第一篇：中國最早的一部數(shù)學著作——《周髀算經》的開頭,記載著一段周公向商高請教數(shù)學知識的對話：

中國最早的一部數(shù)學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學知識的對話：

周公問：“我聽說您對數(shù)學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數(shù)據呢？”

商高回答說：“數(shù)的產生來源于對方和圓這些形體餓認識。其中有一條原理：當直角三角形?矩?得到的一條直角邊?勾?等于3，另一條直角邊?股?等于4的時候，那么它的斜邊?弦?就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵?！?/p>

從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理這一重要懂得數(shù)學原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖所示，我們

圖1 直角三角形

用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形得到兩條直角邊，用弦（c）來表示斜邊，則可得： 勾2+股2=弦2 亦即： a2+b2=c2

勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。其實，我國古代得到人民對這一數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例（32+42=52）。所以現(xiàn)在數(shù)學界把它稱為勾股定理，應該是非常恰當?shù)摹?/p>

在稍后一點的《九章算術一書》中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。”把這段話列成算式，即為：

弦=（勾2+股2）(1/2)亦即：

c=（a2+b2）(1/2)

中國古代的數(shù)學家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2 化簡后便可得： a2+b2=c2 亦即：

c=（a2+b2）(1/2)

圖2 勾股圓方圖

趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。以后的數(shù)學家大多繼承了這一風格并且代有發(fā)展。例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。中國古代數(shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學創(chuàng)新的重大意義。事實上，“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法正是數(shù)學發(fā)展的一個極其重要的條件。正如當代中國數(shù)學家吳文俊所說：“在中國的傳統(tǒng)數(shù)學中，數(shù)量關系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著的......十七世紀笛卡兒解析幾何的發(fā)明，正是中國這種傳統(tǒng)思想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與繼續(xù)。”

總統(tǒng)巧證勾股定理

(2002-11-27 11:09:18)

學過幾何的人都知道勾股定理．它是幾何中一個比較重要的定理，應用十分廣泛．迄今為止，關于勾股定理的證明方法已有500余種．其中，美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學史上被傳為佳話．

總統(tǒng)為什么會想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學家或數(shù)學愛好者？答案是否定的．事情的經過是這樣的； 在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德．他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討．由于好奇心驅使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么．只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形．于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀．”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出

了簡潔的證明方法。他是這樣分析的，如圖所示：

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他 對勾股定理的這一證法。

1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總 統(tǒng)。”證法。

趣話勾股定理

1955年希臘發(fā)行了一張郵票，圖案是由三個棋盤排列而成。這張郵票是紀念二千五百年前希臘的一個學派和宗教團體 ── 畢達哥拉斯學派，它的成立以及在文化上的貢獻。郵票上的圖案是對數(shù)學上一個非常重要定理的說明。它是初等幾何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。在我國，人們稱它為勾股定理或商高定理；在歐洲，人們稱它為畢達哥拉斯定理。

勾股定理斷言：直角三角形的斜邊的平方等于其它二邊的平方的和。如果我們要找一個定理，它的出現(xiàn)稱得上是數(shù)學發(fā)展史上的里程碑，那么勾股定理稱得上是最佳選擇。但是，如果人們要考究這個定理的起源，則常常會感到迷惑。因為在歐洲，人們都把這個定理的證明歸功于畢達哥拉斯；但通過二十世紀對在美索不達米亞出土的楔形文字泥版書進行的研究，人們發(fā)現(xiàn)早在畢達哥拉斯以前一千多年，古代巴比倫人就已經知道這個定理。在我國西漢或更早時期的天文歷算著作《周髀算經》中，第一章記述了西周開國時期（約公元前1000年）商高和周公姬旦的問答。周公問商高：“天不可階而升，地不可將盡寸而度?！碧斓母叨群偷孛娴囊恍y量的數(shù)字是怎么樣得到的呢？商高回答：“故折矩以為勾廣 三，股修四，徑隅五。”即我們常說的勾

三、股

四、弦五?！吨荀滤憬洝防镞€這樣記載：周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益長。候勾六尺，即取竹，空經一寸，長八尺，捕影而觀之，室正掩日，而日應空之孔。由此觀之，率八十寸而得徑寸，故此勾為首，以髀為股，從髀至日下六萬里而髀無影，從此以上至日，則八萬里。

這段文字描述了中國古代人民如何利用勾股定理在科學上進行實踐。錢偉長教授對這段文字作了詳細的說明：“??商高，陳子等利用立竿（即周髀）測定日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在鎬京（今西安附近）一帶，夏至日太陽影長一尺六寸，再正南千里，影長一尺五寸。正北千里，影長一尺七寸。祖先天才地用測量日影的辦法，推算了夏至日太陽離地的斜高，用同理測定了冬至日的太陽斜高。又取中空竹管，徑一寸長八尺，用來觀測太陽，我們的祖先發(fā)現(xiàn)太陽圓影恰好充滿竹管的視線，於是用太陽的斜高和勾股的原則，推算太陽的直徑。這些測定的數(shù)據雖然非常粗略，和實際相差很遠，但在三千年前那樣早的年代，有這樣天才的創(chuàng)造和實踐的觀測精神，是我們應該學習的?！庇纱耍袊税堰@個定理稱為勾股定理或商高定理是完全有道理的。

但是，歐洲人稱這個定理為畢達哥拉斯定理，也有他們的說法。因為是畢達哥拉斯本人，至少是畢達哥拉斯學派的某一成員首先給出了對這個定理符合邏輯的證明。雖然，畢達哥拉斯有不少杰出的證明，如利用反證法證明√2不是有理數(shù)，但最著名的就是證明勾股定理了。傳說當他得到了這個定理時，非常的高興，殺了一頭牛作為犧牲獻給天神。也有些歷史學家說是一百頭牛，這個代價可太大了！

勾股定理是數(shù)學上有證明方法最多的定理──有四百多種說明！希臘郵票上所示的證明方法，最初記載在歐幾里得的《幾何原本》里。

漢朝的數(shù)學家趙君卿，在注釋《周髀算經》時，附了一個圖來證明勾股定理。這個證明是四百多種勾股定理的說明中最簡單和最巧妙的。您能想出趙老先生是怎樣證明這個定理的嗎？（提示：考慮黑邊框正方形的面積計算）

商高定理 ＂商高定理＂即為勾股定理．

商高是公元前十一世紀的中國人．當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期．在中國古代大約是戰(zhàn)國時期西漢的數(shù)學著作《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話．

商高說： ＂?故折矩，勾廣三，股修四，經隅五． ＂

商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5．以后人們就簡單地把這個事實說成 ＂勾三股四弦五 ＂．

由于勾股定理的內容最早見于商高的話中，所以在我國人們就把這個定理叫作 ＂商高定理 ＂．

關于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，《周髀算經》上說： ＂故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也 ＂． ＂此數(shù) ＂指的是＂勾三股四弦五＂，這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關系是在大禹治水時發(fā)現(xiàn)的．

《周髀算經》中還有＂陳子測日＂的記載：根據勾股定理，周子可以測量太陽的高度、太陽的直徑和天地的長闊等．例如，當求得了日高及測得了測量人所在位置到日下點的距離之后，計算日遠的方法是：＂若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股自乘，并開方而除之，得邪至日者．＂

勾股定理的應用非常廣泛．我國戰(zhàn)國時期另一部古籍《路史后記十二注》中就有這樣的記載：＂禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，使注東海，無漫溺之患，此勾股之所系生也．＂這段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據地勢高低，決定水流走向，因勢利導，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災害，是應用勾股定理的結果．

勾股定理在我國古代數(shù)學中占有十分重要的地位，千百年來逐漸形成了一門以勾股定理及其應用為核心的中國式的幾何學．