第一篇：不可不知的中國(guó)古代數(shù)學(xué)：從高斯算1 2 3 … 100談起

不可不知的中國(guó)古代數(shù)學(xué)：從高斯算1 2 3 … 100談起。。

中國(guó)古代數(shù)學(xué)究竟有多牛逼

編者按：本報(bào)告基于林開(kāi)亮博士參加由《知識(shí)就是力量》雜志社主辦的2016年度 “全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)/物理/化學(xué)科普競(jìng)賽”數(shù)學(xué)科普講座的通俗報(bào)告《從楊輝三角到李善蘭垛積術(shù)》和他在西北農(nóng)林科技大學(xué)做的通俗報(bào)告《從高斯算1+2+3+...+100 談起》。感謝林老師授權(quán)【超級(jí)數(shù)學(xué)建?！堪l(fā)表。高斯的故事

我們的故事從德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）講起：傳說(shuō)中的高斯解法：利用對(duì)稱性首尾相加求和

事實(shí)上，高斯用的是數(shù)學(xué)歸納法；他證明了一個(gè)更一般的結(jié)果阿基米德的故事

不過(guò)高斯并不是最早得到公式（1）的人，至少古希臘的阿基米德就知道了（1），事實(shí)上，阿基米德還得到了下述平方和求和公式阿基米德有一句名言流傳至今：給我一個(gè)（地球外）支點(diǎn)，我可以翹起整個(gè)地球！

你在開(kāi)門時(shí)、用鉗子夾核桃就已經(jīng)應(yīng)用了這個(gè)杠桿原理！阿基米德與高斯之間數(shù)學(xué)家：朱世杰

一個(gè)自然的問(wèn)題是：歷史上第一個(gè)給出這類問(wèn)題解法的，是元代數(shù)學(xué)家朱世杰。特別地，對(duì)上述問(wèn)題，他給出了答案：這比歐洲最早得到這個(gè)公式的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨早了300多年。今年恰逢萊布尼茨（1646－1716）逝世300周年。朱世杰：我們的主人公朱世杰就是我要講的故事的主人公，我們不僅僅要介紹他是如何得到立方求和公式（3）的，還要介紹他的方法（裂項(xiàng)求和）如何可以求出一般的前n個(gè)數(shù)的p次方的和，即如何得到這樣的公式：朱世杰現(xiàn)在對(duì)大家來(lái)說(shuō)也許只是個(gè)陌生的名字，但我希望報(bào)告結(jié)束后你會(huì)得到這樣的認(rèn)識(shí)，他位列古代最偉大數(shù)學(xué)家的行列。朱世杰生活的大時(shí)代 世界

中世紀(jì)（Middle Ages，大約500--1400）的漫漫長(zhǎng)夜長(zhǎng)達(dá)近千年，代表事件分別是羅馬帝國(guó)的滅亡與文藝復(fù)興。中世紀(jì)的數(shù)學(xué)最輝煌的地域是中國(guó)（宋元四大家）、印度（婆羅摩笈多）、波斯（海亞姆）、意大利（斐波那契）。翻譯傳播希臘與印度的數(shù)學(xué)和科學(xué)。中國(guó)

宋元（960-1279-1368）四百年是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的黃金時(shí)代，涌現(xiàn)出四位大數(shù)學(xué)家，人稱“宋元四大家”：

南宋：李冶（1192-1279）、秦九韶（1202-1261）、楊輝（約1238-1298）元：朱世杰（1249-1314）

四人皆有著作，成就了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的最高峰

評(píng)注1：美國(guó)著名科學(xué)史家薩頓(G.Sarton，1884－1956)說(shuō)過(guò)，秦九韶是“他那個(gè)民族，他那個(gè)時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一。”這個(gè)評(píng)價(jià)同樣適用于李冶和朱世杰。

評(píng)注2：“宋元四大家”中真正能稱得上“大家”只有三位——秦九韶、李冶和朱世杰，而楊輝主要是數(shù)學(xué)教育家，把他算進(jìn)來(lái)有點(diǎn)牽強(qiáng)。此外，在四人中，我們對(duì)楊輝的生平也是了解最少的。宋元四大家

1、宋元四大家之秦九韶

秦九韶，字道古，生于安岳（今四川安岳縣）。南宋數(shù)學(xué)家、官員。代表作《數(shù)書九章》18卷（我表示遺憾：北師大版高中數(shù)學(xué)教材必修5 第51頁(yè)居然說(shuō)成《數(shù)學(xué)九章》?。?。成就：①中國(guó)剩余定理（秦九韶定理），比西方的歐拉早500年。它包含在一個(gè)稱為“大衍總數(shù)術(shù)”的巧妙算法中。②高次方程的數(shù)值解法，比西方的霍納早500年。③三角形的海倫--秦九韶面積公式（據(jù)說(shuō)這公式阿基米德也已經(jīng)知道）

2、宋元四大家之李冶

李冶，字仁卿，欒城（今河北欒城縣）人，南宋數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、歷史學(xué)家，進(jìn)士出身，曾有官職，后歸隱封龍山收徒講學(xué)。

著有《測(cè)圓海鏡》、《益古演段》；

其貢獻(xiàn)在于引入了名為“天元”（相當(dāng)于“嫌疑人X”）的未知數(shù)概念，創(chuàng)立了利用未知數(shù)建立方程的方法（天元術(shù)），為幾何的代數(shù)化鋪平了道路。

此外，李冶還與秦九韶各自獨(dú)立地引進(jìn)記號(hào)〇表示空位。至此，中國(guó)十進(jìn)制完善了。

3、宋元四大家之楊輝

楊輝，字謙光，臨安（今杭州）人，南宋數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，曾擔(dān)任地方官。

著有《詳解九章算法》、《日用算法》、《楊輝算法》； 成就：發(fā)揚(yáng)光大了沈括、賈憲的數(shù)學(xué)成就。此外，楊輝還是中國(guó)第一個(gè)系統(tǒng)研究幻方（Magic square）的人。最早的幻方也出自中國(guó)，洛書，又稱九宮格。它也出現(xiàn)在金庸的《射雕英雄傳》中，請(qǐng)看以下視頻：①將沈括《夢(mèng)溪筆談》中的“隙積術(shù)”普及，作為特例，他不僅給出了阿基米德的求和公式(2)，還給出了下述三角垛的求和公式沈括、楊輝所考慮的這類“堆垛”問(wèn)題的推廣，用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)即“高階等差數(shù)列的求和”。這一問(wèn)題后來(lái)被朱世杰所創(chuàng)立的“垛積招差術(shù)”徹底解決，他所依賴的工具之一就是楊輝的另一項(xiàng)成就。②從賈憲（現(xiàn)已失傳）的工作中發(fā)掘出二項(xiàng)式系數(shù)的“賈憲三角”關(guān)系，今人稱之為“楊輝三角”，因?yàn)樗霈F(xiàn)在楊輝的《詳解九章算法》中。西方稱之為帕斯卡三角，事實(shí)上帕斯卡比楊輝都晚生了近400年。先后有許多數(shù)學(xué)家獨(dú)立發(fā)現(xiàn)這一結(jié)果，都說(shuō)明了，這是一個(gè)基本的發(fā)現(xiàn)。楊輝三角最基本的性質(zhì)是（楊輝恒等式）： *維基百科中的帕斯卡三角：https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle

4、宋元四大家之朱世杰

朱世杰，字漢卿，燕山（今北京）人，元代數(shù)學(xué)家、教育家，畢生從事數(shù)學(xué)教育。

著有《算學(xué)啟蒙》、《四元玉鑒》；

當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家吳文?。ㄖ锌圃涸菏?、2000年國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)得主）對(duì)《四元玉鑒》有高度評(píng)價(jià)：這本書標(biāo)志著我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的頂峰。

吳文俊關(guān)于數(shù)學(xué)機(jī)械化的開(kāi)創(chuàng)性工作，得益于朱世杰《四元玉鑒》求解多元多項(xiàng)式方程組的工作（“四元術(shù)”）以及20世紀(jì)美國(guó)數(shù)學(xué)家李特（J.F.Ritt）的工作。成就：①將李冶的天元術(shù)發(fā)展為四元術(shù)，用以求解多元多項(xiàng)式方程組。所謂四元即四個(gè)未知數(shù)的名稱，稱之為天、地、人、物。正是這項(xiàng)成就啟發(fā)了吳文俊開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)機(jī)械化的工作。

小引：清代數(shù)學(xué)家李善蘭將26個(gè)拉丁字母依次翻譯為十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）、十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）和四元（天、地、人、物）。因此天、地、人、物恰好對(duì)應(yīng)w,x,y,z，這幾個(gè)字母常用來(lái)表示未知數(shù)。

Question1：在干支紀(jì)年中，今年（2016）是什么年？提示，你記得甲午戰(zhàn)爭(zhēng)是哪一年嗎？或者你看過(guò)這個(gè)段子嗎？ 讓子彈飛：炸在辛亥這個(gè)地方了！Question 2：阿基米德生于公元前287年，朱世杰生于1249年，高斯生于1777年。據(jù)說(shuō)按照中國(guó)人的十二生肖，他們的屬相相同。請(qǐng)問(wèn)：是這樣的嗎，如果是，阿基米德、朱世杰和高斯都屬啥？ ②將沈括、楊輝的“隙積”、“堆垛”術(shù)系統(tǒng)發(fā)展，得到“垛積術(shù)”的基本關(guān)系式，也就是現(xiàn)在所謂的“朱世杰恒等式”，它是阿基米德求和式（1）和楊輝三角垛求和公式（2*）的自然推廣：在朱世杰恒等式（A）中令p=1，2就得到阿基米德求和式（1）和楊輝的三角垛求和公式（2*）。[用字母C是因?yàn)樗墙M合單詞combination的首字母。] “垛積”中的“垛”是高階等差數(shù)列（高次多項(xiàng)式）的幾何對(duì)應(yīng)物，例如“三角垛”其實(shí)就是三角形數(shù)，回憶起阿基米德公式有各種各樣的整數(shù)值多項(xiàng)式，從而有各種各樣的垛狀數(shù)（Figurate numbers)。

見(jiàn)維基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/Figurate_number “垛積”中的“積”其實(shí)是“求和”的意思。因此“垛積”的意思就是高階等差數(shù)列的求和?！岸夥e術(shù)”的要訣就是今人所謂的“裂項(xiàng)求和”。而如何“裂項(xiàng)”則是朱世杰的第3項(xiàng)成就。這是本報(bào)告中最微妙的部分，接下來(lái)我們重點(diǎn)介紹。③完善了元代郭守敬《授時(shí)歷》中所用的招差術(shù)，得到了四階等差數(shù)列的招差公式。用現(xiàn)代數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，朱世杰的四階招差公式相當(dāng)于說(shuō)：若f(n)是一個(gè)四次多項(xiàng)式，則其中系數(shù)分別是f(n)的在原點(diǎn)n=0處的0次差分，1次差分，2次差分，3次差分，4次差分。具體計(jì)算可依照差分表求出（參見(jiàn)陳景潤(rùn)《組合數(shù)學(xué)》）。

舉例：由于朱世杰完全掌握這一算法，可以我們有理由推斷，他事實(shí)上得到了任意次數(shù)的多項(xiàng)式的招差公式，這個(gè)結(jié)果在西方最早由300多年以后的英國(guó)數(shù)學(xué)家格里高利和牛頓分別得到。不過(guò)牛頓的同胞泰勒在牛頓差分公式的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步（取極限）而得到了微積分的基本結(jié)果（泰勒定理）。中國(guó)沒(méi)有產(chǎn)生微積分。朱世杰的招差術(shù)是離散的微分，朱世杰的垛積術(shù)是離散的積分，所以我們這里講的就是離散的微積分。它距離連續(xù)的微積分只有一步之遙。

有了招差術(shù)和垛積術(shù)，那么高階等差數(shù)列（p階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就是p次多項(xiàng)式f(n)）的求和就是水到渠成的了。例如，根據(jù)前面的結(jié)果，可以求得前n個(gè)數(shù)的四次方和公式朱世杰正是用同樣的方法求得了前n個(gè)數(shù)的立方和公式（3）。留給有興趣的讀者。[一定要?jiǎng)邮?！?shù)學(xué)不是光靠看書聽(tīng)講就能學(xué)會(huì)的。動(dòng)筆算過(guò)之后，印象會(huì)更深刻。數(shù)學(xué)家的最重要的兩樣武器：筆和紙。] 類似的，可以想見(jiàn)，朱世杰的“垛積招差術(shù)”可以解決一般的p次冪求和這個(gè)問(wèn)題朱世杰本人并未考慮，他留給了清代的李善蘭。不過(guò)在此之前，西方人（例如費(fèi)馬）已經(jīng)解決了這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)樗麄円髢绾瘮?shù)

在[0,1]上的面積。這個(gè)公式稱為福爾哈伯公式（Faulhaber’s formula）。20世紀(jì)大數(shù)學(xué)家西格爾（Siegel)曾這樣說(shuō)：第一個(gè)發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式的人（可能是11世紀(jì)的埃及數(shù)學(xué)家海塞姆）必定博得了上帝的歡喜(It pleased the dear Lord.)。小引：之所以一般用字母 p 表示冪次數(shù)，是因?yàn)閮绲挠⑽氖?power。冪函數(shù)(power function)，楊冪=楊平方

秦九韶、李冶、朱世杰之比較 南秦北李一時(shí)瑜亮，相得益彰

秦九韶的《數(shù)書九章》與李冶的《測(cè)圓海鏡》幾乎同時(shí)完成，甚至不約而同地引入了記號(hào)〇，但他們從未提到對(duì)方的工作，也許他們根本不認(rèn)識(shí)對(duì)方。事實(shí)上，他們分別屬于兩個(gè)敵對(duì)的王朝，秦李二人的工作（求解與建立方程）互為補(bǔ)充，交相輝映。二者合在一起，正是中國(guó)古代數(shù)學(xué)黃金時(shí)代的標(biāo)志。朱世杰集眾家之大成后來(lái)居上

與宋代的秦、李、楊不同，朱世杰一生未入仕途，以數(shù)學(xué)名家之身份周游湖海二十余年，吸收并發(fā)展了秦、李、楊、郭的成就。他的成就大概可以用丘成桐先生的一副楹聯(lián)來(lái)形容： 地有南北，無(wú)疆域始成大業(yè)；學(xué)無(wú)先后，有德才方是賢人。道古橋的故事

當(dāng)代數(shù)學(xué)家蔡天新是秦九韶超級(jí)粉絲，他曾“突發(fā)奇想”，建議并敦促杭州市政府為紀(jì)念秦九韶的道古橋復(fù)名立碑。這一建議后來(lái)被采納，并請(qǐng)數(shù)學(xué)家王元（華羅庚的弟子）題寫了橋名。這正是七百多年前的一段數(shù)學(xué)佳話的回響： 1238 年，秦九韶回臨安丁父憂，見(jiàn)河上無(wú)橋，兩岸人民往來(lái)很不便，便親自設(shè)計(jì)，再通過(guò)朋友從府庫(kù)得到銀兩資助，在西溪河上造了一座橋。橋建好后，原本沒(méi)有名字，因橋建在西溪河上，習(xí)慣上被叫作“西溪橋”。直到元代初，另一位大數(shù)學(xué)家、游歷四方的北方人朱世杰來(lái)到杭州，才倡議將“西溪橋”更名為“道古橋”，以紀(jì)念造橋人、他所敬仰的前輩數(shù)學(xué)家秦九韶，并親自將橋名書鐫橋頭。

秦九韶、朱世杰、王元和蔡天新，讓道古橋變成了一座有故事的橋。它起初只是橫跨西溪，而如今已經(jīng)縱貫古今，連接了前后七八百年的數(shù)學(xué)家，是數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的活字碑。蔡天新教授在道古橋邊留影（蔡天新教授提供）數(shù)學(xué)在中國(guó)與西方地位之不同

數(shù)學(xué)在中國(guó)古代不受重視是有深刻的社會(huì)文化因素的，丘成桐先生在其文《數(shù)學(xué)和中國(guó)文學(xué)的比較》一文中有透辟的分析：

自古以來(lái)，中國(guó)儒家就將數(shù)學(xué)放在六藝之末，只是一門輔助性的學(xué)問(wèn)。當(dāng)政者（更不用說(shuō)等閑之輩）更視之為雕蟲小技，與文學(xué)比較，連歌頌朝廷的功能都沒(méi)有，政府對(duì)數(shù)學(xué)的重視直到近代才有極大的改進(jìn)。

西方則不然，希臘哲學(xué)以數(shù)學(xué)為萬(wàn)學(xué)之基。柏拉圖以通幾何為入其門檻之先決條件，所以數(shù)學(xué)家占有崇高地位，數(shù)學(xué)因此在西方蓬勃發(fā)展了兩千多年。魯豫有約：數(shù)學(xué)家的藝術(shù)人生 宋元之后的數(shù)學(xué) 明朝數(shù)學(xué)

宋元之后，數(shù)學(xué)衰微了。但明朝有兩件事情對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展有重要的影響，特別值得一提。

⑴、《永樂(lè)大典》（成書11095冊(cè)，“世界有史以來(lái)規(guī)模最大的百科全書”）的編撰，這讓宋元時(shí)代以及更早的數(shù)學(xué)著作得以保存，可惜《永樂(lè)大典》留存不全，現(xiàn)存的除大陸和臺(tái)灣，其它地方如日本、美國(guó)、英國(guó)、德國(guó)、越南、韓國(guó)都非法占有。我們所展示的楊輝三角就取自英國(guó)劍橋大學(xué)圖書館收藏的一冊(cè)《永樂(lè)大典》（感謝中科院數(shù)學(xué)所李文林教授）。⑵、意大利傳教士利瑪竇（Matteo Ricci）1600 年到北京，與徐光啟合譯歐幾里得《幾何原本》前六卷，這是西方數(shù)學(xué)傳入中國(guó)的開(kāi)端。利瑪竇（醉翁之意不在酒）旨在傳教，因此只配合徐光啟翻譯了前六卷。200多年后，其后的九卷由李善蘭和英國(guó)人偉烈亞力（Wylie）合作翻譯而成。清朝數(shù)學(xué)

中國(guó)歷史上有三個(gè)帝王對(duì)科學(xué)感興趣：北宋仁宗趙禎、元世祖忽必烈（禮遇李冶）、清康熙皇帝。但對(duì)數(shù)學(xué)最有興趣的首推康熙。[從世界的眼光來(lái)看，則有俄國(guó)的彼得大帝、法蘭西帝國(guó)的始皇帝拿破侖、新加坡現(xiàn)任總理李顯龍，中國(guó)國(guó)家副主席李源潮]

萊布尼茲曾給彼得大帝和康熙大帝寫親筆信，建議成立科學(xué)院。

彼得很有眼光，在圣彼得堡建立了科學(xué)院并邀請(qǐng)歐拉（Euler）到此工作，俄國(guó)的數(shù)學(xué)一下子前進(jìn)了幾百年。彼得要求臣子們都學(xué)數(shù)學(xué)：“老子都能學(xué)會(huì)，你們都得給老子學(xué)會(huì)！”

康熙也學(xué)數(shù)學(xué)，并要求臣子學(xué)，但他是這么說(shuō)的：“看你們多蠢，這玩意只有老子能學(xué)會(huì)！”他只是想借此炫耀自己聰明高人一等，根本沒(méi)有想過(guò)要把數(shù)學(xué)作為一門學(xué)問(wèn)一股動(dòng)力來(lái)發(fā)展。

康熙學(xué)數(shù)學(xué)的故事我不是權(quán)威，因此只能點(diǎn)到為止。最近牛津大學(xué)出了一本專著講這個(gè)故事，作者Catherine Jami的中文名詹嘉玲。清朝的歷史有個(gè)特點(diǎn)：從康熙到雍正之過(guò)渡非常之激蕩劇烈，正史似乎沒(méi)有交代明白，不過(guò)這在曹雪芹的《紅樓夢(mèng)》一書中有深刻的反映。

雍正元年（1723年），雍正下令將西洋傳教士驅(qū)逐到澳門，此后一百余年，西方數(shù)學(xué)的傳入中止。（老子勤學(xué)好問(wèn)，兒子不學(xué)無(wú)術(shù)?。?/p>

乾隆三十八年（1773年），朝廷組織編輯《四庫(kù)全書》、輯錄《永樂(lè)大典》，發(fā)現(xiàn)了宋元數(shù)學(xué)家如楊輝、秦九韶、朱世杰、李冶的名著，掀起研究古典數(shù)學(xué)的高潮。出現(xiàn)了許多創(chuàng)造性的工作，特別值得一提的是李善蘭。

李善蘭，1811-1882，浙江海寧人，清代數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家。他的突出貢獻(xiàn)是繼承、發(fā)展了朱世杰的“垛積術(shù)”，這總結(jié)在他的四卷本著作《垛積比類》中。特別的，他提出了一個(gè)新的組合恒等式，后人稱之為李善蘭恒等式。有興趣的讀者可見(jiàn)華羅庚的小冊(cè)子《數(shù)學(xué)歸納法》或者我本人掛在善科網(wǎng)上的小文章：林開(kāi)亮：誰(shuí)人最愛(ài)李善蘭？

作為19世紀(jì)“極客”的李善蘭

高德納(D.E.Knuth)，美國(guó)計(jì)算機(jī)科學(xué)家、數(shù)學(xué)家,1974 年圖靈獎(jiǎng)獲得者、計(jì)算機(jī)算法和程序設(shè)計(jì)技術(shù)的先驅(qū)，著有編程圣經(jīng)《計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)藝術(shù)》。他在2014年的一個(gè)訪談里提到了李善蘭，把李善蘭和歷史上的多位大數(shù)學(xué)家一并列為19世紀(jì)的“極客”同行。

我要解釋的是極客（美國(guó)俚語(yǔ)“geek”的音譯。隨著互聯(lián)網(wǎng)文化的興起，這個(gè)詞含有智力超群和努力的語(yǔ)意，又被用于形容對(duì)計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)有狂熱興趣并投入大量時(shí)間鉆研的人）。世界人口的一小部分已經(jīng)獲取了一種特殊的思維方式，我碰巧也在其中。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，讓我說(shuō)像我這這樣的人是“極客”，他們約占世界人口的2%。

那么，19 世紀(jì)早期的極客都有誰(shuí)呢？我認(rèn)為，在1814 年之前出生的極客（雖然他們一般被認(rèn)為是數(shù)學(xué)家），有阿貝爾（1802 年），雅可比（1804 年）、哈密爾頓（1805 年）、柯克曼（1806 年）、德·摩根（1806 年）、劉維爾（1809 年）、庫(kù)默爾（1810 年）和中國(guó)的李善蘭（1811 年）。我列出的這些“數(shù)學(xué)家”的著作令我著迷。1814 年以后出生的極客，有卡特蘭（1814 年）、西爾維斯特（1814 年）、布爾（1815 年）、維爾斯特拉斯（1815 年）和博爾夏特（1817 年）。我會(huì)喜歡與這些人為伍，如果幸運(yùn)的話，我可能也會(huì)做著與他們類似的事。順便說(shuō)一句，我認(rèn)為歷史上第一個(gè)歸類為“百分之百極客”的人是圖靈（電影《模仿游戲》的主人公原型）。他的許多前輩有很強(qiáng)的極客癥狀，但圖靈確實(shí)是完全地“極客”化了。

作為翻譯家的李善蘭

前面我們已經(jīng)提到李善蘭的翻譯工作，例如他與偉烈亞力翻譯了歐幾里得《幾何原本》后九卷，他們還合譯了德·摩根的《代數(shù)學(xué)》，美國(guó)數(shù)學(xué)家羅密士（E.Loomis）的微積分著作《代微積拾級(jí)》，還與偉烈亞力、傅蘭雅（J.Fryer）翻譯了牛頓（Newton）的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》。

李善蘭確立了一些科學(xué)名詞的翻譯，如微積分（calculus）中的微分（differentiation）、積分（integration）、函數(shù)（function）；我們今天所講的對(duì)應(yīng)的離散概念：差分（difference）、求和（summation）、數(shù)列（sequence）。推薦讀物1.蔡天新《數(shù)學(xué)傳奇》商務(wù)印書館

2016

（他的新浪博客、他在“愛(ài)課程網(wǎng)”上的同名公開(kāi)課視頻）2.華羅庚《從楊輝三角談起》、《數(shù)學(xué)歸納法》3.陳景潤(rùn)《組合數(shù)學(xué)》4.貝爾《數(shù)學(xué)大師：從芝諾到龐加萊》5.庫(kù)克《當(dāng)代大數(shù)學(xué)家畫傳》，林開(kāi)亮等譯6.柯朗、羅賓，《什么是數(shù)學(xué)？》7.波利亞，《怎樣解題》8.丘成桐，“數(shù)學(xué)與人文”叢書，《大宇之形》9.I.M.Gelfand 自述，見(jiàn) 數(shù)學(xué)縱貫線，http://mp.weixin.qq.com/s/3o7UK9R5GYLAe1aNaWzTuQ10.林開(kāi)亮，微積分之前奏（或變奏）：高階等差數(shù)列的求和}，《數(shù)學(xué)傳播》,2017年第1期，61-7911.呂埃勒，《數(shù)學(xué)與人類思維》，林開(kāi)亮、王兢、張海濤譯http:///newgc/2016/0127/25908.html 最后的思考題

求出下列算式的和；進(jìn)一步，你可以將結(jié)果推廣嗎？本報(bào)告強(qiáng)調(diào)的不僅僅是技巧而是一種方法。那么，方法與技巧的差別在哪里呢？數(shù)學(xué)家波利亞（G.Polya）對(duì)此有精辟見(jiàn)解：方法與技巧的差別在哪里：方法就是放之四海而皆準(zhǔn)的技巧。石家莊站報(bào)告中的提問(wèn)

問(wèn)題1：為什么要把 寫成更復(fù)雜的形式？

答： 的上述分解主要是為了求和的方便，由上式可以立即（根據(jù)朱世杰恒等式）推出求和式(4)。

這個(gè)方法在精神上跟曹沖稱象的故事很接近，就好比是一頭大象，直接稱重不好稱，那么我們把它分解了，于是每一部分都好稱了，各個(gè)擊破，問(wèn)題就解決了。

所以，那么寫看起來(lái)是弄復(fù)雜了，其實(shí)每一部分都更簡(jiǎn)單了。

問(wèn)題2：請(qǐng)老師給講一講導(dǎo)數(shù)的概念

答：導(dǎo)數(shù)的概念很微妙，需要用到一個(gè)更基本的概念，極限。因此我著重解釋一下極限的概念，理解了極限，導(dǎo)數(shù)就容易了。

非誠(chéng)勿擾來(lái)的例子。比方：幸福是一種理想情況。怎樣才算幸福？如果你能容忍許多微小的不幸福，那就是幸福了。極限（以及導(dǎo)數(shù)）概念之微妙，可與愛(ài)情相提并論：Math is like love, a simple idea, but it can get complicated.（數(shù)學(xué)就像愛(ài)情，想法是簡(jiǎn)單的，但它可以搞得很復(fù)雜?。┳钚驴破諘骸稅?ài)與數(shù)學(xué)》Love and Mathhttp://004km.cn/lovemath/問(wèn)題3（一位孩子家長(zhǎng)代替沒(méi)法來(lái)聽(tīng)講座的孩子問(wèn)）：最后那個(gè)思考題的答案是什么？跟明天的考試有沒(méi)有關(guān)系？

回答：具體答案我不能說(shuō)，這是留給學(xué)生的問(wèn)題，要讓TA去思考，事實(shí)上剛才有同學(xué)已經(jīng)想到了答案。這個(gè)問(wèn)題跟明天的考試不一定有關(guān)系，但思考一下會(huì)很有好處。我這里傳授的不僅僅是知識(shí)，更重要的是考慮問(wèn)題的一種方法。我要特別補(bǔ)充一句，學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)不在公式，而且根本不存在萬(wàn)能的公式。但存在著解決問(wèn)題的萬(wàn)能方法：trial and error（試探并糾錯(cuò)）。So, try it first!（先試試?。┳詈螅覍钫駥幭壬銊?lì)年輕人的一句話轉(zhuǎn)送給諸位： A young calf does not know enough to fear the tiger.初生牛犢不怕虎 作者：林開(kāi)亮