2020屆重慶市第八中學(xué)高三第四次月考（12月）數(shù)學(xué)（理）試題

一、單選題

1．已知集合，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】直接通過(guò)解不等式求出.【詳解】

解：集合，故選：C.【點(diǎn)睛】

本題考查集合補(bǔ)集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.2．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中是實(shí)數(shù)，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由純虛數(shù)的定義可得m＝0，故，化簡(jiǎn)可得．

【詳解】

復(fù)數(shù)z＝m（m+1）+（m+1）i是純虛數(shù)，故m（m+1）＝0且（m+1）≠0，解得m＝0，故z＝i，故i．

故選：B．

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的分類和復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．

3．設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，已知，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】利用得出，先求出，再利用遞推式求出即可.【詳解】

解：當(dāng)時(shí)，整理得，又，得，得，得，故選：C.【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.4．設(shè)，若雙曲線的離心率為2，則雙曲線的離心率為（）

A．2

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】先通過(guò)的離心率求出的關(guān)系，利用的關(guān)系進(jìn)一步可求出的離心率.【詳解】

解：對(duì)于有，得，對(duì)于有，得，故選：B.【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，是關(guān)鍵是找到的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.5．已知函數(shù)，則（）

A．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱

B．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

C．在單調(diào)遞減

D．在上不單調(diào)

【答案】B

【解析】觀察函數(shù)的特點(diǎn)，求出定義域，在定義域內(nèi)根據(jù)選項(xiàng)代入特殊值判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)區(qū)間，再進(jìn)一步證明.【詳解】

解：，得函數(shù)定義域?yàn)?，，所以，排除A；，排除C；

在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故排除D；

現(xiàn)在證明B的正確性：，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選：B.【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，定義域、單調(diào)性、對(duì)稱性，是中檔題.6．已知向量，若，則向量與向量的夾角為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算得到參數(shù)值，再根據(jù)得到兩個(gè)向量垂直.【詳解】，因?yàn)椋?，解得，?dāng)時(shí)，所以向量與向量的夾角為．

故選D

【點(diǎn)睛】

這個(gè)題目考查了向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量點(diǎn)積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的兩個(gè)作用：①載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問(wèn)題.7．過(guò)點(diǎn)作圓與圓的切線，切點(diǎn)分別為A，B，若，則的最小值為（）

A．

B．

C．

D．5

【答案】B

【解析】通過(guò)切線長(zhǎng)定理得出點(diǎn)在線段的垂直平分線上，求出線段的垂直平分線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步代入，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最小值即可.【詳解】

如圖：

由圓的切線的性質(zhì)：，又，所以點(diǎn)在線段的垂直平分線上，的垂直平分線為，即，點(diǎn)在，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，的最小值為，故選：B.【點(diǎn)睛】

本題考查圓的切線問(wèn)題，關(guān)鍵是將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的函數(shù)，求函數(shù)的最值即可，難度不大，考查了學(xué)生的計(jì)算能力.8．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為，為得到的圖象，可將圖象上所有點(diǎn)（）

A．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變

B．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變

C．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變

D．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變

【答案】A

【解析】由題意可知，，∵，∴，∵，∴，可得：，∴將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，故選A.9．A，B，C，D，E，F(xiàn)六名同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，決出第一到第六的名次.A，B，C三人去詢問(wèn)比賽結(jié)果，裁判對(duì)A說(shuō)：“你和B都不是第一名”；對(duì)B說(shuō)“你不是最差的”；對(duì)C說(shuō)：“你比A，B的成績(jī)都好”，據(jù)此回答分析：六人的名次有（）種不同情況.A．720

B．240

C．180

D．128

【答案】C

【解析】根據(jù)裁判所說(shuō)，AB不是第一，B不是第六，C比AB成績(jī)都好，對(duì)C的名次分類討論求出結(jié)果.【詳解】

C比AB成績(jī)都好且AB不是第一，所以C不可能是第六，第五，當(dāng)C是第四名時(shí)，B只能第五，A只能第六，共種；

當(dāng)C是第三名時(shí)，共種，當(dāng)C是第二名時(shí)，共種，當(dāng)C是第一名時(shí)，共種，綜上：總共種，故選：C.【點(diǎn)睛】

本題考查分類計(jì)數(shù)原理，重點(diǎn)要理清裁判的話，進(jìn)行分類討論，是中檔題.10．若函數(shù)在區(qū)間最大值是M，最小值是m，則（）

A．與a有關(guān)，且與b有關(guān)

B．與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)

C．與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)

D．與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)

【答案】B

【解析】設(shè)，則，則，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，設(shè)函數(shù)在處取的最大值，在處取的最小值，且，則，即可得到答案

【詳解】

解：設(shè)，則，∴，設(shè)函數(shù)在處取的最大值，在處取的最小值，且，，∴與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)，故選：B．

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．

11．已知水平地面上有一籃球，球的中心為，在斜平行光線的照射下，其陰影為一橢圓（如圖），在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓中心O為原點(diǎn)，設(shè)橢圓的方程為，籃球與地面的接觸點(diǎn)為H，則的長(zhǎng)為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】在平行光線照射過(guò)程中，橢圓的短半軸長(zhǎng)是圓的半徑，球心到橢圓中心的距離是橢圓的長(zhǎng)半軸，過(guò)球心向地面做垂線，垂足是，得到一個(gè)直角三角形，可得要求的結(jié)果．

【詳解】

解：在照射過(guò)程中，橢圓的短半軸長(zhǎng)是圓的半徑，由圖，由是中點(diǎn)故有球心到橢圓中心的距離是橢圓的長(zhǎng)半軸，過(guò)球心向地面做垂線，垂足是，在構(gòu)成的直角三角形中，，故選：B．

【點(diǎn)睛】

本題考查圓錐曲線的實(shí)際背景及作用，解決本題的關(guān)鍵是看清楚在平行光線的照射下，投影中和球的量中，變與不變的量．

12．已知從2開(kāi)始的連續(xù)偶數(shù)蛇形排列形成寶塔形數(shù)表，第一行為2，第一行為46，第三行為12，10，8，第四行為14，16，18，20.如圖所示，在寶塔形數(shù)表中位于第i行，第j列的數(shù)記為，比如，，若，則（）

A．65

B．70

C．71

D．72

【答案】C

【解析】由題意正偶數(shù)為等差數(shù)列，由圖擺放找每一行所放的數(shù)，及每一行的數(shù)字總數(shù)與本數(shù)列的每一項(xiàng)的關(guān)系即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律

【詳解】

解：由圖可知，第一行放1個(gè)偶數(shù)，第二行放2個(gè)偶數(shù)，第3行放3個(gè)偶數(shù)…

又因?yàn)橹笀D中擺放的第行第列，所以先求第行的最后一個(gè)偶數(shù)，該偶數(shù)小于2020且是最接近的，并且還能成為每一行最后一個(gè)數(shù)字的，當(dāng)時(shí)，第44行的最后一偶數(shù)是1980，又第45行的第45個(gè)偶數(shù)為1982，利用等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)之間關(guān)系可知2020應(yīng)出在該行的第45-19=26列，故，所以．

故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，任意兩項(xiàng)之間及項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的觀察與分析能力，考查簡(jiǎn)單的合理推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，是中檔題．

二、填空題

13．設(shè)為直線與圓的交點(diǎn)，則________.【答案】-1

【解析】將坐標(biāo)代入直線和圓的方程，消去可得的值.【詳解】

解：因?yàn)闉橹本€與圓的交點(diǎn)，將坐標(biāo)代入直線和圓的方程得，①，②

將①②得，得，故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查直線和圓的的交點(diǎn)問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.14．已知函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_______.【答案】

【解析】求出時(shí)的函數(shù)的解析式，計(jì)算，的值，求出切線方程即可．

【詳解】

解：∵函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，故，故時(shí)，故，故，故切線方程是：，整理得：，故答案為：．

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，考查求函數(shù)的切線方程，是一道中檔題．

15．在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上，若，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】3

【解析】根據(jù)題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立坐標(biāo)系，可得A、B、C、D的坐標(biāo)以及直線BD的方程，進(jìn)而可得圓C的方程，據(jù)此設(shè)P的坐標(biāo)為；由向量的坐標(biāo)公式可得的坐標(biāo)，又由向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可得，進(jìn)而可得的表達(dá)式，相加后分析可得答案．

【詳解】

解：根據(jù)題意，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立坐標(biāo)系：

則，則BD的方程為x＋y＝1，點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓C，其半徑，則圓C的方程為；

P在圓C上，設(shè)P的坐標(biāo)為，則，若，則，則有；，即的最大值為3；

故答案為：3．

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓方程的應(yīng)用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐標(biāo)系，分析P的坐標(biāo)與的關(guān)系，是中檔題．

16．在中，D是BC邊上一點(diǎn)，，且與面積之比為，則________.【答案】

【解析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求得的值，再利用余弦定理求得AC、AB的值，最后利用三角形的面積公式求得AD的值．

【詳解】

解：中，∠BAD＝∠DAC＝60°，如圖所示；；

由余弦定理得，，解得AC＝6，∴AB＝10；

；，解得．

故答案為：．

【點(diǎn)睛】

本題考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．

三、解答題

17．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求A；

（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）

【解析】(1)已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后求出的值，即可確定出角A的大??；

(2)由的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出三角形ABC面積的最大值．

【詳解】

解：（1）由可得：，由正弦定理可得：

∴，∵，∴，∵，∴；

（2）由（1）知，由余弦定理得，即

∵，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

∴，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】

此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．

18．設(shè)等差數(shù)列的公差為d前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q，已知，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），或，；（2）

【解析】(1)由已知求得公差和首項(xiàng)即可；

(2)，①，②利用錯(cuò)位相減法①?②可得．

【詳解】

解：（1）由，則或，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可得，，則，∴

∴，∴，∴．

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，及錯(cuò)位相減法求和，屬于基礎(chǔ)題．

19．已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為4.（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程C；

（2）設(shè)不與x軸垂直的直線l與軌跡C交手不同兩點(diǎn)，.若，求證：直線l過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，利用垂徑定理列方程即可得軌跡方程；

（2）設(shè)，將其和軌跡C聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入，可得的關(guān)系，代入，即可找到定點(diǎn)．

【詳解】

解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，則，化簡(jiǎn)得；

（2）易知直線l的斜率存在，設(shè)，則

由，得，由韋達(dá)定理有：，.從而，即，則

則直線，故直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】

本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，是中檔題．

20．已知函數(shù).（1）若，求k；

（2）確定k的所有可能取值，使得存在，對(duì)任意的，恒有.【答案】（1）；（2）k的取值范圍是

【解析】（1）先驗(yàn)證不合題意，當(dāng)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性及最值來(lái)求得的值；

（2）分，討論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性及最值，進(jìn)而可得k的取值范圍.【詳解】

解：（1），.若，由，得不符合題意；

若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；

則

令，在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；，則.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，對(duì)于，則，從而不存在滿足題意；

當(dāng)時(shí)，，則有.由得，則（舍），.當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)速增.從而當(dāng)時(shí)，即.綜上，k的取值范圍是.【點(diǎn)睛】

本小題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是一道難度較大的題目．

21．已知橢圓與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上任一點(diǎn)，.若的最小值為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，當(dāng)?shù)拿娣eS最大時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）

【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算研究的最小值，建立方程，求出的值，即可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，，將直線與橢圓C聯(lián)立，可得和，求出點(diǎn)O到直線l的距離，即可求出的面積S的表達(dá)式，利用基本不等式，求面積S的最大值，根據(jù)最大值的成立條件和前面求出的和，可得點(diǎn)M的軌跡方程，進(jìn)而可得的范圍，將轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可求出的取值范圍.【詳解】

解：（1）設(shè)點(diǎn)，由題意知，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)，，則

由得，，點(diǎn)O到直線l的距離，S取得最大值，當(dāng)且僅當(dāng)即，①

此時(shí)，即，代入①式整理得，即點(diǎn)M的軌跡為橢圓，且點(diǎn)，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，即，記，則，從而，則，令可得，即在T在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，故T的取值范圍為.【點(diǎn)睛】

本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，考查最值問(wèn)題，難度較大，對(duì)計(jì)算能力要求較高，考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.點(diǎn).（1）寫出曲線的普通方程和參數(shù)方程；

（2）曲線交曲線于A，B兩點(diǎn)，若，求曲線的普通方程.【答案】（1）曲線的普通方程為：，參數(shù)方程為：（為參數(shù)）；（2）曲線的普通方程為：或

【解析】（1）利用，將極坐標(biāo)方程化為普通方程，進(jìn)而可化為參數(shù)方程；

（2）曲線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程求出的值，進(jìn)而可得曲線的普通方程．

【詳解】

解：（1）

所以，曲線的普通方程為：

曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）

（2）將曲線的參數(shù)方程為代入曲線的普通方程為：

得：

或

所以曲線的普通方程為：或

【點(diǎn)睛】

本題考察極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，普通方程和參數(shù)方程的互化，考查了直線參數(shù)方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．

23．已知.（1）求不等式的解集；

（2）的最小值為M，，求的最小值.【答案】（1）或；（2）

【解析】（1）將，求出的范圍，進(jìn)而可得的范圍；

（2）首先求出的最小值，即可得的值，利用柯西不等式和基本不等式求的最小值.【詳解】

解：（1）∵，不等式的解集為：；

（2），所以，.【點(diǎn)睛】

本題考查解絕對(duì)值不等式以及柯西不等式和基本不等式的應(yīng)用，是中檔題.