第一篇：《用三點(diǎn)共線的向量結(jié)論解決平幾中的一類求值問題》教案說明

《用三點(diǎn)共線的向量結(jié)論解決平幾中的一類求值問題》教案說明

凱里一中數(shù)學(xué)組梁恩煥郵編：556000

向量是數(shù)與形的高度統(tǒng)一，它集幾何圖形的直觀與代數(shù)運(yùn)算的簡捷于一身，在解決平面幾何問題時(shí)能起到奇特的作用。在用向量解決平面幾何問題時(shí)，首先就是要將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量表示（即選擇適當(dāng)?shù)幕祝?，然后再借助向量運(yùn)算來解決。因此，本節(jié)課實(shí)際就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)：在三點(diǎn)共線條件下，知道將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量問題來解決。

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是按三維目標(biāo)來確定的。它包括知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀三個(gè)方面。知識與技能目標(biāo)有4點(diǎn)，它們是相互聯(lián)系層層遞進(jìn)的關(guān)系。目標(biāo)1是基礎(chǔ)，目標(biāo)2是內(nèi)容，目標(biāo)3是獲得技能，目標(biāo)4才是這節(jié)課的根本意圖。我國新一輪課程改革提出：改變課程過于注重知識傳授的傾向，強(qiáng)調(diào)形成積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，使獲得知識與形成技能的過程成為學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和形成價(jià)值觀的過程。這就要求我們的教學(xué)過程應(yīng)更多的考慮學(xué)生，要讓他們在課堂上參與適應(yīng)的探索并能在這一過程中感受成功的喜悅。

本內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)了向量的一些基本概念、向量的加法與減法、向量共線的充要條件、平面向量基本定理和三點(diǎn)共線的向量結(jié)論后進(jìn)行的一節(jié)探究式的習(xí)題課。平面向量基本定理這一節(jié)的例5學(xué)生知道了這樣一個(gè)結(jié)論：A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是：有唯一的實(shí)數(shù)對λ、μ，使OC??OA??OB，其中λ+μ=1。并且通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生還知道了在三點(diǎn)共線條件下寫向量表達(dá)式的一種方法：如右圖, ?????????A???m?n

OA?m?n ??Om+n

圖1圖

2分母m+n代表線段AB的份數(shù)，即右邊兩向量終點(diǎn)表示的線段，m代表線段CB的份數(shù)，即左邊向量OC和右邊向量OB兩向量終點(diǎn)表示的線段，n代表線段CA的份數(shù)，即左邊向量OC和右邊向量OA兩向量終點(diǎn)表示的線段。系數(shù)m、n與它對應(yīng)的線段恰好是交叉關(guān)系；????????????當(dāng)分點(diǎn)在線段的外部時(shí)，添加一個(gè)負(fù)號，其位置由系數(shù)和為1確定。在三點(diǎn)共線的條件下學(xué)生能較為熟練的寫出向量表達(dá)式作為基礎(chǔ)來進(jìn)行這節(jié)課的教學(xué)。

對??CB的幾何意義的探求分四個(gè)階段進(jìn)行：先由1、2兩個(gè)特例得猜想：=；再由??CA

?CB|=；然后指出這一猜想的正確性（不證明）；?CA檢驗(yàn)特例2的系數(shù)完善猜想，得猜想2：|

最后通過課堂的應(yīng)用

1、應(yīng)用2和課堂練習(xí)來鞏固知識。本節(jié)課最關(guān)鍵的是教師引導(dǎo)學(xué)生得猜想1和猜想2，這也是本節(jié)課最難的。因?yàn)檫@一過程思維跳躍性很強(qiáng)，要反復(fù)結(jié)合向量表達(dá)式和圖形，稍有不慎，學(xué)生的思維鏈一斷，這節(jié)課就變得毫無意義了！結(jié)論|?CB|=在課?CA

堂上沒有證明，從這一意義上說失去了數(shù)學(xué)的理性思維，少了很多的“數(shù)學(xué)味”，但對高一的學(xué)生來說卻是很必要的（要知道，正是因?yàn)橛袝r(shí)我們過分追求理性思維才讓學(xué)生產(chǎn)生 “數(shù)學(xué)就是繁和難的演繹與推理”這種想法，讓他們畏懼?jǐn)?shù)學(xué)?。?。有時(shí)這種“重過程輕實(shí)質(zhì)”的方法，能減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，不會(huì)因技巧性強(qiáng)、冗長的證明過程沖淡本節(jié)課的主題。本節(jié) 課的最終目的是要讓學(xué)生感受到一點(diǎn)向量應(yīng)用的廣泛性，并希望能逐步增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用向量解 決數(shù)學(xué)問題的能力。若著眼點(diǎn)僅是這一節(jié)課，探索?的幾何意義的過程對高一學(xué)生而言有 ?

些難，甚至可以說沒必要。但若將這節(jié)課放到整個(gè)高中階段這根知識大鏈上來看又是怎樣的 呢？僅從以下兩個(gè)例子就可見向量在中學(xué)數(shù)學(xué)知識中的地位了：

1、向量與三角知識的融合。在推導(dǎo)正弦定理、余弦定理均用到了向量知識。但是在教 學(xué)過程中這一點(diǎn)還沒有引起我們足夠的重視，甚至有些教師對教材中用向量方法證明正弦和 余弦定理?xiàng)壷挥?，課堂教學(xué)中僅僅是為了得到一個(gè)結(jié)論，證明方法仍是沿用以前的老教材中的方法。應(yīng)該說這是一種教學(xué)資源的浪費(fèi)！正弦和余弦定理究竟要解決的是什么問題？初中解決角與邊有哪些方法？高中與角和邊有關(guān)的又有哪些知識？通過這種引導(dǎo)，讓學(xué)生將所學(xué)的向量的數(shù)量積與三角形知識聯(lián)系起來，這樣既能讓學(xué)生掌握這種證明方法，又能讓學(xué)生樹立應(yīng)用向量的意識；

2、向量在立體幾何中的應(yīng)用。這幾年來高考對立體幾何知識大題的考查都是能建立直角坐標(biāo)系，大題的得分率比以前大大提高。但這也給部分學(xué)生（甚至于我們的教師）留下了這樣一些印象：只要會(huì)建立直角坐標(biāo)系就行了；立體幾何對邏輯推理和空間想像能力的要求降低了；向量在立體幾何中的應(yīng)用關(guān)鍵是能建立直角坐標(biāo)系等等。比如高二數(shù)學(xué)教材下B第51頁例2，題如下：

已知在一個(gè)60的二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，AC、BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且垂直于AB的線段，又知AB=4cm, AC=6cm, BD=8cm,求CD的長。

對于高三的同學(xué)來說也很少想到用向量方法來解決的。在不建立直角坐標(biāo)系的條件下用向量來證明線線平行、線面平行，求線面角、二面角的平面角這方面的意識學(xué)生就更弱了！培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用向量的意識不是一朝一夕就能實(shí)現(xiàn)的，而要把這種意識轉(zhuǎn)化為一種能力那就更是需要一個(gè)長期的、不斷訓(xùn)練的過程了。我從最不理想的角度考慮過這節(jié)課的效果，若有學(xué)生在上課時(shí)由于注意力不集中導(dǎo)致后面的內(nèi)容聽不懂了，若他看到用向量方法能這樣簡捷的解決平面幾何問題時(shí)，他只要能這樣想：哦，原來還可以這樣呀！我就覺得是我這節(jié)課的收獲了！從這個(gè)方面來看，這節(jié)課是及時(shí)的也是需要的。在三點(diǎn)共線的條件下讓學(xué)生寫向量表達(dá)式都能準(zhǔn)確的寫出來，但是在探求??的幾何意?

義時(shí)還是應(yīng)特別的注意.因?yàn)檫@需要在向量表達(dá)式和圖形中反復(fù)觀察，這也是學(xué)生最容易出問題的地方。此時(shí)應(yīng)該放手讓學(xué)生自己先探索，教師再去引導(dǎo)，這樣的效果會(huì)更好的，若探索這個(gè)環(huán)節(jié)處理得不好，后面的內(nèi)容就會(huì)變成老師的獨(dú)角戲了！另外，學(xué)生容易出錯(cuò)的是在???1?????BC求比值。例1中求出了λ的值，是代入BG??BA?(1??)BM還是代入BG??BA?

2解題到此時(shí)可再回顧三點(diǎn)共線的向量結(jié)論的形式特點(diǎn)，通過課堂上3個(gè)題目的和課外1題（課外作業(yè)的第一題是要求每個(gè)學(xué)生必做的，2作為選做）共4個(gè)題的訓(xùn)練是能正確區(qū)分這一點(diǎn)的。

根據(jù)新課改的教育教學(xué)理念，在課堂上探究知識時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷：操作實(shí)踐?觀察?猜想、歸納，這是一種以學(xué)生為主，還課堂于學(xué)生的教學(xué)活動(dòng)。根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)，授課時(shí)是按照這樣一種模式進(jìn)行的：創(chuàng)設(shè)情景?數(shù)學(xué)活動(dòng)?猜想、歸納?鞏固、應(yīng)用和拓展。在數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中讓學(xué)生知道了這樣一種解決問題的方法：特例?觀察?猜想?驗(yàn)證、??????????????完善猜想?歸納?證明。通過合作交流的方式探求知識，增強(qiáng)了他們應(yīng)用向量解決數(shù)學(xué)問題的意識。當(dāng)然，這節(jié)課是第一節(jié)向量應(yīng)用課，其中?的幾何意義是我的新發(fā)現(xiàn)（或?

許早就有資料介紹了，只是我孤陋寡聞吧?。┯行┱Z句描述學(xué)生以前沒有聽到過，學(xué)生課堂回答問題不夠準(zhǔn)確，我也沒敢放手的讓學(xué)生去探求，這是我最大的遺憾！

注：作者聯(lián)系電話：***