八年級(jí)數(shù)學(xué)公益診斷

2．如圖，l1∥l2，等邊△ABC的頂點(diǎn)A、B分別在直線l1、l2，則∠1+∠2＝（）

A．30°

B．40°

C．50°

D．60°

【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠CBA+∠BAC+∠2＝180°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠CBA＝∠BAC＝60°，∴∠1+∠2＝180°﹣（∠CBA+∠BAC）＝180°﹣120°＝60°，故選：D．

9．已知△ABC邊AB、AC的垂直平分線DM、EN相交于O，M、N在BC邊上，若∠MAN＝20°，則∠BAC的度數(shù)為（）

A．100°

B．120°

C．140°

D．160°

【解答】解：∵DM是邊AB的垂直平分線，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B，同理，∠NAC＝∠C，則，解得，∠BAC＝100°，故選：A．

4．如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作EF

⊥BC于點(diǎn)E，則BE的長(zhǎng)為（）

A．1

B．

C．

D．

【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，∵DF⊥AC，F(xiàn)E⊥BC，∴∠AFD＝∠CEF＝90°，∴∠ADF＝∠CFE＝30°，∴AF＝AD，CE＝CF，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝1，∴AF＝，CF＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝2﹣＝，故選：C．

1．如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論，其中正確的有（C）

①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°；∠BFC＝115°；④DF＝EF．

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

【解答】解：∵BF是∠AB的角平分線，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；故①正確；

同理，EF＝CE，∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正確；

∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴，∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正確；

當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，DF＝EF，但△ABC不一定是等腰三角形，∴DF不一定等于EF，故④錯(cuò)誤；

故選：C．

3．平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，2）、B（3，0）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

A．5

B．6

C．7

D．8

【解答】解：∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，2）、B（3，0）．

∴AB＝2，①若AC＝AB，以A為圓心，AB為半徑畫弧與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)（B點(diǎn)除外），即（﹣1，0）、（2+，0）、（0，2﹣），即滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有3個(gè)；

②若BC＝AB，以B為圓心，BA為半徑畫弧與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)，即滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有2個(gè)；

③若CA＝CB，作AB的垂直平分線與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)，即滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有2個(gè)．

綜上所述：點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，△ABC是等腰三角形，符合條件的點(diǎn)C共有7個(gè)．

故選：C．

14．如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是10，點(diǎn)O為∠ABC與∠ACB的平分線的交點(diǎn)，且OD⊥BC于D．若OD＝2，則△ABC的面積是（）

A．20

B．12

C．10

D．8

【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，∵O為∠ABC與∠ACB的平分線的交點(diǎn)，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF＝OD＝2，∴△ABC的面積＝△AOB的面積+△BOC的面積+△AOC的面積

＝×（AB+BC+AC）×OD

＝×10×2

＝10，故選：C．

7．給出下列命題：（1）有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為1：2：3的三角形是直角三角形：（3）有三條互不重合的直線a，b，c，若a∥c，b∥c，那么a∥b；（4）等腰三角形兩條邊的長(zhǎng)度分別為2和4，則它的周長(zhǎng)為8或10．

其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A．4個(gè)

B．3個(gè)

C．2個(gè)

D．1個(gè)

【解答】解：（1）有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形，是真命題．

（2）三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為1：2：3的三角形是直角三角形，是真命題．

（3）有三條互不重合的直線a，b，c，若a∥c，b∥c，那么a∥b，是真命題．

（4）等腰三角形兩條邊的長(zhǎng)度分別為2和4，則它的周長(zhǎng)為8或10，是假命題．

其中真命題的個(gè)數(shù)為3，故選：B．

22．如果不等式組的解集是x＞5，則a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)≥5

B．a(chǎn)≤5

C．a(chǎn)＝5

D．a(chǎn)＜5

【解答】解：∵不等式組的解集是x＞5，∴a≤5，故選：B．

23．某景點(diǎn)普通門票每人50元，20人以上（含20人）的團(tuán)體票六折優(yōu)惠．現(xiàn)有一批游客不足20人，但買20人的團(tuán)體票所花的錢，比各自買普通門票平均每人會(huì)便宜至少10元，這批游客至少有（）

A．14

B．15

C．16

D．17

【解答】解：設(shè)這批游客x人．

由題意：20×50×0.6≤（50﹣10）x，∴x≥15，∴x最?。?5，故選：B．

24．關(guān)于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集為x＜1，那么m的取值范圍是（）

A．m＜﹣1

B．m＞﹣1

C．m＞0

D．m＜0

【解答】解：∵不等式（m+1）x＞m+1的解集為x＜1，∴m+1＜0，即m＜﹣1，故選：A．

25．若關(guān)于x的不等式2x﹣a≤0的正整數(shù)解是1，2，3，則a的取值范圍是（）

A．6＜a＜7

B．7＜a＜8

C．6≤a＜7

D．6≤a＜8

【解答】解：解不等式2x﹣a≤0，得：x≤，∵不等式2x﹣a≤0的正整數(shù)解是1，2，3，∴3≤＜4，解得：6≤a＜8，故選：D．

26．如圖，已知直線y＝mx過點(diǎn)A（﹣2，﹣4），過點(diǎn)A的直線y＝nx+b交x軸于點(diǎn)B（﹣4，0），則關(guān)于的不等式組nx+b≤mx＜0的解集為（）

A．x≤﹣2

B．﹣4＜x≤﹣2

C．x≥﹣2

D．﹣2≤x＜0

【解答】解：由圖象可知，當(dāng)﹣2≤x＜0時(shí)，直線y＝nx+b在直線直線y＝mx下方，且都在x軸下方，∴當(dāng)﹣2≤x＜0時(shí)，nx+b≤mx＜0，故選：D．

29．如果不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)≤1

B．a(chǎn)＜﹣1

C．﹣2＜a≤﹣1

D．﹣2≤a＜﹣1

【解答】解：∵不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，∴﹣2≤a＜﹣1，故選：D．

31．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，連接BE，其中有：①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝DE；④∠A＝∠EBC，四個(gè)結(jié)論，則結(jié)論一定正確的有（）個(gè)．

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①、③錯(cuò)誤；

∴∠ACD＝∠BCE，∴∠A＝∠ADC＝（180°﹣∠ACD），∠CBE＝（180°﹣∠BCE），∴∠A＝∠EBC，故④正確；

∵∠A+∠ABC不一定等于90°，∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②錯(cuò)誤；

故選：A．

35．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝3，將△ABC以點(diǎn)C為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEC，連接BE、AD．下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．S△ABD＝6

B．S△ADE＝3

C．BE⊥AD

D．∠ADE＝135°

【解答】解：∵將△ABC以點(diǎn)C為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEC，∴AC＝CD＝3，BC＝CE＝1，∠ACD＝90°，∴AE＝2，BD＝4，∠ADC＝∠CAD＝∠CBE＝∠CEB＝45°

∴S△ABD＝×BD×AC＝6，S△ADE＝×AE×CD＝3，∠CBE+∠ADC＝90°，∠ADE＜45°，∴BE⊥AD．

故選：D．

將一箱蘋果分給若干位小朋友，若每位小朋友分5個(gè)蘋果，則還剩12個(gè)蘋果，若每位小朋友分8個(gè)蘋果，則有一位小朋友分到了蘋果但不足8個(gè)，則有小朋友__________個(gè)，蘋果_________個(gè)．

解答：解：設(shè)有x位小朋友，則蘋果為（5x＋12）個(gè)，依題意得：0＜8x?（5x＋12）＜8，解得：4＜x＜，∵x是正整數(shù)，∴x取5或6，當(dāng)x＝5時(shí)，5x＋12＝37；當(dāng)x＝6時(shí)，5x＋12＝42，∴有兩種情況滿足題意：①這一箱蘋果有37個(gè)，小朋友有5位；②這一箱蘋果有42個(gè)，小朋友有6位，故答案為：5或6；37或42．

如圖，D為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，DA＝5，DB＝4，DC＝3，將線段AD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD＇，下列結(jié)論：①點(diǎn)D與點(diǎn)D＇的距離為5；②∠ADC＝150°；③△ACD＇可以由△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；④點(diǎn)D到CD＇的距離為3；⑤S四邊形ADCD′＝6＋，其中正確的有（）

A、2個(gè)

B、3個(gè)

C、4個(gè)

D、5個(gè)

解答：解：連結(jié)DD′，如圖，∵線段AD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD′，∴AD＝AD′，∠DAD′＝60°，∴△ADD′為等邊三角形，∴DD′＝5，所以①正確；

∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴把△ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，AB與AC重合，AD與AD′重合，∴△ACD′可以由△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，所以③正確；

∴D′C＝DB＝4，∵DC＝3，在△DD′C中，∵32＋42＝52，∴DC2＋D′C2＝DD′2，∴△DD′C為直角三角形，∴∠DCD′＝90°，∵△ADD′為等邊三角形，∴∠ADD′＝60°，∴∠ADC≠150°，所以②錯(cuò)誤；

∵∠DCD′＝90°，∴DC⊥CD′，∴點(diǎn)D到CD′的距離為3，所以④正確；

∵S△ADD′＋S△D′DC

＝=，所以⑤錯(cuò)誤．

故選：B．