第一篇：不定方程和不定方程組的練習(xí)題

不定方程和不定方程組的練習(xí)題

二元一次方程具有無(wú)數(shù)多個(gè)解，但在一定條件下，如求整數(shù)解，存在有限個(gè)解的情況，這樣的方程或方程組叫不定方程（組）。

1.寫(xiě)出方程x+2y=5的一個(gè)解。

2.寫(xiě)出方程x+2y=5的正整數(shù)解。

3.把一根長(zhǎng)7m的鋼管截成2m長(zhǎng)和1m長(zhǎng)兩種規(guī)格的鋼管，怎樣截不造成浪費(fèi)？你有幾種不同的截法？

4.小明想用100元買(mǎi)15張郵票，現(xiàn)有4元，8元，10元三種面值。

（1）若他只想買(mǎi)4元和8元兩種面值的郵票，怎樣買(mǎi)？

（2）若這三種面值的郵票他都想買(mǎi)，又怎樣買(mǎi)呢？

第二篇：小學(xué)奧數(shù)2-2-3 不定方程與不定方程組．教師版

不定方程與不定方程組

教學(xué)目標(biāo)

1.利用整除及奇偶性解不定方程

2.不定方程的試值技巧

3.學(xué)會(huì)解不定方程的經(jīng)典例題

知識(shí)精講

一、知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明

歷史概述

不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一．古希臘的丟番圖早在公元世紀(jì)就開(kāi)始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程．中國(guó)是研究不定方程最早的國(guó)家，公元初的五家共井問(wèn)題就是一個(gè)不定方程組問(wèn)題，公元世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問(wèn)題標(biāo)志著中國(guó)對(duì)不定方程理論有了系統(tǒng)研究．宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來(lái)．

考點(diǎn)說(shuō)明

在各類競(jìng)賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題的重要方法貫穿在行程問(wèn)題、數(shù)論問(wèn)題等壓軸大題之中．在以后初高中數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中，不定方程也同樣有著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用不定方程這個(gè)工具，并能夠在以后的學(xué)習(xí)中使用這個(gè)工具解題。

二、不定方程基本定義

1、定義：不定方程（組）是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的方程（組）。

2、不定方程的解：使不定方程等號(hào)兩端相等的未知數(shù)的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

3、研究不定方程要解決三個(gè)問(wèn)題：①判斷何時(shí)有解；②有解時(shí)確定解的個(gè)數(shù)；③求出所有的解

三、不定方程的試值技巧

1、奇偶性

2、整除的特點(diǎn)（能被2、3、5等數(shù)字整除的特性）

3、余數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（和、差、積的性質(zhì)及同余的性質(zhì)）

例題精講

模塊一、利用整除性質(zhì)解不定方程

【例

1】

求方程

2x－3y＝8的整數(shù)解

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

方法一：由原方程，易得

2x＝8＋3y，x＝4＋y，因此，對(duì)y的任意一個(gè)值，都有一個(gè)x與之對(duì)應(yīng)，并且，此時(shí)x與y的值必定滿足原方程，故這樣的x與y是原方程的一組解，即原方程的解可表為：，其中k為任意數(shù)．說(shuō)明

由y取值的任意性，可知上述不定方程有無(wú)窮多組解．

方法二：根據(jù)奇偶性知道2x是偶數(shù)，8為偶數(shù)，所以若想2x－3y＝8成立，y必為偶數(shù)，當(dāng)y＝0，x＝4；當(dāng)y＝2，x＝7；當(dāng)y＝4，x＝10……，本題有無(wú)窮多個(gè)解。

【答案】無(wú)窮多個(gè)解

【鞏固】

求方程2x＋6y＝9的整數(shù)解

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因?yàn)?x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不論x和y取何整數(shù)，都有2|2x＋6y，但29，因此，不論x和y取什么整數(shù)，2x＋6y都不可能等于9，即原方程無(wú)整數(shù)解．

說(shuō)明：此題告訴我們并非所有的二元一次方程都有整數(shù)解。

【答案】無(wú)整數(shù)解

【例

2】

求方程4x＋10y＝34的正整數(shù)解

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因?yàn)?與10的最大公約數(shù)為2，而2|34，兩邊約去2后，得

2x＋5y＝17，5y的個(gè)位是0或5兩種情況，2x是偶數(shù)，要想和為17，5y的個(gè)位只能是5，y為奇數(shù)即可；2x的個(gè)位為2，所以x的取值為1、6、11、16……

x＝1時(shí)，17－2x＝15，y＝3，x＝6時(shí)，17－2x＝

5，y＝1，x＝11時(shí)，17－2x＝17

－22，無(wú)解

所以方程有兩組整數(shù)解為：

【答案】

【鞏固】

求方程3x＋5y＝12的整數(shù)解

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

由3x＋5y＝12，3x是3的倍數(shù)，要想和為12（3的倍數(shù)），5y也為3的倍數(shù)，所以y為3的倍數(shù)即可，所以y的取值為0、3、6、9、12……

y＝0時(shí)，12－5y＝12，x＝4，x＝3時(shí)，12－5y＝12－15，無(wú)解

所以方程的解為：

【答案】

【鞏固】

解不定方程：（其中x,y均為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

方法一：2x是偶數(shù)，要想和為40（偶數(shù)），9y也為偶數(shù)，即y為偶數(shù)，也可以化簡(jiǎn)方程，知道y為偶數(shù)，所以方程解為：

【答案】

模塊二、利用余數(shù)性質(zhì)解不定方程

【例

3】

求不定方程的正整數(shù)解有多少組？

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

本題無(wú)論或是，情況都較多，故不可能逐一試驗(yàn)．檢驗(yàn)可知1288是7的倍數(shù)，所以也是7的倍數(shù)，則是7的倍數(shù)．

設(shè)，原方程可變?yōu)?，可以?，2，3，……16．由于每一個(gè)的值都確定了原方程的一組正整數(shù)解，所以原方程共有16組正整數(shù)解．

【答案】16組

【例

4】

求方程3x＋5y＝31的整數(shù)解

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

方法一：利用歐拉分離法，由原方程，得

x＝，即

x＝10－2y＋，要使方程有整數(shù)解必須為整數(shù)．

取y＝2，得x＝10－2y＋＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2

當(dāng)y＝5，得x＝10－2y＋＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5

當(dāng)y＝8，得x＝10－2y＋＝10－16＋3無(wú)解

所以方程的解為：

方法二：利用余數(shù)的性質(zhì)

3x是3的倍數(shù)，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根據(jù)這個(gè)情況用余數(shù)的和與乘積性質(zhì)進(jìn)行判定為：

取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）

y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合題意）

y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）

y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍）

y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合題意）

y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）

當(dāng)y＞6時(shí)，結(jié)果超過(guò)31，不符合題意。

所以方程的解為：

【答案】

【鞏固】

解方程，（其中x、y均為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

方法一：，4y是4的倍數(shù)，和89除以4余1，所以7x除以4余1（7÷4≡3），可以看成3x除以4余1，根據(jù)這個(gè)情況用余數(shù)的和與乘積性質(zhì)進(jìn)行判定為（x＜13）

x＝1，3x＝3，3÷4≡3（舍）

x＝2，3x＝6，6÷4≡2（舍）

x＝3，3x＝9，9÷4≡1（符合題意）

x＝4，3x＝12，12÷4≡0（舍）

x＝5，3x＝15，15÷4≡3（舍）

x＝6，3x＝18，18÷4≡2（舍）

x＝7，3x＝21，21÷4≡1（符合題意）

x＝8，3x＝24，24÷4≡0（舍）

x＝9，3x＝27，27÷4≡3（舍）

x＝10，3x＝30，30÷4≡2（舍）

x＝11，3x＝33，33÷4≡1（符合題意）

x＝12，3x＝36，36÷4≡0（舍）

所以方程的解為：

方法二：利用歐拉分離法，由原方程，的取值為4的倍數(shù)即可，所以方程的解為：

【答案】

模塊三、解不定方程組

【例

5】

解方程

（其中a、b、c均為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

根據(jù)等式的性質(zhì)將第一個(gè)方程整理得，根據(jù)消元的思想將第二個(gè)式子擴(kuò)大4倍相減后為：，整理后得，根據(jù)等式性質(zhì)，為偶數(shù)，20為偶數(shù)，所以為偶數(shù)，所以為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)解。所以方程解為

【答案】

【例

6】

解不定方程

(其中x、y、z均為正整數(shù))

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

根據(jù)等式的性質(zhì)將第一個(gè)方程整理得，根據(jù)消元思想與第二個(gè)式子相減得，根據(jù)等式的性質(zhì)兩邊同時(shí)除以2得：，根據(jù)等式性質(zhì)為4的倍數(shù)，100為4的倍數(shù)，所以為4的倍數(shù)，所以為4的倍數(shù)試值如下

【答案】

第三篇：八年級(jí)不定代詞練習(xí)題

1.—Do you have______apples?

—No, I don't, but I have______oranges.(2004年廣東省)

A.any, someB.some, any C.any, any D.some, some

第四篇：同余式與不定方程 教案1

梯田文化 教輔專家 《課堂點(diǎn)睛》 《課堂內(nèi)外》 《作業(yè)精編》

競(jìng)賽講座03--同余式與不定方程

同余式和不定方程是數(shù)論中古老而富有魅力的內(nèi)容.考慮數(shù)學(xué)競(jìng)賽的需要,下面介紹有關(guān)的基本內(nèi)容.1.同余式及其應(yīng)用

定義:設(shè)a、b、m為整數(shù)（m＞0），若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余.記為

或

一切整數(shù)n可以按照某個(gè)自然數(shù)m作為除數(shù)的余數(shù)進(jìn)行分類，即n=pm+r（r=0，1，…，m-1），恰好m個(gè)數(shù)類.于是同余的概念可理解為,若對(duì)n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2

對(duì)模m的同余，即它們用m除所得的余數(shù)相等.利用整數(shù)的剩余類表示,可以證明同余式的下述簡(jiǎn)單性質(zhì):(1)

若,則m|(b-a).反過(guò)來(lái),若m|(b-a),則

;(2)

如果a=km+b(k為整數(shù)),則;(3)

每個(gè)整數(shù)恰與0,1,…，m-1，這m個(gè)整數(shù)中的某一個(gè)對(duì)模m同余；(4)

同余關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系： ①

反身性

；

②

對(duì)稱性，則，反之亦然.③

傳遞性，則；

（5）如果，則

①； 梯田文化 教輔專家 《課堂點(diǎn)睛》 《課堂內(nèi)外》 《作業(yè)精編》

②特別地

應(yīng)用同余式的上述性質(zhì)，可以解決許多有關(guān)整數(shù)的問(wèn)題.例1（1898年匈牙利奧林匹克競(jìng)賽題）求使2+1能被3整除的一切自然數(shù)n.n解∵

∴

則2+1nn

∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2+1能被3整除； 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2+1不能被3整除.例2

求2最后兩位數(shù)碼.解 考慮用100除2所得的余數(shù).999

999n∵

∴

又

∴

∴

∴2的最后兩位數(shù)字為88.例3

求證

31980999

+

4198

1能被5整除.梯田文化 教輔專家 《課堂點(diǎn)睛》 《課堂內(nèi)外》 《作業(yè)精編》

證明

∵

∴

∴

∴2．不定方程

不定方程的問(wèn)題主要有兩大類：判斷不定方程有無(wú)整數(shù)解或解的個(gè)數(shù)；如果不定方程有整數(shù)解，采取正確的方法，求出全部整數(shù)解.(1)

不定方程解的判定

如果方程的兩端對(duì)同一個(gè)模m(常數(shù))不同余,顯然,這個(gè)方程必?zé)o整數(shù)解.而方程如有解則解必為奇數(shù)、偶數(shù)兩種，因而可以在奇偶性分析的基礎(chǔ)上應(yīng)用同余概念判定方程有無(wú)整數(shù)解.例4

證明方程2x-5y=7無(wú)整數(shù)解.證明

∵2x=5y+7，顯然y為奇數(shù).2

222①

若x為偶數(shù)，則

∴

∵方程兩邊對(duì)同一整數(shù)8的余數(shù)不等，∴x不能為偶數(shù).梯田文化 教輔專家 《課堂點(diǎn)睛》 《課堂內(nèi)外》 《作業(yè)精編》

②

若x為奇數(shù)，則

但5y+72

∴x不能為奇數(shù).因則原方程無(wú)整數(shù)解.說(shuō)明:用整數(shù)的整除性來(lái)判定方程有無(wú)整數(shù)解,是我們解答這類問(wèn)題的常用方法.例5

(第14屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題)不存在整數(shù)x,y使方程

①

證明

如果有整數(shù)x，y使方程①成立，則

=知（2x+3y）+5能被17整除.2設(shè)2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某

22222個(gè)數(shù)，但是這時(shí)（2x+3y）+5=（17n）+34na+（a+5）=a+5（mod17），而a+5被17整除得的余數(shù)分別是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情況下（2x+3y）2+5都不能被17整除，這與它能被17整除矛盾.故不存在整數(shù)x，y使①成立.例7（第33屆美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）滿足方程x+y=x的正整數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù)是（）.（A）0（B）1（C）2（D）無(wú)限個(gè)（E）上述結(jié)論都不對(duì) 解由x+y=x得y=x（x-1），所以只要x-1為自然數(shù)的平方，則方程必有正整數(shù)解.令x-1=k(k為自然數(shù)),則

222322

3為方程的一組通解.由于自然數(shù)有無(wú)限多個(gè),故滿足方程的正整數(shù)對(duì)(x,y)有無(wú)限多個(gè),應(yīng)選(D).說(shuō)明:可用寫(xiě)出方程的一組通解的方法,判定方程有無(wú)數(shù)個(gè)解.(2)

不定方程的解法 梯田文化 教輔專家 《課堂點(diǎn)睛》 《課堂內(nèi)外》 《作業(yè)精編》

不定方程沒(méi)有統(tǒng)一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（質(zhì)因數(shù)）分解法、不等式法、奇偶分析法和余數(shù)分析法.對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?并正確應(yīng)用整數(shù)的性質(zhì)是解不定方程的基本思路.例6

求方程解(配方法)原方程配方得(x-2y)+y=13.2

22的整數(shù)解.在勾股數(shù)中,最大的一個(gè)為13的只有一組即5,12,13,因此有8對(duì)整數(shù)的平方和等于213即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程組的解只能是下面的八個(gè)方程組的解

解得

例7

(原民主德國(guó)1982年中學(xué)生競(jìng)賽題)已知兩個(gè)自然數(shù)b和c222及素?cái)?shù)a滿足方程a+b=c.證明:這時(shí)有a＜b及b+1=c.證明（因式分解法）∵a+b=c，∴a=（c-b）（c+b），又∵a為素?cái)?shù)，∴c-b=1，且c+b=a.22

2梯田文化 教輔專家 《課堂點(diǎn)睛》 《課堂內(nèi)外》 《作業(yè)精編》

于是得c=b+1及a=b+c=2b+1＜3b，2即＜.而a?3,∴?1，∴＜1.∴a＜b.例9（第35屆美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）滿足聯(lián)立方程 的正整數(shù)（a，b，c）的組數(shù)是（）.（A）0（B）1（C）2（D）3（E）4 解（質(zhì)因數(shù)分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=1×23.∵a，b，c為正整數(shù)，∴c=1且a+b=23.將c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0, ∴b1=2,b2=22.從而得a1=21,a2=1.故滿足聯(lián)立方程的正整數(shù)組(a,b,c)有兩個(gè),即(21,2,1)和(1,22,1),應(yīng)選(C).例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整數(shù)解.解 由(y-2)x=2y-7,得

分離整數(shù)部分得由x為整數(shù)知y-2是3的因數(shù), ∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.∴方程整數(shù)解為

例11

求方程x+y=x-xy+y的整數(shù)解.2

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解（不等式法）方程有整數(shù)解

必須△=（y+1）-4（y-y）?0，解得

22?y?.滿足這個(gè)不等式的整數(shù)只有y=0，1，2.當(dāng)y=0時(shí)，由原方程可得x=0或x=1；當(dāng)y=1時(shí)，由原方程可得x=2或0；當(dāng)y=2時(shí)，由原方程可得x=1或2.所以方程有整數(shù)解

最后我們來(lái)看兩個(gè)分式和根式不定方程的例子.例12

求滿足方程且使y是最大的正整數(shù)解（x，y）.解將原方程變形得

由此式可知，只有12-x是正的且最小時(shí)，y才能取大值.又12-x應(yīng)是144的約數(shù)，所以，12-x=1，x=11，這時(shí)y=132.故

滿足題設(shè)的方程的正整數(shù)解為（x，y）=（11，132）.例13（第35屆美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）滿足0＜x＜y及的整數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù)是（）.（A）0（B）1（C）3（D）4（E）7 解法1 根據(jù)題意知，0＜x＜1984，由 的不同

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得

62當(dāng)且僅當(dāng)1984x是完全平方數(shù)時(shí)，y是整數(shù).而1984=2·31，故當(dāng)且僅當(dāng)x具有31t形式時(shí)，1984x是完全平方數(shù).∵x＜1984，∵1?t?7.當(dāng)t=1，2，3時(shí)，得整數(shù)對(duì)分別為（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.當(dāng)t＞3時(shí)y?x不合題意，因此不同的整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是3，故應(yīng)選（C）.解法2 ∵1984=

2∴由此可知：x必須具有31t形式，y必須

2具有31k形式，并且t+k=8（t，k均為正整數(shù)）.因?yàn)?＜x＜y，所以t＜k.當(dāng)t=1，k=7時(shí)得（31，1519）；t=2，k=6時(shí)得（124，1116）；當(dāng)t=3，k=5時(shí)得（279，775）.因此不同整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為3.練習(xí)二十

1.選擇題

(1)方程x-y=105的正整數(shù)解有().（A）

一組（B）二組

（C）三組

（D）四組

(2)在0,1,2,…，50這51個(gè)整數(shù)中，能同時(shí)被2，3，4整除的有（）.（A）

3個(gè)（B）4個(gè)

（C）5個(gè)

（D）6個(gè) 2．填空題

（1）的個(gè)位數(shù)分別為_(kāi)________及_________.4

5422(2)滿足不________.等式10?A?10的整數(shù)A的個(gè)數(shù)是x×10+1，則x的值(3)

已知整數(shù)y被7除余數(shù)為5,那么y被7除時(shí)余數(shù)為_(kāi)_______.(4)

(全俄第14屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)求出任何一組滿足方程x-51y=1的自然數(shù)解x和y_________.3.(第26屆國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)選題)求三個(gè)正整數(shù)x、y、z滿足

23.梯田文化 教輔專家 《課堂點(diǎn)睛》 《課堂內(nèi)外》 《作業(yè)精編》

4．（1985年上海數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）在數(shù)列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個(gè)數(shù)之和是3的倍數(shù)，而不是9的倍數(shù)的數(shù)組共有多少組？

5．求的整數(shù)解.6．求證可被37整除.7．（全俄1986年數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）求滿足條件能的值.的整數(shù)x，y的所有可8．（1985年上海初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為l厘米、m厘米，斜邊長(zhǎng)為n厘米，且l，m，n均為正整數(shù)，l為質(zhì)數(shù).證明：2（l+m+n）是完全平方數(shù).9.(1988年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)如果p、q、q＞1，試求p+q的值.練習(xí)二十 1.D.C.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.、都是整數(shù)，并且p＞1，(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.223.不妨設(shè)x?y?z,則,故x?3.又有故x?2.若x=2,則,故y?6.又有,故y?4.若y=4,則z=20.若y=5,則z=10.若y=6,則z無(wú)整數(shù)解.若x=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,z都不能是整數(shù).4.可仿例2解.梯田文化 教輔專家 《課堂點(diǎn)睛》 《課堂內(nèi)外》 《作業(yè)精編》

5.先求出,然后將方程變形為y=5+x-2要使y為整數(shù),5x-1應(yīng)是完全平方數(shù),…,解得

6.8888≡8(mod37),∴8888333

3222

2≡8(mod37).2222

27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|N.22

3+7777

3333

≡(8+7)(mod37),而

237.簡(jiǎn)解:原方程變形為3x-(3y+7)x+3y-7y=0由關(guān)于x的二次方程有解的條件△?0及y為整數(shù)可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l(xiāng)=(n+m)(n-m).∵l為質(zhì)數(shù),且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方數(shù).222

229.易知p≠q,不妨設(shè)p＞q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m＞n由此可得不定方程

第五篇：不定代詞用法總結(jié)及配套練習(xí)題

不定代詞用法總結(jié)

1)some, any的用法

some和any通常用于表示不定數(shù)或不定量，修飾復(fù)數(shù)可數(shù)名詞或不可數(shù)名詞。some表示“幾個(gè)；一些；部分”，多用于肯定句；而any表示“一些；什么；任何；”，對(duì)用于否定句或疑問(wèn)句中。如：

* He asked me some questions.(他問(wèn)了我?guī)讉€(gè)問(wèn)題。)

* Some of the bread has been eaten.(面包已吃了一些。)

* Are there any stamps in this post office?(這個(gè)郵局里有郵票嗎？)1.“Would you like _____ more coffee?”(some/any)-------“Yes, please.” 2.I wonder if _____ will show up at the meeting.(someone/anyone)3.Doesn't _____ know the answer to this question?(someone/anyone)

4.On TV _____ said that smoking does not cause lung cancer.(someone/anyone)5.(annoyed and emphatic)How can _____ tell such a pack of lies ?(someone/anyone)6.It must be difficult to live without _____ money.(some/any)

7.Have you seen my shoes? I can't find them _____.(somewhere/anywhere)8.-“Can you believe we've run out of milk!”

-“Would you like me to get _____ at the nearest shop?”(some/any)9._____ say the Internet is just a hype and that it will blow over.(Some/Any)10._____ day peace will come to Northern Ireland.(Some/Any)

2)復(fù)合不定代詞的用法

a.不定代詞some, any, no與-one,-body,-thing可以組成九個(gè)復(fù)合代詞。它們是：

someone anyone no one somebody anybody nobody something anything nothing

這些復(fù)合不定代詞只有名詞的性質(zhì)，可以作主語(yǔ)、賓語(yǔ)等。b.因?yàn)閟ome一般用于肯定句，any一般用于否定句或疑問(wèn)句，no表示完全否定，因此由some, any, no與-one,-body組成的復(fù)合代詞的用法也一樣。

c.第二部分為-one和-body的復(fù)合代詞只用于表示人，它們的形式是單數(shù)形式，但有時(shí)可以用they或them指代。

* There is someone in your office.Can you hear them talking?(你辦公室里有人。你聽(tīng)見(jiàn)他們說(shuō)話了嗎？)d.第二部分為-thing的復(fù)合代詞只能用于指物。如：

* There was something wrong with the car so he had to stopped it.* He looked at me and didn’t say anything.* Nothing can be done to save her life.e.這些復(fù)合不定代詞如果有其它的形容詞修飾，形容詞必須后置。如：

* Somebody important has arrived, I’m sure.(important修飾somebody)1．There isn't ____ water in the cup.A．a(chǎn)ny B．many C．some D．the 2．The bottle is empty.There is ____ in it.A．a(chǎn)nything B．something C．nothing 3．There isn't ____ milk in the fridge.You'd better buy some.A．no B．a(chǎn)ny C．some 4.Everything ______ ready.We can start now.A.are

B.is

C.be

D.were 5.There’s ______ with his eyes.He’s OK.A.anything wrong

B.wrong something C.nothing wrong

D.wrong nothing 6.—The story is so amazing!It’s the most interesting story I’ve ever read.—But I’m afraid it won’t be liked by ______.A.everybody

B.somebody C.anybody

D.nobody 7.She listened carefully, but heard ______.A.anyone

B.someone C.everyone

D.nothing 8.I agree with most of what you said, but I don’t agree with ______.A.everything

B.anything C.something

D.nothing 9.—Everyone is here today, ______? —No, Han Mei isn’t here.She’s ill.A.isn’t it

B.isn’t he C.are they

D.isn’t everyone 10.Everything goes well, ______?

A.is it

B.isn’t it C.do they

D.doesn’t it 3)none 與no one 的用法區(qū)別

None和no one 都表示“三者或者三者以上的另一個(gè)”，但是用法不一樣。None既指人也指物，它常與of 短語(yǔ)連用 None of us failed the exam.I have read none of the books.在回答以how many，how much 開(kāi)頭得疑問(wèn)句時(shí)要用none。

No one 只能用來(lái)指人，不能指物，且不能與of短語(yǔ)連用，回答以who開(kāi)頭的疑問(wèn)句時(shí)要用no one。No one knows the answer to the question.1._________of them can speak Russian.A.No one B.Noone C.None D.Nobody 2._______ can answer my question.A.No one B.Noone C.None D.No body 3.Who is in the classroom ? A.No one B.Noone C.None D.No body 4.How many hours does Jim play taiji every day? A.No one B.Noone C.None D.Nobody 5.How much water is in the cup？

A.No one B.Noone C.None D.Nobody 4)all, every, each, other, another, either, neither, both

a.every只有形容詞的性質(zhì)，在句中作定語(yǔ)。常用于修飾單數(shù)的可數(shù)名詞。表示“每個(gè)；各個(gè)”，還可以表示“一切”。

* After the strong wind every flower in the garden was gone.every還可以和-one,-thing,-body構(gòu)成復(fù)合不定代詞，即：everyone, everything, everybody。其中，everyone和everybody用于指人，意思一樣，都是“每人；大家”，形式上表示單數(shù)意思上可以表示單數(shù)也可以表示復(fù)數(shù)。everything用于指物，意思是“每件事；一切”，形式上表示單數(shù)意思上可以表示單數(shù)也可以表示復(fù)數(shù)。如：

* One can’t have everything.* Everything goes well with me.注意：在使用everyone時(shí)要注意和every one相區(qū)別。everyone是一個(gè)不定代詞而every one是一個(gè)詞組，前者只能指人而后者既可以指人也可以指物。請(qǐng)注意下列例句：

* Everyone will be here except Patrick.(everyone 指人)* Every one of the children will get a gift.(every one也指人)

*We played several matches against the visitors, but unluckily lost every one.(every one指物)b.each的意思是“每個(gè)；各自的”，可以指人，也可以指物。如：

* I leave home at 7 a.m.each day.* Each of them has received a letter.由于each和every的意思相近，都表示“每一個(gè)”，因此要特別注意它們的區(qū)別。each所描述的對(duì)象至少是兩個(gè)數(shù)目中的每一個(gè)，而every所描述的對(duì)象至少是三個(gè)數(shù)目中的每一個(gè)；every著重強(qiáng)調(diào)整體的含義而each著重強(qiáng)調(diào)個(gè)別；every只能作形容詞放于名詞前而each可以作形容詞、代詞和副詞。如：

(每一個(gè)人都知道應(yīng)該做什么/他的工作。)

(在這兩個(gè)句子中用every和each都可以)

*You can see a lot of new shops on each side of the street.(因?yàn)榻值乐挥袃蛇呉虼瞬荒苡胑very)

*Each has too coats.(each是代詞不能換用every)c.other可以指人也可以指物，表示“另外的人或事物”，其后可以接單數(shù)或復(fù)數(shù)的名詞；此外，other也有復(fù)數(shù)形式，是others。如：

* He has two brothers, one is a teacher, the other is a doctor.*Some children like milk chocolate, other children prefer plain chocolate.*We should not think only of ourselves, we should think of others first.d.another的意思是“另一個(gè)；再一個(gè)；又一個(gè)”，通常只能修飾單數(shù)的名詞或代詞，泛指“不定數(shù)目中的另一個(gè)”。* Would you like to try another kind of drink?

* I don't like this hat;please show me another.注意：other和another都有“另外的”意思，要注意它們的區(qū)別。

首先一般來(lái)說(shuō)，兩者中的“另一個(gè)”是the other，不定數(shù)目中的“另一個(gè)”是another。如：

* She has a book in one hand and a pen in the other.(這里表示兩只手中的另一個(gè)因此用the other)* This cup is broken.Get me another, please.其次，other的后面可以接單數(shù)或復(fù)數(shù)的名詞而another的后面只能接單數(shù)名詞。如：

* He has other brothers.* I am not very well today.Tell them I will go and see them another day.第三，other有復(fù)數(shù)形式，泛指別人時(shí)通常不加冠詞；而表示其他的人時(shí)常要加定冠詞；而another沒(méi)有復(fù)數(shù)形式。

* Some went to the People’s Park, others visited the zoo.* Could you tell the others that I’ll be late?

5)many, much, few, little, a few, a little, a lot of, lots of 這些詞都可以用來(lái)表示數(shù)量，但它們的用法也應(yīng)當(dāng)注意。

a.many和much這兩個(gè)詞都表示“許多；大量”，它們的比較級(jí)和最高級(jí)是more和most。它們的不同在于：many只能指代或修飾可數(shù)名詞的復(fù)數(shù)，much一般只能指代或修飾不可數(shù)名詞。如：

* “Do you have any books on English grammar?” “Yes, but not many.”(這里的many指代上文的books)

* Much time will be saved if you plan your work very well.(time是不可數(shù)名詞，因此用much)b.(a)few和(a)little

a few和a little是一對(duì)用作表示數(shù)量的不定代詞的固定詞組，它們具有名詞和形容詞的性質(zhì)，它們的意思是“少數(shù)；少量”，都表示肯定的意思。它們的不同點(diǎn)是：a few指代或修飾可數(shù)名詞的復(fù)數(shù)，a little指代或修飾不可數(shù)名詞。如：

* Only a few of the children in this village can read.(因?yàn)閏hildren是可數(shù)名詞的復(fù)數(shù)因此用a few)* There was a little rain just now and the air is fresh now.(rain是不可數(shù)名詞因此要用a little)

few和little表示否定，意思是“幾乎一點(diǎn)沒(méi)有”，相當(dāng)于not … many或not … much。和a few和a little一樣，few指代或修飾可數(shù)名詞的復(fù)數(shù)而little指代或修飾不可數(shù)名詞指代或修飾不可數(shù)名詞。如：

* Few visitors enjoyed the trip to London.(few修飾的是可數(shù)名詞visitors)

* There is little to be done about it.(關(guān)于這件事沒(méi)有什么可做的了。)(little指代索要做的事情)

few的比較級(jí)和最高級(jí)是：fewer，fewest；little的比較級(jí)和最高級(jí)是：less，least。c.a lot of和lots of

這兩個(gè)詞組的意思都是“大量的；許多的”，后面既修飾能可數(shù)名詞復(fù)數(shù)也能修飾不可數(shù)名詞，可以代替many和much使用。練習(xí)：1．I bought ________flowers on my way home.2._______ of them have left for England.3．I asked her for _______paper, but she didn’t have_____.4.________of the boys has a book.5.I’m busy and I have _______homework to do.6.________ student has an English-Chinese dictionary in our class.7.She can’t dance________.8.Tom didn’t finish homwork..______did his sister.9．_____of my parents are teachers.10._____of the students in Class 3 have gone out.11.I have got ten pencils.Two of them are red ,the _______ are blue.12.There is _________ in the room.13.________ of the students is afraid of difficulties.14.She held a pen in one hand and his notebook in the ________.15.I’m new here, so I have ________friends

16.We must be quick.We have ________time left.17．-A latest English newspaper, please!

-Only one copy left.Would you liketo have___? 18.The bag made in Shanghai is better than the _______ made in Guangzhou.