2019-2020學年河南省豫南九校高二上學期第二次聯(lián)考數(shù)學（文）試題

一、單選題

1．不等式的解集是

A.B.C.D.【答案】B

【解析】因式分解不等式，可直接求得其解集。

【詳解】，解得.【點睛】

本題考查求不等式解集，屬于基礎題。

2．設命題，則為（）.A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】命題，則為:,故選C.3．在中，則（）

A.B.C.D.或

【答案】D

【解析】先選用正弦定理求解的大小，再根據(jù)的內角和為即可求解的大小.【詳解】

因為，代入數(shù)值得：；

又因為，所以，則或；

當時，；

當時，.所以或.故選：D.【點睛】

解三角形過程中涉及到多解的時候，不能直接認為所有解都合適，要通過給出的條件判斷邊或角的大小關系，從而決定解的個數(shù)，4．記等差數(shù)列的前項和為.若，則的公差為（）

A.3

B.2

C.-2

D.-3

【答案】A

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質，由求得的值，根據(jù)等差數(shù)列公差的計算公式計算出公差.【詳解】

由等差數(shù)列性質可知，解得，故.故選：A.【點睛】

本小題主要考查等差數(shù)列前項和公式，考查等差數(shù)列的性質，考查等差數(shù)列公差的計算公式，屬于基礎題.5．已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質，得到，結合題中數(shù)據(jù)，即可得出結果.【詳解】

因為等比數(shù)列的前項和為，且，則,則.故選A

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的性質，熟記等比數(shù)列的性質即可，屬于?？碱}型.6．已知實數(shù)滿足不等式則的最小值為（）

A．

B．5

C．4

D．無最小值

【答案】C

【解析】首先畫出可行域，然后結合目標函數(shù)的幾何意義即可確定最值.【詳解】

繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標函數(shù)即：，其中z取得最小值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，據(jù)此結合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點的坐標為：，據(jù)此可知目標函數(shù)的最小值為：.故選：C.【點睛】

求線性目標函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.7．已知a、b、c分別是△ABC的內角A、B、C的對邊，若，則的形狀為（）

A．鈍角三角形

B．直角三角形

C．銳角三角形

D．等邊三角形

【答案】A

【解析】將原式進行變形，再利用內角和定理轉化，最后可得角B的范圍，可得三角形形狀.【詳解】

因為在三角形中，變形為

由內角和定理可得

化簡可得：

所以

所以三角形為鈍角三角形

故選A

【點睛】

本題考查了解三角形，主要是公式的變形是解題的關鍵，屬于較為基礎題.8．設，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】利用單調性，通過取中間值，即可得到.再不等式的性質，以及對數(shù)的運算，即可得到.再通過作差法，即可得到，從而得到的大小比較.【詳解】

因為，所以，因為，而，所以，即可得，因為，所以，所以，故選B.【點睛】

本題主要考查了比較大小的問題，涉及到單調性的運用、對數(shù)運算公式以及不等式的性質應用，屬于中檔題.對于比較大小問題，常用的方法有：（1）作差法，通過兩式作差、化簡，然后與進行比較，從而確定大小關系；（2）作商法，通過兩式作商、化簡（注意分母不能為零），然后與進行比較，從而確定大小關系；（3）取中間值法，通過取特殊的中間值（一般取等），分別比較兩式與中間值的大小關系，再利用不等式的傳遞性即可得到兩式的大小關系；（4）構造函數(shù)法，通過構造函數(shù)，使得兩式均為該函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調性以及對應自變量的大小關系，從而得到兩式的大小關系.9．等比數(shù)列的前項和為，若，,則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由題，等比數(shù)列及其性質，易求出，再取，求得，即可求得公比，既而求得答案.【詳解】

因為等比數(shù)列，由性質可得

又因為

所以當時，有，即公比

所以

故選C

【點睛】

本題主要考查了等比數(shù)列，掌握好等比數(shù)列的性質和通項是解題的關鍵，屬于較為基礎題.10．我國南宋著名數(shù)學家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設的三個內角，所對的邊分別為，，面積為，則“三斜求積”公式為，若，則用“三斜求積”公式求得的面積為（）

A.B.1

C.D.【答案】C

【解析】根據(jù)正弦定理：由得的值，再由得的值，利用公式可得結論．

【詳解】

∵，∴，因為，所以，從而的面積為.故選：C．

【點睛】

本題主要考查給出新的公式，并用新的公式解題的能力，比較基礎．

11．已知正項等比數(shù)列滿足,若存在兩項使得，則的最小值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根據(jù)，求出公比的值，利用存在兩項，使得，寫出之間的關系，結合基本不等式即可得到最小值

【詳解】

設等比數(shù)列的公比為，，，存在兩項使得，，,，當且僅當時取得等號，則有，又由，得時，取最小值為

答案：B

【點睛】

本題考查基本不等式的應用，屬于基礎題

12．在中，角，所對應的邊分別為，若，則面積的最大值為（）

A.B.C.D.【答案】A

【解析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．結合，都用表示，利用余弦定理及其基本不等式的性質可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面積的最大值．

【詳解】

由正弦定理得：

由余弦定理得：，即

當且僅當，時取等號，,則，所以面積的最大值1.故選:.【點睛】

本題考查了正弦定理、余弦定理和基本不等式，屬于難題.二、填空題

13．在中，角，的對邊分別是，，若，，則_______.【答案】3

【解析】直接利用余弦定理，轉化求解即可。

【詳解】

解：由余弦定理可得：，解得.故答案為：3。

【點睛】

本題考查余弦定理的應用，是基礎題。

14．已知，，且是成立的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是__________．

【答案】

【解析】先解出不等式得出解集為，由題意得出，列出不等式組解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】

解不等式，即，得，.由于是成立的必要不充分條件，則，所以，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【點睛】

本題考查利用充分必要性求參數(shù)的取值范圍，涉及絕對值不等式的解法，解題的關鍵就是利用充分必要性轉化為兩集合間的包含關系，考查化歸與轉化思想，屬于中等題.15．在中，內角，所對應的邊長分別為，，且，則的外接圓面積為__________．

【答案】

【解析】根據(jù)正弦定理得到，再根據(jù)計算得到答案.【詳解】

由正弦定理知：，即，，即.故.故答案為

【點睛】

本題考查了正弦定理，外接圓面積，意在考查學生的計算能力.16．記數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的通項公式為______.【答案】

【解析】利用，求得的遞推關系式，然后利用配湊法將關系式配成等比數(shù)列的形式，由此求得數(shù)列的通項公式.【詳解】

當時，解得；當時，，兩式相減可得，故，設，故，即，故.故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，故.故答案為：

【點睛】

本小題主要考查已知的表達式，求的表達式，考查利用配湊法求數(shù)列的通項公式，屬于中檔題.三、解答題

17．在中，角所對的邊分別為，且滿足.(Ⅰ)求角的大??；

(Ⅱ)若，求邊上的中線的長.【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)由題意結合正弦定理邊化角，求得的值即可確定∠A的大??；

(Ⅱ)易知△ABC為等腰三角形，利用余弦定理可得AM的長.【詳解】

（Ⅰ）因為，由正弦定理可得，因為，所以，因為，所以，．

（Ⅱ）由，則，所以，，由余弦定理可得，所以．

【點睛】

在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．

18．已知，，.（1）若為真命題，求的取值范圍；

（2）若為真命題，且為假命題，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）

【解析】(1)分a=0和兩種情況討論即可；（2）因為為真命題，且為假命題，所以真假或假真，當真假，有解出即可，當假真，有解出即可.【詳解】

(1)當時，不恒成立，不符合題意；

當時，解得.綜上所述：.(2)，則.因為為真命題，且為假命題，所以真假或假真，當真假，有，即；

當假真，有，則無解.綜上所述，.【點睛】

由簡單命題和邏輯連接詞構成的復合命題的真假可以用真值表來判斷，反之根據(jù)復合命題的真假也可以判斷簡單命題的真假．假若p且q真，則p

真，q也真；若p或q真，則p，q至少有一個真；若p且q假，則p，q至少有一個假．（2）可把“p或q”為真命題轉化為并集的運算；把“p且q”為真命題轉化為交集的運算．

19．已知數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且是與的等差中項．

I.求數(shù)列的通項公式；

II.設，為數(shù)列的前n項和，記，證明：．

【答案】I.；II.見解析

【解析】I.根據(jù)等差中項性質得到，再根據(jù)等比數(shù)列通項公式構造方程求得，從而可求得通項公式；II.根據(jù)求得，利用等差數(shù)列求和公式得到；再根據(jù)裂項相消法求得，根據(jù)證得結論.【詳解】

I.由題意得：

設數(shù)列公比為，則，即

解得：（舍去）或

則

II.由I.得：，可知為首項為，公差為的等差數(shù)列

則

即

【點睛】

本題考查等比數(shù)列通項公式的求解、裂項相消法求解數(shù)列的前項和問題，關鍵是能夠確定需求和的數(shù)列的通項公式符合裂項相消法的形式，從而使問題得以解決.20．已知向量，函數(shù)（）.（Ⅰ）求函數(shù)的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）在中，角，所對的邊分別為，，滿足，且，求的值.【答案】（Ⅰ）函數(shù)的最大值為1，其最小正周期為;（Ⅱ）2.【解析】【試題分析】（1）先運用向量的數(shù)量積公式求出，再運用三角變換中的余弦倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡得到

.（2）先借助，求出或（此時，關于，的方程無解，舍去），再借助正弦定理將化為，進而求出。

解：（Ⅰ）由于

.∴函數(shù)的最大值為1，其最小正周期為.（Ⅱ）由于，∵，∴，則有或，解得或（此時，關于，的方程無解，舍去）.又由，結合正弦定理可得，所以

21．在中，角所對的邊分別為,且

.（1）求角C；

（2）若的中線CE的長為1，求的面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)正弦定理化簡，結合余弦定理，可得角的大??；

（2）利用三角形中線長定理，再利用余弦定理化簡后，結合基本不等式可得的最大值，即可求得面積的最大值

【詳解】

（1）由，得：，即,由余弦定理得

∴，∵，∴

.（2）由余弦定理：

①，②，由三角形中線長定理可得：①+②得

即

∵，∴

∴，當且僅當時取等號

所以.【點睛】

本題考查正弦定理、余弦定理及三角形中線長定理的應用，屬于基礎題

22．已知數(shù)列的前項和為，且（），.數(shù)列為等比數(shù)列，且.（Ⅰ）求和的通項公式；

（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先得到數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，由求出首項，可得的通項公式，由求出等比數(shù)列的首項與公比，從而可得的通項公式；（2）利用（1）得，結合等比數(shù)列的求和公式，利用錯位相減法可得結果.【詳解】

（1）由已知得：，數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列.，，.設等比數(shù)列的公比為，，.（2）由題意，得，.上述兩式相減，得,.【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式基本量運算，以及等比數(shù)列的求和公式，錯位相減法的應用，屬于中檔題.“錯位相減法”求數(shù)列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積）；②相減時注意最后一項的符號；③求和時注意項數(shù)別出錯；④最后結果一定不能忘記等式兩邊同時除以.