（只）學生討論實驗

得出結論：總有一個鴿舍至少飛進的鴿子數(shù)是“商＋1”，而不是“商+余數(shù)”。教師小結: 今天我們研究的這種現(xiàn)象是數(shù)學中有趣的抽屜原理，我們用的小棒（鴿子）是被分的物體，那么，杯子（鴿籠）就當成“抽屜”。即把M個物體放進N個抽屜里，M÷N=A……B，總有一個抽屜里至少放（A＋1）個物體

評析：教師把學生帶入了廣闊的探究空間，讓學生從簡單到復雜通過親身體驗，實際操作，合作交流等形式，讓學生在充分的參與中去感悟、帶著問題去思考、去實踐、去推理。對于學生的探究，教師引導學生用自己喜歡的方法嘗試也能體現(xiàn)“以人為本”的教學思想，學生的思維不受約束，有利于培養(yǎng)學生的思維能力。

片段三：聯(lián)系生活 拓展運用

1、玩撲克游戲。54張撲克牌出去大小王，在52張中，最少抽出幾張，一定有2張同樣的花色。

2、讓學生舉出生活中的事例，并加以分析。

評析：讓學生體會到數(shù)學來源于生活，在生活中享受學習運用數(shù)學的樂趣。教學反思：

本節(jié)課是我準備的一堂教學競賽課，我認真鉆研教材，四處搜集資料，學習名師課例，并根據我班學生的認知水平進行了。本課的教學重點是讓學生經歷“抽屜原理”的探究過程，讓學生在觀察、猜測、操作、推理和交流等數(shù)學活動中初步了解“抽屜原理”，并能運用所學知識解決有關實際問題。本節(jié)課成功之處有兩點：

一、創(chuàng)設情境，從游戲活動中感知抽屜原理。從學生喜歡的“搶凳子”游戲開始，讓學生初步體驗不管怎么坐，總有一把椅子上至少做著兩個學生，使學生明確這是現(xiàn)實生活中存在著的一種現(xiàn)象，激發(fā)了學生的學習興趣，讓學生利用已有的經驗初步感知抽象的“抽屜原理”。

二、自主探究，從直觀到抽象中建立數(shù)學模型。“把3根小棒放進2個杯子里，不管怎么放，總有一個杯子里至少放進2根小棒”，然后交流展示，為后面開展教與學的活動做了鋪墊。此處設計注意了從最簡單的數(shù)據開始擺放，有利于學生觀察、理解，有利于調動所有的學生積極性。再分組探究“把4根、5根分別放在3、4個杯子里”觀察到的情況記錄下來，引導學生理解“小棒”就是“物體”，而“杯子”就是“抽屜”，體驗和理解“抽屜原理”的最基本原理，抓住 “總有”“至少” 的理解，讓學生充分表述。當物體個數(shù)大于抽屜個數(shù)時，一定有一個抽屜中放進了至少2個物體。然后出示“把5根小棒放進2個杯子的情況，或7根、9根小棒放進2個杯子的情況”根據數(shù)據的變化，教師引導學生探究最快最準的方法，使學生借助直觀，很好的理解了把小棒盡量地“平均分”給杯子里，在這一環(huán)節(jié)的教學中抓住了最核心的思路就是用“有余數(shù)除法” 形式表示出來，看每個杯子里能分到多少根小棒，余下的小棒不管放到哪個杯子里，總有一個杯子里比平均分得的小棒的根數(shù)多1。部分同學錯誤地理解為至少要“商+ 余數(shù)”根小棒。這時帶著至少放“商+ 余數(shù)”這個問題再進行探究： 8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有幾只飛進同一個鴿舍？為什么？讓學生結合學具和算術方法進行分析，學生合作討論很快得出：至少放進“商+1”根而不是“商+余數(shù)”根小棒。最后師生共同歸納M個物體放進N個抽屜[M÷N=A……B] 總有一個抽屜里至少放進（A＋1）個物體，使學生從本質上理解了“抽屜原理”。

本課教學我認為存在不足之處：

一、雖然在授課過程中能結合簡單的生活實例進行設計教學過程，學生容易理解。但是，對于一種現(xiàn)象有兩種不同的方式描述，學生一時難以轉化，如“總有一只鴿籠至少飛進2只鴿子”和“至少有2只鴿子飛進同一只鴿籠”的理解引導不夠，這必須讓學生充分進行對比描述，且要一邊思考一邊表述才能很好地理解。

二、“抽屜原理”在生活中運用靈活廣泛，學生在生活中常常能遇到實例，但在應用過程中學生并不能有意識地從數(shù)學的角度來理解和運用“抽屜原理”。我們教學中應有意識地讓學生理解“抽屜原理”的“一般化模型”。因此，在今后的教學中還要多了解學生，多挖掘學生的潛力，充分調動學生學習的積極性和主動性發(fā)展學生思維。

三、課堂容量有點過大，超出了學生的接受水平，并且對“抽屜原理”的重點掌握不到位，對于需要強調的一些知識點草草帶過，導致課堂重點不夠突出。

通過這節(jié)課的教學使我也認識到：在教學時應放手讓學生自主思考，先讓學生采用自己的方法進行“證明”，然后再進行交流，只要是合理的，都應給予鼓勵，當然更要優(yōu)化探究過程，只有這樣才有助于培養(yǎng)學生具體情況具體分析的數(shù)學思維能力，才能真正構建出高效率的數(shù)學課堂。

第四篇：抽屜原理

抽屜原理

把5個蘋果放到4個抽屜中，必然有一個抽屜中至少有2個蘋果，這是抽屜原理的通俗解釋。一般地，我們將它表述為：

第一抽屜原理：把（mn＋1）個物體放入n個抽屜，其中必有一個抽屜中至少有（m＋1）個物體。

使用抽屜原理解題，關鍵是構造抽屜。一般說來，數(shù)的奇偶性、剩余類、數(shù)的分組、染色、線段與平面圖形的劃分等，都可作為構造抽屜的依據。

例1 從1，2，3，…，100這100個數(shù)中任意挑出51個數(shù)來，證明在這51個數(shù)中，一定：

（1）有2個數(shù)互質；

（2）有2個數(shù)的差為50；

（3）有8個數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1。

證明：（1）將100個數(shù)分成50組：

{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。

在選出的51個數(shù)中，必有2個數(shù)屬于同一組，這一組中的2個數(shù)是兩個相鄰的整數(shù)，它們一定是互質的。

（2）將100個數(shù)分成50組：

{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。

在選出的51個數(shù)中，必有2個數(shù)屬于同一組，這一組的2個數(shù)的差為50。

（3）將100個數(shù)分成5組（一個數(shù)可以在不同的組內）：

第一組：2的倍數(shù)，即{2，4，…，100}；

第二組：3的倍數(shù)，即{3，6，…，99}；

第三組：5的倍數(shù)，即{5，10，…，100}；

第四組：7的倍數(shù)，即{7，14，…，98}；

第五組：1和大于7的質數(shù)即{1，11，13，…，97}。

第五組中有22個數(shù)，故選出的51個數(shù)至少有29個數(shù)在第一組到第四組中，根據抽屜原理，總有8個數(shù)在第一組到第四組的某一組中，這8個數(shù)的最大公約數(shù)大于1。

例2 求證：可以找到一個各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。

證明：因1996÷4＝499，故只需證明可以找到一個各位數(shù)字都是1的自然數(shù)，它是499的倍數(shù)就可以了。

得到500個余數(shù)r1，r2，…，r500。由于余數(shù)只能取0，1，2，…，499這499個值，所以根據抽屜原理，必有2個余數(shù)是相同的，這2個數(shù)的差就是499的倍數(shù)，這個差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互質的，故它的前若干位由1組成的自然數(shù)是499的倍數(shù)，將它乘以4，就得到一個各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。

例3 在一個禮堂中有99名學生，如果他們中的每個人都與其中的66人相識，那么可能出現(xiàn)這種情況：他們中的任何4人中都一定有2人不相識（假定相識是互相的）。

分析：注意到題中的說法“可能出現(xiàn)……”，說明題的結論并非是條件的必然結果，而僅僅是一種可能性，因此只需要設法構造出一種情況使之出現(xiàn)題目中所說的結論即可。

解：將禮堂中的99人記為a1，a2，…，a99，將99人分為3組：

（a1，a2，…，a33），（a34，a35，…，a66），（a67，a68，…，a99），將3組學生作為3個抽屜，分別記為A，B，C，并約定A中的學生所認識的66人只在B，C中，同時，B，C中的學生所認識的66人也只在A，C和A，B中。如果出現(xiàn)這種局面，那么題目中所說情況

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就可能出現(xiàn)。

因為禮堂中任意4人可看做4個蘋果，放入A，B，C三個抽屜中，必有2人在同一抽屜，即必有2人來自同一組，那么他們認識的人只在另2組中，因此他們兩人不相識。

例4 如右圖，分別標有數(shù)字1，2，…，8的滾珠兩組，放在內外兩個圓環(huán)上，開始時相對的滾珠所標數(shù)字都不相同。當兩個圓環(huán)按不同方向轉動時，必有某一時刻，內外兩環(huán)中至少有兩對數(shù)字相同的滾珠相對。

分析：此題中沒有直接提供我們用以構造抽屜和蘋果的數(shù)量關系，需要轉換一下看問題的角度。

解：內外兩環(huán)對轉可看成一環(huán)靜止，只有一個環(huán)轉動。一個環(huán)轉動一周后，每個滾珠都會有一次與標有相同數(shù)字的滾珠相對的局面出現(xiàn)，那么這種局面共要出現(xiàn)8次。將這8次局面看做蘋果，再需構造出少于8個抽屜。

注意到一環(huán)每轉動45°角就有一次滾珠相對的局面出現(xiàn)，轉動一周共有8次滾珠相對的局面，而最初的8對滾珠所標數(shù)字都不相同，所以數(shù)字相同的滾珠相對的情況只出現(xiàn)在以后的7次轉動中，將7次轉動看做7個抽屜，8次相同數(shù)字滾珠相對的局面看做8個蘋果，則至少有2次數(shù)字相對的局面出現(xiàn)在同一次轉動中，即必有某一時刻，內外兩環(huán)中至少有兩對數(shù)字相同的滾珠相對。

例5 有一個生產天平上用的鐵盤的車間，由于工藝上的原因，只能控制盤的重量在指定的20克到20.1克之間。現(xiàn)在需要重量相差不超過0.005克的兩只鐵盤來裝配一架天平，問：最少要生產多少個盤子，才能保證一定能從中挑出符合要求的兩只盤子？

解：把20～20.1克之間的盤子依重量分成20組：

第1組：從20.000克到20.005克；

第2組：從20.005克到20.010克；

……

第20組：從20.095克到20.100克。

這樣，只要有21個盤子，就一定可以從中找到兩個盤子屬于同一組，這2個盤子就符合要求。

例6 在圓周上放著100個籌碼，其中有41個紅的和59個藍的。那么總可以找到兩個紅籌碼，在它們之間剛好放有19個籌碼，為什么？

分析：此題需要研究“紅籌碼”的放置情況，因而涉及到“蘋果”的具體放置方法，由此我們可以在構造抽屜時，使每個抽屜中的相鄰“蘋果”之間有19個籌碼。

解：依順時針方向將籌碼依次編上號碼：1，2，…，100。然后依照以下規(guī)律將100個籌碼分為20組：

（1，21，41，61，81）；

（2，22，42，62，82）；

……

（20，40，60，80，100）。

將41個紅籌碼看做蘋果，放入以上20個抽屜中，因為41=2×20＋1，所以至少有一個抽屜中有2+1=3（個）蘋果，也就是說必有一組5個籌碼中有3個紅色籌碼，而每組的5個籌碼在圓周上可看做兩兩等距，且每2個相鄰籌碼之間都有19個籌碼，那么3個紅色籌碼中必有2個相鄰（這將在下一個內容——第二抽屜原理中說明），即有2個紅色籌碼之間有19個籌碼。

下面我們來考慮另外一種情況：若把5個蘋果放到6個抽屜中，則必然有一個抽屜空著。這種情況一般可以表述為：

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第二抽屜原理：把（mn-1）個物體放入n個抽屜，其中必有一個抽屜中至多有（m-1）個物體。

例7 在例6中留有一個疑問，現(xiàn)改述如下：在圓周上放有5個籌碼，其中有3個是同色的，那么這3個同色的籌碼必有2個相鄰。

分析：將這個問題加以轉化：

如右圖，將同色的3個籌碼A，B，C置于圓周上，看是否能用另外2個籌碼將其隔開。

解：如圖，將同色的3個籌碼放置在圓周上，將每2個籌碼之間的間隔看做抽屜，將其余2個籌碼看做蘋果，將2個蘋果放入3個抽屜中，則必有1個抽屜中沒有蘋果，即有2個同色籌碼之間沒有其它籌碼，那么這2個籌碼必相鄰。

例8 甲、乙二人為一個正方形的12條棱涂紅和綠2種顏色。首先，甲任選3條棱并把它們涂上紅色；然后，乙任選另外3條棱并涂上綠色；接著甲將剩下的6條棱都涂上紅色。問：甲是否一定能將某一面的4條棱全部涂上紅色？

解：不能。

如右圖將12條棱分成四組：

第一組：{A1B1，B2B3，A3A4}，第二組：{A2B2，B3B4，A4A1}，第三組：{A3B3，B4B1，A1A2}，第四組：{A4B4，B1B2，A2A3}。

無論甲第一次將哪3條棱涂紅，由抽屜原理知四組中必有一組的3條棱全未涂紅，而乙只要將這組中的3條棱涂綠，甲就無法將某一面的4條棱全部涂紅了。

下面我們討論抽屜原理的一個變形——平均值原理。

我們知道n個數(shù)a1，a2，…，an的和與n的商是a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均值。平均值原理：如果n個數(shù)的平均值為a，那么其中至少有一個數(shù)不大于a，也至少有一個不小于a。

例9 圓周上有2000個點，在其上任意地標上0，1，2，…，1999（每一點只標一個數(shù)，不同的點標上不同的數(shù)）。求證：必然存在一點，與它緊相鄰的兩個點和這點上所標的三個數(shù)之和不小于2999。

解：設圓周上各點的值依次是a1，a2，…，a2000，則其和

a1＋a2+…＋a2000=0+1+2+…+1999=1999000。

下面考慮一切相鄰三數(shù)組之和：

（a1＋a2＋a3）+（a2＋a3＋a4）＋…＋（a1998+a1999＋a2000）＋（a1999＋a2000＋a1）＋（a2000＋a1＋a2）

=3（a1＋a2＋…＋a2000）

＝3×1999000。

這2000組和中必至少有一組和大于或等于

但因每一個和都是整數(shù)，故有一組相鄰三數(shù)之和不小于2999，亦即存在一個點，與它緊相鄰的兩點和這點上所標的三數(shù)之和不小于2999。

例10 一家旅館有90個房間，住有100名旅客，如果每次都恰有90名旅客同時回來，那么至少要準備多少把鑰匙分給這100名旅客，才能使得每次客人回來時，每個客人都能用自己分到的鑰匙打開一個房門住進去，并且避免發(fā)生兩人同時住進一個房間？

解：如果鑰匙數(shù)小于990，那么90個房間中至少有一個房間的鑰匙數(shù)少房間就打不開，因此90個人就無法按題述的條件住下來。

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另一方面，990把鑰匙已經足夠了，這只要將90把不同的鑰匙分給90個人，而其余的10名旅客，每人各90把鑰匙（每個房間一把），那么任何90名旅客返回時，都能按要求住進房間。

最后，我們要指出，解決某些較復雜的問題時，往往要多次反復地運用抽屜原理，請看下面兩道例題。

例11 設有4×28的方格棋盤，將每一格涂上紅、藍、黃三種顏色中的任意一種。試證明：無論怎樣涂法，至少存在一個四角同色的長方形。

證明：我們先考察第一行中28個小方格涂色情況，用三種顏色涂28個小方格，由抽屜原理知，至少有10個小方格是同色的，不妨設其為紅色，還可設這10個小方格就在第一行的前10列。

下面考察第二、三、四行中前面10個小方格可能出現(xiàn)的涂色情況。這有兩種可能：

（1）這三行中，至少有一行，其前面10個小方格中，至少有2個小方格是涂有紅色的，那么這2個小方格和第一行中與其對應的2個小方格，便是一個長方形的四個角，這個長方形就是一個四角同是紅色的長方形。

（2）這三行中每一行前面的10格中，都至多有一個紅色的小方格，不妨設它們分別出現(xiàn)在前三列中，那么其余的3×7個小方格便只能涂上黃、藍兩種顏色了。

我們先考慮這個3×7的長方形的第一行。根據抽屜原理，至少有4個小方格是涂上同一顏色的，不妨設其為藍色，且在第1至4列。

再考慮第二行的前四列，這時也有兩種可能：

（1）這4格中，至少有2格被涂上藍色，那么這2個涂上藍色的小方格和第一行中與其對應的2個小方格便是一個長方形的四個角，這個長方形四角同是藍色。

（2）這4格中，至多有1格被涂上藍色，那么，至少有3格被涂上黃色。不妨設這3個小方格就在第二行的前面3格。

下面繼續(xù)考慮第三行前面3格的情況。用藍、黃兩色涂3個小方格，由抽屜原理知，至少有2個方格是同色的，無論是同為藍色或是同為黃色，都可以得到一個四角同色的長方形。

總之，對于各種可能的情況，都能找到一個四角同色的長方形。

例12 試卷上共有4道選擇題，每題有3個可供選擇的答案。一群學生參加考試，結果是對于其中任何3人，都有一道題目的答案互不相同。問：參加考試的學生最多有多少人？

解：設每題的三個選擇分別為a，b，c。

（1）若參加考試的學生有10人，則由第二抽屜原理知，第一題答案分別為a，b，c的三組學生中，必有一組不超過3人。去掉這組學生，在余下的學生中，定有7人對第一題的答案只有兩種。對于這7人關于第二題應用第二抽屜原理知，其中必可選出5人，他們關于第二題的答案只有兩種可能。對于這5人關于第三題應用第二抽屜原理知，可以選出4人，他們關于第三題的答案只有兩種可能。最后，對于這4人關于第四題應用第二抽屜原理知，必可選出3人，他們關于第四題的答案也只有兩種。于是，對于這3人來說，沒有一道題目的答案是互不相同的，這不符合題目的要求?？梢?，所求的最多人數(shù)不超過9人。

另一方面，若9個人的答案如下表所示，則每3人都至少有一個問題的答案互不相同。

所以，所求的最多人數(shù)為9人。練習13

1.六（1）班有49名學生。數(shù)學王老師了解到在期中考試中該班英文成績除3人外均在86分以上后就說：“我可以斷定，本班同學至少有4人成績相同?！闭垎柾趵蠋熣f得對嗎？為什么？

2.現(xiàn)有64只乒乓球，18個乒乓球盒，每個盒子里最多可以放6只乒乓球，至少有幾個

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乒乓球盒子里的乒乓球數(shù)目相同？

3.某校初二年級學生身高的厘米數(shù)都為整數(shù)，且都不大于160厘米，不小于150厘米。問：在至少多少個初二學生中一定能有4個人身高相同？

4.從1，2，…，100這100個數(shù)中任意選出51個數(shù)，證明在這51個數(shù)中，一定：

（1）有兩個數(shù)的和為101；

（2）有一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)；

（3）有一個數(shù)或若干個數(shù)的和是51的倍數(shù)。

5.在3×7的方格表中，有11個白格，證明

（1）若僅含一個白格的列只有3列，則在其余的4列中每列都恰有兩個白格；

（2）只有一個白格的列只有3列。

6.某個委員會開了40次會議，每次會議有10人出席。已知任何兩個委員不會同時開兩次或更多的會議。問：這個委員會的人數(shù)能夠多于60人嗎？為什么？

7.一個車間有一條生產流水線，由5臺機器組成，只有每臺機器都開動時，這條流水線才能工作。總共有8個工人在這條流水線上工作。在每一個工作日內，這些工人中只有5名到場。為了保證生產，要對這8名工人進行培訓，每人學一種機器的操作方法稱為一輪。問：最少要進行多少輪培訓，才能使任意5個工人上班而流水線總能工作？

8.有9名數(shù)學家，每人至多能講3種語言，每3人中至少有2人能通話。求證：在這9名中至少有3名用同一種語言通話。

練習13

1.對。解：因為49-3=3×（100-86+1）+1，即46=3×15+1，也就是說，把從100分至86分的15個分數(shù)當做抽屜，49-3=46（人）的成績當做物體，根據第二抽屜原理，至少有4人的分數(shù)在同一抽屜中，即成績相同。

2.4個。解：18個乒乓球盒，每個盒子里至多可以放6只乒乓球。為使相同乒乓球個數(shù)的盒子盡可能少，可以這樣放：先把盒子分成6份，每份有18÷6=3（只），分別在每一份的3個盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球，即3個盒子中放了1只乒乓球，3個盒中放了2只乒乓球……3個盒子中放了6只乒乓球。這樣，18個盒子中共放了乒乓球

（1+2+3+4+5+6）×3=63（只）。

把以上6種不同的放法當做抽屜，這樣剩下64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一個抽屜里的任何一個盒子里（除已放滿6只乒乓球的抽屜外），都將使該盒子中的乒乓球數(shù)增加1只，這時與比該抽屜每盒乒乓數(shù)多1的抽屜中的3個盒子里的乒乓球數(shù)相等。例如剩下的1只乒乓球放進原來有2只乒乓球的一個盒子里，該盒乒乓球就成了3只，再加上原來裝有3只乒乓球的3個盒子，這樣就有4個盒子里裝有3個乒乓球。所以至少有4個乒乓球盒里的乒乓球數(shù)目相同。

3.34個。

解：把初二學生的身高厘米數(shù)作為抽屜，共有抽屜

160-150+1=11（個）。

根據抽屜原理，要保證有4個人身高相同，至少要有初二學生

3×11+1=34（個）。

4.證：（1）將100個數(shù)分成50組：

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｛1，100｝，｛2，99｝，…，｛50，51｝。

在選出的51個數(shù)中，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組的兩數(shù)之和為101。

（2）將100個數(shù)分成10組：

｛1,2,4,8,16,32,64｝, ｛3,6,12,24,48,96｝，｛5,10,20,40,80｝, ｛7,14,28,56｝，｛9,18,36,72｝, ｛11,22,44,88｝，｛13,26,52｝, ｛15,30,60｝,…, ｛49,98｝, ｛其余數(shù)｝。

其中第10組中有41個數(shù)。在選出的51個數(shù)中，第10組的41個數(shù)全部選中，還有10個數(shù)從前9組中選，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組中的任意兩個數(shù)，一個是另一個的倍數(shù)。

（3）將選出的51個數(shù)排成一列：

a1，a2，a3，…，a51。

考慮下面的51個和：

a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+a3+…+a51。

若這51個和中有一個是51的倍數(shù)，則結論顯然成立；若這51個和中沒有一個是51的倍數(shù)，則將它們除以51，余數(shù)只能是1，2，…，50中的一個，故必然有兩個的余數(shù)是相同的，這兩個和的差是51的倍數(shù)，而這個差顯然是這51個數(shù)（a1，a2，a3，…，a51）中的一個數(shù)或若干個數(shù)的和。

5.證：（1）在其余4列中如有一列含有3個白格，則剩下的5個白格要放入3列中，將3列表格看做3個抽屜，5個白格看做5個蘋果，根據第二抽屜原理，5（=2×3-1）個蘋果放入3個抽屜，則必有1個抽屜至多只有（2-1）個蘋果，即必有1列只含1個白格，也就是說除了原來3列只含一個白格外還有1列含1個白格，這與題設只有1個白格的列只有3列矛盾。所以不會有1列有3個白格，當然也不能再有1列只有1個白格。推知其余4列每列恰好有2個白格。

（2）假設只含1個白格的列有2列，那么剩下的9個白格要放入5列中，而9=2×5-1，由第二抽屜原理知，必有1列至多只有2-1=1（個）白格，與假設只有2列每列只1個白格矛盾。所以只有1個白格的列至少有3列。

6.能。

解：開會的“人次”有 40×10=400（人次）。設委員人數(shù)為N，將“人次”看做蘋果，以委員人數(shù)作為抽屜。

若N≤60，則由抽屜原理知至少有一個委員開了7次（或更多次）會。但由已知條件知沒有一個人與這位委員同開過兩次（或更多次）的會，故他所參加的每一次會的另外9個人是不相同的，從而至少有7×9=63（個）委員，這與N≤60的假定矛盾。所以，N應大于60。

7.20輪。

解：如果培訓的總輪數(shù)少于20，那么在每一臺機器上可進行工作的工人果這3個工人某一天都沒有到車間來，那么這臺機器就不能開動，整個流水線就不能工作。故培訓的總輪數(shù)不能少于20。

另一方面，只要進行20輪培訓就夠了。對3名工人進行全能性培訓，訓練他們會開每一臺機器；而對其余5名工人，每人只培訓一輪，讓他們每人能開動一臺機器。這個方案實施后，不論哪5名工人上班，流水線總能工作。

8.證：以平面上9個點A1，A2，…，A9表示9個數(shù)學家，如果兩人能通話，就把表示他們的兩點聯(lián)線，并涂上一種顏色（不同的語言涂上不同顏色）。此時有兩種情況：

（1）9點中有任意2點都有聯(lián)線，并涂了相應的顏色。于是從某一點A1出發(fā)，分別與

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A2，A3，…，A9聯(lián)線，又據題意，每人至多能講3種語言，因此A1A2，A1A3，…，A1A9中至多只能涂3種不同的顏色，由抽屜原理知，這8條線段中至少有2條同色的線段。不妨設A1A2與A1A3是同色線段，因此A1，A2，A3這3點表示的3名數(shù)學家可用同一種語言通話。

（2）9點中至少有2點不聯(lián)線，不妨設是A1與A2不聯(lián)線。由于每3人中至少有兩人能通話，因此從A1與A2出發(fā)至少有7條聯(lián)線。再由抽屜原理知，其中必有4條聯(lián)線從A1或A2 出發(fā)。不妨設從A1出發(fā)，又因A1至多能講3種語言，所以這4條聯(lián)線中，至少有2條聯(lián)線是同色的。若A1A3與A1A4同色，則A1，A3，A4這3點表示的3名數(shù)學家可用同一種語言通話。

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第五篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學設計

教材分析：現(xiàn)行小學教材人教版在十一冊編入這一原理，旨在于讓學生初步了解“抽屜原理”（也就是初步接觸第一原理），會用“抽屜原理”解決實際有關“存在”問題；通過猜測、驗證、觀察、分析等數(shù)學活動，讓孩子建立數(shù)學模型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；使孩子經歷從具體到抽象的探究過程，提高學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力；通過“抽屜原理”的靈活應用，提高學生解決數(shù)學問題的能力和興趣，感受到數(shù)學文化及數(shù)學的魅力。

學情分析：使孩子經歷從具體到抽象的探究過程，提高學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力；通過“抽屜原理”的靈活應用，提高學生解決數(shù)學問題的能力和興趣，感受到數(shù)學文化及數(shù)學的魅力。教學目標：

1、經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。

2、通過操作發(fā)展學生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學思維。

3、通過“抽屜原理”的靈活應用感受數(shù)學的魅力。

教學重點：經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。

教學難點：理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。

教學過程

一、游戲引入

3個人坐兩個座位，3人都要坐下，一定有一個座位上至少坐了2個人。

這其中蘊含了有趣的數(shù)學原理，這節(jié)課我們一起學習研究。

二、新知探究

1、把4枝鉛筆放進3個文具盒里，不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進（）枝鉛筆先猜一猜，再動手放一放，看看有哪些不同方法。用自己的方法記錄（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）你有什么發(fā)現(xiàn)？

不管怎么放總有一個文具盒里至少放進2枝鉛筆?？傆惺鞘裁匆馑迹恐辽偈鞘裁匆馑?/p>

2、思考

有沒有一種方法不用擺放就可以知道至少數(shù)是多少呢？

1、3人坐2個位子，總有一個座位上至少坐了2個人2、4枝鉛筆放進3個文具盒中，總有一個文具盒中至少放了2枝鉛筆5枝鉛筆放進4個文具盒中，6枝鉛筆放進5個文具盒中。99支鉛筆放進98個文具盒中。是否都有一個文具盒中

至少放進2枝鉛筆呢？ 這是為什么？可以用算式表達嗎？

4、如果是5枝鉛筆放到3個文具盒里，總有一個文具盒至少放進幾枝鉛筆？把7枝筆放進2個文具盒里呢? 8枝筆放進2個文具盒呢? 9枝筆放進3個文具盒呢？至少數(shù)=上+余數(shù)嗎？

三、小試牛刀 1、7只鴿子飛回5個鴿舍,至少有幾只鴿子要飛進同一個鴿舍里?

2、從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有幾張是同花色的？

四、數(shù)學小知識

數(shù)學小知識：抽屜原理的由來最先發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律的人是誰呢？最先是由19世紀的德國數(shù)學家狄里克雷運用于解決數(shù)學問題的，后人們?yōu)榱思o念他從這么平凡的事情中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，就把這個規(guī)律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鴿巢原理”，還把它叫做

“抽屜原理”。

五、智慧城堡

1、把13只小兔子關在5個籠子里，至少有多少只兔子要關在同一個籠子里?

2、咱們班共59人，至少有幾人是同一屬相？

3、張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，鏢鏢都中，成績是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？

4、六年級四個班的學生去春游，自由活時有6個同學在一起，可以肯定。為什么？

六、小結

這節(jié)課你有什么收獲？

七、作業(yè)：課后練習