第一篇：第八章觀察、猜想與證明水平測(cè)試(二)

新思維 初一下學(xué)期數(shù)學(xué)測(cè)試Page 1 of

5七年級(jí)下冊(cè)第八章觀察、猜想與證明水平測(cè)試

跟蹤反饋 挑戰(zhàn)自我一、相信你的選擇！（每小題3分，共24分）

1.如圖1，直線a、b被直線c所截，下列說法正確的是【】

（A）當(dāng)?1??2時(shí)，一定有a//b（B）當(dāng)a//b時(shí)，一定有?1??

2（C）當(dāng)a//b時(shí)，一定有?1??2?180?（D）當(dāng)a//b時(shí)，一定有?1??2?90?

圖

1圖2 圖

32.如圖2，下列說法： ①?

1、?B是同位角；②?

2、?3是內(nèi)錯(cuò)角 ；③ ?

1、?2是同旁內(nèi)角 ；④?

2、?C是同位角.其中正確的有【】（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

3.將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖3所示放置，下列結(jié)論：（1）?1??2；（2）?3??4；（3）?2??4?90?；（4）?4??5??，其中正確的個(gè)數(shù)是【】

（A）1（B）2（C）3（D）4 4.如圖4，在平行四邊形ABCD中，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，若?1?60?，則?D的度數(shù)為【】

（A）120?（B）100?（C）90?（60?

圖4 圖5 圖6

5.如圖5,AB//EF//DC，EG//BD, 則圖中與?1相等的角共有【】（A）6個(gè)（B）5個(gè)（C）4個(gè)（D）2個(gè)

6.如圖6，AB//CD，直線PQ分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，F(xiàn)G是?EFD的平分線，交AB于點(diǎn)G.若?PFD?140?，那么?FGB等于【】(A)80?(B)100?(C)110?(D)120?

7.如圖7l1//l2的是【】

（A）?1??3）56（C）?4??5?180?（D）?2??4?180?圖7 圖8

8，再展開，如果?2?68?，那么∠1等于【】）56（B）（C）66?（D）68?

（每小題3分，共24分）

9.9，請(qǐng)?zhí)顚懸粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：___________,使得DE//AB.圖9

圖10 圖1

1圖1

210.如圖10，用吸管吸易拉罐內(nèi)的飲料時(shí)，?1

＝110?，則?2＝.11.如圖11，木工師傅將角尺沿工件邊緣移動(dòng)畫出直線AB和CD，那么AB和CD的關(guān)系是，依據(jù)是.12.如圖12，有一把直尺AB和一個(gè)三角板如圖擺放，直角頂點(diǎn)C在AB上，?E?30?，?DCA??ECB，然后將三角板繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，那么至少旋轉(zhuǎn) 度，可以使DE//AB.13.如圖13，AB//CD，?C?65?，CE?BE，垂足為E，則?B的度數(shù)為．

路，這條馬路與?AOB的平分線有交點(diǎn)D，計(jì)劃在OA邊建一個(gè)購(gòu)物商場(chǎng)E,使D到

E最近，請(qǐng)畫出規(guī)劃圖.圖21 22.如圖，已知AB//CD，BE平分?ABC，DE平分?ADE，?BAD?80?.（1）?EDC的度數(shù)；

（2）若?BCD?50?，試求?BED的度數(shù)。

圖22

提升能力 超越自我（備選）

一、相信你的選擇！

1.如圖23，AB//CD，AE?EG，則圖中與?A】（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè) 2.如圖24，小明從A 處出發(fā)沿北偏東60°B20°方向行走至 C】（A）右轉(zhuǎn)80°（B）左轉(zhuǎn)80°（C）右轉(zhuǎn)100°（3.如圖25,給出下列條件:①?1??2;?3??;③AD//BE,且?D??B;④AD//BE,且?BAD??BCD.其中,能AB//DC的條件為【】

(A)①(B)②(C)②③(D)②③④ 4.如圖26，CD//BE，則?2??3??1的度數(shù)為【】

（A）90?（B）120?（C）150?（D）180?

圖2

3圖24 圖25 圖26

圖27

5.如圖27?、??、??的大小關(guān)系是【】(A)?????(C)?????(D)?????

】

②過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行④平行于同一條直線的兩條直線平行 個(gè)（B個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)圖28

圖29 圖30 7.如圖28，?DCA??BAC，?DAB??BCD，給出下列結(jié)論：①AB//DC；② AD//BC；③?B??D；④?BAC??DAC.其中正確的結(jié)論有.（填序號(hào)）.8.如圖29，已知AB//CD，EG平分?BEF，如果?2?70?，那么?1?

9.如圖30，有一把直尺AB和一個(gè)三角板如圖擺放，直角頂點(diǎn)C在AB上，?E?30?，?DCA??ECB，然后將三角板繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，那么至少旋轉(zhuǎn)度，可以使DE//AB.

第二篇：初二數(shù)學(xué)證明水平測(cè)試

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第六章證明水平測(cè)試

一、試試你的身手（每小題3分，共24分）

1．舉出反例說明“如果AB=BC，那么點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)”是個(gè)假命題：．

2．把命題“對(duì)頂角相等”改寫成“如果?，那么?”的形式． 3．△ABC的三個(gè)外角度數(shù)比為3∶4∶5，則它的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為．

4．如圖1所示，∠1?∠2?180?，若∠3?50?，則∠4?．

5．如圖2所示，AD∥EF∥BC，∠BDC=∠DFE=75?，則∠DBC?．

6．如圖3所示，△ABC中，∠ACD?115?，∠B?55?，則∠A?，∠ACB?．

?7．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)I，若∠A?60，則

∠BIC?．

?8．如圖4，AD∥BC，∠A=135，∠C=65?．則∠B與∠D的度數(shù)和是．

二、相信你的選擇（每小題3分，共30分）

1．下列語句是命題的是（）

A．你吃過午飯了嗎？

B．過點(diǎn)A作直線MN

C．同角的余角相等

D．紅撲撲的臉蛋

2．下列命題是真命題的是（）

A．同旁內(nèi)角互補(bǔ)

B．直角三角形的兩銳角互余

C．三角形的一個(gè)外角等于它的兩個(gè)內(nèi)角之和

D．三角形的一個(gè)外角大于內(nèi)角

3．命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的條件是（）

A．垂直

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B．兩條直線

C．同一條直線

D．兩條直線垂直于同一條直線

4．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)比為2∶3∶4，則這個(gè)三角形是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形 5．如果∠A和∠B的兩邊互相平行，則∠A和∠B（）A．相等B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ)

D．無法確定

6．如圖5，下列條件中，不能判定直線AB∥CD的是（）A．∠BAD?∠ADCB．∠AEC?∠ADCC．∠AEF?∠GCE

7．如圖6，AB∥EF，∠C?90?，則?，?，?的關(guān)系為（）A．?????

B．??????180?D．??????90?

D．∠AEC?∠GCE ?180?

C．??????90?

8．輪船航行到C處時(shí)，觀測(cè)到小島的方向是北偏西35°那么同時(shí)從小島觀測(cè)到輪船的方向是（）

A．南偏西35°B．北偏西35°C．南偏東35°D．南偏55° 9．兩條直線被第三條直線所截，則有（）A．同位角相等B．內(nèi)錯(cuò)角相等 C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)

D．以上結(jié)論都不對(duì)

10．如圖7，已知BE是∠ABD的角平分線，CF是∠ACD的?

角平分線，BE、CF交于G，若∠BDC?140，∠BGC?110，則∠A的大小是（）

?

A．70°B．75°C．80°D．85°

三、挑戰(zhàn)你的技能（本大題共54分）

∠C?∠ABC?2∠A，BD?AC，1．（9分）如圖8，已知△ABC中，垂足為D，求∠DBC的度數(shù)．

2．（9分）圖9所示為一大型四邊形廣告牌，此廣告牌要求AB、CD兩邊所在直線成 30°角，AD、BC兩邊所在直線成20°角．你能通過測(cè)量∠A、∠B、∠C、∠D的度數(shù)來檢測(cè)制成的廣告牌是否符合要求嗎？若不能，說明理由；若能檢測(cè)，說明具體的操作步驟．

3．（9分）如圖10，∠A=∠C．求證：∠ADB=∠CEB．

4．（9分）如圖11，四邊形ABCD中，請(qǐng)你利用“三角形內(nèi)角和定理”證明“四邊形的內(nèi)角和等于360°”．

∠FEC=∠GHB，HG?AB于G．5．（9分）如圖12，求證：CE?AB． ∠AEF?∠B，6．（9分）已知：在圖13中，AD?BC于D，EG?BC于G，且∠E?∠3． 求證：AD平分∠BAC．

四、拓廣探索（本題12分）

四邊形是大家最熟悉的圖形之一，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì)，只要善于觀察，樂于探索，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論．

（1）如圖14中，四邊形一條對(duì)角線上任意一點(diǎn)與另外兩個(gè)頂點(diǎn)的連線，將四邊形分成四個(gè)三角形，其中相對(duì)的兩個(gè)三角形的面積之積相等．你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？試試看，已知:在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)．求證：S△OBC?S△OAD=S△OAB?S△OCD；（2）如圖15，在△ABC中，你能否歸納出類似的結(jié)論？若能，寫出你猜想的結(jié)論，并證明，若不能，說明理由．

《證明

（一）》水平測(cè)試題參考答案

一、1．略

2．如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等 3．90°，60°，30° 4．50° 5．30° 6．60°，65° 7．120°

8．160°

二、1．C 2．B 3．D 4．A 5．C 6．B 7．D 8．C 9．D 10．C

三、1．解：設(shè)∠A?x，依題意，有x?2x?2x?180．

?

解這個(gè)方程，得x?36．所以∠C?72．

?????

在△BDC中，????

∠DBC?180?90?72?18．

2．答：能檢測(cè)．

檢測(cè)：∠B?∠C?150?，此時(shí)AB，CD兩直線的夾角為30°． 檢測(cè)：∠C?∠D?160?，此時(shí)DA，CB兩直線的夾角為20°． 依據(jù)三角形內(nèi)角和為180°．

3．因?yàn)椤螦?∠B?∠ADB=∠C?∠B?∠CEB，又因?yàn)椤螦=∠C，∠B=∠B，所以∠ADB=∠CEB．

4．連接AC．因?yàn)椤螧?∠BAC?∠ACB?180?，∠D?∠DAC?∠ACD?180?，??

所以(∠B?∠BAC?∠ACB)?(∠D?∠DAC?∠ACD)=1

第三篇：中點(diǎn)四邊形猜想與證明

中點(diǎn)四邊形猜想與證明

大連市第四十四中學(xué)初二八班***

猜想：四邊形中點(diǎn)連線為平行四邊形

即：如圖1-1，在四邊形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點(diǎn)

求證：四邊形EFGH為平行四邊形

證明：如圖∵E、F為AD、AB的中點(diǎn)

∴EF//BD（三角形的中位線平行于第三邊）

同理：HG//BD

∴HG//EF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

同理：EH//FG

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行

四邊形）

FH

圖1-1圖1-2 B

那么：由已知條件：EF=HG=1/2BDFG=EH=1/2AC(三角形中位線定理)因?yàn)椤坝幸唤M鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，所以當(dāng)EF=GF時(shí)，即1/2BD=1/2AC，即BD=AC時(shí)，平行四邊形EFGH是菱形

猜想：當(dāng)一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線相等時(shí)，其中點(diǎn)四邊形是菱形。

例如：矩形的對(duì)角線相等

則：如圖1-2，在矩形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點(diǎn)。

求證：四邊形EFGH是菱形

證明：∵E、F為AD、AB的中點(diǎn)

∴EF=1/2BD（三角形的中位線等于第三邊的一半）

同理：HG=1/2BD

∴HG=EF=1/2BD（等量代換）

同理：EH=FG=1/2AC

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行

四邊形）

∵AC=BD

∴1/2AC=1/2BD

即：EF=GF

∴平行四邊形EFGH是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）

同理上結(jié)論思路：

由已知條件：EF//HGFG//EH(三角形中位線定理)

因?yàn)椤坝幸粋€(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”，所以當(dāng)∠EFG=90°時(shí)，即∠1=90°，即∠AOB=90°時(shí)，平行四邊形EFGH是矩形。

猜想：當(dāng)一個(gè)四邊形兩對(duì)角線互相垂直時(shí)，其中點(diǎn)四邊形為矩形。

例如：菱形的對(duì)角線互相垂直。

則：如圖1-3，在菱形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點(diǎn)。

求證：四邊形EFGH是矩形

證明：∵E、F為AD、AB的中點(diǎn)

∴EF//BD（三角形的中位線平行于第三邊）

同理：HG//BD

∴HG//EF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

同理：FG//AC；EH//FG

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行

四邊形）

∵四邊形ABCD是菱形

∴∠AOB=90°（菱形的對(duì)角線互相垂直）

∴∠FNO=∠AOB=90°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∴∠EFG=∠FNO =90°（兩直線平行，同位角相等）

∴平行四邊形EFGH是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）

BF

H

圖1-3圖1-

4那么：因?yàn)檎叫瓮瑫r(shí)是矩形和菱形，所以滿足同時(shí)使中點(diǎn)四邊形為矩形和菱形的四邊形，其中點(diǎn)四邊形則可能是正方形。

猜想：當(dāng)一個(gè)四邊形的兩對(duì)角線相等且互相垂直時(shí)，其中點(diǎn)四邊形是正方形。

例如：正方形的對(duì)角線相等且互相垂直。

則：如圖1-4，在正方形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點(diǎn)。

求證：四邊形EFGH是正方形

證明：∵E、F為AD、AB的中點(diǎn)

∴EF//BD；EF=1/2BD（三角形的中位線平行于

第三邊且等于第三邊的一半）

同理：HG//BD；HG=1/2BD

∴HG//EF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

HG=EF=1/2BD（等量代換）

同理：EH//AC//FG；EH=FG=1/2AC

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行

四邊形）

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠AOB=90°（正方形兩對(duì)角線互相垂直）

AC=BD（正方形兩對(duì)角線相等）

∴∠FNO=∠AOB=∠FNO =90°

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

兩直線平行，同位角相等）

1/2AC=1/2BD

即：EF=GF

∴平行四邊形EFGH是正方形

（有一個(gè)角是直角且有一組鄰邊相等的四邊形是正方形）

2010/4

第四篇：七年級(jí)數(shù)學(xué)觀察、猜想與證明單元檢測(cè)題

Xupeisen110初一數(shù)學(xué)

七年級(jí)數(shù)學(xué)觀察、猜想與證明單元檢測(cè)題

（時(shí)間：90分鐘滿分：100分）

一、選擇題（30分，每小題3分）

1．2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1，若“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并且1!=1，?，100!的值為（）98!

50A．B．99!C．9 900D．2!49則

2會(huì)發(fā)熱．此結(jié)論的得出運(yùn)用的方法是（）

A．觀察B．實(shí)驗(yàn)C．歸納D．類比

3．如右圖所示水杯從上面看到的圖形是（）

4．某地發(fā)生了一起盜竊案，警察局拘留了甲、甲說：“這?丁說：“這事是丙干的”．偵破的結(jié)果，4）A．甲B．乙C

5A．相等的角是對(duì)頂角

C．利用三角形畫D．直線、射線、線段

6A

B

C

D．兩點(diǎn)之間，線段最短

7．如圖所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么與∠FCD相等的角有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

（第7題）（第8題）（第9題）

1Xupeisen110初一數(shù)學(xué)

8．如圖所示，AB∥CD，則正確的是（）

A．∠A+∠C=180°B．∠B+∠A=180°

C．∠B+∠C=180°D．∠B+∠D=180°

9．如圖所示，下列條件中，能判定AB∥CE的是（）

A．∠A=∠ECDB．∠B=∠ACEC．∠B=∠ACBD．∠A=∠ACE 10．如圖所示，下列推理不正確的是（）

A．若∠1=∠C，則AE∥CDB．若∠2=∠BAE，則AB∥DEC．若∠B+∠BAD=180°，則AD∥BC；D．若∠C+∠ADC=180°，則AE∥

CD

（第10題）（第13題）（第14題）

二、填空題（36分，每空3分）

11．已知∠α與∠β是對(duì)頂角，且∠α+∠β=________． 12．如果∠α和∠β_______．

13．如圖所示，已知∠1+∠2=1804=_______．

4（1）如果∠1=∠2________．（2）如果∠3=∠4，可得______．

（3）如果∠6=，可得_______．

（4）若∠________，可得________．（5）若∠°，那么根據(jù)________，可得________．

三、解答題（共3415．從2開始，連續(xù)的偶數(shù)相加，和的情況如下：

2+2=2×2

2+4=6=2×3

2+4+6=12=3×4

2+4+6+8=20=4×5

?

（1）請(qǐng)推測(cè)從2開始，n個(gè)連續(xù)偶數(shù)相加，和是多少？

（2）取n=6，驗(yàn)證（1）的結(jié)論是否正確？（10分）

Xupeisen110初一數(shù)學(xué)

16．證明：兩條平行線的同旁內(nèi)角的角平行線互相垂直．（12分）

17．如圖，AB∥CD，在AB與CD之間任意找一點(diǎn)E，連接AE，CE（說明：?AB，CD都為線段）自己畫出圖形并探索下面問題：

（1）試問∠AEC與∠C有何種關(guān)系？請(qǐng)猜想并給出證明．（6分）（2）當(dāng)E點(diǎn)在平行線AB，CD的外部時(shí)，上一問的結(jié)論是否仍然成立？?畫圖探索并予以證明．（6分）

答案：

1．C2．C11．75°1214．（1）AD（3（4（515．（1）（2）當(dāng)按（1D

16平分∠ACF，AB，CD相交于點(diǎn)G．

求證：AB⊥CD．

Xupeisen110初一數(shù)學(xué)

證明：∵a∥b

∴∠CAE+∠ACF=180°

又AB平分∠CAE，CD平分∠ACF

11∠CAE，∠2=∠ACF 22

11所以∠1+∠2=∠CAE+∠ACF 22

11=（∠CAE+∠ACF）=×180°=90° 22所以∠1=

又∵△ACG的內(nèi)角和為180°

∴∠AGC=180°－（∠1+∠2）=180°－90°=90°．

∴AB⊥CD

17．畫圖如圖所示，（1）∠AEC=∠A+∠C，證明：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠1=∠A

又已知AB∥CD

∴EF∥CD∴∠2=∠C

又∵∠AEC=∴∠AEC=∠C（2A=∠AEC+∠C或∠C=∠AEC+∠A（作圖及證明略）．

第五篇：證明猜想與拓展教學(xué)設(shè)計(jì)

綜合與實(shí)踐

猜想、證明與拓廣

一、學(xué)生知識(shí)狀況分析

學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在經(jīng)歷了證明一證明二以及特殊的四邊形的學(xué)習(xí)后，積累了一定的證明的經(jīng)驗(yàn)思想和方法，具備了幾何證明及探究的能力，在九上的第二章學(xué)習(xí)了一元二次方程后，會(huì)利用根的判別式判斷根的情況，并且積累了列一元二次方程解決幾何問題的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)。

二、教學(xué)任務(wù)分析

猜想、證明與拓廣，通過一系列具體的問題逐漸展開，引導(dǎo)學(xué)生分類研究，先考察一些簡(jiǎn)單的，特殊的情形，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律后再討論一般情況，在此過程中讓學(xué)生不斷的體會(huì)由一般到特殊的探究問題的思想，尋求一般性的解決方法.培養(yǎng)學(xué)生直觀“判斷”和正確“猜想”，并配合一定的形式說理，在交流個(gè)人想法中拓展思維。猜想要“檢驗(yàn)是否存在”，再由“特殊到一般”給出一般性的證明.由“倍增”再到“減半”的“拓廣”，總結(jié)獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)和策略性的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的推理能力和探究能力.教學(xué)突出學(xué)生自主探索，合作交流，協(xié)助學(xué)生自行找到解決問題的方法。為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1、通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、證明、拓廣的過程，增強(qiáng)問題意識(shí)和自主探索意識(shí)，獲得探索和發(fā)現(xiàn)的體驗(yàn)。

2、在探究過程中，感受由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的思想方法，體會(huì)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解證明的必要性。

3、在合作交流中擴(kuò)展思路，發(fā)展學(xué)生的推理能力。

教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷猜想、證明、拓廣的“數(shù)學(xué)化”的過程，獲得探索和發(fā)現(xiàn)的體驗(yàn)，體現(xiàn)歸納、綜合和拓展，感悟處理問題的策略和方法.教學(xué)難點(diǎn)：在問題解決過程中的策略和方法。

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課設(shè)計(jì)了五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：提出問題，猜想探究；第二環(huán)節(jié)：思維拓廣，證明猜想；第三環(huán)節(jié)：?jiǎn)栴}拓廣，自主探究；第四環(huán)節(jié)：總結(jié)反思，方法提煉；第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)，鞏固所學(xué)。

第一環(huán)節(jié)：提出問題，猜想探究；

問題(1)任意給定一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知正方形周長(zhǎng)和面積的2倍？

（教學(xué)策略：提出問題后引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)的三種解決問題的思路：

1、先有具體情況入手研究，得到一個(gè)猜想，然后再拓展到一般情況進(jìn)行證明。

2、因?yàn)閱栴}比較簡(jiǎn)單，有學(xué)生可能直接進(jìn)行一般情況的證明。

3、由于任意兩個(gè)正方形都是相似的，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方.所以周長(zhǎng)比和面積比不可能同時(shí)為2.因此這樣的正方形不存在.這三種解決問題的方法都應(yīng)該給與肯定和表?yè)P(yáng)。）

證明方法為：解：設(shè)給定的正方形的邊長(zhǎng)為a，則其周長(zhǎng)為4a,面積為a2,周長(zhǎng)擴(kuò)大兩倍后為8a,則其邊長(zhǎng)應(yīng)為 2a,此時(shí)面積應(yīng)為 4a2，它不是已知給定的正方形的面積的2倍.所以不存在這樣的正方形?；蚴窍瓤紤]面積擴(kuò)大為原來的兩倍為2a2，則邊長(zhǎng)應(yīng)為2a，此時(shí)周長(zhǎng)應(yīng)為42a，不是4a的兩倍，無論從哪個(gè)角度考慮，都不存在這樣的正方形。

問題（2）任意給定一個(gè)矩形,是否存在另一個(gè)矩形,它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的2倍?（教學(xué)策略：由問題一的研究學(xué)生能夠順理成章的從兩個(gè)角度來進(jìn)行思考，一個(gè)是從特殊到一般的思想，一個(gè)是直接對(duì)一般情況進(jìn)行證明的思想，但是較問題（1）直接證明難度較大，所以引導(dǎo)學(xué)生先從特殊情況入手，得到一個(gè)猜想后，再進(jìn)行一般情況的證明會(huì)更好一些。這樣在具體問題的解決過程中，會(huì)給學(xué)生一些啟示，有助于學(xué)生一般情況下的證明思路的形成。）

如果已知矩形的長(zhǎng)和寬分別為2和1,結(jié)論會(huì)怎樣呢?你是怎么做的?和同伴交流.總結(jié)如下:有三種思路可以選擇: ①先固定所求矩形的周長(zhǎng), 設(shè)另一個(gè)矩形的長(zhǎng)為x，將問題化為方程x(6－x)=4是否有解的問題.②先固定所求矩形的面積, 設(shè)另一個(gè)矩形的長(zhǎng)為x，將問題轉(zhuǎn)化為方程x+4/x=6是否有解的問題.③也可以根據(jù)已知矩形的長(zhǎng)和寬分別為2和1,那么其周長(zhǎng)和面積分別為6和2,所求矩形的周長(zhǎng)和面積同時(shí)擴(kuò)大2倍后應(yīng)分別為12和4,設(shè)其長(zhǎng)和寬分別為x和y,則得方程組x+y=6，xy=4然后討論它的解是否符合題意.然后引導(dǎo)學(xué)生再通過幾組特例的研究，結(jié)果都發(fā)現(xiàn)存在這樣的矩形，于是得到一個(gè)猜想。從而將探究活動(dòng)推向第二環(huán)節(jié)拓展思維，證明猜想。將學(xué)生的思維逐漸推向高潮。

第二環(huán)節(jié)：拓展思維，證明猜想；

當(dāng)已知矩形的長(zhǎng)和寬分別為n和m時(shí)，是否仍然有相同的結(jié)論？ 解:當(dāng)已知矩形的長(zhǎng)和寬分別為n和m時(shí),那么其周長(zhǎng)和面積分別為2(m+n),和mn,所求的矩形周長(zhǎng)和面積為4(m+n)和2mn.設(shè)所求矩形的長(zhǎng)為x,那么寬為 2(m+n)－x,根據(jù)題意,得x［2(m+n)－x]=2mn.整理得x－2(m+n)x+2mn=0解得

2x1?n?m?n2?m2這樣一個(gè)矩形。

x2?n?m?n2?m2經(jīng)檢驗(yàn)x1,x2符合題意,所以存在于是得到結(jié)論：任意給定一個(gè)矩形,一定存在另一個(gè)矩形,它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的2倍。

引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)將問題向縱深拓展:既然存在倍增關(guān)系的矩形，那么是否存在減半的矩形呢？

第三環(huán)節(jié)：?jiǎn)栴}拓廣，自主探究；

由學(xué)生提出問題（3），任意給定一個(gè)矩形，是否一定存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的一半？

3(教學(xué)策略：此問題提出后，學(xué)生也會(huì)有兩種解決問題的思想，一種就是順承上面問題的解決思路完成此題的探究過程，另一種也可能會(huì)有小明一樣的想法。若是學(xué)生中未出現(xiàn)小明的思路，則讓學(xué)生閱讀課本，然后判斷小明的想法是否正確.此問題要求學(xué)生在自主探究的基礎(chǔ)上，小組合作細(xì)化完成解答過程。)學(xué)生通過如上問的探究：發(fā)現(xiàn)當(dāng)已知矩形的長(zhǎng)和寬為2和1,3和1,4和1,5和1時(shí)，都不存在這樣的矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的周長(zhǎng)和面積的一半.于是就可能會(huì)得到一個(gè)猜想，一定不存在這樣減半的矩形。

于是進(jìn)行一般情況下的對(duì)猜想的證明。設(shè)已知矩形的長(zhǎng)和寬分別為n,m,所

11求矩形的長(zhǎng)為x，那么有x〔2（n+m）－x〕=2mn.得到一元二次方程的根的判別式b2?4ac?121231n?m?mn?(n2?m2?6mn).而此時(shí)n2?m2?6mn不4424總是大于0的，也不總是小于0的，于是此題的結(jié)論不是一定不存在，而是有選擇性的存在，當(dāng)n2?m2?6mn≥0，這樣的矩形存在，而當(dāng)n2?m2?6mn≤0時(shí)這樣的矩形不存在。

并請(qǐng)幾個(gè)學(xué)生舉幾個(gè)存在的特例，讓學(xué)生更直觀的感受一下這個(gè)結(jié)論。

第四環(huán)節(jié)：總結(jié)反思，方法提煉；

（1）本節(jié)課的問題解決綜合運(yùn)用了所學(xué)知識(shí),體會(huì)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.（2）本節(jié)課學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法:猜想、證明、拓廣、感受由特殊到一般，數(shù)形結(jié)合的思想方法，體會(huì)證明的必要性.（3）一個(gè)幾何存在性問題，可以轉(zhuǎn)化為方程是否有解的問題，兩種列方程的思路源于優(yōu)先“固定”所求矩形的周長(zhǎng)或優(yōu)先“固定”所求矩形的面積，同時(shí)也讓學(xué)生感受到對(duì)同一個(gè)問題存在不同的解決方法，有助于開闊學(xué)生的視野.第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)，鞏固所學(xué)； 1、181頁(yè)1,2,3.4

2、寫篇小論文，把課題學(xué)習(xí)探索的過程 和探索得到的結(jié)果及你的感受體驗(yàn)整

理成數(shù)學(xué)小論文。