第一篇：動(dòng)力學(xué)中的圖象問題、臨界問題牛頓運(yùn)動(dòng)定律的適用范圍·典型例題解析

動(dòng)力學(xué)中的圖象問題、臨界問題牛頓運(yùn)動(dòng)定律的適用范圍·典型例題解析

【例1】如圖25－1所示，木塊A、B靜止疊放在光滑水平面上，A的質(zhì)量為m，B的質(zhì)量為2m．現(xiàn)施水平力F拉B，A、B剛好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，一起沿水平面運(yùn)動(dòng)．若改用水平力F′拉A，使A、B也保持相對(duì)靜止，一起沿水平面運(yùn)動(dòng)，則F′不得超過

A．2F B．F/2 C．3F

D．F/3 解析：水平力F拉B時(shí)，A、B剛好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，這實(shí)際上是將要滑動(dòng)，但尚未滑動(dòng)的一種臨界狀態(tài)，從而可知此時(shí)的A、B間的摩擦力即為最大靜摩擦力．

先用整體法考慮，對(duì)A、B整體：F＝(m＋2m)a：

再將A隔離可得A、B間最大靜摩擦力：fm＝ma＝F/3；

若將F′作用在A上，隔離B可得：B能與A一起運(yùn)動(dòng)，而A、B不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的最大加速度：a′＝fm/2m；再用整體法考慮，對(duì)A、B整體：F′＝(m＋2m)a′＝F/2因而正確選項(xiàng)為B．

點(diǎn)撥：“剛好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)”是摩擦力發(fā)生突變(由靜摩擦力突變?yōu)榛瑒?dòng)摩擦力)的臨界狀態(tài)．由此求得的最大靜摩擦力正是求解此題的突破口．

【例2】在光滑的水平面上，一個(gè)質(zhì)量為0.2kg的物體在1.0N的水平力作用下由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，2.0s后將此力換為方向相反、大小仍為1.0N的力，再過2.0s將力的方向再換過來??，這樣，物體受到的力的大小雖然不變，方向卻每過2.0s變換一次，求經(jīng)過半分鐘物體的位移及半分鐘末的速度分別為多大？

解析：在最初2s內(nèi)物體的加速度為a＝F/m＝1/0.2m/s2＝5m/s2，物體做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，這2s內(nèi)的位移為s＝at2/2＝1/2×5×22m＝10m 2s末物體的速度為v＝at＝5×2m/s＝10m/s 2s末力的方向改變了，但大小沒變，加速度大小仍是5m/s2，但方向也改變了，物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)．到4s末，物體的速度為vt＝v0－at＝10m/s－5×2m/s＝0

[

]

故在第二個(gè)2s內(nèi)的位移為s2＝vt＝(v0＋vt)/2·t＝10m

所以，物體在前4s內(nèi)的位移為s1＋s2＝20m．

可以看出，第二個(gè)4s物體將重復(fù)第一個(gè)4s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況：前2s內(nèi)做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，后2s內(nèi)做勻減運(yùn)動(dòng)且后2s末的速度為零．依此類推，物體在半分鐘內(nèi)的v－t圖線如圖25－2所示，物體在半分鐘內(nèi)的位移為s＝7(s1＋s2)＋s1＝7×20m＋10m＝150m，半分鐘末物體的速度為10m/s．

點(diǎn)撥：物體從靜止開始，每經(jīng)過4s，物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)重復(fù)一次．這一特點(diǎn)經(jīng)過v－t圖線的描述，變得一目了然，充分顯示了借助于圖象解題的優(yōu)點(diǎn)．

【問題討論】本題中，若物體在該水平力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)，第一次在1.0s后將力換為相反方向，以后，再每經(jīng)過2.0s改變一次力的方向，則該題的答案又如何？

【例3】用細(xì)繩拴著質(zhì)量為m的重物，從深為H的井底提起重物并豎直向上作直線運(yùn)動(dòng)，重物到井口時(shí)速度恰為零，已知細(xì)繩的最大承受力為T，則用此細(xì)繩子提升重物到井口的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少？

點(diǎn)撥：(1)由題意可知，“最大”承受力及“最短”作用時(shí)間均為本題的臨界條件．提重物的作用時(shí)間越短，要求重物被提的加速度越大，而細(xì)繩的“最大”承受力這一臨界條件又對(duì)“最短”時(shí)間附加了制約條件．顯然這兩個(gè)臨界條件正是解題的突破口．

(2)重物上提時(shí)的位移一定，這是本題的隱含條件．

(3)開始階段細(xì)繩以最大承受力T上提重物，使其以最大加速度加速上升；緊接著使重物以最大加速度減速上升(繩子松馳，物體豎直上拋)，當(dāng)重物減速為零時(shí)恰好到達(dá)井口，重物這樣運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間為最短．

答案：例3 t＝2HT/g(T－mg)例4 θ＝60°時(shí)，Xmn＝53m【問題討論】該題還可以借助速度圖線分析何種情況下用時(shí)最短． 一般而言，物體可經(jīng)歷加速上升、勻速上升和減速上升三個(gè)階段到達(dá)井口，其v－t圖線如圖25－3中的圖線①所示；若要時(shí)間最短，則應(yīng)使加速上升和減速上升的加速度均為最大，其v－t圖線如圖25－3中②所示．

顯然在圖線與坐標(biāo)軸圍成面積一定的條件下，圖線②所需時(shí)間最短． 【例4】一個(gè)物體在斜面上以一定的速度沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，斜面底邊水平，斜面傾角θ可在0～90°間變化，設(shè)物體達(dá)到的最大位移x和傾角θ間關(guān)系如圖25－4所示，試計(jì)算θ為多少時(shí)x有最小值，最小值為多少？

點(diǎn)撥：這是一道由圖線給出的信息作為已知條件的習(xí)題．由圖線可知，θ＝90°時(shí)，物體豎直上拋，所能達(dá)到的最大高度x1＝10m，以此求得上拋的初速度v0；

θ＝0°時(shí)，物體在水平面上作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，最大位移x2＝

103m，以此求得物體與接觸面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ：

當(dāng)斜面傾角為任意值θ時(shí)，物體上滑加速度的大小為：a＝gsinθ ＋μgcosθ，代入vt2－v02＝2ax討論求解即可．

mg)

答案：2HT/g(T－ 例4 θ＝60°時(shí)，Xmn＝53m

跟蹤反饋

1．如圖25－5所示，在粗糙平面上，物體在水平拉力作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)使F不斷變小，則在滑動(dòng)過程中 3 t＝

[

] A．物體的加速度不斷變小，速度不斷增大 B．物體的加速度不斷增大，速度不斷變小

C．物體的加速度先變大再變小，速度先變小再變大 D．物體的加速度先變小再變大，速度先變大再變小

2．一個(gè)物體在水平面上受到恒定的水平力作用，從靜止開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間t后撤去外力，物體繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，其v－t圖線如圖25－6所示，則在此過程中，水平拉力和滑動(dòng)摩擦力的大小之比為F∶f＝________．

3．如圖25－7所示，在光滑水平面上挨放著甲、乙兩物塊．已知m2＝2m1，乙受到水平拉力F2＝2N，甲受到一個(gè)隨時(shí)間變化的水平推力F1＝(9－2t)N作用．當(dāng)t＝________秒時(shí)，甲、乙兩物塊間開始無相互擠壓作用．

4．甲物體由A地出發(fā)，從靜止開始作加速度為a1的勻加速運(yùn)動(dòng)，后作加速度大小為a2的勻減速運(yùn)動(dòng)，到B地時(shí)恰好停止運(yùn)動(dòng)．乙物體由A地出發(fā)始終作加速度為a的勻加速運(yùn)動(dòng)，已知兩個(gè)物體從A到B地所用的時(shí)間相同，求證：1/a＝1/a1＋1/a2

(提示：本題借助圖象法求解較為簡(jiǎn)捷明了．根據(jù)習(xí)題所描述的物理過程，作出甲、乙兩物體的v－t圖線，如圖25－8所示，再由題意及圖線可知甲加速過程的末速度、減速過程的初速度及乙加速運(yùn)動(dòng)至B地的末速度相等，均為最大速度vm．由時(shí)間關(guān)系可知vm/a＝vm/a1＋vm/a2)

參考答案：1．D 2．3∶1 3．4s 4．略