第一篇：七數(shù)培優(yōu)競賽講座第22講__平行線的判定與性質(zhì)

平行線的判定與性質(zhì)

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．

角是平面幾何圖形中最活躍的元素，前面我們已學(xué)習(xí)過特殊角、數(shù)量關(guān)系角等角的知識．當(dāng)兩條直線相交或分別與第三條直線相交，就產(chǎn)生對頂角、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角等位置關(guān)系角，進一步豐富了角的知識，它們在角的計算與證明中有廣泛的應(yīng)用．

與平行線相關(guān)的問題一般都是平行線的判定與性質(zhì)的綜合運用，主要體現(xiàn)在如下兩個方面：

1． 由角定角

已知角的關(guān)系→（判定）兩直線平行→（性質(zhì)）確定其他角的關(guān)系．

2．由線定線

已知兩直線平行→（性質(zhì)）角的關(guān)系行→（判定）確定其他兩直線平行．

例題

【例1】如圖，AB∥CD，AC⊥BC，圖中與∠CAB互余的角有個．(安徽省中考題)

思路點撥充分運用對頂角、平行線性質(zhì)等與角相關(guān)的知識，借助互余的概念判斷．注：平面幾何的研究除了運用計算方法外，更多的要依靠時圖形的觀察(直覺能力)，運用演繹推理的方法去完成，往往需要通過觀察、實驗操作進而猜想蛄論(性質(zhì))，或由預(yù)設(shè)結(jié)論去猜想條件，再運用演繹推理方法加以證明．

在學(xué)習(xí)完相交線、平行線內(nèi)容后，平面幾何的學(xué)習(xí)就由實驗幾何階段進入論證幾何階段，順利跨越推理論證階段，需注意以下幾點：

(1)過好語言關(guān)；

(2)學(xué)會識圖；

(3)善于分析．

【例2】如圖，平行直線AB、CD與相交直線EF、GH相交，圖中的同旁內(nèi)角共有()．

A．4對B．8對C．12對D．16對

(“希望杯”邀請賽試題)

思路點撥每一個“三線八角”基本圖形都有兩對同旁內(nèi)角，從對原圖形進行分解人手．

【例3】如圖，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE=30°，∠E＝10°

求征：AB∥EF．

思路點撥解本例的困難在于圖形中沒有“三線八角”，考慮創(chuàng)造條件，在圖中添置“三線八角”或作出與AB或CD平行的直線．

【例4】如圖，在ΔABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠

ACB的平分線．求證：∠EDF＝∠BDF．

(天津市競賽題)

思路點撥綜合運用角平分線、垂直的定義、平行線的判定與性質(zhì)等知識，因圖形復(fù)雜，故需恰當(dāng)分解圖形．【例5】探究：

(1)如圖a，若AB∥CD，則∠B+∠D＝∠E，你能說明為什么嗎?

(2)反之，若∠B+∠D＝∠E，直線AB與CD有什么位置關(guān)系?請證明；

(3)若將點E移至圖b所示位置，此時∠B、∠D、∠E之間有什么關(guān)系?請證明；

(4)若將E點移至圖c所示位置，情況又如何?

(5)在圖d中，AB∥CD，∠E+∠G與∠B+∠F+∠D又有何關(guān)系?(6)在圖e中，若AB∥CD，又得到什么結(jié)論?

思路點撥已知AB∥CD，連結(jié)AB、CD的折線內(nèi)折或外折，或改變E點位置、或增加折線的條數(shù)，通過適當(dāng)?shù)馗淖兤渲械囊粋€條件，就能得出新的結(jié)論，給我們創(chuàng)造性的思考留下了極大的空間，解題的關(guān)鍵是過E點作AB(或CD)的平行線，把復(fù)雜的圖形化歸為基本圖形．

注： 分析主要從以下兩個方面進行：

(1)由因?qū)Ч?綜合法)，即從已知條件出發(fā)推出相應(yīng)結(jié)論．(2)執(zhí)果溯因(分析法)，即要得到結(jié)論需具備什么條件．

解題時，我們既要抓住條件，又要盯住目標，努力促使已知與來知的轉(zhuǎn)化與溝通．探索性問題一般具有以下特點：

(1)給出了條件，但沒有明確的結(jié)論；(2)給出了結(jié)論，但沒有給出或沒有全部給出應(yīng)具備的條件，(3)先提出特殊情況進行研究，再要求歸納、猜測和確定一般結(jié)論；(4)先對某一給定條件和結(jié)論的問題進行研究，再探討改變條件時其結(jié)論相應(yīng)發(fā)生的變化，或改變結(jié)論時其條件相應(yīng)發(fā)生的變化；(5)解題方法需要獨立創(chuàng)新．

“解題千萬道，解后拋九霄”是難以達到提高解題能力，發(fā)展思維的目的的．善于作解題后小結(jié)，回顧解題過程，總結(jié)解題經(jīng)驗和體會，再進而作一題多解，一題多問，一題多變的思考，挖掘題目的深度和廣度，擴大題目的輻射面，這對解題能力的提高是十分有益的．

學(xué)力訓(xùn)練

1．如圖，已知AE∥CD，EF交AB于M，MN⊥EF于M，NN交CD于N，若∠BME=110°，則∠MND=．

(湖北成寧市中者題)2．如圖，若直線a，b分別與直線c，d相交，且∠1+∠3=90°，∠2一∠3=90°，∠4=115°，那么∠3=．

3．如圖，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，則∠α．(內(nèi)蒙古中考題)

4．已知兩個角的兩邊分別平行，其中一個角為40°，那么另一角是度． 5．如圖，下列條件中，不能判斷直線l1∥l2的是()．

A．∠l=∠3B．∠2=∠3C．∠4=∠5D．∠2+∠4=180°

(南通市中考題)6．．已知線段AB的長為10cm，點A、B到直線L的距離分別為6cm和4cm，符合條件l的條數(shù)為()．

A．1B．2C．3D．4(安徽省中考題)

7．如圖，直線a、b都與直線c相交，給出下列條件：(1)∠l=∠2；(2)∠3＝∠6；(3)∠4+∠7＝180°；(4)∠5+∠8＝180°，其中能判斷a∥b的是()．A．(1)、(3)B．(2)、(4)C．(1)、(3)、(4)D．(1)、(2)、(3)、(4)

(江蘇鹽城市中考題)

8．如圖，AB∥EF∥DC，EG∥DB，則圖中與∠1相等的角(∠1除外)共有()．A．6個D．5個C．4個D．3個(湖北省荊門市中考題)

9．如圖，已知∠l+∠2＝180°，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠ACB的大小關(guān)系，并對結(jié)論進行證明．

10．如圖，已知∠1十∠2=180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF．求證：BC平分∠DBE． 11．在同—平面內(nèi)有2002條直線a1，a2，?，a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，?，那么a1與a2002的位置關(guān)系是．

12．若平面上4條直線兩兩相交且無三線共點，則共有同旁內(nèi)角對．(江蘇省競賽題)

13．如圖，已知l1//l2，AB⊥l1，∠ABC=130°，則∠α．

14．如圖，直線AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN＝30°，∠CNP= 50°，則∠GHM的大小是．

(“希望杯”邀請賽試題)

15．如圖，D、G是ΔABC中AB邊上的任意兩點，DE∥BC，GH∥DC，則圖中相等的角共有()．

A，4對B．5對C ．6對D．7對

(“數(shù)學(xué)新蕾”競賽題)

16．如圖，若AB∥CD，則()．

A．∠1＝∠2+∠3B．∠1＝∠3一∠

2C．∠1+∠2+∠3＝180°∠l一∠2十∠3＝180°

17．如圖，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，則∠BAC+∠ACE+∠CEH等于()．A．180°B．270°C． 360°D．450°

18．如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關(guān)系是()．

A． β=α+γB．α+β+γ＝180°

C．α+β－γ＝180° D．β+γ－α＝180°

19．如圖，已知AB∥CD，P為HD上任意一點，過P點的直線交HF于O點，試問：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎樣的關(guān)系?用式子表示并證明．

20．如圖，已知AB∥CD，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D，證明：β=2α． 21．平面上有7條不同的直線，如果其中任何三條直線都不共點．

(1)請畫出滿足上述條件的一個圖形，并數(shù)出圖形中各直線之間的交點個數(shù)；(2)請再畫出各直線之間的交點個數(shù)不同的圖形(至少兩個)；

(3)你能否畫出各直線之間的交點個數(shù)為n的圖形，其中n分別為6，2l，15？(4)請盡可能多地畫出各直線之間的交點個數(shù)不同的圖形，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? 22．如圖，已知射線CB∥OA，∠C＝∠OAB=100°，E、F在CB上，且滿足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．(1)求∠EOB的度數(shù)．

(2)若平行移動AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否隨之發(fā)生變化?若變化，找出變化規(guī)律；

若不變，求出這個比值．

(3)在平行移動AB的過程中，是否存在某種情況，使∠OEC＝∠OBA?若存在，求出其度數(shù)；若不存在，說明理由．

第二篇：數(shù)學(xué)：3.5平行線的性質(zhì)與判定(第3課時)教案(湘教版七年級下)

3.5.2平行線的判定(2)

教學(xué)目標：

1、進一步掌握推理、證明的基本格式，掌握平行線判定方法的推理過程。

2、學(xué)習(xí)簡單的推理論證說理的方法。

3、通過簡單的推理過程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生進行數(shù)學(xué)推理的習(xí)慣和方法，同時培養(yǎng)提高學(xué)生“觀察－分析－推理－論證”的能力。

教學(xué)重點：平行線判定方法2和判定方法3的推理過程及幾何解題的基本格式 教學(xué)難點：判定定理的形成過程中邏輯推理及書寫格式。教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

1、敘述平行線的判定方法1

2、結(jié)合圖形用數(shù)學(xué)語言敘述平行線的判定方法1。

3、我們學(xué)習(xí)習(xí)近平行線的性質(zhì)定理時，有幾條定理？那么兩條直線平行的判定方法除了方法外，是否還有其他的方法呢？

二、探究新知

1、如下圖，兩條直線a、b被第三條直線c所截，有一對內(nèi)錯角相等，即 ∠1＝∠2，那么a與b平行嗎？

分析后，學(xué)生填寫依據(jù)。解：因為∠1＝∠2（已知）

∠1＝∠3（對頂角相等）

所以 ∠2＝∠3（等量代換）

所以 a∥b（同位角相等，兩直線平行）

2、如下圖，兩條直線a、b被第三條直線c所截，有一對同旁內(nèi)角互補，即 ∠1＋∠2＝180°，那么a與b平行嗎？

分析后，學(xué)生填寫依據(jù)。

解：因為∠1＋∠2＝180°（已知）

∠1＋∠3＝180°（鄰補角的概念）

所以 ∠2＝∠3（等式的性質(zhì)）

所以 a∥b（同位角相等，兩直線平行）

3、歸納平行線的判定方法2和判定方法3平行線的判定方法2 兩直線被第三條直線所截，有一對內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。

平行線的判定方法3 兩直線被第三條直線所截，有一對同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。

4、歸納所學(xué)的三條判定方法的簡單表述形式：

同位角相等，兩直線平行。內(nèi)錯角相等，兩直線平行。同六內(nèi)角互補，兩直線平行。

5、P66做一做

用兩個相同的三角形，可以拼成一個四邊形，拼成的四邊形的對邊互相平行嗎？

6、講解P66的例題 如圖已知AB∥CD，∠ABC＝∠ADC。問AD∥BC嗎？

解：因為AB∥CD（已知）

所以 ∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又 因為 ∠ABC＝∠ADC（已知）所以 ∠ABC－∠1＝∠ADC－∠2 即 ∠4＝∠3（等式的性質(zhì)）

所以 AD∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。

三、小結(jié)與練習(xí)

1、練習(xí)P66 1至3小題

2、小結(jié)：三條判定方法的使用及性質(zhì)定理的應(yīng)用，注意它們的題設(shè)和結(jié)論。

四、布置作業(yè)

P69 B組 2、3小題 后記：

第三篇：奧數(shù)第7講.競賽123班.教師版_染色與操作問題

五年級奧數(shù)

第十三講

染色中的抽屜原理 例1:平面上有ABCDE點。。

染色問題

這里的染色問題不是要求如何染色，然后問有多少種染色方法的那類題目，它指的是一種解題方法。染色方法是一種將題目研究對象分類的形象化方法，通過將問題中的對象適當(dāng)染色，我們可以更形象地觀察分析出其中所蘊含的關(guān)系，再經(jīng)過一定的邏輯推理，便能得出問題的答案。這類問題不需要太多的數(shù)學(xué)知識，但技巧性、邏輯性較強，要注意學(xué)會幾種典型的染色方法。

【例1】 六年級一班全班有35名同學(xué)，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每個座位的前后左右四個位置都叫作它的鄰座。如果要讓這35名同學(xué)各人都恰好坐到他的鄰座上去，能辦到嗎？為什么？

【分析】 劃一個5?7的方格表，其中每一個方格表示一個座位。將方格黑白相間地染上顏色，這樣黑色座位與白色座位都成了鄰座。因此每位同學(xué)都坐到他的鄰座相當(dāng)于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格。但實際上圖中有17個黑格，18個白格，黑格與白格的個數(shù)不相等，故不能辦到。

【例2】 右圖是學(xué)校素質(zhì)教育成果展覽會的展室，每兩個相鄰的展室之間都有門相通。有一個人打算從A室開始依次而入，不重復(fù)地看過各室展覽之后，仍回

A到A室，問他的目的能否達到，為什么？

【分析】 采用染色法。如右下圖，共有9個展覽室，對這9個展覽室，黑白相間地進行染色，從白室A出發(fā)走過第1扇門必至黑室，再由黑室走過第2扇門至白室，由于不重復(fù)地走遍每一間展覽室，因A此將走過黑白相間的8個展覽室，再回到白室A，共走過9扇門。由于走過奇數(shù)次門至黑室，走過偶數(shù)次門至白室。現(xiàn)在，走過9扇門，必至黑室，所以無法回到原來的白室A。

[鞏固] 有一次車展共6?6?36個展室，如右圖，每個展室與相鄰的展室都有門相通，入口和出口如圖所示。參觀者能否從入口進去，不重復(fù)地參觀完每個展室再從出口出來?

[分析] 如右下圖，對每個展室黑白相間染色，那么每次只能從黑格到白格或從白格到黑格。由于入口處和出口處都是白格，而路線黑白相間，首尾都是白格，于是應(yīng)該白格比黑格多1個，而實際上白格、黑格都是18個，故不可能做到不重復(fù)走遍每個展室。

【例3】 右圖是半張中國象棋盤，棋盤上放有一只馬。眾所周知，馬是走“日”字的。請問：這只馬能否不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每一個點，然后回到出發(fā)點？

【分析】 馬走“日”字，在中國象棋盤上走有什么規(guī)律呢？為方便研究規(guī)律，如下圖所示，先在棋盤各交點處相

馬間標上○和●，圖中共有22個○和23個●。因為馬走“日”字，每步只能從○跳到●，或由●跳到○，所以馬從某點跳到同色的點（指○或●），要跳偶數(shù)步；跳到不同色的點，要跳奇數(shù)步?，F(xiàn)在馬在○點，要跳回這一點，應(yīng)跳偶數(shù)步，可是棋盤上共有23?22?45個點，所以不可能做到不重復(fù)地走遍所有的點后回到出發(fā)點。

討論：如果馬的出發(fā)點不是在○點上而是在●點上，那么這只馬能不能不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每個點，最后回到出發(fā)點上呢？按照上面的分析，顯然也是不可能的。但是如果放棄“回到出發(fā)點”的要求，那么情況就不一樣了。從某點出發(fā)，跳遍半張棋盤上除起點以外的其它44個點，要跳44步，44是偶數(shù)，所以起點和終點應(yīng)是同色的點（指○或●）。因為44步跳過的點○與點●各22個，所以起點必是●，終點也是●。也就是說，當(dāng)不要求回到出發(fā)點時，只要從●出發(fā)，就可以不重復(fù)地走遍半張棋盤上的所有點。

【例4】 右圖是由14個大小相同的方格組成的圖形。試問能不能剪裁成7個由相鄰兩方格組成的長方形？

【分析】 將這14個小方格黑白相間染色（見右下圖），有8個黑格，6個白格。相鄰兩個方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7個小長方形，那么14個格應(yīng)當(dāng)是黑、白各7個，與實際情況不符，所以不能剪裁成7個由相鄰兩個方格組成的長方形。

【例5】 11個 和5個能否蓋住8?8的大正方形？

【分析】 如右圖，對8?8的正方形黑白相間染色后，發(fā)現(xiàn)必然蓋住2白2黑，5個則蓋住10白10黑。

則蓋住了3白1黑或3黑1白，從奇偶性考慮，都是奇數(shù)。而這種形狀共11個，奇數(shù)個奇數(shù)相加仍為奇數(shù)，故這種形狀蓋住的黑格和白格都是奇數(shù)，加上另一種形狀的10白10黑，兩種形狀共蓋住奇數(shù)個白格奇數(shù)個黑格。但實際染色后共32個白格32個黑格，故不可能按題目要求蓋住。注意：本題中每個

蓋3白1黑或3黑1白，11個這種形狀蓋住的不一定是33白11黑或33黑11白，因為可能一部分蓋3白1黑，另一部分蓋3黑1白。這是一個容易犯錯的地方。

[前鋪] 能否用9個

所示的卡片拼成一個6?6的棋盤？

[分析] 不能。將6?6的棋盤黑白相間染色（見右圖），有18個黑格。而每張卡片蓋住的黑格數(shù)只能是1或者3，所以每張卡片蓋住的黑格數(shù)是個奇數(shù)，9張卡片蓋住的黑格數(shù)之和也是奇數(shù)，不可能蓋住18個黑格。

[鞏固] 如右圖，缺兩格的8?8方格有62個格，能否用31個隙?

[分析] 這種覆蓋問題是典型的用染色方法解決的問題之一。用

來覆蓋，則用黑白相間染圖不重復(fù)地蓋住它且不留空

色，可以發(fā)現(xiàn)它無論橫放、豎放，必然蓋住一白一黑。要不重復(fù)不留空白，那總共蓋住的黑格數(shù)與白格數(shù)應(yīng)該相等。但從染色后整個圖來看，黑格30個，白格32個，故不可能將整個圖不重不漏地蓋住。

【例6】 用若干個2?2和3?3的小正方形能不能拼成一個11?11的大正方形？請說明理由。

【分析】 如右圖所示，將2?2或3?3的小正方形沿格線擺在右圖的任何位置，必定蓋住偶數(shù)個陰影方格，而陰影方格共有77個，是奇數(shù)，所以只用2?2和3?3的小正方形，不可能拼成11?11的大正方形。

[拓展] 1個2?2正方形和15個4?1長方形能不能拼出8?8的大正方形?請說明理由。

[分析] 若仍然將8?8的大正方形黑白相間染色，則2?2和

必須尋找其他的4?1兩種形狀蓋住的都是兩白兩黑。染色方法。新的方法必須使得2?2和4?1長方形無論放在何處，都分別符合一定的規(guī)律。采用如右圖的染色方法，則：4?1長方形必蓋住兩黑兩白，共15個4?1，蓋住30黑30白；2?2長方形可蓋住3白1黑或3黑1白?？梢园l(fā)現(xiàn)，總共只能蓋住31黑33白或31白33黑，而圖中實際有32個黑格32個白格，故不可能用15個4?1和1個2?2的長方形蓋住8?8的大正方形。對區(qū)域染色也可理解為對多個方格染色，但此時方格染色范圍更廣，染色方案更加靈活。

【分析】 如果我們可以把6個電話或8個電話做到每臺電話與5個電話相連接，我們可以將2002分成6個一組的共331組以及8個一組的共2組。如下圖，每個點代表一臺電話，每條線段表示其兩個端點為相連接的兩臺電話，左圖為6臺電話的情形，右圖為8臺電話的情形。所以我們可以把2002臺電話中的每臺電話恰好與其它5臺相連。

【例9】 下圖是八間房子的示意圖，相鄰兩間房子都有門相通。從A點穿過房間到達B處，如果只能從小號碼房間走向大號碼房間，那么共有多少種不同的走法？

2468A

【分析】 8只有一個口，只能選擇進B；7有兩種選擇，1357B可以選擇進B也可以選擇進8，所以7有2種走

法；依此類推，每間房間的走法種數(shù)如下：8?1;7?2;6?3;5?5;4?8;3?13;2?21;1?34。所以從A點開始有21?34?55（種）。

【例11】 右圖是一個4?5的方格盤。先將其中的4個方格染黑，然后按以下規(guī)則繼續(xù)染色：如果某個格與兩個黑格都有公共邊，就將這個格染黑。這樣操作下去，能否將整個方格盤都染成黑色？

【分析】 開始時染黑4個方格，這4個方格的總周長不會超過4?4?16，以后每染一個格，因為這個格至少與兩個黑格有公共邊，所以染黑后，所有黑格的總周長不會增加。也就是說，所有黑格的總周長永遠不會超過16，而4?5方格盤的周長是18，所以不能將整個方格盤都染成黑色。

【例12】

如圖，圖1的8?8方格中交替填滿了0和1，圖2是從圖1中任意位置截取的、、三種圖形，并對每種圖形進行操作：每個小方格同時加1或同時減1，如此反復(fù)多次，再將這三種圖形不重疊地拼成的。問：圖2中的A格中的數(shù)字應(yīng)該是多少？

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第四篇：《全等三角形的判定與性質(zhì)》(第3課時)教案 探究版

《全等三角形的判定與性質(zhì)》（第3課時）教案 探究版教學(xué)目標

知識與技能

1．進一步熟悉作為證明基礎(chǔ)的全等三角形的三條基本事實． 2．初步感受三角形有關(guān)結(jié)論證明的基本思路和方法． 過程與方法

在體驗證明的過程中明確推理證明的基本要求，明確條件和結(jié)論，能夠用數(shù)學(xué)的符號語言正確表達．

情感、態(tài)度

培養(yǎng)學(xué)生合作交流、獨立思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣． 教學(xué)重點

在作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的基礎(chǔ)上，嘗試三角形相關(guān)結(jié)論的證明． 教學(xué)難點

明確推理證明的基本要求．能否用數(shù)學(xué)語言正確表達等． 教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

在《平行線的有關(guān)證明》一章中，我們已經(jīng)認識了八條基本事實，并從其中的基本事實出發(fā)證明了有關(guān)平行線的一些結(jié)論．

其中與三角形全等的基本事實有哪三條？

提示：1．三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（SSS）2．兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（SAS）3．兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（ASA）

利用這些基本事實我們可以證明許多幾何結(jié)論，今天我們就來嘗試證明．

設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)回顧，讓學(xué)生進一步鞏固作為證明基礎(chǔ)的一些基本事實，引導(dǎo)學(xué)生步入嘗試推理認證殿堂，從而調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性．

二、探究新知

如圖，已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的邊與角．

圖中相等的邊是：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF． 相等的角是：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F． 我們已經(jīng)探索過“兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等”這個結(jié)論，下面我們共同來探究如何用基本事實和已經(jīng)證過的定理來證明它．

（一）首先，將文字語言描述的命題用符號語言表示出來，并分別寫出已知、求證．

（二）然后進行解題分析，可以采用逆向思維的方式，尋找使兩個三角形全等的條件．

（三）寫出證明過程，證明過程要以公理和已證明過的定理為基礎(chǔ)，做到每步都應(yīng)有根有據(jù)．

已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，AB＝A′B′．（如圖所示）

求證：△ABC≌△A′B′C′．

AA'BCB'C'

分析：要證△ABC≌△A′B′C′，根據(jù)基本事實和題目的已知，只要證∠A＝∠A＇就可以了．

證明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，① 在△A＇B＇C＇中，∠A＇＋∠B＇＋∠C＇＝180°．

② 由①得∠A＝180°－∠B－∠C，由②得∠A＇＝180°－∠B＇－∠C＇． ∵∠B＝∠B＇，∠C＝∠C＇．∴∠A＝∠A＇．

又∵AB＝A＇B＇，∠B＝∠B＇，∴△ABC≌△A＇B＇C＇（ASA）． 通過上面的證明我們得到以下定理：

文字語言：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等．（AAS）符號語言：

在△ABC與△A′B′C′中，∵∠A=∠A′，∠C=∠C′，AB=A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.此定理在以后和證明中可直接運用．

設(shè)計意圖：我們把三角形的內(nèi)角和定理和“ASA”公理作為證明的基礎(chǔ)，按照一定的程序步驟完成了結(jié)論的證明，證明過程中著重講清楚分析過程和解題步驟．

三、典例精講 例

1已知：如圖，線段AB和CD相交于點O，線段OA=OD，OC=OB 求證：AC=BD，∠A=∠D

AODCB

分析：證明一個命題的正確性，要按“已知”“求證”“證明”的順序和格式寫出，其中“已知”是命題的條件，“求證”是命題的結(jié)論，而“證明”是由條件（已知）出發(fā)，根據(jù)已給出的定義、基本事實和已證明的定理，經(jīng)過一步步的推理最后證實結(jié)論的過程．

證明：在△OAC和△ODB中，∵ OA=OD，∠AOC=∠BOD，OC=OB，∴△OAC≌△ODB（SAS）．

∴ AC=BD，∠A=∠D（全等三角形的定義）．

設(shè)計意圖：通過此例讓學(xué)生學(xué)會在三角形中，要證線段或角相等，只要證明三角形全等就可以了．

例2．如下圖△ABC是一個鋼架，AB＝AC，AD是連接點A與BC中點D的支架，求證：△ABD≌△ACD．

AB證明：∵D是BC的中點，∴BD＝DC．

在△ABD和△ACD中，?AB?AC，? ?BD?CD，?AD?AD，?DC ∴△ABD≌△ACD（SSS）．

設(shè)計意圖：運用“邊邊邊”判定方法證明簡單的幾何問題，感悟判定方法的簡捷性，體會證明過程的規(guī)范性．

例3．如圖，點E、F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，BE＝CF，B、E、F、C在同一直線上，求證：△ABF≌△DCE．

AD

BE證明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．

FC?AB＝DC，?在△ABF和△DCE中，?AF＝DE，?BF＝CE，?∴△ABF≌△DCE（SSS）．

設(shè)計意圖：通過此例，加深學(xué)生對證明的過程與格式的認識． 方法總結(jié)：證明的一般步驟：（1）根據(jù)題意，畫出圖形．

（2）根據(jù)條件、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證．

（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出結(jié)論的途徑，寫出證明過程，并注明依據(jù)．

四、課堂練習(xí)

1．已知：如圖，AB＝AD，BC＝DC，求證：△ABC≌△ADC．

2．已知：如圖，AB＝DC，AD＝BC． 求證：∠A＝∠C．

提示：要證明∠A＝∠C，可設(shè)法使它們分別在兩個三角形中，為此只要連接BD即可． 第1題學(xué)生獨立完成，第2題學(xué)生獨立思考后，教師點撥． 答案：1．證明：在△ABC和△ADC中，?AB?AD，? ?BC?DC，?AC?AC，?∴△ABC≌△ADC（SSS）． 2．證明：連接BD． 在△BAD和△DCB中，?AB?CD，? ?BD?DB，?AD?CB，?∴△BAD≌△DCB（SSS）．

∴∠A＝∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）．

設(shè)計意圖：通過練習(xí)，熟悉全等三角形判定的證明格式，通過解題實踐，鍛煉學(xué)生探索與發(fā)現(xiàn)問題的能力．

五、課堂小結(jié) 1．基本事實與定理：

基本事實：（1）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（SSS）（2）兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（SAS）（3）兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（ASA）

定理：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等．（AAS）2．證明步驟：（1）根據(jù)題意，畫出圖形．

（2）根據(jù)條件、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證．

（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出結(jié)論的途徑，寫出證明過程，并注明依據(jù)． 設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生歸納整理知識的能力和習(xí)慣．

六、布置作業(yè)

1．如圖，AB＝CD，AC＝BD，△ABC和△DCB是否全等？試說明理由．

2．已知，如圖，線段AB和CD相交于點O，線段OA=OD，OC=OB． 求證：△OAC≌△ODB．

AODCB

3．如圖，已知AB＝CD，AD＝CB，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，且DE＝BF．求證∠ADE＝∠CBF．

答案：

1．解：△ABC≌△DCB． 理由如下：

在△ABC和△DCB中，?AB?DC，? ?AC?DB，?BC?CB，?∴△ABC≌△DCB（SSS）．

2．證明：∵線段AB和CD相交于點O，∴∠AOC=∠DOB，又∵在△OAC和△ODB中，OA=OD，OC=OB，∴△OAC≌△ODB．（SAS）．

3．證明：∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，∴AE＝112AB，CF＝2CD． 又∵AB＝CD，∴AE＝CF．

在△ADE與△CBF中，??AD?CB，?DE?BF，??AE?CF，∴△ADE≌△CBF（SSS）．

∴∠ADE＝∠CBF（全等三角形對應(yīng)角相等）．

七、課堂檢測

1．如圖，已知AB＝AC，BD＝DC，那么下列結(jié)論中不正確的是（）．A．△ABD≌△ACD B．∠ADB＝90° C．∠BAD是∠B的一半 D．AD平分∠BAC

ABDC

2．如圖，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=25°，則∠BED的度數(shù)是（A．70° B． 85° C． 65° D． 以上都不對）CEAOBD

3．如圖，AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，∠BAC＝72°，∠F＝32°，則∠ABC＝ ．

DAEBFC

4．如圖，是一個風(fēng)箏模型的框架，由DE＝DF，EH＝FH，說明∠DEH＝∠DFH．試用你所學(xué)的知識說明理由．

5．如圖，已知線段AB，CD相交于點O，AD，CB的延長線交于點E，OA＝OC，EA＝EC，請說明∠A＝∠C．

6．已知:如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求證：△ABD≌△CDB．

ADB

答案：

1．C．利用SSS證明兩個三角形全等．2．A

C

3．76°．先證明全等，再利用全等三角形的對應(yīng)角相等和三角形內(nèi)角和定理． 4．證明：由已知DE＝DF，EH＝FH，連接DH，這是兩三角形的公共邊，于是，在△DEH和△DFH中，?DE?DF，? ?EH?FH，?DH?DH，?∴△DEH≌△DFH（SSS）．

∴∠DEH＝∠DFH（全等三角形的對應(yīng)角相等）．

5．分析：已知OA＝OC，EA＝EC，OA，EA和OC，EC恰好分別是△EAO和△ECO的兩條邊，故可以構(gòu)造兩個三角形，利用全等三角形解決．

證明：連接OE． 在△EAO和△ECO中，?OA?OC，? ?EA?EC，?OE?OE，?∴△EAO≌△ECO（SSS）．

∴∠A＝∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）．

6．證明：∵AB∥CD，AD∥BC ∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，又BD為兩三角形的公共邊，∴△ABD≌△CDB．（AAS）

第五篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第22講 面積問題與面積方法

全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集

第二十二講 面積問題與面積方法

幾何學(xué)的產(chǎn)生，源于人們測量土地面積的需要．面積不僅是幾何學(xué)研究的一個重要內(nèi)容，而且也是用來研究幾何學(xué)的一個有力工具．

下面，我們把常用的一些面積公式和定理列舉如下．

(1)三角形的面積

(i)三角形的面積公式

b＋c)是半周長，r是△ABC的內(nèi)切圓半徑．

(ii)等底等高的兩個三角形面積相等．

(iii)兩個等底三角形的面積之比等于高之比；兩個等高三角形的面積之比等于底邊之比；兩個三角形面積之比等于底、高乘積之比．

(iv)相似三角形的面積之比等于相似比的平方．

(2)梯形的面積

梯形的面積等于上、下底之和與高的乘積的一半．

(3)扇形面積

其中r為半徑，l為弧長，θ為弧l所對的圓心角的度數(shù)，α是弧度數(shù)．

1．有關(guān)圖形面積的計算和證明

解 因為CD⊥AB，AC=CB，且△ABD內(nèi)接于半圓，由此可得

所以，陰影部分AEFBDA的面積是

例2 已知凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且△ABC，△ACD，△ABD的面積分別為S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO的面積(圖2-128)．

解 首先，我們證明△ABC與△ACD的面積比等于BO與DO的比．過B，D分別作AC的垂線，垂足為E，F(xiàn)．于是Rt△BEO

由題設(shè)

設(shè)S△AOB=S，則

所以

例3 如圖2-129，AD，BE，CF交于△ABC內(nèi)的一點P，并將△ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形的面積已在圖中給出．求△ABC的面積．

分析 如果能把未知的兩個小三角形的面積求出，那么△ABC的面積即可得知．根據(jù)例1，這兩個面積是不難求出的．

解 設(shè)未知的兩個小三角形的面積為x和y，則

即

又

即

①÷②得

再由②得x=56．因此

S△ABC＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．

例4 如圖2-130，通過△ABC內(nèi)部一點Q引平行于三角形三邊的直線，這些直線分三角形為六個部分，已知三個平形四邊形部分的面積為S1，S2，S3，求△ABC的面積．

解 為方便起見，設(shè)

S△QDG=S′1，S△QIE=S′2，S△QFH=S′3，則

所以

同理可得

從①，②，③中可以解得

所以

例5 在一個面積為1的正方形中構(gòu)造一個如圖2-131所示的正方形：將單位正方形的每一條邊n等分，然后將每個頂點和它相對的頂點最接近的分點連接起來．如果小正方形(圖中陰影部分)的面積恰

解 如圖2-131，過F作BC的平行線交BG于H，則∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故

n2-n-90=0，所以n=10．

2．利用面積解題

有的平面幾何問題，雖然沒有直接涉及到面積，然而若靈活地運用面積知識去解答，往往會出奇制勝，事半功倍．

例6 在△ABC內(nèi)部或邊界上任取一點P，記P到三邊a，b，c的距離依次為x，y，z．求證：ax+by+cz是一個常數(shù)．

證 如圖2-132，連結(jié)PA，PB，PC，把△ABC分成三個小三角形，則

S△ABC＝S△PAB＋S△PCB＋S△PCA

所以 ax＋by＋cz=2S△ABC，即ax＋by＋cz為常數(shù)．

說明 若△ABC為等邊三角形，則

此即正三角形內(nèi)一點到三邊的距離和為常數(shù)，此常數(shù)是正三角形的高．

例7 如圖2-133，設(shè)P是△ABC內(nèi)任一點，AD，BE，CF是過點P且分別交邊BC，CA，AB于D，E，F(xiàn)．求證：

證 首先，同例2類似，容易證明

說明 本例的結(jié)論很重要，在處理三角形內(nèi)三條線交于一點的問題時，常?？梢杂眠@一結(jié)論去解決．

例8 如圖2-134，已知D，E，F(xiàn)分別是銳角三角形ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且AD，BE，CF相交于點P，AP=BP=CP=6，設(shè)PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．

解 由上題知

去分母整理得

3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324

=xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216，所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．

練習(xí)二十二

1．填空：

________．

(2)一個三角形的三邊長都是整數(shù)，周長為8，則這個三角形的面積是________．

(3)四邊形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，則四邊形ABCD的面積是______．

(4)梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC與BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，則SABCD=____．

ABC

△=40．若BE，CD相交于F，則S△DEF=______．

2．E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的邊BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面積分別是3，4，5，求△AEF的面積．

3．已知點P，Q，R分別在△ABC的邊AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面積的最大值．

4．在凸五邊形ABCDE中，S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1，CE與AD相交于F，求S△CFD．

5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分別是高和角平分線，且△ABE，△AED的面積分別為S1=30，S2=6，求△ADC的面積S．

6．設(shè)P是△ABC內(nèi)一點，AD，BE，CF過點P并且交邊BC，CA，AB于點D，E，F(xiàn)．求證：

7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM為BC邊上的中線，與DE相交于N，求證：DN=NE．