2013年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第十七講

三角形與全等三角形

【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】

三角形的概念：

1、由

直線上的三條線段

組成的圖形叫三角形

2、三角形的基本元素：三角形有

條邊

個(gè)頂點(diǎn)

個(gè)內(nèi)角二、三角形的分類：

按邊可分為

三角形和

三角形，按角可分為

三角形

三角形

三角形

【趙老師提醒：等邊三角形屬于特殊的三角形，銳角三角形和鈍角三角形有事稱為

三角形】

三、三角形的性質(zhì)：

1、三角形的內(nèi)角和是

三角形的任意一個(gè)外角

和它不相得兩個(gè)內(nèi)角的和三角形的一個(gè)外角

任意一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角

2、三角形任意兩邊之和

第三邊，任意兩邊之差

第三邊

3、三角形具有

性

【趙老師提醒：1、三角形的外角是指三角形一邊和另一邊的組成的角，三角形有

個(gè)外角，三角形的外角和事，是其中

各外角的和

2、三角形三邊關(guān)系定理是確定三條線段否構(gòu)成三角形和判斷限度間不等關(guān)系的主要依據(jù)】

四、三角形中的主要線段：

1、角平分線：三角形的三條角平分線都在三角形

部

且交于一點(diǎn)，這些是三角形的心

它到

得距離相等

2、中線：三角形的三條中線都在三角形

部，且交于一點(diǎn)

3、高線：不同三角

形的三

條高線位置不同，銳角三角形三條高都連三角形

直角三角形有一條高線在部，另兩條河

重合，鈍角三角形有一條高線在三角形

部，兩條在三角形

部

4、中位線：連接三角形任意兩邊的線段叫做三角形的中位線。

定理：三角形的中位線

第三邊且等于第三邊的【趙老師提醒：三角形的平分線、中線、高線、中位線都是

且都有

條】

五、全等三角形的概念和性質(zhì)：

1、的兩個(gè)三角形叫做全等三角形

2、性質(zhì)：全等三角形的、分別相等，全等三角形的對應(yīng)線段（角平分線、中線、高線）周長、面積分別對應(yīng)

【趙老師提醒：全等三角形的性質(zhì)是證明線段、角等之間數(shù)量關(guān)系的最主要依據(jù)】

一、全等三角形的判定：

1、一般三角形的全等判定方法：①邊角邊，簡記為

②角邊角：簡記為

③角角邊：簡記為

④邊邊邊：簡記為

2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，還可以用

來判定

【趙老師提醒：1、判定全等三角形的條件中，必須至少有一組

對應(yīng)相等，用SAS判定全等，切記角為兩邊的2、判定全等三角形的有關(guān)條件要特別注意對應(yīng)兩個(gè)字】

【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】

考點(diǎn)一：三角形內(nèi)角、外角的應(yīng)用

例1

（2012?南通）如圖，△ABC中，∠C=70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2=（）

A．360°

B．250°

C．180°

D．140°

思路分析：先利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．

解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．

故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．

對應(yīng)訓(xùn)練

1．（2012?泉州）如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，點(diǎn)D、E分別在BC、AC的延長線上，則∠1=

°．

1．80

分析：先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)對頂角相等求出∠1的度數(shù)即可．

解：∵△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-40°=80°，∴∠1=∠ACB=80°．

故答案為：80．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，即三角形內(nèi)角和是180°．

考點(diǎn)二：三角形三邊關(guān)系

例2

（2012?瀘州）已知三角形兩邊的長分別是3和6，第三邊的長是方程x2-6x+8=0的根，則這個(gè)三角形的周長等于（）

A．13

B．11

C．11

或13

D．12或15

2．分析：首先從方程x2-6x+8=0中，確定第三邊的邊長為2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否構(gòu)成三角形，從而求出三角形的周長．

解：由方程x2-6x+8=0，得：

解得x1=2或x2=4，當(dāng)?shù)谌吺?時(shí)，2+3＜6，不能構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去；

當(dāng)?shù)谌吺?時(shí)，三角形的周長為4+3+6=13．

故選A．

點(diǎn)評(píng)：考查了三角形三邊關(guān)系，求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長能否成三角形的好習(xí)慣，不符合題意的應(yīng)棄之．

對應(yīng)訓(xùn)練

1．（2012?義烏市）如果三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長是偶數(shù)，則第三邊長可以是（）

A．2

B．3

C．4

D．8

思路分析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可令第三邊為X，則5-3＜X＜5+3，即2＜X＜8，又因?yàn)榈谌呴L為偶數(shù)，所以第三邊長是4，6．問題可求．

解：由題意，令第三邊為X，則5-3＜X＜5+3，即2＜X＜8，∵第三邊長為偶數(shù)，∴第三邊長是4或6．

∴三角形的三邊長可以為3、5、4．

故選：C．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)三：三角形全等的判定

例3

（2012?樂山）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論：

①△DFE是等腰直角三角形；

②四邊形CEDF不可能為正方形；

③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；

④點(diǎn)C到線段EF的最大距離為．

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

思路分析：①作常規(guī)輔助線連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，從而可證∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；

②當(dāng)E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEDF為正方形；

③由割補(bǔ)法可知四邊形CDFE的面積保持不變；

④△DEF是等腰直角三角形DE=

EF，當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)，F(xiàn)E取最小值2，此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離．

解：①如圖，連接CD；

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；

∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF；

∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；

∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．故此選項(xiàng)正確；

②當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDFE是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③如圖2所示，分別過點(diǎn)D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于點(diǎn)M，N，可以利用割補(bǔ)法可知四邊形CDFE的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④△DEF是等腰直角三角形DE=EF，當(dāng)EF∥AB時(shí)，即EF取最小值2，此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為．故此選項(xiàng)正確；

故正確的有2個(gè)，故選：B．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)圖形利用割補(bǔ)法可知四邊形CDFE的面積等于正方形CMDN面積是解題關(guān)鍵．

例4

（2012?珠海）如圖，把正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A′B′CD′（此時(shí)，點(diǎn)B′落在對角線AC上，點(diǎn)A′落在CD的延長線上），A′B′交AD于點(diǎn)E，連接AA′、CE．

求證：（1）△ADA′≌△CDE；

（2）直線CE是線段AA′的垂直平分線．

思路分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，則∠A′DE=90°，再計(jì)算出∠A′ED=45°，根據(jù)等角對等邊可得AD=ED，即可利用SAS證明△AA′D≌△CED；

（2）首先由AC=A′C，可得點(diǎn)C在AA′的垂直平分線上；再證明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，進(jìn)而得到點(diǎn)E也在AA′的垂直平分線上，再根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線可得直線CE是線段AA′的垂直平分線．

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠A′DE=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方法可得：∠EA′D=45°，∴∠A′ED=45°，∴A′D=DE，在△AA′D和△CED中：

AD=CD，∠ADA′=∠EDC，A′D=ED，∴△AA′D≌△CED（SAS）；

（2）∵AC=A′C，∴點(diǎn)C在AA′的垂直平分線上，∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠CAE=45°，∵AC=A′C，CD=CB′，∴AB′=A′D，在△AEB′和△A′ED中：∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED，AB′=A′D，∴△AEB′≌△A′ED，∴AE=A′E，∴點(diǎn)E也在AA′的垂直平分線上，∴直線CE是線段AA′的垂直平分線．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)后相等的線段．

對應(yīng)訓(xùn)練

3．（2012?雞西）Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN=90°，∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點(diǎn)．下列結(jié)論：①（BE+CF）=

BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四邊形AEDF=AD?EF；④AD≥EF；⑤AD與EF可能互相平分，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

3．分析：先由ASA證明△AED≌△CFD，得出AE=CF，再由勾股定理即可得出BE+CF=AB=

BC，從而判斷①；

設(shè)AB=AC=a，AE=CF=x，先由三角形的面積公式得出S△AEF=-（x-a）2+a2，S△ABC=×a2=a2，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷②；

由勾股定理得到EF的表達(dá)式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得EF最小值為a，而AD=a，所以EF≥AD，從而④錯(cuò)誤；

先得出S四邊形AEDF=S△ADC=AD，再由EF≥AD得到AD?EF≥AD2，∴AD?EF＞S四邊形AEDF，所以③錯(cuò)誤；

如果四邊形AEDF為平行四邊形，則AD與EF互相平分，此時(shí)DF∥AB，DE∥AC，又D為BC中點(diǎn)，所以當(dāng)E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)時(shí)，AD與EF互相平分，從而判斷⑤．

解：∵Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，∵∠MDN=90°，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF．

在△AED與△CFD中，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE=CF，在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=．

故①正確；

設(shè)AB=AC=a，AE=CF=x，則AF=a-x．

∵S△AEF=AE?AF=x（a-x）=-（x-a）2+a2，∴當(dāng)x=a時(shí)，S△AEF有最大值a2，又∵S△ABC=×a2=a2，∴S△AEF≤S△ABC．

故②正確；

EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2（x-a）2+1

a2，∴當(dāng)x=a時(shí)，EF2取得最小值a2，∴EF≥a（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=

a時(shí)成立），而AD=a，∴EF≥AD．

故④錯(cuò)誤；

由①的證明知△AED≌△CFD，∴S四邊形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=1

AD2，∵EF≥AD，∴AD?EF≥AD2，∴AD?EF＞S四邊形AEDF

故③錯(cuò)誤；

當(dāng)E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEDF為正方形，此時(shí)AD與EF互相平分．

故⑤正確．

綜上所述，正確的有：①②⑤，共3個(gè)．

故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圖形的面積，函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．

4．（2012?肇慶）如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC與BD交于O，AC=BD．

求證：（1）BC=AD；

（2）△OAB是等腰三角形．

4．分析：（1）根據(jù)AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC與△BAD是直角三角形，再根據(jù)AC=BD，AB=BA，得出△ABC≌△BAD，即可證出BC=AD，（2）根據(jù)△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，從而證出OA=OB，△OAB是等腰三角形．

證明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC與△BAD是直角三角形，在△ABC和△BAD中，∵

AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠ADB，∴△ABC≌△BAD，∴BC=AD，（2）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴△OAB是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)；用到的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重點(diǎn)，本題是道基礎(chǔ)題，是對全等三角形的判定的訓(xùn)練．

考點(diǎn)四：全等三角形開放性問題

例5

（2012?義烏市）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，作射線AD，在線段AD及其延長線上分別取點(diǎn)E、F，連接CE、BF．添加一個(gè)條件，使得△BDF≌△CDE，并加以證明．你添加的條件是

．（不添加輔助線）．

思路分析：由已知可證∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因?yàn)槿切稳葪l件中必須是三個(gè)元素，并且一定有一組對應(yīng)邊相等．故添加的條件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）；

解：（1）添加的條件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．

（2）證明：在△BDF和△CDE中

∵，∴△BDF≌△CDE．

點(diǎn)評(píng)：三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．

對應(yīng)訓(xùn)練

5．（2012?衡陽）如圖，AF=DC，BC∥EF，請只補(bǔ)充一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF，并說明理由．

5．分析：首先由AF=DC可得AC=DF，再由BC∥EF根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EFD=∠BCA，再加上條件EF=BC即可利用SAS證明△ABC≌△DEF．

解：補(bǔ)充條件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下：

∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即：AC=DF，∵BC∥EF，∴∠EFD=∠BCA，在△EFD和△BCA中，EF=BC

∠EFD=∠BCA

EF=BC，∴△EFD≌△BCA（SAS）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，HL．

【聚焦山東中考】

1.（2012?煙臺(tái)）一副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點(diǎn)D恰好放在等腰直角三角板的斜邊AB上，BC與DE交于點(diǎn)M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD為

度．

1.85

分析：先根據(jù)∠ADF=100°求出∠MDB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BMD的度數(shù)即可．解答：解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，∴∠MDB=180°-∠ADF-∠EDF=180°-100°-30°=50°，∴∠BMD=180°-∠B-∠MDB=180°-45°-50°=85°．

故答案為：85．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，即三角形內(nèi)角和是180°．

2．（2012?聊城）將一副三角板按如圖所示擺放，圖中∠α的度數(shù)是（）

A．75°

B．90°

C．105°

D．120°

2．分析：先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠BAE及∠E的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理及對頂角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．解答：解：∵圖中是一副直角三角板，∴∠BAE=45°，∠E=30°，∴∠AFE=180°-∠BAE-∠E=105°，∴∠α=105°．

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，即三角形內(nèi)角和是180°．

3．（2012?德州）不一定在三角形內(nèi)部的線段是（）

A．三角形的角平分線

B．三角形的中線

C．三角形的高

D．三角形的中位線

3．分析：根據(jù)三角形的高、中線、角平分線的性質(zhì)解答．解答：

解：因?yàn)樵谌切沃校闹芯€、角平分線一定在三角形的內(nèi)部，而鈍角三角形的高在三角形的外部．

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的高、中線和角平分線，要熟悉它們的性質(zhì)方可解答．

4．（2012?濟(jì)寧）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）

A．SSS

B．ASA

C．AAS

D．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等

4．分析：連接NC，MC，根據(jù)SSS證△ONC≌△OMC，即可推出答案．

解：如圖，連接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題型較好，難度適中．

5．（2012?濱州）如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，則∠C=

．

5．40°

分析：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求出∠ADC的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理解答即可．

解：∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B==80°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，∵AD=DC，∴∠C==40°．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，屬較簡單題目．

6．（2012?濰坊）如圖所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使△ABC≌△DBE．（只需添加一個(gè)即可）

6．∠BDE=∠BAC

分析：根據(jù)∠ABD=∠CBE可以證明得到∠ABC=∠DBE，然后根據(jù)利用的證明方法，“角邊角”“邊角邊”“角角邊”分別寫出第三個(gè)條件即可．

解：∵∠ABD=∠CBE，∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠ABC=∠DBE，∵AB=DB，∴①用“角邊角”，需添加∠BDE=∠BAC，②用“邊角邊”，需添加BE=BC，③用“角角邊”，需添加∠ACB=∠DEB．

故答案為：∠BDE=∠BAC或BE=BC或∠ACB=∠DEB．（寫出一個(gè)即可）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)已知條件有一邊與一角，根據(jù)不同的證明方法可以選擇添加不同的條件，需要注意，不能使添加的條件符合“邊邊角”，這也是本題容易出的地方．

7．（2012?臨沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一點(diǎn)E，使EC=BC，過點(diǎn)E作EF⊥AC交CD的延長線于點(diǎn)F，若EF=5cm，則AE=

cm．

7．3

分析：根據(jù)直角三角形的兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ECF=∠B，然后利用“角邊角”證明△ABC和△FEC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AC=EF，再根據(jù)AE=AC-CE，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．

解：∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠ECF=∠B，在△ABC和△FEC中，∠ECF=∠B

EC=BC

∠ACB=∠FEC=90°，∴△ABC≌△FEC（ASA），∴AC=EF，∵AE=AC-CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5-2=3cm．

故答案為：3．點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)證明得到∠ECF=∠B是解題的關(guān)鍵．

8．（2012?濟(jì)寧）如圖，在等邊三角形ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，延長AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分線交△ABC的高BF于點(diǎn)O，則tan∠AEO=

．

8．分析：根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和三線合一定理求出∠BAF=30°，推出AB=AE，根據(jù)SAS證△BAO≌△EAO，推出∠AEO=∠ABO=30°即可．解答：解：∵△ABC是等邊三角形，∠ABC=60°，AB=BC，∵BF⊥AC，∴∠ABF=∠ABC=30°，∵AB=AC，AE=AC，∴AB=AE，∵AO平分∠BAE，∴∠BAO=∠EAO，∵在△BAO和△EAO中

∵

AB=AE，∠BAO=∠EAO，AO=AO，∴△BAO≌△EAO，∴∠AEO=∠ABO=30°，∴tan∠AEO=tan30°=，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是證出∠AEO=∠ABO，題目比較典型，難度適中．

【備考真題過關(guān)】

一、選擇題

1．（2012?云南）如圖，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分線，則∠CAD的度數(shù)為（）

A．40°

B．45°

C．50°

D．55°

1．分析：首先利用三角形內(nèi)角和定理求得∠BAC的度數(shù)，然后利用角平分線的性質(zhì)求得∠CAD的度數(shù)即可．

解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°

∵AD是△ABC的角平分線，∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°

故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單．三角形內(nèi)角和定理在小學(xué)已經(jīng)接觸過．

2．（2012?梅州）如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張△ABC紙片，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=75°，則∠1+∠2=（）

A．150°

B．210°

C．105°

D．75°

2．分析：先根據(jù)圖形翻折變化的性質(zhì)得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度數(shù)，然后根據(jù)平角的性質(zhì)即可求出答案．

解：∵△A′DE是△ABC翻折變換而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°．

故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)，即折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．

3．（2012?漳州）將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)是（）

A．45°

B．60°

C．75°

D．90°

3．分析：根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出∠1的度數(shù)，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．

解：如圖，∠1=90°-60°=30°，所以，∠α=45°+30°=75°．

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

4．（2012?廣東）已知三角形兩邊的長分別是4和10，則此三角形第三邊的長可能是（）

A．5

B．6

C．11

D．16

4．分析：設(shè)此三角形第三邊的長為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出x的取值范圍，找出符合條件的x的值即可．

解：設(shè)此三角形第三邊的長為x，則10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四個(gè)選項(xiàng)中只有11符合條件．

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，即任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．

5．（2012?郴州）以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（）

A．1cm，2cm，4cm

B．4cm，6cm，8cm

C．5cm，6cm，12cm

D．2cm，3cm，5cm

5．分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析．

解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知

A、1+2＜4，不能組成三角形；

B、4+6＞8，能夠組成三角形；

C、5+6＜12，不能組成三角形；

D、2+3=5，不能組成三角形．

故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的三邊關(guān)系．判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個(gè)數(shù)的和是否大于第三個(gè)數(shù)．

6．（2012?玉林）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC≠BD，則圖中全等三角形有（）

A．4對

B．6對

C．8對

D．10對

6．分析：根據(jù)菱形四邊形等，對角線互相垂直且平分，結(jié)合全等三角形的判定即可得出答案．

解：圖中全等三角形有：△ABO≌△ADO、△ABO≌△CDO，△ABO≌△CBO；

△AOD≌△COD，△AOD≌△COB；

△DOC≌△BOC；

△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC，共8對．

故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定及菱形的性質(zhì)，注意掌握全等三角形的幾個(gè)判定定理，在查找時(shí)要有序的進(jìn)行，否則很容易出錯(cuò)．

7．（2012?貴陽）如圖，已知點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，還需要添加一個(gè)條件是（）

A．∠BCA=∠F

B．∠B=∠E

C．BC∥EF

D．∠A=∠EDF

7．分析：全等三角形的判定方法SAS是指有兩邊對應(yīng)相等，且這兩邊的夾角相等的兩三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其兩邊的夾角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．

解：A、根據(jù)AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故本選項(xiàng)正確；

C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA，根據(jù)AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、根據(jù)AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定的應(yīng)用，注意：有兩邊對應(yīng)相等，且這兩邊的夾角相等的兩三角形才全等，題目比較典型，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．

三、填空題

8．（2012?呼和浩特）如圖，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC=

．

8．66.5°

分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及三角形外角定理求得∠DAC+

ACF=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=

；最后在△AEC中利用三角形內(nèi)角和定理可以求得∠AEC的度數(shù)．

解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；

又∵∠B=47°（已知），∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠DAC+

ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=（外角定理），∴∠AEC=180°-（∠DAC+ACF）=66.5°；

故答案是：66.5°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)．解題時(shí)注意挖掘出隱含在題干中已知條件“三角形內(nèi)角和是180°”．

9．（2012?婁底）如圖，F(xiàn)E∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，則∠MFE=

度．

9．56

分析：先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠NOE=∠FEO，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠NOE=∠EOF，由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解：∵FE∥ON，∠FEO=28°，∴∠NOE=∠FEO=28°，∵OE平分∠MON，∴∠NOE=∠EOF=28°，∵∠MFE是△EOF的外角，∴∠MFE=∠NOE+∠EOF=28°+28°=56°．

故答案為：56．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，即三角形的外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．

10．（2012?白銀）如圖，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，則∠A=

度．

10．50

分析：根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得∠A=∠B，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．

解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠A+∠B=∠ACE，∴∠A=∠ACE=×100°=50°．

故答案為：50．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．

11．（2012?綏化）若等腰三角形兩邊長分別為3和5，則它的周長是

．

11．11或13

分析：題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．解答：解：有兩種情況：①腰長為3，底邊長為5，三邊為：3，3，5可構(gòu)成三角形，周長=3+3+5=11；

②腰長為5，底邊長為3，三邊為：5，5，3可構(gòu)成三角形，周長=5+5+3=13．

故答案為：11或13．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．

12．（2012?柳州）如圖，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，已知∠ABC=80°，則∠DBC=

°．

12．40

分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABD=∠DBC進(jìn)而得出∠DBC的度數(shù)．解答：解：∵BD是∠ABC的角平分線，∠ABC=80°，∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=×80°=40°，故答案為：40．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出∠ABD=∠DBC是解題關(guān)鍵．

13．（2012?綿陽）如圖，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，則應(yīng)添加的一個(gè)條件

為

．（答案不唯一，只需填一個(gè)）．

13．AC=CD

分析：根據(jù)∠1=∠2，求出∠BCA=∠ECD，根據(jù)SAS證明亮三角形全等即可．解答：解：添加的條件是AC=CD，理由是：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，∴∠BCA=∠ECD，∵在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE，故答案為：AC=CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定的應(yīng)用，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力，本題題型較好，是一道具有開放性的題目，答案不唯一．

三、解答題

14．（2012?銅仁地區(qū)）如圖，E、F是四邊形ABCD的對角線BD上的兩點(diǎn)，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求證：△ADE≌△CBF．

14．考點(diǎn)：全等三角形的判定．專題：證明題．分析：首先利用平行線的性質(zhì)得出∠AED=∠CFB，進(jìn)而得出DE=BF，利用SAS得出即可．

證明：∵AE∥CF

∴∠AED=∠CFB，∵DF=BE，∴DF+EF=BE+EF，即DE=BF，在△ADE和△CBF中，AE=CF

∠AED=∠CFB

DE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定，利用兩邊且夾角對應(yīng)相等得出三角形全等是解題關(guān)鍵．

15．（2012?赤峰）如圖所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．

（1）尺規(guī)作圖：過頂點(diǎn)A作△ABC的角平分線AD；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在AD上任取一點(diǎn)E，連接BE、CE．求證：△ABE≌△ACE．

15．分析：（1）以A為圓心，以任意長為比較畫弧，分別交AB和AC于一點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)之間的距離為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，過這點(diǎn)和A作射線，交BC于D，則，AD為所求；

（2）推出∠BAE=∠CAE，根據(jù)SAS證△BAE和△CAE全等即可．

（1）解：如圖所示：

（2）證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵在△ABE和△ACE中

AB=AC

∠BAE=∠CAE

AE=AE，∴△ABE≌△ACE（SAS）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，作圖-基本作圖的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力和推理能力．

16．（2012?重慶）已知：如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求證：BC=ED．

16．分析：由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再有條件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA證明△ABC≌△AED，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BC=ED．

證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即：∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中：∠B=∠E，AB=AE，∠BAC=∠EAD，∴△ABC≌△AED（ASA），∴BC=ED．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．

1．（2012?揚(yáng)州）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足為E．求證：BE=DE．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)。810360

專題：

證明題。

分析：

作CF⊥BE，垂足為F，得出矩形CFED，求出∠CBF=∠A，根據(jù)AAS證△BAE≌△CBF，推出BE=CF即可．

解答：

證明：作CF⊥BE，垂足為F，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠FED=∠D=∠CFE=90°，∠CBE+∠ABE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴四邊形EFCD為矩形，∴DE=CF，在△BAE和△CBF中，有∠CBE=∠BAE，∠BFC=∠BEA=90°，AB=BC，∴△BAE≌△CBF，∴BE=CF=DE，即BE=DE．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出△BAE≌△CBF，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．

2．（2012?鎮(zhèn)江）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長交CB的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠GDF=∠ADF．

（1）求證：△ADE≌△BFE；

（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說明理由．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定與性質(zhì)。810360

專題：

證明題。

分析：

（1）由AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，得到一對角相等，再由一對對頂角相等及E為AB中點(diǎn)得到一對邊相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；

（2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代換得到∠GDF=∠BFE，利用等角對等邊得到GF=GD，即三角形GDF為等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE為底邊上的中線，利用三線合一即可得到GE與DF垂直．

解答：

（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，在△AED和△BFE中，∴△AED≌△BFE（AAS）；

（2）解：EG與DF的位置關(guān)系是EG⊥DF，理由為：連接EG，∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，∴∠GDF=∠BFE，由（1）△AED≌△BFR得：DE=EF，即GE為DF上的中線，∴GE⊥DF．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

3．（2012?佛山）如圖，已知AB=DC，DB=AC

（1）求證：∠ABD=∠DCA．注：證明過程要求給出每一步結(jié)論成立的依據(jù)．

（2）在（1）的證明過程中，需要作輔助線，它的意圖是什么？

考點(diǎn)：

全等三角形的判定與性質(zhì)。810360

分析：

（1）連接AD，證明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到結(jié)論；

（2）作輔助線的意圖是構(gòu)造全等的三角形．

解答：

證明：（1）連接AD，在△BAD和△CDA中

∴△BAD≌△CDA（SSS）

∴∠ABD=∠DCA（全等三角形對應(yīng)角相等）

（2）作輔助線的意圖是構(gòu)造全等的三角形即兩個(gè)三角形的公共邊．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，相對比較簡單．

4．（2012?濱州）如圖1，l1，l2，l3，l4是一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個(gè)單位長度，正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D都在這些平行線上．過點(diǎn)A作AF⊥l3于點(diǎn)F，交l2于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CE⊥l2于點(diǎn)E，交l3于點(diǎn)G．

（1）求證：△ADF≌△CBE；

（2）求正方形ABCD的面積；

（3）如圖2，如果四條平行線不等距，相鄰的兩條平行線間的距離依次為h1，h2，h3，試用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面積S．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線之間的距離；正方形的性質(zhì)。810360

專題：

幾何綜合題。

分析：

（1）直接根據(jù)HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB；

（2）由ASA定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根據(jù)S正方形ABCD=4S△ABH+SH正方形EGF即可得出結(jié)論；

（3）由△AFD≌△CEB可得出h1=h3，再根據(jù)（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：

（1）證明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB；

（2）解：∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH

又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°

∴△ABH≌△BCE，同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF

=4××2×1+1×1

=5；

（3）解：由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF

=4×（h1+h2）?h1+h22=2h12+2h1h2+h22．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及平行線之間的距離，熟知判定全等三角形的SSS、SAS、ASA及HL定理是解答此題的關(guān)鍵．

5．（2012?長春）感知：如圖①，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊BC上，BF⊥AE于點(diǎn)F，DG⊥AE于點(diǎn)G，可知△ADG≌△BAF．（不要求證明）

拓展：如圖②，點(diǎn)B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，點(diǎn)E、F在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求證：△ABE≌△CAF．

應(yīng)用：如圖③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD，點(diǎn)E、F在線段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面積為9，則△ABE與△CDF的面積之和為　6?。?/p>

考點(diǎn)：

全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。810360

分析：

拓展：利用∠1=∠2=∠BAC，利用三角形外角性質(zhì)得出∠4=∠ABE，進(jìn)而利用AAS證明△ABE≌△CAF；

應(yīng)用：首先根據(jù)△ABD與△ADC等高，底邊比值為：1：2，得出△ABD與△ADC面積比為：1：2，再證明△ABE≌△CAF，即可得出△ABE與△CDF的面積之和為△ADC的面積得出答案即可．

解答：

拓展：

證明：∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，∴，∴△ABE≌△CAF（AAS）．

應(yīng)用：

解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，∴△ABD與△ADC等高，底邊比值為：1：2，∴△ABD與△ADC面積比為：1：2，∵△ABC的面積為9，∴△ABD與△ADC面積分別為：3，6；

∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，∴，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴△ABE與△CAF面積相等，∴△ABE與△CDF的面積之和為△ADC的面積，∴△ABE與△CDF的面積之和為6，故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：

此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)以及三角形面積求法，根據(jù)已知得出∠4=∠ABE，以及△ABD與△ADC面積比為：1：2是解題關(guān)鍵．

6．（2012?阜新）（1）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

①當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖1，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你猜想的結(jié)論；

②將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），如圖2，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．

（2）當(dāng)△ABC和△ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個(gè)條件時(shí)，使線段BD、CE在（1）中的位置關(guān)系仍然成立？不必說明理由．

甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；

乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；

丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定與性質(zhì)。810360

專題：

幾何綜合題。

分析：

（1）①BD=CE，BD⊥CE．根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等證得BD=CE、對應(yīng)角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形內(nèi)角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；

②BD=CE，BD⊥CE．根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等證得BD=CE、對應(yīng)角相等∠ABF=∠ECA；作輔助線（延長BD交AC于F，交CE于H）BH構(gòu)建對頂角∠ABF=∠HCF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證得∠BHC=90°；

（2）根據(jù)結(jié)論①、②的證明過程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）時(shí)，該結(jié)論成立了，所以本條件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合適．

解答：

解：（1）①結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE；

②結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE…1分

理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAD﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分

在Rt△ABD與Rt△ACE中，∵

∴△ABD≌△ACE…2分

∴BD=CE…1分

延長BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF與△HCF中，∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC

∴∠CHF=∠BAF=90°

∴BD⊥CE…3分

（2）結(jié)論：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作為判定三角形全等的定理．

注意：在全等的判定中，沒有AAA（角角角）和SSA（邊邊角）（特例：直角三角形為HL，因?yàn)楣垂啥ɡ?，只要確定了斜邊和一條直角邊，另一直角邊也確定，屬于SSS），因?yàn)檫@兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀；另外三條中線（或高、角平分線）分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形也全等．

7．（2012?內(nèi)江）已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時(shí)針排列），使∠DAF=60°，連接CF．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)。810360

專題：

幾何綜合題。

分析：

（1）根據(jù)已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；

（2）求出∠BAD=∠CAF，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；

（3）畫出圖形后，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．

解答：

（1）證明：∵菱形AFED，∴AF=AD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，即①BD=CF，②AC=CF+CD．

（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是AC=CF﹣CD，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，即AC=CF﹣CD．

（3）AC=CD﹣CF．理由是：

∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，即AC=CD﹣CF．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，注意：證明過程類似，題目具有一定的代表性，難度適中．