涉及互相重復(fù)的兩類或三類對(duì)象的計(jì)數(shù)問題．解題可利用計(jì)算所有對(duì)象總個(gè)數(shù)的容斥原理，以及圖示包含與排除關(guān)系．

1．某班有40名學(xué)生，其中有15人參加數(shù)學(xué)小組，18人參加航模小組，有10人兩個(gè)小組都參加．那么有多少人兩個(gè)小組都不參加?

【分析與解】

至少參加一個(gè)小組的同學(xué)有15+18-10=23人，所以有40-23=17人兩個(gè)小組都不參加．

滿分的有3人，這兩科都沒有得滿分的有29人．那么語(yǔ)文成績(jī)得滿分的有多少人?

【分析與解】

數(shù)學(xué)、語(yǔ)文至少有一門得滿分的學(xué)生有45-29=16人．所以語(yǔ)文成績(jī)得滿分的有16-10+3=9人．

3．50名同學(xué)面向老師站成一行．老師先讓大家從左至右按1，2，3，…，49，50依次報(bào)數(shù)；再讓報(bào)數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)．問：現(xiàn)在面向老師的同學(xué)還有多少名?

【分析與解】在轉(zhuǎn)過兩次后，面向老師的同學(xué)分成兩類：

第一類是標(biāo)號(hào)既不是4的倍數(shù)，又不是6的倍數(shù)；第二類是標(biāo)號(hào)既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)．

150之間，4的倍數(shù)有=12,6的倍數(shù)有=8，即是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)的數(shù)一定是12的倍數(shù)，所以有=4．

于是，第一類同學(xué)有50-12-8+4=34人，第二類同學(xué)有4人，所以現(xiàn)在共有34+4=38名同學(xué)面向老師．

4．在游藝會(huì)上，有100名同學(xué)抽到了標(biāo)簽分別為1至100的獎(jiǎng)券．按獎(jiǎng)券標(biāo)簽號(hào)發(fā)放獎(jiǎng)品的規(guī)則如下：①標(biāo)簽號(hào)為2的倍數(shù)，獎(jiǎng)2支鉛筆；②標(biāo)簽號(hào)為3的倍數(shù)，獎(jiǎng)3支鉛筆；③標(biāo)簽號(hào)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)可重復(fù)領(lǐng)獎(jiǎng)；④其他標(biāo)簽號(hào)均獎(jiǎng)1支鉛筆．那么游藝會(huì)為該項(xiàng)活動(dòng)準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品鉛筆共有多

少支?

【分析與解】

1～100，2的倍數(shù)有=50，3的倍數(shù)有=33個(gè)，因?yàn)榧仁?的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)的數(shù)一定是6的倍數(shù)，所以標(biāo)簽為這樣的數(shù)有=16個(gè)．

于是，既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)的數(shù)在1～100中有100-50-33+16=33．

所以，游藝會(huì)為該項(xiàng)活動(dòng)準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品鉛筆共有：

50×2+33×3+33×1=232支.5.有一根長(zhǎng)為180厘米的繩子，從一端開始每隔3厘米作一記號(hào)，每隔4厘米也作一記號(hào)，然后將標(biāo)有記號(hào)的地方剪斷．問繩子共被剪成了多少段?

【分析與解】

只需先計(jì)算剪了多少刀，再加上1即為剪成的段數(shù)．

從一端開始，將繩上距離這個(gè)端點(diǎn)整數(shù)厘米數(shù)的點(diǎn)編號(hào)，并將距離長(zhǎng)度作為編號(hào)．

有1～180，3的倍數(shù)有=60個(gè)，4的倍數(shù)有=45個(gè)，而既是3的倍數(shù)，又是4的倍數(shù)的數(shù)一定是12的倍數(shù)，所以這樣的數(shù)有=15個(gè)．

注意到180厘米處的無法標(biāo)上記號(hào)，所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，所以繩子被剪成89+1=90段．

6.東河小學(xué)畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級(jí)的，有15幅畫不是五年級(jí)的．現(xiàn)知道五、六年級(jí)共有25幅畫，那么其他年級(jí)的畫共有多少幅?

【分析與解】

將東河小學(xué)分成3個(gè)部分，六年級(jí)、五年級(jí)、其他年級(jí)，那么有五年級(jí)和其他年級(jí)共作畫16幅，六年級(jí)和其他年級(jí)共作畫15幅．而五、六年級(jí)共作畫25幅，所以其他年級(jí)的畫共有(16+15-25)÷2=3幅．

7．有若干卡片，每張卡片上寫著一個(gè)數(shù)，它是3的倍數(shù)或4的倍數(shù)，其中標(biāo)有3的倍數(shù)的卡片占，標(biāo)有4的倍數(shù)的卡片占，標(biāo)有12的倍數(shù)的卡片有15張．那么，這些卡片一共有多少?gòu)?

【分析與解】

設(shè)這些卡片的總數(shù)為“1”，而標(biāo)有12的倍數(shù)的卡片既屬于3的倍數(shù)又屬于4的倍數(shù)．

所以有，解得“1”對(duì)應(yīng)36張．

即這些卡片一共有36張．

8．在從1至1000的自然數(shù)中，既不能被5除盡，又不能被7除盡的數(shù)有多少個(gè)?

【分析與解】

l～1000之間，5的倍數(shù)有=200個(gè)，7的倍數(shù)有=142個(gè)，因?yàn)榧仁?的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)的數(shù)一定是35的倍數(shù)，所以這樣的數(shù)有=28個(gè)．

所以既不能被5除盡，又不能被7除盡的數(shù)有1000-200-142+-28=686個(gè)．

9．五年級(jí)三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng)．其中有25人參加自然興趣小組，35人參加美術(shù)興趣小組，27人參加語(yǔ)文興趣小組，參加語(yǔ)文同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有12人，參加自然同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有8人，參加自然同時(shí)又參加語(yǔ)文興趣小組的有9人，語(yǔ)文、美術(shù)、自然3科興趣小組都參加的有4人．求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)．

【分析與解】

設(shè)參加自然興趣小組的人組成集合A，參加美術(shù)興趣小組的人組成集合日，參加語(yǔ)文興趣小組的人組成集合C．

=25，=35，=27，=12，=8，=9，=4.=.所以，這個(gè)班中至少參加一項(xiàng)活動(dòng)的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而這個(gè)班每人至少參加一項(xiàng)．

即這個(gè)班有62人．

10．如圖8-1，已知甲、乙、丙3個(gè)圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6，8，5，而3個(gè)圓覆蓋的總面積為73．求陰影部分的面積．

【分析與解】

設(shè)甲圓組成集合A，乙圓組成集合B，丙圓組成集合C．

=30，=6，=8，=5，=73，而=.有73=30×3-6-8-5+，即=2，即甲、乙、丙三者的公共面積(⑧部分面積)為2．

那么只是甲與乙(④)，乙與丙(⑥)，甲與丙(⑤)的公共的面積依次為6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有陰影部分(①、②、③部分之和)的面積為73-4-6-3-2=58．

11．四年級(jí)一班有46名學(xué)生參加3項(xiàng)課外活動(dòng)．其中有24人參加了數(shù)學(xué)小組，20人參加了語(yǔ)文小組，參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組也參加文藝小組人數(shù)的3．5倍，又是3項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的7倍，既參加文藝小組也參加語(yǔ)文小組的人數(shù)相當(dāng)于3項(xiàng)都參加的人數(shù)的2倍，既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的有10人．求參加文藝小組的人數(shù)．

【分析與解】

設(shè)參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生組成集合A，參加語(yǔ)文小組的學(xué)生組成集合B，參加文藝小組的學(xué)生組成集合G．三者都參加的學(xué)生有z人．

有=46，=24，=20，=3.5，=7，=2，=10．

因?yàn)?，所?6=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，即三者的都參加的有3人．

那么參加文藝小組的有37=21人．

12．圖書室有100本書，借閱圖書者需在圖書上簽名．已知這100本書中有甲、乙、丙簽名的分別有33，44和55本，其中同時(shí)有甲、乙簽名的圖書為29本，同時(shí)有甲、丙簽名的圖書為25本，同時(shí)有乙、丙簽名的圖書為36本．問這批圖書中最少有多少本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過?

【分析與解】

設(shè)甲借過的書組成集合A，乙借過的書組成集合B，丙借過的書組成集合C．

=33,=44，=55，=29，=25，=36．

本題只需算出甲、乙、丙中至少有一人借過的書的最大值，再將其與100作差即可．,當(dāng)最大時(shí)，有最大值.也就是說當(dāng)三人都借過的書最多時(shí)，甲、乙、丙中至少有一人借過的書最多．

而最大不超過、、、、、6個(gè)數(shù)中的最小值，所以最大為25．

此時(shí)=33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借過的書最多為67本，所以這批圖書中最少有33本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過．

13．如圖8-2，5條同樣長(zhǎng)的線段拼成了一個(gè)五角星．如果每條線段上恰有1994個(gè)點(diǎn)被染成紅色，那么在這個(gè)五角星上紅色點(diǎn)最少有多少個(gè)?

【分析與解】

如下圖，下圖中“”位置均有兩條線段通過，也就是交點(diǎn)，如果這些交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的線段都在“”位置恰有紅色點(diǎn)，那么在五角星上重疊的紅色點(diǎn)最多，所以此時(shí)顯現(xiàn)的紅色點(diǎn)最少，有1994×5-(2-1)×10=9960個(gè)．

14．甲、乙、丙同時(shí)給100盆花澆水．已知甲澆了78盆，乙澆了68盆，丙澆了58盆，那么3人都澆過的花最少有多少盆?

【分析與解】只考慮甲乙兩人情況，有甲、乙都澆過的最少為：78+68-100=46盆，此時(shí)甲單獨(dú)澆過的為78-46=32盆，乙單獨(dú)澆過的為68-46=22盆；

欲使甲、乙、丙三人都澆過的花最少時(shí)，應(yīng)將丙澆過的花盡量分散在兩端。于是三者都澆過花最少為58-32-22=4盆．

15．甲、乙、丙都在讀同-一本故事書，書中有100個(gè)故事．每個(gè)人都從某一個(gè)故事開始，按順序往后讀．已知甲讀了7.5個(gè)故事，乙讀了60個(gè)故事，丙讀了52個(gè)故事．那么甲、乙、丙3人共同讀過的故事最少有多少個(gè)?

【分析與解】

只考慮甲乙兩人情況，有甲、乙都讀過的最少為：75+60-100=35個(gè)，此時(shí)甲單獨(dú)讀過的為75-35=40個(gè)，乙單獨(dú)讀過的為60-35=25個(gè)；

欲使甲、乙、丙三人都讀過的書最少時(shí)，應(yīng)將丙讀過的書盡量分散在某端，于是三者都讀過書最少為52-40=12個(gè)．

評(píng)注：注意與14題的區(qū)別，本題中必須是從一端連續(xù)的排下去，而14題沒有要求連續(xù)．