第一篇：OpenGL ES總結(jié)(二)OpenGL坐標變換之平移及旋轉(zhuǎn)

OpenGL ES總結(jié)

（二）OpenGL坐標變

換之平移及旋轉(zhuǎn)

世界坐標系：

在OpenGL中，世界坐標系是以屏幕中心為原點(0, 0, 0)，且是始終不變的。你面對屏幕，你的右邊是x正軸，上面是y正軸，屏幕指向你的為z正軸。長度單位這樣來定：窗口范圍按此單位恰好是(-1,-1)到(1,1)，即屏幕左下角坐標為（-1，-1），右上角坐標為（1,1）。

當前繪圖坐標系：

是繪制物體時的坐標系。程序剛初始化時，世界坐標系和當前繪圖坐標系是重合的。當用glTranslatef()，glScalef(), glRotatef()等對當前繪圖坐標系進行平移、伸縮、旋轉(zhuǎn)變換之后，世界坐標系和當前繪圖坐標系不再重合。注意，這里的平移旋轉(zhuǎn)是將當前繪圖坐標系看做一個整體在世界坐標系中進行旋轉(zhuǎn)平移。然后，改變以后，再用glVertex3f()等繪圖函數(shù)繪圖時，都是在當前繪圖坐標系進行繪圖，所有的函數(shù)參數(shù)也都是相對當前繪圖坐標系來講的。其中四種坐標經(jīng)常要在程序中用到：世界坐標，物體坐標，設(shè)備坐標和眼坐標。

1、世界坐標是OpenGL中用來描述場景的坐標，Z+軸垂直屏幕向外，X+從左到右，Y+軸從下到上，是右手笛卡爾坐標系統(tǒng)。我們用這個坐標系來描述物體及光源的位置。

將物體放到場景中也就是將物體平移到特定位置、旋轉(zhuǎn)一定角度，這些操作就是坐標變換。OpenGL中提供了glTranslate*/glRotate*/glScale*三條坐標變換命令，利用OpenGL的矩陣運算命令，則可以實現(xiàn)任意復雜的坐標變換。

OpenGL中有一個坐標變換矩陣棧(ModelView)，棧頂就是當前坐標變換矩陣，進入OpenGL管道的每個坐標(齊次坐標)都會先乘上這個矩陣，結(jié)果才是對應(yīng)點在場景中的世界坐標。OpenGL中的坐標變換都是通過矩陣運算完成的，與圖形學課本的描述完全一致。要注意的是變換中的矩陣乘法是左乘，而矩陣乘法與算術(shù)乘法不同，不符合交換律(萬一不明白去看矩陣代數(shù)書好了)。

glTranslate*(x,y,z)：平移，參數(shù)為各軸向的移動量。

glRotate(d,x,y,z)：旋轉(zhuǎn)，第一個參數(shù)為轉(zhuǎn)動的度數(shù)，后三個參數(shù)表明是否繞該軸旋轉(zhuǎn)。通常x,y,z中只有一個為1，其余為0，用連續(xù)幾條旋轉(zhuǎn)命令完成復雜旋轉(zhuǎn)。由于矩陣運算的左乘特點，旋轉(zhuǎn)命令的順序與旋轉(zhuǎn)動作的順序正好相反。

2、物體坐標是以物體某一點為原點而建立的“世界坐標”，該坐標系僅對該物體適用，用來簡化對物體各部分坐標的描述。物體放到場景中時，各部分經(jīng)歷的坐標變換相同，相對位置不變，所以可視為一個整體，與人類的思維習慣一致。

3、眼坐標是以視點為原點，以視線的方向為Z+軸正方向的坐標系中的方向。OpenGL管道會將世界坐標先變換到眼坐標，然后進行裁剪，只有在視線范圍(視見體)之內(nèi)的場景才會進入下一階段的計算。同樣的，有投影變換矩陣棧(Projection)，棧頂矩陣就是當前投影變換矩陣，負責將場景各坐標變換到眼坐標，由所得到的結(jié)果是裁剪后的場景部分，稱為裁剪坐標。前面提到過的視見體設(shè)定其實就是在建立該矩陣。

4、設(shè)備坐標：OpenGL 的重要功能之一就是將三維的世界坐標經(jīng)過變換、投影等計算，最終算出它在顯示設(shè)備上對應(yīng)的位置，這個位置就稱為設(shè)備坐標。在屏幕、打印機等設(shè)備上的坐標是二維坐標。值得一提的是，OpenGL可以只使用設(shè)備的一部分進行繪制，這個部分稱為視區(qū)或視口(viewport)。投影得到的是視區(qū)內(nèi)的坐標(投影坐標)，從投影坐標到設(shè)備坐標的計算過程就是設(shè)備變換了。

對應(yīng)代碼：

package com.example.hejunlin.openglcoordinate;

import android.opengl.GLSurfaceView;import android.support.v7.app.AppCompatActivity;import android.os.Bundle;

public class MainActivity extends AppCompatActivity {

private GLSurfaceView mSurfaceView;

@Override

protected void onCreate(Bundle savedInstanceState){

super.onCreate(save004km.cnlors);

colorsBuffer.position(0);

}

public void draw(GL10 gl){

gl.glEnableClientState(GL10.GL_VERTEX_ARRAY);

gl.glEnableClientState(GL10.GL_COLOR_ARRAY);

gl.glVertexPointer(3, GL10.GL_FLOAT, 0, vertexsBuffer);

gl.glColorPointer(4, GL10.GL_FLOAT, 0, colorsBuffer);

gl.glLineWidth(9);

gl.glDrawArrays(GL10.GL_LINES, 0, vertexs.length / 3);

gl.glDisableClientState(GL10.GL_VERTEX_ARRAY);

} }

void glTranslatef(GLdouble x，GLdouble y，GLdouble z);參數(shù)說明：

x,y,z：分別指定沿x,y,z軸方向的平移分量。

重點就是沿著x,y,z軸移動。

注意在glTranslatef(x, y, z)中,當您移動的時候，您并不是相對屏幕中心移動，而是相對與當前所在的屏幕位置。

其作用就是將你繪點坐標的原點在當前原點的基礎(chǔ)上平移一個(x,y,z)向量。

第二篇：位置與變換——平移與旋轉(zhuǎn)教學設(shè)計222

位置與變換（2）——平移與旋轉(zhuǎn)

教學內(nèi)容：認識平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，課本57、58頁內(nèi)容 教學目的：

1、能結(jié)合實例，感知平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，能在方格紙上畫出一個簡單的圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形。

2、在解決問題的過程中，形成初步的空間觀念和方位感。

3、初步感受方向在現(xiàn)實生活中的作用，了解平移和旋轉(zhuǎn)給生活帶來的方便，進一步體會數(shù)學與生活的聯(lián)系。教學重點：

1、結(jié)合實例，感知平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，能在方格紙上畫出一個簡單的圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形。教具準備：多媒體、課件 學具準備：方格練習紙。教學過程：

一、談話引入：

師：同學們，你們?nèi)ミ^游樂場么？ 生：去過。

師：游樂場都有什么好玩的呢？ 生交流。

二、學習新知：

（一）平移與旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象

1、初步感知。【創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣】 師：仔細觀察，你看到了什么？ 師：誰來說一說？

師：這些物體是怎樣運動的？【直觀感受，探究新知】 師：誰能來描述一下？

師：你能根據(jù)運動方式的不同給它們分分類嗎？同桌合作商量一下。

師：誰來說一說你們是怎樣分的？

師：如果讓你給這兩種不同的運動方式起名字，你覺得叫什么合適？

師：是的，像大門、汽車、升降機、傳送帶的運動，（師邊說邊模擬運動）都是平移現(xiàn)象；（板 書：平移）而像排氣扇、風扇等的運動，都是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。（板書：旋轉(zhuǎn)）

師：剛才同學們都表現(xiàn)的十分出色，下面我們輕松一下，到游樂場去玩玩好嗎？（課件：游樂場小朋友正在玩各種游戲）同學們看這些游戲你們玩過嗎？

師：既然大家都玩過這些游戲，那你能說出他們都各在做什么運動嗎？（學生看著大屏幕自由發(fā)言，說出各類游戲的名稱。）

師：既然大家都玩過這些游戲，那你能說出他們都各在做什么運動嗎？

2、加深認識。【實踐操作，積累經(jīng)驗】

①師：請同學們看一看大屏幕，分別是怎么運動的？（大屏幕展示）

②師：我們生活中也有許多這樣的現(xiàn)象，想一想哪里存在平移現(xiàn)象？哪里存在旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象呢？同桌一起找一找。

③師：老師這里有一些運動的物體，請同學們來說一說他們都是怎樣運動的？

（大屏幕出示課件）生觀察并回答。師：老師要增加難度了，敢于接受挑戰(zhàn)嗎？

師：通過做平移運動回座位。（生倒退著回座位，然后轉(zhuǎn)身坐下，同學們很興奮）

師：他剛才的運動中不但有平移現(xiàn)象，還有什么現(xiàn)象？ ④師：現(xiàn)在誰來說一說什么是平移，什么是旋轉(zhuǎn)？ ⑤師：同桌合作，讓文具盒或數(shù)學書做平移運動。

（二）圖形的平移

1、師：老師這有一只小金魚想要吃水草，請同學們幫它游到水草處好嗎？

師：向左平移 7格。

師：（課件動態(tài)演示小金魚的點的平移方向）填空。

總結(jié)規(guī)律：觀察一個圖形的平移過程，只需要觀察該圖形上的任意一個點或一部分的平移過程就可以了。

2、師出示房子、火箭的圖形，請學生說出平移了幾格。

三、課堂練習?！就卣箲?yīng)用，發(fā)展思維】

課件出示習題。生完成并交流。師講解。（在方格紙上畫圖形、找棋子等）

四、小結(jié)。

師：隨著時鐘的旋轉(zhuǎn)，我們一起度過了快樂的 40 分鐘，你有什么收獲？

師：同學們都說的非常好，那么關(guān)于圖形的平移和旋轉(zhuǎn)我們以后繼續(xù)學習。

第三篇：體驗圖形變換的奇妙——平移和旋轉(zhuǎn)活動課教學設(shè)計

平移和旋轉(zhuǎn)是人教版《義務(wù)教育課程標準實驗教科書》數(shù)學二年級下冊第3單元圖形與變換的教學內(nèi)容，教學時可進行以下活動課的設(shè)計：

活動目標：

1.使學生在活動中加深對圖形平移和旋轉(zhuǎn)的特征的感知和體驗，培養(yǎng)學生的觀察力、想象力和動手操作能力。

2.通過活動，激發(fā)學習數(shù)學的興趣，體驗成功的快樂，培養(yǎng)學生合作和創(chuàng)新意識。

3.培養(yǎng)學生初步的形象思維能力和邏輯思維能力。

活動準備：

1.布置學生課外收集生活中有關(guān)平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的例子。并參照教材第46頁、47頁示意圖試剪出圖形。

2.活動用具：作好教科書上第129頁、第133頁、第135頁的學具。寫有記分統(tǒng)計表的小黑板、鉛筆、彩紙、剪刀、五種顏色的牌子。

3.以分組形式擺好桌椅。

活動過程：

一、激趣引人

玩具是我們小朋友最喜歡的玩的了，現(xiàn)在拿出你們做好的教科書上第129頁的玩具，我們跟老師一起玩，大家在玩的時候要注意觀察，看看有什么現(xiàn)象發(fā)生。紙片上的紅、黃、藍三種顏色變成白色的了!你們知道嗎，這是圖形旋轉(zhuǎn)形成的奇妙現(xiàn)象。數(shù)學就是這樣神奇，今天的活動課，讓我們一起去體驗圖形變換的奇妙吧。

二、分隊發(fā)牌并介紹活動規(guī)則

1.按班級人數(shù)分5隊，發(fā)五種顏色的牌并由牌的顏色給每隊命名。

2.活動規(guī)則：在記分統(tǒng)計表上用畫正字的方法統(tǒng)計各隊的成績。沒進行答題的學生都可做裁判，老師是主裁。

三、活動內(nèi)容

活動1：感知平移和旋轉(zhuǎn)---舉例比賽

1.各隊以開火車形式進行比賽，每人各舉一個生活中平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的例子。要求不能重復，語言敘述要嚴密、準確，說對一個得1分。

2.各隊選一名代表，做出一個平移和一個旋轉(zhuǎn)的動作。要求只能利用現(xiàn)場的實物，邊做邊說介紹。(如：我把窗戶向左推是平移)做對一個得1分。

活動2：體會平移和旋轉(zhuǎn)---玩學具回答問題

1.拿出作好的教科書上第133頁、第135頁的學具，隊內(nèi)合作，拉一拉，轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)。并思考共有幾種搭配方案。把答案寫在紙上。限時一起亮答案，按接近準確數(shù)的程度給5～1分。

2.各隊選一名代表說說你們最喜歡哪一個組合?是怎樣得到的?喜歡的理由是什么?根據(jù)說的情況評5～1分。

活動3：實踐平移和旋轉(zhuǎn)---剪紙

下面我們進入剪紙活動，老師知道你們都有一雙靈巧的小手，但一定要注意安全呦。

1.上學期我們剪過對稱圖形，剪一個小人怎樣剪又對又快呢?搶答并能演示剪出者得2分。

2.能不能用同樣的方法剪出2個或更多的并排排列的小人呢?隊內(nèi)合作，參照教材第46頁示意圖剪。剪成功的展示給大家并說出方法者得3分。

3.能不能用同樣的方法剪出圍成一圈的小人呢?隊內(nèi)合作，參照教材第47頁示意圖剪。成功的展示給大家并得3分。

4.設(shè)計比賽：請每位同學充分發(fā)揮想象，剪出一幅最漂亮的帶有平移和旋轉(zhuǎn)特征的圖案。我們來評選今天的小小設(shè)計家。

1)隊內(nèi)交流，各隊先自評出本隊最有創(chuàng)意的最佳設(shè)計圖案。

2)各隊輪流上臺展示，由設(shè)計者介紹創(chuàng)作思路，隊代表說推薦的理由。

3)學生評論它好在哪兒，并共同欣賞。

4)評出最佳者獲小小設(shè)計家稱號同時其所在的隊得2分，其余隊各得1分。

四、為優(yōu)勝隊發(fā)獎

五、總結(jié)

本節(jié)課我們通過一系列的活動，充分感知了平移和旋轉(zhuǎn)的特征，體驗了圖形變換的奇妙，領(lǐng)略了數(shù)學的美。同學們的表現(xiàn)都非常出色，顯露出了你們的智慧和才華。在活動中，我們體會到生活中處處有數(shù)學，數(shù)學就在你身邊。只要我們善于觀察，勤于思考，就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學的魅力所在。

教學反思：數(shù)學實踐活動課是新教材的特色也是亮點之一，但現(xiàn)實教學中，許多教師不重視它的教學，更有甚者幾乎將其一帶而過。這是教學上的一大失誤。著名教育家李吉林說：活動是兒童的天性，是他們素質(zhì)個性發(fā)展的根基。數(shù)學實踐活動課有利于培養(yǎng)學生自主探究學習，促進學生智慧和潛能的發(fā)展。象本節(jié)課就達到了寓教于樂、啟智于動的目的，讓學生享受成功的喜悅。學生在活動中各顯其長，各盡所能，始終保持著極高的熱情。不僅加深了對平移和旋轉(zhuǎn)特征的理解和掌握，而且提高了學習數(shù)學的興趣。從教后的效果可以證明這一點。本班學生做此內(nèi)容的習題時正確率為100%，并且課后又自發(fā)的繼續(xù)著剪紙活動，交上來許多好的作品，我將這些作品在學校櫥窗展出，收到良好的效果。本課記分表的設(shè)計，也讓學生體會了統(tǒng)計知識的運用。所以我們教師要重視活動課，精心設(shè)計和上好活動課。

第四篇：考研數(shù)學公式總結(jié)之高等數(shù)學柱面坐標和球面坐標公式

凱程考研輔導班，中國最權(quán)威的考研輔導機構(gòu)

考研數(shù)學公式總結(jié)之高等數(shù)學柱面坐標

和球面坐標公式

考研數(shù)學復習，公式是基礎(chǔ)也是關(guān)鍵，高等數(shù)學中公式眾多，大家要加深理解記憶。下面帶著大家一起來鞏固熟悉高等數(shù)學各類重要公式，下面是柱面坐標和球面坐標公式。

凱程提醒各位考生考研數(shù)學公式的記憶一定要準、牢，否則就沒辦法進行做題和運算。