第一篇：廣東省徐聞縣梅溪中學(xué)2013屆中考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題 判別式與韋達(dá)定理

廣東省徐聞縣梅溪中學(xué)2013屆中考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題 判別式與韋

達(dá)定理

〖知識(shí)點(diǎn)〗

一元二次方程根的判別式、判別式與根的個(gè)數(shù)關(guān)系、判別式與根、韋達(dá)定理及其逆定理 〖大綱要求〗

1.掌握一元二次方程根的判別式，會(huì)判斷常數(shù)系數(shù)一元二次方程根的情況。對(duì)含有字母系數(shù)的由一元二次方程，會(huì)根據(jù)字母的取值范圍判斷根的情況，也會(huì)根據(jù)根的情況確定字母的取值范圍；

2.掌握韋達(dá)定理及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用；

3.會(huì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把二次三項(xiàng)式分解因式；

4.會(huì)應(yīng)用一元二次方程的根的判別式和韋達(dá)定理分析解決一些簡(jiǎn)單的綜合性問(wèn)題。內(nèi)容分析

1.一元二次方程的根的判別式

22一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△＝b-4ac

當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

2(1)如果一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1?x2??b，x1x2?c aa

(2)如果方程x+px+q=0的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q

x1x2=q

(3)以x1，x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x-(x1+x2)x+x1x2=0．

2x-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三項(xiàng)式的因式分解(公式法)

22在分解二次三項(xiàng)式ax+bx+c的因式時(shí)，如果可用公式求出方程ax+bx+c=0的兩個(gè)根是

2x1,x2，那么ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

〖考查重點(diǎn)與常見(jiàn)題型〗

1.利用根的判別式判別一元二次方程根的情況，有關(guān)試題出現(xiàn)在選擇題或填空題中，如：

2關(guān)于x的方程ax－2x＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情況是（）

（A）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

（C）沒(méi)有實(shí)數(shù)根（D）不能確定

2.利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求有關(guān)兩根的代數(shù)式的值，有關(guān)問(wèn)題在中考試題中出現(xiàn)的頻率非常高，多為選擇題或填空題，如：

222設(shè)x1，x2是方程2x－6x＋3＝0的兩根，則x1＋x2的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

3．在中考試題中常出現(xiàn)有關(guān)根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系的綜合解答題。在近三年試題中又出現(xiàn)了有關(guān)的開(kāi)放探索型試題，考查了考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

考查題型

21．關(guān)于x的方程ax－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情況是（）22

（A）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

（C）沒(méi)有實(shí)數(shù)根（D）不能確定

2222．設(shè)x1，x2是方程2x－6x＋3＝0的兩根，則x1＋x2的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

3．下列方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（）

（A）2y+5=6y（B）x+5=25 x（C）3 x－2 x+2=0（D）3x－26 x+1=0

4．以方程x＋2x－3＝0的兩個(gè)根的和與積為兩根的一元二次方程是（）

2222（A）y+5y－6=0（B）y+5y＋6=0（C）y－5y＋6=0（D）y－5y－6=0

225．如果x1，x2是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)，且滿足x1－2x1＝1，x2－2x2＝1，那么x1·x2等于（）

（A）2（B）－2（C）1（D）－1

226．如果一元二次方程x＋4x＋k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么k＝

227．如果關(guān)于x的方程2x－(4k+1)x＋2 k－1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍

是

228．已知x1，x2是方程2x－7x＋4＝0的兩根，則x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）

＝

229．若關(guān)于x的方程(m－2)x－(m－2)x＋1＝0的兩個(gè)根互為倒數(shù)，則m＝

二、考點(diǎn)訓(xùn)練：

1、不解方程，判別下列方程根的情況：

（1）x－x=5(2)9x－62 +2=0(3)x－x+2=02、當(dāng)m=時(shí)，方程x+mx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

2當(dāng)m=時(shí)，方程mx+4x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

23、已知關(guān)于x的方程10x－(m+3)x+m－7=0，若有一個(gè)根為0，則m=，這時(shí)方程的另

3一個(gè)根是；若兩根之和為－，則m=，這時(shí)方程的兩個(gè)根為.54、已知3－2 是方程x+mx+7=0的一個(gè)根，求另一個(gè)根及m的值。

5、求證：方程(m+1)x－2mx+(m+4)=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

6、求作一個(gè)一元二次方程使它的兩根分別是1－5 和1+5。

7、設(shè)x1,x2是方程2x+4x－3=0的兩根，利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值：

x2x12(1)(x1+1)(x2+1)（3）x1+ x1x2+2 x1 x1x2

解題指導(dǎo)

221、如果x－2(m+1)x+m+5是一個(gè)完全平方式，則m=;

22、方程2x(mx－4)=x－6沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則最小的整數(shù)m=;

3、已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)兩根的和與兩根的積相等，則m=;

24、設(shè)關(guān)于x的方程x－6x+k=0的兩根是m和n，且3m+2n=20，則k值為;

25、設(shè)方程4x－7x+3=0的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值:

1222(1)x1+x2(2)x1－x2（3ｘ1 ｘ2＊（4）x1x2＋ x1 2

22＊6.實(shí)數(shù)ｓ、ｔ分別滿足方程19ｓ＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ＝0求代數(shù)式2222222222222

2ｓｔ＋4ｓ＋1的值。ｔ

122227.已知a是實(shí)數(shù)，且方程x+2ax+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，試判別方程x+2ax+1x－2

2a－1)=0有無(wú)實(shí)根？

28.求證：不論k為何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的式子(x－1)(x－2)－k都可以分解成兩個(gè)一次因式的積。

29．實(shí)數(shù)K在什么范圍取值時(shí)，方程ｋｘ＋2（ｋ－1）ｘ－（K－1）＝0有實(shí)數(shù)正根？

獨(dú)立訓(xùn)練

（一）1、不解方程，請(qǐng)判別下列方程根的情況；

22(1)2t+3t－4=0,;(2)16x+9=24x,;

2(3)5(u+1)－7u=0,;

222、若方程x－(2m－1)x+m+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是;

3、一元二次方程x+px+q=0兩個(gè)根分別是2+3 和23，則p=,q=;

4、已知方程3x－19x+m=0的一個(gè)根是1，那么它的另一個(gè)根是，m=;

25、若方程x+mx－1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，那么m的值是;

22n6、m,n是關(guān)于x 的方程x-(2m-1)x+m+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m=。

27、已知關(guān)于x的方程x－(k+1)x+k+2=0的兩根的平方和等于6，求k的值;

28、如果α和β是方程2x+3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求作一個(gè)一元二次方程，11使它的兩個(gè)根分別等于α+ 和β+;β α

22229、已知a,b,c是三角形的三邊長(zhǎng)，且方程(a+b+c)x+2(a+b+c)x+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證：這個(gè)三角形是正三角形

2210.取什么實(shí)數(shù)時(shí)，二次三項(xiàng)式2x－(4k+1)x+2k－1可因式分解.12211.已知關(guān)于X的一元二次方程ｍｘ＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的兩實(shí)數(shù)根為α,β，若ｓ＝ α

1＋，求ｓ的取值范圍。β

獨(dú)立訓(xùn)練

（二）21、已知方程x－3x+1=0的兩個(gè)根為α,β，則α+β=, αβ=;

222、如果關(guān)于x的方程x－4x+m=0與x－x－2m=0有一個(gè)根相同，則m的值為;

123、已知方程2x－3x+k=0的兩根之差為2，則k=;2

224、若方程x+(a－2)x－3=0的兩根是1和－3，則a=;

25、方程4x－2(a-b)x－ab=0的根的判別式的值是;

226、若關(guān)于x的方程x+2(m－1)x+4m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根互為倒數(shù)，那么m的值

為;

27、已知p<0,q<0，則一元二次方程x+px+q=0的根的情況是;

28、以方程x－3x－1=0的兩個(gè)根的平方為根的一元二次方程是;

29、設(shè)x1,x2是方程2x－6x+3=0的兩個(gè)根，求下列各式的值：

1122(1)x1x2+x1x2(2)－x1x2

2210．m取什么值時(shí)，方程2x－(4m+1)x+2m－1=0

（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根；

211．設(shè)方程x+px+q=0兩根之比為1:2，根的判別式Δ=1，求p,q的值。22

x12212．是否存在實(shí)數(shù)ｋ，使關(guān)于ｘ的方程9x－(4ｋ－7)x－6ｋ=0的兩個(gè)實(shí)根x1,x2，滿足｜｜ x2

3＝，如果存在，試求出所有滿足條件的ｋ的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。2

第二篇：廣東省廉江市第三中學(xué)2014屆高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)立體幾何歐拉定理與球?qū)W案

廣東省廉江市第三中學(xué)2014屆高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)立體幾何歐拉定理與球

學(xué)案

一、知識(shí)點(diǎn)：

1．簡(jiǎn)單多面體：考慮一個(gè)多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體球面的多面體，叫做2．五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)：

3．歐拉定理（歐拉公式）：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)E有關(guān)系式：V?F?

E?2．4．歐拉示性數(shù)：在歐拉公式中令f(p)?V?F?E，f(p)（1）簡(jiǎn)單多面體的歐拉示性數(shù)f(p)?2．（2）帶一個(gè)洞的多面體的歐拉示性數(shù)f(p)?0（3）多面體所有面的內(nèi)角總和公式：①(E?F)360? 或②(V?2)3600球心，表示它的球心的字母表示，例如球O． 6．球的截面：用一平面?去截一個(gè)球O，設(shè)OO?是平面?的垂線段，O?為垂足，且，所得的截面是以球心在截面內(nèi)的射影為圓心，以r

大圓，被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做7． 經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個(gè)大圓；緯線：與赤道平面平行的平面截

球面所得的小圓；經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與0經(jīng)線及軸確定的8．兩點(diǎn)的球面距離：球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的9．兩點(diǎn)的球面距離公式： AB?R?（其中R為球半徑，?為A,B所對(duì)應(yīng)的球心角的弧度數(shù)）已知半徑為R的球O，用過(guò)球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的兩個(gè)半球，截面圓O（包含它內(nèi)部的點(diǎn)），叫做所得11．球的體積公式：V?

4?R

312 S?4?R

2二、練習(xí)：n面體共有8條棱，5個(gè)頂點(diǎn)，求2．一個(gè)正n面體共有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處共有三條棱，求3．一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點(diǎn)數(shù)V和面數(shù)F有下面的關(guān)系：F＝2V－

44．有沒(méi)有棱數(shù)是75．是①過(guò)球面上任意兩點(diǎn)，作球的大圓的個(gè)數(shù)是．

②球半徑為25cm，球心到截面距離為24cm，則截面面積為．

③已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別是5?和8?，它們位于球心同一側(cè)，且相距1，則球半徑是． ④球O直徑為4，A,B

為球面上的兩點(diǎn)且AB?A,B兩點(diǎn)的球面距離為． ⑤北緯60圈上M,N兩地，它們?cè)诰暥热ι系幕￠L(zhǎng)是

離為

． ?R（R為地球半徑），則這兩地間的球面距

2練習(xí)參考答案：n面體共有8條棱，5個(gè)頂點(diǎn)，求解：∵V?F?E?2，∴F?E?2?V?5，即n?5．

2．一個(gè)正n面體共有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處共有三條棱，求解：∵V?8，E?8?3?12，∴F?E?2?V?6，即n?6． 2

3．一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點(diǎn)數(shù)V和面數(shù)F有下面的關(guān)系：F＝2V－4 證明：∵E＝3F3，V＋F－E＝2 ∴V＋F－F＝2 ∴F＝2V－4 22

4．有沒(méi)有棱數(shù)是7解：若E＝7，∵V＋F－E＝2，∴V＋F＝7＋2＝9，∵多面體的頂點(diǎn)數(shù)V≥4，面數(shù)F≥4

∴只有兩種情況V＝4，F(xiàn)＝5或V＝5，F(xiàn)＝4，但是有4個(gè)頂點(diǎn)的多面體只有四個(gè)面，不可能是5個(gè)面，有四個(gè)面的多面體是四面體，也只有四個(gè)頂點(diǎn)，不可能有5個(gè)頂點(diǎn)，∴沒(méi)有棱數(shù)是7的多面體 5解：設(shè)有一個(gè)多面體，有F（奇數(shù)）個(gè)面，并且每個(gè)面的邊數(shù)n1,n2?nF也都是奇數(shù)，則，結(jié)果仍為奇數(shù)，可右端是偶數(shù)，這n1?n2???nF?2E，但是上式左端是奇數(shù)個(gè)“奇數(shù)相加” ①過(guò)球面上任意兩點(diǎn)，作球的大圓的個(gè)數(shù)是．

②球半徑為25cm，球心到截面距離為24cm，則截面面積為．

③已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別是5?和8?，它們位于球心同一側(cè)，且相距1，則球半徑是． ④球O直徑為4，A,B

為球面上的兩點(diǎn)且AB?A,B兩點(diǎn)的球面距離為． ⑤北緯60圈上M,N兩地，它們?cè)诰暥热ι系幕￠L(zhǎng)是

離為．

答案：①一個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)②49m③3④2?R（R為地球半徑），則這兩地間的球面距24??⑤

39.設(shè)地球的半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度相差90°，那么這兩點(diǎn)間的緯線的長(zhǎng)為_(kāi)________，兩點(diǎn)間的球面距離是_________．

分析：求A、B兩點(diǎn)間的球面距離，就是求過(guò)球心和點(diǎn)A、B的大圓的劣弧長(zhǎng)，因而應(yīng)先求出弦AB的長(zhǎng)，所以要先求出A、B兩點(diǎn)所在緯度圈的半徑．

解：連結(jié)AB．設(shè)地球球心為O，北緯45°圈中心為O1，則

O1O⊥O1A，O1O⊥O1B．

∴ ?O1AO??O1BO??AOC?45?．

∴O1A＝O1B＝O1O＝OA?cos45?＝

22R．

∴ 兩點(diǎn)間的緯線的長(zhǎng)為：?2

2?2R?2

4R．

∵A、B兩點(diǎn)的經(jīng)度相差90°，∴ ?AO?

1B?90．

在Rt△AO1B中，AB?2AO1?R，∴ OA?AB?OB，?AOB??

3．∴ 兩點(diǎn)間的球面距離是：?

3R．

16．表面積為324?的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14解：設(shè)球半徑為R，正四棱柱底面邊長(zhǎng)為a，則作軸截面如圖，AA??

14，AC?，又∵4?R2?324?，∴R?9，∴AC??a?8，∴S表?64?2?32?14?576．

17．正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，球O是內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個(gè)面和球O都相切的一個(gè)小球，求球O1的體積． 分析：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等． 解：如圖，設(shè)球O半徑為R，球O1的半徑為r，E為CD中點(diǎn)，球O與平面ACD、BCD切于點(diǎn)F、G，球O1與平面ACD切于點(diǎn)H．

由題設(shè)AG?AE2?GE2?6a． 3

a?RR?，得R? a．123aa62∵ △AOF∽△AEG∴

a?2R?rr6?，得r?∵ △AO1H∽△AOF∴a． R246a?R3

∴ V球O1434?6?63????r???aa． ?33?241728??

積相3另法：以O(shè)為頂點(diǎn)將正四面體分成相等體積的四個(gè)三棱錐，用體

等法，可以得到R?OG?11AG?

h，h?，44111r?(h)?h?a。

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