運用“體會數(shù)據(jù)隨機”的想法看“摸球?qū)嶒灐?/p>

北京教育學(xué)院 張丹

在統(tǒng)計與概率教學(xué)中，鼓勵學(xué)生動手操作做實驗已經(jīng)得到了廣大教師的共識，在不少的課堂中可以看到教師們設(shè)計了多種實驗供學(xué)生操作。但是，隨之而來也給教師帶來了不少困惑，特別是有的老師提出，很多問題不用做實驗學(xué)生都知道結(jié)果，為什么還要做。比如“盒內(nèi)放了8個黑球、2個白球，這些球除顏色外完全相同，任意摸出一球，摸到哪種顏色球的可能性大”，學(xué)生憑經(jīng)驗完全能判斷出摸到黑球的可能性大，為什么還要進行實驗？是不是有點“低估”了學(xué)生，或者是為了“動手操作”而操作？還有的老師提出，有時候做了實驗，由于偶然性還出現(xiàn)了“相反”的情況，比如一次聽課中就出現(xiàn)了一個小組摸了10次球，結(jié)果出現(xiàn)了摸出4次黑球、6個白球的結(jié)果，學(xué)生反而糊涂了。

就在這個問題成為了廣大教師的普遍困惑時，課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿中提出了“體會數(shù)據(jù)隨機”的想法，那么什么是數(shù)據(jù)的隨機，它的提出對設(shè)計實驗活動有什么指導(dǎo)作用呢？

一、數(shù)據(jù)隨機的內(nèi)涵

數(shù)據(jù)的隨機主要有兩層涵義：一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。舉一個例子，袋中裝有若干個紅球和白球，一方面，每次摸出的球的顏色可能是不一樣的，事先無法確定；另一方面，有放回重復(fù)摸多次（摸完后將球放回袋中，搖晃均勻后再摸），從摸到的球的顏色的數(shù)據(jù)中就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，比如紅球多還是白球多、紅球和白球的比例等。在課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿中還提供了一個案例，學(xué)生記錄自己在一個星期內(nèi)每天上學(xué)途中所需要的時間，如果把記錄時間精確到分，可能學(xué)生每天上學(xué)途中需要的時間是不一樣的，可以讓學(xué)生感悟數(shù)據(jù)的隨機性；更進一步，讓學(xué)生感悟雖然數(shù)據(jù)是隨機的，但數(shù)據(jù)較多時具有某種穩(wěn)定性，可以從中得到很多信息，比如，通過一個星期的調(diào)查可以知道“大概”需要多少時間。

從上面所舉的案例不難看出，這些實驗的目的都是希望通過實驗從數(shù)據(jù)中獲取信息，從而對總體做一些推斷，由此體會隨機。

其實，有關(guān)這一想法，在一些實驗教材中已經(jīng)作出了一些嘗試。比如，北師大新世紀(jì)版五年級設(shè)計的一個活動（如圖1），就是通過統(tǒng)計摸球的情況對袋中所裝的球的情況進行推斷。

圖1

二、運用“體會數(shù)據(jù)隨機”的想法看目前教學(xué)中的“摸球?qū)嶒灐?/p>

進一步，如何在課堂中設(shè)計合理的實驗落實“體會數(shù)據(jù)隨機”的目的呢？一個好的切入點是對目前課堂教學(xué)中的實驗加以分析，看看哪些實驗的設(shè)計是合理的，哪些還需要進一步的思考和改進。下面是筆者收集到的有關(guān)案例，并且加以了分析，以求能給教師以啟發(fā)。

1．第一類：“驗證”類

下面是一個五年級的課堂教學(xué)片段：

老師拿出一個盒子，盒子里有9個白球、1個黃球。如果從中任意摸出1個球，可能是什么顏色的球?摸到白球的可能性有多大，黃球呢？(學(xué)生略做思考后交流。)生1：可能摸到白球，也可能是黃球。

生2：摸到白球的可能性是9/10，因為有10個球，其中9個是白球。

（大家都表示同意）

師:好，下面就請你們分小組摸球，記錄摸球的結(jié)果，驗證一下大家的想法。本活動的目的是驗證摸到白球的概率是否為9/10，如前所述是不提倡的。因為學(xué)生完全可以通過分析推理得到摸到白球的概率，他們產(chǎn)生不了做實驗的需求。如果做了實驗，摸到白球的頻率往往不是9/10，學(xué)生反而產(chǎn)生困惑，當(dāng)然也體會不到數(shù)據(jù)的作用了。

2．第二類：“體會隨機”類

看下面的一個二年級的課堂教學(xué)片段：

組織小組活動：盒子里有3個黃球、3個白球。每次摸出1個，摸之前先猜猜你會摸到什么顏色的球?每次你都猜對了么?

活動結(jié)束時，老師詢問:有沒有每次都猜對的同學(xué)?(全班只有2人舉手。)師:為什么我們那么多的同學(xué)都沒有猜對呢?(此時，兩個猜對的同學(xué)急于向大家介紹方法。)生1:黃球和白球摸在手里的感覺不一樣!師:(饒有興趣地)真的嗎?讓我們見識一下!生1:(摸出一球，沒看前猜測)黃色!(拿出后是白色，生1低頭坐了下去。)師:怎么不試了? 生1：沒有信心了。

師:怎么就沒有信心了? 生1:摸在手里分辨不出來.生2:我發(fā)現(xiàn)了，如果第一次摸出來的是黃球，第二次就猜是白球，是交錯出現(xiàn)的。

師:你剛才就是這樣猜的，結(jié)果都對了嗎? 生2連連點頭。

師(半信半疑地)：還有這個規(guī)律?摸1個!(生2摸出1個白球，放回。)生2:第二次一定是黃球。

(第二次生2果真摸出一個黃球。)師：看來，下次…… 生2:第三次該是白球了!(第三次生2摸出個黃球。)師:這個規(guī)律還成立么? 學(xué)生們直搖頭。

師：通過剛才的摸球游戲，你發(fā)現(xiàn)了什么? 生:盒子里又有黃球又有白球，摸出一個球，可能是黃球，也可能是白球.這個案例乍一看和上面的案例一樣，都是摸球，但仔細分析目的是不一樣的。這個實驗的目的是使學(xué)生體會不確定性，即事先無法確定實驗的結(jié)果。其實，學(xué)生對于不確定性的認識并不是一帆風(fēng)順的，學(xué)生們總是希望找到“確定”的結(jié)論。有的學(xué)生認為可以憑手感判斷段結(jié)果，有的學(xué)生把球放在固定的地方從而“破壞”隨機，有趣的是還有的學(xué)生通過幾個數(shù)據(jù)的黃白相間規(guī)律就去推斷整體是這樣的。學(xué)生出現(xiàn)這些想法是正常，逐漸消除學(xué)生存在的誤解正是教學(xué)的目標(biāo)之一。而最好的辦法就是讓學(xué)生親自實驗，案例中教師正是運用了這一策略。

3．第三類：“推斷”類

上面已經(jīng)舉過這樣的例子，對于這樣的活動是在課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中大力提倡的，即通過數(shù)據(jù)來進行推斷。這里不妨舉一個自己所做的學(xué)生調(diào)研的例子。在課程標(biāo)準(zhǔn)修訂剛剛提出“體會數(shù)據(jù)隨機”的想法后，本人在東北師范大學(xué)附屬實驗小學(xué)3，4，5，6年級各隨機抽取了1個學(xué)習(xí)小組，進行了調(diào)研。教師在袋中事先放好5個球，4個黃球和1個白球。這些球除顏色外都相同，教師不告訴學(xué)生袋中球的情況。然后，以小組為單位，鼓勵學(xué)生共同解決如下的問題：

（1）如何在不打開袋子的前提下，估計袋子里是黃球多還是白球多。（2）如果可以通過摸球估計袋中球的情況，你們覺得需要摸幾次？（3）多次有放回的摸球，每次統(tǒng)計此時摸出各種顏色球的數(shù)量，這時你們估計袋中是白球多還是黃球多。

討論后，教師打開袋子，讓學(xué)生看看袋中實際的狀況。

限于篇幅，這里只概括描述學(xué)生回答問題的結(jié)果和一些片段。

對于第（1）個問題，所有小組都可以通過討論想到摸球的辦法，通過摸出的球的情況來估計袋中是黃球多還是白球多。難得可貴的是，當(dāng)教師在摸完后追問學(xué)生“本來可以打開袋子直接看看就可以知道哪個顏色的球多，為什么還要討論通過摸球估計袋中是黃球多還是白球多呢”，一個5年級的學(xué)生回答道：“有時侯球太多看不清楚或者無法數(shù)出來袋中到底是幾個球時，這就需要摸球了?！?/p>

在回答第（2）個問題時，出現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象，雖然所有的學(xué)生都認為不能摸一次就進行估計，但隨著年級的升高，并沒有出現(xiàn)覺得應(yīng)該摸得數(shù)量多一些的情況。在4個學(xué)習(xí)小組中，3年級學(xué)生認為需要摸15次；4年級學(xué)生認為需要摸5次；5年級學(xué)生認為需要摸12次；而6年級學(xué)生認為摸4次就可以了。

在回答第（3）個問題時，大部分小組都能夠根據(jù)數(shù)據(jù)做出合理的推斷，并且能夠說明自己的理由。比如，3年級學(xué)生當(dāng)15次摸球的結(jié)果是摸出10個黃球 和5個白球時，四個人一致推斷袋中黃球多。一個同學(xué)表達了理由：“因為數(shù)量多摸出的可能性就大，現(xiàn)在是黃球摸出的多，就可以判斷是黃球多”。顯然學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)進行了合理的推斷。接著教師詢問：“那么是否有可能袋中白球多呢”，3個學(xué)生回答不可能，有一個學(xué)生給出了很好的補充：“我補充一下，即使是白球多，可能性也很小”，大家都表示了認同。有趣的現(xiàn)象出現(xiàn)在四年級，他們摸的次數(shù)只有5次，摸出了“3個白球和2個黃球（實際摸球情況是白，黃，黃，白，白）”的“相反”情況，當(dāng)教師詢問他們此時的估計時，他們產(chǎn)生了分歧：

生1：白球多。

生2：不一定。（生3附和）生4：黃球多。

生1：我認為就是白球多，你看看那些摸出來的球呀。（教師希望能引起大家對他的回答的注意，但沒有起到作用）

生4：我根據(jù)奇偶性來判斷，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)。假設(shè)盒子里的球是奇數(shù)，拿出來的是奇數(shù)，剩下的一定是偶數(shù)。摸出來又放回去了，說明了盒子里的球還是奇數(shù)。

（學(xué)生的回答似乎并沒有指向要思考的問題，并且思考過程也出現(xiàn)了局部“混亂”。老師提醒他現(xiàn)在討論的問題）

生4：黃球和白球一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)，奇數(shù)和偶數(shù)就應(yīng)該相差1（錯誤的認識，所以也可能是黃球多。

生3：我認為一樣多。

（教師提示此時摸得次數(shù)少，是否可以再摸幾次，但沒有引起學(xué)生的注意。）由上面的回答不難看出，在測試的4個學(xué)習(xí)小組中，學(xué)生對于“隨機”的經(jīng)驗并沒有隨著年級的增長而增長；并且結(jié)合問題（2）的回答，學(xué)生對于實驗次數(shù)增加會提高推斷的可靠性的認識的經(jīng)驗是比較缺乏的。

雖然以上只是一個小實驗，樣本也很少，但可以初步看出，學(xué)生已經(jīng)有了通過摸球?qū)嶒炦M行推斷的經(jīng)驗，并且能夠根據(jù)數(shù)據(jù)進行合理的推斷，由此可見標(biāo)準(zhǔn)修訂中的想法是有可能在小學(xué)中實現(xiàn)的，當(dāng)然這還需要進一步的研究。同時，學(xué)生在此過程中到底能體會到什么程度，他們的困難是什么，還有哪些好的學(xué)習(xí)素材，都需要大家進一步的思考與實踐。

4．第四類：“運用頻率估計概率”類 有的教師在課堂中創(chuàng)設(shè)了如下的情境：父親和兒子決定誰去看奧運會男籃決賽。但是，與過去教學(xué)不同，使用決定是否去的工具并不是硬幣，而是啤酒瓶蓋。

師：舉世矚目的北京奧運會圓滿地、無與倫比地結(jié)束了。去過北京，現(xiàn)場看奧運會的請舉手。沒有人，的確，就是北京當(dāng)?shù)氐娜艘操I不到奧運會的門票。我有一位朋友，知道我當(dāng)年是學(xué)?；@球隊的隊長，就專門幫我找了一張男子籃球決賽的門票。（出示籃球票）只有一張。我兒子也是個籃球迷?？鬃诱f：“己所不欲，勿施于人”。怎么辦呢？飯桌上，我和兒子商量。我兒子看到桌子上有一個啤酒瓶蓋，就說：“爸爸，我們拋啤酒瓶蓋吧。如果正面朝上就我去，如果反面朝上就您去?！蔽艺f：“兒子，什么是正面朝上？什么是反面朝上？”（出示瓶蓋正、反面圖片，并標(biāo)注“正——兒子、反——爸爸”）你們想一想，（板書：問題）這個辦法好不好？認為好的舉手。

（學(xué)生紛紛舉手表示認可。）

師：為什么好？誰能說一下，你是怎么想的？ 生1：我覺得是靠命運決定的，所以公平。

生2：我認為是公平的，因為兒子的機遇是二分之一，爸爸的機遇也是二分之一。

師：二分之一，就是這個瓶蓋拋起來的時候，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，只有兩種可能，（板書：可能性）并且拋一次的話，一定會有一面朝上。所以說這是公平的。有沒有不同的想法？

生3：我認為在現(xiàn)實生活中會有所爭議，因為啤酒瓶蓋打開過，會有一定的折痕，會影響最終的公平性。

師：你想的很好，不過我們選的啤酒瓶蓋如果就是平的，好像就沒問題了。用拋啤酒瓶蓋的辦法，剛才大家都說好了?，F(xiàn)在在他的啟發(fā)下，有沒有人認為不好？

生4：我認為瓶子蓋的反面那一圈是折起來的，這一面的重量會比正面的重量大，所以爸爸勝的可能性比較大。

師：能用“可能性”這個詞很好。同意這個觀點的人請舉手。部分同學(xué)同意。

師：小結(jié)，看來現(xiàn)在有兩種意見了。

1執(zhí)教者 北京第二實驗小學(xué)特級教師 華應(yīng)龍 生3一直堅持舉手，最終獲得發(fā)言機會：我認為，瓶蓋上的鋸齒也會影響比賽的結(jié)果。

師：經(jīng)過剛才的討論，我們發(fā)現(xiàn)問題（指板書：問題），用拋啤酒瓶蓋的辦法來決定誰去看比賽，究竟公平不公平呢？答案不一致。怎么辦呢？

生4：做個實驗唄?？匆幌碌降子袥]有問題。

師：非常好！做個實驗來看一看到底公平不公平。（板書：實驗）有這樣的想法非常好。實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。

以上案例曾經(jīng)在《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》雜志2009年1-2期合刊上刊登過，在這里為什么還選擇了這個案例呢，一是因為自己收集到小學(xué)教學(xué)中這方面的案例比較少，而這個案例確實是親自看過的，有親身的感受；二是因為運用頻率估計概率，在課程標(biāo)準(zhǔn)小學(xué)階段沒有明確要求，主要是沒有足夠的研究“證據(jù)”表明小學(xué)生可以接受，所以設(shè)計一個既符合學(xué)生認知特點，又能激起學(xué)生興趣的情境確實是不容易的，而此例無疑較好地體現(xiàn)了這點。

在這個活動里學(xué)生做的是“拋瓶蓋”的實驗。那么，“拋瓶蓋”和“拋硬幣”有什么不同呢。我們知道，如果運用的是硬幣，由于擲一枚硬幣，硬幣落下時有兩種可能：正面朝上和反面朝上，并且兩種結(jié)果是等可能的，所以這是一個古典概率的問題。古典概率的問題，我們可以有公式計算出某種結(jié)果發(fā)生的概率，雖然小學(xué)不正式學(xué)這個公式，但通過經(jīng)驗并加以分析，學(xué)生容易得到正面朝上和反面朝上的可能性是相等的，此時再讓學(xué)生做實驗，學(xué)生不僅產(chǎn)生不了愿望，并且往往會由于數(shù)據(jù)（頻率）與概率的不一致而產(chǎn)生困惑。瓶蓋雖然落下時也有兩種可能，但二者不是等可能的，不符合古典概率的要求，這時我們可以通過做實驗，運用頻率去估計概率的大小，從而對正面朝上和反面朝上的可能性進行比較，這不僅僅使實驗變得很有必要，并且能夠幫助學(xué)生澄清一些誤解。面對著兒子提出的決定方法是否公平的問題，開始時大多數(shù)學(xué)生都表示了認可。要消除學(xué)生的誤解，自然而言需要實驗幫忙，于是做實驗成了“水到渠成”。學(xué)生親自經(jīng)歷了實驗的過程，收集實驗數(shù)據(jù)，分析實驗結(jié)果，并將所得結(jié)果與自己的猜測進行比較，修正了自己的猜測。進一步，在課堂中教師又利用了形象的比喻“踢毽子”幫助學(xué)生分析為什么“反面”朝上的可能性大，至此教師引導(dǎo)學(xué)生們完整經(jīng)歷了：首先猜測結(jié)果發(fā)生的可能性大??；然后親自動手進行實驗，收集實驗數(shù)據(jù)，分析實驗結(jié)果，并將所得結(jié)果與自己的猜測進行比較；最后進行理性分析，并與實驗結(jié)果聯(lián)系起來。

5．第五類：“體會頻率與概率的關(guān)系”類

還有的教師設(shè)計實驗是在已經(jīng)知道概率的前提下，將頻率與概率進行對比，從而幫助學(xué)生體會頻率與概率的關(guān)系。比如，已經(jīng)驗證一個硬幣是均勻的，則任意拋出后，落地時正面朝上的概率是1/2，我們設(shè)計實驗可以使學(xué)生體會雖然頻率隨實驗次數(shù)的不同而變化，但大量重復(fù)實驗時，頻率會穩(wěn)定在1/2。對于這一目標(biāo)，課程標(biāo)準(zhǔn)在小學(xué)階段是不要求的，教師可以對學(xué)有余力的學(xué)生適當(dāng)滲透，但不必強求體會。

以上對目前課堂教學(xué)中的幾種實驗的設(shè)計加以了分析，希望能引起教師們對于實驗設(shè)計目的的思考。當(dāng)然，對于什么是數(shù)據(jù)的隨機，小學(xué)生對此的理解是什么，在小學(xué)階段如何設(shè)計好的學(xué)習(xí)活動促使學(xué)生加以體會，使他們真正感受到數(shù)據(jù)分析的價值，無疑是一個長期需要不斷思考和實踐的課題。