第一篇：驚人的答案：平均要取多少個(gè)(0,1)中的隨機(jī)數(shù)才能讓和超過1

驚人的答案：平均要取多少個(gè)(0,1)中的隨機(jī)數(shù)才能讓和超過1？

數(shù)學(xué)常數(shù)最令人著迷的就是，它們常常出現(xiàn)在一些看似與之毫不相干的場(chǎng)合中。隨便取一個(gè) 0 到 1 之間的數(shù)，再加上另一個(gè) 0 到 1 之間的隨機(jī)數(shù)，然后再加上一個(gè) 0 到 1 之間的隨機(jī)數(shù)??直到和超過 1 為止。一個(gè)有趣的問題：平均需要加多少次，才能讓和超過 1 呢？答案是 e 次。

為了證明這一點(diǎn)，讓我們先來看一個(gè)更簡(jiǎn)單的問題：任取兩個(gè) 0 到 1 之間的實(shí)數(shù)，它們的和小于 1 的概率有多大？容易想到，滿足 x+y<1 的點(diǎn)(x, y)占據(jù)了正方形(0, 1)×(0, 1)的一半面積，因此這兩個(gè)實(shí)數(shù)之和小于 1 的概率就是 1/2。類似地，三個(gè)數(shù)之和小于 1 的概率則是 1/6，它是平面 x+y+z=1 在單位立方體中截得的一個(gè)三棱錐。這個(gè) 1/6 可以利用截面與底面的相似比關(guān)系，通過簡(jiǎn)單的積分求得：

∫(0..1)(x^2)*1/2 dx = 1/6

可以想到，四個(gè) 0 到 1 之間的隨機(jī)數(shù)之和小于 1 的概率就等于四維立方體一角的“體積”，它的“底面”是一個(gè)體積為 1/6 的三維體，在第四維上對(duì)其進(jìn)行積分便可得到其“體積”

∫(0..1)(x^3)*1/6 dx = 1/24 依此類推，n 個(gè)隨機(jī)數(shù)之和不超過 1 的概率就是 1/n!，反過來 n 個(gè)數(shù)之和大于 1 的概率就是 11/n!)1/(n-1)!)=(n-1)/n!因此，要想讓和超過 1，需要累加的期望次數(shù)為 ∑(n=2..∞)n *(n-1)/n!= ∑(n=1..∞)n/n!= e