第一篇：第5講：容斥原理——總結容斥原理中最?？嫉膸追N題型(小升初計數重點考查內容)練習題補充包

第5講：容斥原理——總結容斥原理中最常考的幾種題型（小升初計數重點考查內容）練習題補充包

【習題1】

三位基金經理投資若干只股票．張經理買過其中66只，王經理買過其中40只，李經理買過其中23只．張經理和王經理都買過的有17只，王經理和李經理都買過的有13只，李經理和張經理都買過的有9只，三個人都買過的有6只．請問：這三位經理一共買過多少只股票？

【習題2】

五年級共110人，其中92人參加了語文小組，51人參加了英語小組，58人參加了數學小組，至少參加兩個小組的有80人，參加了三個小組的有20人，那么五年級有多少人沒有參加小組？

【習題3】

培英學校有學生1000人，其中有500人訂閱了《中國少年報》，有350人訂閱了《少年文藝》，有250人訂閱了《數學報》，至少訂閱兩種報刊的有400人，訂閱了三種報刊的有100人．請問：培英學校有多少人沒有訂報？

【習題4】

光明小學組織棋類比賽，分成圍棋、中國象棋和國際象棋三個組進行，參加圍棋比賽的有42人，參加中國象棋比賽的有55人，參加國際象棋比賽的有33人，同時參加了圍棋和中國象棋比賽的有18人，同時參加了圍棋和國際象棋比賽的有10人，同時參加了中國象棋和國際象棋比賽的有9人，其中三種棋賽都參加的有5人，問參加棋類比賽的共有多少人？

【習題5】

甲、乙、丙三個小組學雷鋒，為學校擦玻璃，其中68塊玻璃不是甲組擦的，52塊玻璃不是乙組擦的，且甲組與乙組一共擦了60塊玻璃．那么，甲、乙、丙三個小組各擦了多少塊玻璃？

【習題6】

五年級2班有46名學生參加三項課外興趣活動，其中24人參加了數學小組，20人參加了快樂學習，開闊思維，充實人生——學而思麗娜老師 語文小組，參加文藝小組的人數是既參加數學小組又參加文藝小組人數的3.5倍，又是三項活動都參加人數的7倍，既參加文藝小組又參加語文小組相當于三項活動都參加人數的2倍，既參加數學小組又參加語文小組的學生有10人。請問：參加文藝小組的學生有多少人？

【習題7】

唐僧西天取經共經歷了81難，其中單獨渡過了3難，與孫悟空一起渡過了77難，與豬八戒一起渡過了65難，與沙和尚一起渡過了62難，同時與孫悟空和豬八戒一起渡過了64難，同時與孫悟空和沙和尚一起渡過了61難，同時與豬八戒和沙和尚一起渡過了60難。請問：師徒四人共同渡過的有多少難？

【習題8】

有100人參加算術測驗，從第1題到第5題共有5道題.答對每道題的人數分別是：第1題92人，第2題86人，第3題61人，第4題87人，第5題57人.這次測驗規(guī)定，5道題只要做對3道題就及格.那么最少有多少人及格？

【習題9】

參加語文競賽的有8人，參加數學競賽的有9人，參加英語競賽的有21人，每人最多參加兩科，那么至少有 人參加這次競賽．

【習題10】

參加語文競賽的有8人，參加數學競賽的有9人，參加英語競賽的有11人，每人最多參加兩科，那么至少有 人參加這次競賽．

【習題11】

某班有50名學生，參加語文競賽的有28人，參加數學競賽的有23人，參加英語競賽的有20 人，每人最多參加兩科，那么參加兩科的最多有 人．

快樂學習，開闊思維，充實人生——學而思麗娜老師 第5講：容斥原理——總結容斥原理中最?？嫉膸追N題型（小升初計數重點考查內容）練習題補充包答案

【習題1】 題目解析：

根據題意，三位經理一共買過股票：?66?40?23???17?13?9??6?96（只）．

【習題2】 題目解析：

使用文式圖輔助分析，設沒參加小組的為x人，則在P0?x?PPP3?20，1?P2?P3中，0?110，而所謂“至少參加了兩個小組的”即圖中的陰影部分：P2?2PP1?92?51?58?201，3?80，110?x?201?120?20，解得x?9.解得P2?80?2P3?80?2?20?120.從而列方程：

語文英語x數學

【習題3】 題目解析：

訂閱報紙的有：500?350?250?400?100?100?100?600（人）； 沒有訂報紙的有：1000?600?400（人）．

【習題4】 題目解析：

根據容斥原理，先把參加圍棋比賽的42人，參加中國象棋比賽的55人與參加國際象棋比賽的33人加起來，共是42?55?33?130（人）．把重復加一遍同時參加圍棋和中國象棋的18人，同時參加圍棋和國際象棋的10人與同時參加中國象棋和國際象棋的9人減去，但是，同時參加了三種棋賽的5人被加了3次，又被減了3次，其實并未計算在內，應當補上，實際上

（18?10?9）?5?98(人)． 參加棋類比賽的共有：130?實際上，若設總數為P0，滿足一個條件的為P1，滿足兩個條件的為P2，滿足三個條件的為P3，則有P0?P，本題中P1?P2?P31?42?55?33?130，P2?18?10?9?37，P3?5，從而.P0?130?37?5?98

【習題5】 題目解析：

68塊玻璃不是甲組擦的，說明這68塊玻璃是乙、丙兩組擦的；52塊玻璃不是乙組擦的，說明這52塊玻璃是甲、丙兩組擦的．

快樂學習，開闊思維，充實人生——學而思麗娜老師

乙A丙B甲

如圖，用圓A表示乙、丙兩組擦的68塊玻璃，B圓表示甲、丙兩組擦的52塊玻璃．因甲乙兩組共擦了60塊玻璃，那么68?52?60?60(塊)，這是兩個丙組擦的玻璃數．60?2?30(塊)．丙組擦了30塊玻璃．乙組擦了：68?30?38(塊)玻璃，甲組擦了：52?30?22(塊)玻璃．

【習題6】 題目解析：

數2410-xxxx語20

這里涉及了三個對象：數學小組、語文小組、文藝小組，然而從題目的敘述來看，在容斥原理的等式中都涉及了一個關鍵的量，即三項活動都參加人數。因而必須先求出這個三項活動都參加人數。再利用參加文藝小組的人數與它的關系即可求解。設三項活動都參加人數為x，根據題意得參加文藝小組的人數為7x，既參加數學小組又參加文藝小組的人數為7x÷3.5=2x，既參加文藝小組又參加語文小組的人數為2x。如圖可得46?4x?24?20?10，x?3，所以：參加文藝小組的學生有7x=21人。

【習題7】 題目解析：

唐僧與徒弟共同渡過了81?3?78難，設師徒四人共同渡過了x難，根據容斥原理有77?65?62?64?61?60?x?78 解得： x?59 因此師徒四人共同渡過了59難

【習題8】 題目解析：

答對題數的合計是：92?86?61?87?57?383人.為使及格人數最少，設全員答對的題不少于2道，余下的答對題的數量不多于383?2?100?183人.把這183盡可能少分給一些人.從5道題都答對的最多的人數來考慮，如果答對第5題的最少人數57人都是滿分的話，余下的答對題數的合計是183??5?2??57?12人.再從答對4道題盡可能多的人數來考慮，答對人數第二少的第3題的61人中，有57人得滿分的話，答對了4道題的最多的情況下是61-57=4人.快樂學習，開闊思維，充實人生——學而思麗娜老師 文7x這時，余下的答對題數的合計是：12-（4-2）×4=4.答對3道題的人數是4??3?2??4.根據以上分析，可知及格者的最少人數是：57+4+4=65人.所以至少有65人及格.【習題9】 題目解析：

由于每人最多參加兩科，也就是說有參加2科的，有參加1科的，要求參加的人最少，那么盡可能讓每人都參加兩科，所以理論上至少有(8?9?21)?2?19人參加競賽，但參加英語競賽的有21人，因此至少應該有21人參加競賽

【習題10】 題目解析：

由于每人最多參加兩科，也就是說有參加2科的，有參加1科的，要求參加的人最少，那么盡可能讓每人都參加兩科，所以理論上至少有(8?9?11)?2?14人參加競賽，14?9?5，14?11?3，參加語文和英語競賽的有5人，參加語文和數學競賽的有3人，參加數學和英語競賽的有6人，符合題意，因此至少有14人參加競賽

【習題11】 題目解析：

根據題意可知，該班參加競賽的共有28?23?20?71人次．由于每人最多參加兩科，也就是說有參加2科的，有參加1科的，也有不參加的，共是71人次。要求參加兩科的人數最

1，所以至多有35人參加兩科，此時多，則讓這71人次盡可能多地重復，而71?2?35還有1人參加1科。

那么是否存在35人參加兩科的情況呢？由于此時還有1人是只參加一科的，假設這個人只參加數學一科，那么可知此時參加語文、數學兩科的共有(28?22?20)?2?15人，參加語文、英語兩科的共有28?15?13人，參加數學、英語兩科的共有20?13?7人。也就是說，此時全班有15人參加語文、數學兩科，13人參加語文、英語兩科，7人參加數學、英語兩科，1人只參加數學1科，還有14人不參加。檢驗可知符合題設條件。所以35人是可以達到的，則參加兩科的最多有35人。（當然本題中也可以假設只參加一科的參加的是語文或英語）

快樂學習，開闊思維，充實人生——學而思麗娜老師