第一篇：極限解法以及收斂性的判斷小結(jié)
極限解法以及收斂性的判斷小結(jié)
摘要:極限作為分析學(xué)的基礎(chǔ)，再數(shù)學(xué)中具有重要的地位。本文簡(jiǎn)述了一些極限的解法，和其斂散性判斷的方法以及其中包含的一些概念。
關(guān)鍵詞：分析；極限；斂散性；解法
A summarize of the solutions of the limit and the judgments
of convergent
HAO Sanqiang
(China University of GeosciencesCollege of EngineeringExperimental Class of Geo engineeringWu Han 430074)
Abstract: As the basement of the analysis, limit is very important in mathematics.This paper lists some solutions of the limit and some concepts of limit included.Some judgments of convergent is also included.Keyword: Analysis;Limit;Convergent;Solutions
1極限的解法
1.1定義：對(duì)與簡(jiǎn)單的函數(shù)，先假設(shè)極限值再通過(guò)利用定義的證明得出極限值。
1.1.1數(shù)列極限：limxn?a????0,?N?0:?n?N有xn?a??n??1n?limsin 例：求n??n4111n?n? 解：通過(guò)觀察可假設(shè)其值為零，要使令 ???0,??sin?nn4 1n?1n??1?limsin?0。N???，則當(dāng)n>N時(shí)，就有sin??即n??n4n4?n?
1.1.2.函數(shù)極限：limf(x)?a????0,?X?0:?x?X有 f(x)?a??x??limf(x)?a????0,?X?0:?x?Xf(x)?a??x???有 limf(x)?a????0,?X?0:?x??X有f(x)?a??x???limf(x)?A????0,???0:?x:0?x?a??f(x)?a??x?a有
limf(x)?A????0,???0:?x:0?x?a??有 f(x)?a??x??a
limf(x)?A????0,???0:?x:???x?a?0有 f(x)?a??
x??a
例：設(shè)a是正常數(shù)，求limx?a
x??1??a?a???0要使解：通過(guò)觀察可假設(shè)其值為零，x??即x???x??a∴取
1?a?a?，則當(dāng)時(shí)這說(shuō)明limx?0x?Xx?0??x??X??a
1.1.3特殊的極限：無(wú)窮大與無(wú)窮?。O限值為零）有f(x)??limf(x)?0????0,?X?0:?x?X
x??
有 f(x)??
limf(x)?0????0,?X?0:?x?Xx???
limf(x)?0????0,?X?0:?x??X有 f(x)??x???
limf(x)?0????0,???0:?x:0?x?a??f(x)??x?a有
limf(x)?0????0,???0:?x:0?x?a??有f(x)??x??a
limf(x)?0????0,???0:?x:???x?a?0有 f(x)??
x??a
1.2.兩邊夾定理：對(duì)數(shù)列（或函數(shù)）進(jìn)行放縮（使兩邊極限值相等），分別對(duì)放縮的兩邊求極限，最后得值。定義1）：設(shè)limyn?limzn?a，且當(dāng)n充分大時(shí)?xn?收斂，yn?xn?zn，則數(shù)列
n??n??
且.limxn?a
n??
定義2）：若在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)limg?x??limh?x??Ag?x??f?x??h?x?，且
x?ax?a，則 limf?x??A
x?a
lim4n?5n5?5n?lim4n?5n?5n?5n?52由兩邊夾定理 例：求解：n??n??
4n?5n?5可知 limn??
1.3區(qū)間套準(zhǔn)則：對(duì)于滿足閉區(qū)間套條件的兩數(shù)列，可用區(qū)間套定理得到極限值。定義1）：稱(chēng)滿足下列兩個(gè)條件的閉區(qū)間列an,bn為閉區(qū)間套，簡(jiǎn)稱(chēng)區(qū)間套：（1）a1,b1??a2,b2?????an,bn???（稱(chēng)an,bn是漸縮的）
（2）lim?bn?an??0
n??
定義2）：設(shè)an,bn為實(shí)數(shù)軸上的閉區(qū)間套，則存在唯一的實(shí)數(shù)ξ，對(duì)任意正整數(shù)n，都有l(wèi)iman?limbn????an,bn且.n??n??
1.4復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則：將函數(shù)中復(fù)雜部分替代為簡(jiǎn)單的部分，使函數(shù)形式簡(jiǎn)化得值。定義：設(shè)lim??x??a，但在點(diǎn)τ的某去心鄰域內(nèi)limf?x??A，則復(fù) ??t??a，又
t??x?a
t??時(shí)極限也存在，且 limf???t???limf?x??A合函數(shù)f???t??當(dāng)
t??x?a
t1
1?lime?0x?0t???∴原式變?yōu)?t??2當(dāng)例：求解：設(shè)t???limex
xx?0
1.5兩個(gè)重要極限：利用重要極限進(jìn)行函數(shù)形式的變化，計(jì)算極限值。x
sinx1?? lim?1lim?1???ex?0x??x?x?
????
????
????
??
??
例1）：
xn
x?? nn?n?????1????enlim1??lim??例2）： x??
?x?x????x??
??
1.6等價(jià)無(wú)窮?。豪玫葍r(jià)無(wú)窮小進(jìn)行函數(shù)形式的變化，計(jì)算極限值。常用等價(jià)無(wú)窮小總結(jié)： x?0
x1x2
sinx～xtanx～x1-cosx～～ ??log1?x?x?1a
nlna2
ax?1～xlna(1?x)a?1～ax?x?113lim3?lim?例：（～x/2x?3x～3x）?x?1x?0x?3xx?03x6
1.7 洛必達(dá)法則：解決符合不定式形式的極限問(wèn)題。定義1）：（關(guān)于0/0型）若函數(shù)f（x）、g（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域o0(x0)內(nèi) 有定
limf?x??0,limg?x??0;x?x0x?x0義，且滿足（1）（2）f（x）、g（x）在某個(gè)空心鄰域o0(x0)
f??x?
lim?A?x0g?x內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，而且（其中A為有限值或?yàn)椤蓿?，則有g(shù)??x??0;（3）x
f?x?f??x?
lim?lim?Ax?xx?x 0gx0g?x定義2）：（關(guān)于∞/∞型）與定義1）相似，故省略。
exexexexexex
例：求極限解：limlim?lim3?lim?lim?lim???
x?x??x4x???x4x???4xx???12x2x???24xx???2
41.8泰勒公式：利用泰勒公式將函數(shù)合并同類(lèi)項(xiàng)，求解極限。
f???x0?fn?x0?2
泰勒公式：?x?x0????x?x0?n?o?x?x0?nf? x??f?x0??f??x0??x?x0??
2!n!nf???0?2
馬克勞林公式?x???f?0??x?n?oxnf?x??f?0??f??0??x??
2!n!sinx?xcosx
lim
例：求極限 x?0ln?1?x??x2?sinx
x?x?ox3sinx?x?x3?ox3xcosx?x?x3?ox3??ln1?x?x? 解：；； 3
x?ox3
sinx?xcosx2lim?lim?2x?0x?0x33x??ln1?x??sinx?ox3 1.9定積分求極限：利用定積分求解部分特殊極限。（運(yùn)用定義與牛頓-萊布尼茲公式）
nbb
f?x?dx?limf??i??xi??F?x??aa??0 p
1?2P??npi?1
例： 求 lim?p?0?p?1n??n
x
sinxnnsinx3lim3?lim?xnxx?0n??3
3n
??
??
??????
???
?
ppPp??1?p?2?p?1?2??n1n?? lim?lim???????????p?1n??n??nn?n??n?? ??n??? p?1
11?x?1
??xpdx????0p?1??0p?1
2．極限斂散性的判斷
2.1定義：通過(guò)定義的直接證明極限的斂散性。（數(shù)列、函數(shù)極限）
例：證明由limf?x?發(fā)散 f?x???x?構(gòu)成的極限
x?n
證：求f（x）在點(diǎn)左右的極限值分別為n-1與n故可知f(x)在n處無(wú)極限。故limf?x?發(fā)散。
x?n
2.2單調(diào)有界定理：通過(guò)證明數(shù)列既單調(diào)又有界可以證明數(shù)列極限收斂。（數(shù)列極限）2.3柯西收斂準(zhǔn)則：通過(guò)證明滿足準(zhǔn)則可以證明極限收斂。（數(shù)列、函數(shù)極限）2.4海涅定理：證明函數(shù)不滿足海涅定理來(lái)證明其發(fā)散（函數(shù)極限）
參考文獻(xiàn)：
〔1〕趙晶、李宏偉.《工科數(shù)學(xué)分析》.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)出版社2010.9
第二篇：一元二次方程的解法小結(jié)
一元二次方程的解法小結(jié)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.會(huì)選擇利用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?/p>
2.體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，靈活選擇解方程的方法．
【前置學(xué)習(xí)】
一、自主學(xué)習(xí)（自主探究）：
1.獨(dú)立思考·解決問(wèn)題
解下列方程：
（1）；
（2）x2＋2x＝0；
（3）3x（x－2）＝2（x－2）
（4）（x＋3）2＝（2x－5）2；
（5）x2－x＋1＝0；
（6）（x－2）（x＋3）＝66．
2.合作探究·解決問(wèn)題
通過(guò)對(duì)以上方程的解法，你能說(shuō)出解一元二次方程的基本思路，總結(jié)出對(duì)于不同特點(diǎn)的一元二次方程選擇什么樣的方法去解了嗎？
知識(shí)匯總
（1）.解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為，即
．
（2）.一元二次方程主要有四種解法，它們的理論根據(jù)和適用范圍如下表：
方法名稱(chēng)
理論根據(jù)
適用方程的形式
直接開(kāi)平方法
平方根的定義
配方法
完全平方公式
公式法
配方法
因式分解法
兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)等于0
（3）.一般考慮選擇方法的順序是：
法、法、法或
法
二、疑難摘要：
【學(xué)習(xí)探究】
一、合作交流，解決困惑：
1.小組交流：（在小組內(nèi)說(shuō)說(shuō)通過(guò)自主學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了什么？你的疑難與困惑是什么？請(qǐng)同伴幫你解決.）
2.班級(jí)展示與教師點(diǎn)撥：
展示1：用直接開(kāi)方法解方程：（1）；
（2）．
展示2：用因式分解法解方程：（1）；
（2）．
展示3：用配方法解方程：（1）；
（2）．
展示4：用公式法解方程：（1）；
（2）．
二、反思與總結(jié)：本節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么？你有哪些收獲與體會(huì)？
【自我檢測(cè)】
選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?
1.x2－3x＝0；
2.x2＋2x－8＝0；
3.3x2＝4x－1；
4.（x－2）（x－3）＝6；
5.（2x－1）2＝4x－2；
6.（3x－1）2＝（x＋5）2；
7.x2-7x＝0；
8.x2＋12x＝27；
9.x（x－2）－x＋2＝0；
10.；
11.．
12.(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)
第三篇：求極限的方法小結(jié)
求極限的方法小結(jié) 要了解極限首先看看的定義哦 A.某點(diǎn)處的極限與該點(diǎn)處有無(wú)定義和連續(xù)無(wú)關(guān)，但在該點(diǎn)周?chē)?數(shù)列除外）的必 某點(diǎn)處的極限與該點(diǎn)處有無(wú)定義和連續(xù)無(wú)關(guān)，某點(diǎn)處的極限與該點(diǎn)處有無(wú)定義和連續(xù)無(wú)關(guān) 但在該點(diǎn)周?chē)?數(shù)列除外）須連續(xù) B.了解左右極限的定義 了解左右極限的定義 C.極限的四則和乘方運(yùn)算 D.區(qū)別數(shù)列極限與函數(shù)極限的不同之處 D.區(qū)別數(shù)列極限與函數(shù)極限的不同之處 E.注意自變量在趨近值的微小范圍內(nèi) 注意自變量在趨近值的微小范圍內(nèi)，E.注意自變量在趨近值的微小范圍內(nèi)，可以利用它同 B 一起去絕對(duì)值
1、代入法——在極限點(diǎn)處利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 ——在極限點(diǎn)處利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、代入法—— Lim(x+1)=2(x->1)2.約分法——分解因式 Lim(x2-1)/(x-1)=2(x->1)約分法—— ——分解因式 這只是最簡(jiǎn)單的約分法，同時(shí)還有分母，分子有理化。通分后在用約分法）（這只是最簡(jiǎn)單的約分法，同時(shí)還有分母，分子有理化。通分后在用約分法）3.利用圖象——反比例函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)。。。利用圖象——反比例函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)。。。——反比例函數(shù) Lim1/x=0(x->∞),limax=0(1
4、比值法、Lima n/n!(n->∞,a>0)因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋╝ n+1 /（n+1）!）/（a n/n!）=a/(n+1)(n->∞,a>0)（）））n+1 n 所以 0<（a /（n+1）!）/（a /n!）=a/(n+1)<1 所以 Lima n/n!=0（（）））n 2(求 limn /n!=_(n->∞)求
5、極限與導(dǎo)數(shù) —— 利用導(dǎo)數(shù)的定義 Lim(e x-1)/x=（ex）、（x=0）=1(x->0)——利用導(dǎo)數(shù)的定義、極限與導(dǎo)數(shù)——（）6.有界函數(shù)與無(wú)窮小的積仍為無(wú)窮小 Limsinx/x=0(x->-∞)7.利用等價(jià)無(wú)窮小 X~sinx~tanx~arctanx ~ e x-1~ln(x+1),1-cosx~1/2*x 2 ,(1+ax)b-1~abx, a x-1~xlna< x->0> Limtan 2 x/(1-cosx)=2(x->0)（在利用無(wú)窮小時(shí)注意它不是充分必要的即應(yīng)用無(wú)窮小轉(zhuǎn)化后若極限不存 不能得到原極限不存在）在，不能得到原極限不存在）8.利用重要極限 利用重要極限____lim(1+x)1/x=e(1 ∞)利用重要極限 Lim(1+sin2x)x2=elim sin2x/x2(解釋 sin2x/x2)=e(中間的配湊略 中間的配湊略)解釋 中間的配湊略 1/f(x)limg(x)/f(x)Lim(1+g(x))=e(g(x),f(x)都是無(wú)窮小 都是無(wú)窮小)都是無(wú)窮小 ∞(1 是很重要的一個(gè)極限，它可以用取對(duì)數(shù)法，還有就是上面的 取對(duì)數(shù)法是冪指 是很重要的一個(gè)極限，它可以用取對(duì)數(shù)法，還有就是上面的.取對(duì)數(shù)法是冪指 函數(shù)的通法，時(shí)上述方法就顯得更簡(jiǎn)單了恩）函數(shù)的通法，當(dāng)看見(jiàn) 1∞時(shí)上述方法就顯得更簡(jiǎn)單了恩）9.利用洛比達(dá)法則 可轉(zhuǎn)化
為 0/0, ∞/∞型)利用洛比達(dá)法則(可轉(zhuǎn)化為 Lim=x/sinx(x->0)利用洛比達(dá)法則 型 洛比達(dá)法則哈只需稍微的轉(zhuǎn)化哈。（對(duì)于未定式都可用 洛比達(dá)法則哈只需稍微的轉(zhuǎn)化哈。同時(shí)它同 7 一樣都不是 充要的哦)充要的哦)10.利用泰勒公式 利用泰勒公式 Lim(sinx-xcosx)/sinx 3(x->0)=lim(x-x 3 /3!+o(x 3)-x+x 2 /2!-0(x 3))/x 3 =lim(x 3 /3+o(x 3))/ x 3 =1/3(在極限中很少用，但可以解決一些特殊的高數(shù)上有哈）在極限中很少用，在極限中很少用 但可以解決一些特殊的高數(shù)上有哈）11.極限與積分 ___就是利用積分的定義 極限與積分 就是利用積分的定義 _______
解:
=
12.利用柯西準(zhǔn)則來(lái)求！12.利用柯西準(zhǔn)則來(lái)求！利用柯西準(zhǔn)則來(lái)求 柯西準(zhǔn)則： 要使{xn} {xn}有極限的充要條件使任給 ε>0,存在自然數(shù) 柯西準(zhǔn)則 ： 要使 {xn} 有極限的充要條件使任給 ε>0, 存在自然數(shù) N，使 得當(dāng) n>N 時(shí)，對(duì)于 |xn任意的自然數(shù) m 有 |xn1)/(x^1/n-1)：＝n/m.可令 x=y^mn 得 ：＝ n/m.14.利用單調(diào)有界必有極限來(lái)求 14.利用單調(diào)有界必有極限來(lái)求 證明： x1＝。。。）存在極限 存在極限，證明：數(shù)列 x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5(n=1,2,。。。）存在極限，并求出極限值 x1=√2＜2,設(shè) xn＜2,則 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ 由歸納法 x1=√2＜2,設(shè) xn＜2,則 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞ 2,xn 有 界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn 有 界,∴xn 有極限 a,在 x(n+1)=(2+xn)^0.5 兩邊取極限 a,在 :a∧2-2=0,a=2,(a=得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1 舍).15.利用夾逼準(zhǔn)則求極限 15.利用夾逼準(zhǔn)則求極限 16.求數(shù)列極限時(shí) 可以先算出其極限值，然后再證明。求數(shù)列極限時(shí)，16.求數(shù)列極限時(shí)，可以先算出其極限值，然后再證明。17.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 17.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 18.利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限 18.利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限
第四篇：1-1求極限方法小結(jié)
求極限方法小結(jié)
求極限方法大概歸結(jié)為：一 利用單調(diào)有界數(shù)列有極限先證明極限的存在性，再利用題中條件求出極限。二 轉(zhuǎn)化為已知極限。這里通常利用如下手段進(jìn)行轉(zhuǎn)化。
（一）夾逼定理
（二）初等變形，如分解因式、有理化、換元等。其依據(jù)為極限的運(yùn)算法則（四則運(yùn)算法則、復(fù)合法則、有界乘無(wú)窮小、連續(xù)函數(shù)極限值等于函數(shù)值、將求數(shù)列極限有的可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限、泰勒公式）
（三）an?a,等價(jià)無(wú)窮小替換
（四）洛必達(dá)法則及中值定理
（五）公式：limn??
則limn??a1?a2??
?an?a；?a
（六）轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)。三 轉(zhuǎn)化nn
為定積分。另外對(duì)分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限可能要考察左右極限。記
an?0住以下極限是有好處的。limn??
nx?a?
1?；n?1?a?
0?；
?1nsinx01??1??lim?11；lim?，（型）；（型）1??elim1??e????x?0n??x??x0nx????
一 利用單調(diào)有界數(shù)列定理求極限
例 1 x1?
3，xn?1?limxn n??
練習(xí)x1，xn?1?limxn n??
2x1?11，xn?1??1?xn?，求limxn n??22
n?? 例 2 已知0?x1??，xn?1?sinxn，求limxn
練習(xí)limsinsin?sinn n??
n??例3已知方程xn?xn?1???x?1(n?2)在?0,1?內(nèi)有唯一正根記為xn，證明limxn
存在并求limxn。n??
二 轉(zhuǎn)化為已知極限
（一）夾逼定理
例1 lim
n!，n??nn
??
例lim???n??
11??1
練習(xí)1 lim?2?2???2? n??n?1n?2n?n??
：n3
：
nx?1?lim(1?2例3(1)lim(2)x?x???x?0?
?x??
?3).x
（二）初等變形
?2n?1?)13
例1（1）lim(3?3???3n??
nnn
?)(1?)(1?練習(xí)1：lim(1
n??x3?3x?2
（2）lim x?1x4?4x?3
3161112)2：lim(1?2)(1?2)(1?2)n??23nn(n?1)
x?x2?x3???xn?n3??1
lim練習(xí)1：lim?，2： 3
： ?3?x?1x?11?xx?x?11?x??
（3）lim
x??
2x?1
x2
2ex?e?x2ex?e?xln(1?2x)
練習(xí)1：xlim，2：xlim 3:lim ???ex?2e?x???ex?2e?xx???ln(1?3x)例2
（有理化）n??
練習(xí)1
：x?1
：x?0?x)tanx 例3（換元）lim(1
x?1
?
2sinx
例4（有界乘無(wú)窮?。﹍im x??x
arctanx lim練習(xí)1：lim 2：x??x?01?cosxln(1?x)x
sinx?x2sin
1?1 例5（將求數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限）lim
n??1?nsin
n
ntan
1?11???cos練習(xí)1：lim2：limcos?? ???n??n??n?nn???
n2
n
例6（兩個(gè)重要極限的應(yīng)用）
nsin（1）lim
n??
xn
練習(xí)1：lim
x?0
sinxn
?sinx?
x
m
2：lim
x?a
sinx?sina
x?a
x?2?
（2）lim??? x??x?1??
?1?
練習(xí)1：lim?1??2：lim?cosx? x?0x??
?x?
kx
ln1?x1
?cosx
x4
xsinx?2(1?cosx)sinx?tanx
lim練習(xí)1：lim2： 43x?0x?0xx
（三）等價(jià)無(wú)窮小替換
例7（泰勒公式）lim
x?0
e
?
x22
x?0時(shí)，sinx?x，tanx?x，arcsinx?x，arctanx?x，1?cosx?
12x 2
ln(1?x)?x；ex?1?x；?1?x??1??x 例1 lim
x?0
?
tanx?sinx
sinx
練習(xí)1：lim
x?1
1?cos?x
?x?1?
：
x?0
例2 lim
x?0
ln?x?ex?x?x
1x
?3x?5x?1?sinx?cosxlim?lim練習(xí)1
： 2： 3: ?x?0x?01?sinpx?cospxx?12??
esinx?1
例3 lim x?0arcsinx2
ecosx?e
練習(xí)limx?0tan2x例4
x?0ln1?xe?1
（四）洛必達(dá)法則
0?x?sinxlncosax
lim例1（，型）（1）lim（2）x?0x?00x?xcosxlncosbx?
x?0
練習(xí)1
：2：
x?1?sinx32
?1
練習(xí)1：lim
x?a
lnx
4：xlim
???xn
(1?x)?ea?x1?2sinx
2：lim 3：lim ?x?0x?xx?acos3xxn
?n?0? 5：xlim
???e?x
xa
1x
???0,n為自然數(shù)?
例2（???型）lim（11?)x?0x2xtanx
11111?)2：lim(?x)3：lim(x?x2ln(1?))練習(xí)1：lim（x?1lnxx?0xx??x?1e?1x
x
x???tan 例3（0??型）lim?x??2arcsinxcotx 2：limlnxln(x?1)練習(xí)1：lim
x?0
x?1?
x（2）lim?1?x?例4（?0?1型）（1）limx??
?
1x
cos
?x
x?1
?
x（3）limx?1
11?x
例5（微分中值定理）（1）lim
x?0
tanx?tansinxsectanx?secsinx
lim（2）33x?0sin2x?sinxcostanx?cossinx
??
a?b2???lim練習(xí)1：lim? 2：arctanx?a?0,b?0? ???x?0?x???????2???a?a?
??an
?a；?a
（五）公式：liman?a,則lim12
n??n??nn
例
（六）轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)
x
1x1x
x
三 轉(zhuǎn)化為定積分
1n例 limn??ni?1
1p???np練習(xí)1
：limln 2：lim
n??n??np?1n
?p?0?
四 考察左右極限
??x2?esinx? 例 lim?1?x?0?x?x
?e?1???
五 關(guān)于含參極限及已知極限確定參數(shù)
例1（含參極限）
x2?(a?1)x?a1:limx?ax3?a3
(x?a)(x?1)(x?1)
?lim?lim2x?a(x?a)(x2?ax?a2)x?a(x?ax?a2)?a?1
?2a?0??3a?a?0??
1?
練習(xí)limxsin
x?0x
2（已知極限確定參數(shù)）（1）x?0
?求出a,b。
（2）lim?x??)?0求
?,?
x???
并求limx?x??)（a?0)
x???
由lim?x??)?
0有0?lim
x???
x???
?x??
x
?x??
?lim?)??
x???x得?
??lim)=lim
x???
x?
求limx?x?
?)
x???
?limx?
x???
?lim
x???
?lim
b2
(c?)x
x???
b2c?
2??
(x2?1)2?a?b(x?1)?c(x?1)2
練習(xí)lim?0求a,b,c.2x?1(x?1)
第五篇：數(shù)學(xué)_學(xué)年論文_畢業(yè)論文_行列式解法小結(jié)
行列式的解法小結(jié)
摘要：本文列舉了行列式的幾種計(jì)算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了這幾種方法的使用條件。
關(guān)鍵詞：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循環(huán)行列式
行列式的計(jì)算是一個(gè)很重要的問(wèn)題，也是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，階數(shù)不超過(guò)3的行列式可直接按行列式的定義求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定義求值。對(duì)于一般n階行列式，特別是當(dāng)n較大時(shí)，直接用定義計(jì)算行列式幾乎是不可能的事。因此，研究一般n階行列式的計(jì)算方法是十分必要的。由于不存在計(jì)算n階行列式的一般方法，所以，本文只給出八種特殊的計(jì)算方法，基本上可解決一般n階行列式的計(jì)算問(wèn)題。升階法
在計(jì)算行列式時(shí)，我們往往先利用行列式的性質(zhì)變換給定的行列式，再用展 開(kāi)定理使之降階，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。有時(shí)與此相反，即在原行列式的基礎(chǔ)上 添行加列使其升階構(gòu)造一個(gè)容易計(jì)算的新行列式，進(jìn)而求出原行列式的值。這種 計(jì)算行列式的方法稱(chēng)為升階法。凡可利用升階法計(jì)算的行列式具有的特點(diǎn)是：除 主對(duì)角線上的元素外，其余的元素都相同，或任兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例。升 階時(shí)，新行（列）由哪些元素組成？添加在哪個(gè)位置？這要根據(jù)原行列式的特點(diǎn) 作出選擇。
c?a21例1計(jì)算n階行列式 Dn?a1a2?ana2ana1an???1a1an?a1c00a2a1?ana1???c?a2?a2an22?c?an，其中c?0
10a1c?a21a2a1?ana1a2a1a2?ana2a2?an0c0???00 c?a1??an解 Dn?0?0c?a2?a2an??a222?c?an????將最后一個(gè)行列式的第j列的c?1aj?1倍加到第一列（j?2,3?n?1)，就可以
?1n變?yōu)樯先切涡辛惺?，其主?duì)角線上的元素為1+c?ai?12i,c,c,?,c
n?1n故
Dn?cn?c
?ai?12i
1x1x21?x1n?2x1n1x2x22?nx2?????1xn2xn例2 計(jì)算n階行列式Dn??xnn
n?2n?2x2?xn解
好象范德蒙行列式，但并不是，為了利用范德蒙行列式的結(jié)果，令
1x1x121x22x2????1xn2xn1yy2? yn?2yn?1yn
Dn??x1n?2x1n?1x1n??n?2n?2x2?xnn?1n?1x2?xnnx2?nxn
按第n?1列展開(kāi)，則得到一個(gè)關(guān)于y的多項(xiàng)式，yn?1的系數(shù)為(?1)n?1?nDn??Dn。另一方面Dn?1?1?j?i?n?(xi?xj)*?(y?xi)
i?1n顯然，Dn?1中yn?1的系數(shù)為所以Dn??xi*i?1n1?j?i?n?(xi?xj)??(x1?x2???xn)?
1?j?i?n?(xi?xj)
2利用遞推關(guān)系法
所謂利用遞推關(guān)系法，就是先建立同類(lèi)型n階與n-1階（或更低階）行列式之間的關(guān)系——遞推關(guān)系式，再利用遞推關(guān)系求出原行列式的值。
abac???bbacc例3計(jì)算n階行列式 Dn?????，其中b?c,bc?0
解 將Dn的第一行視為(a?c)?c,0?c,?0?c,據(jù)行列式的性質(zhì)，得
a?c?cbac???bba?a?c0?0bac???bba?cccbac???bba
Dn?0?c?0?c??????????
Dn?(a?c)Dn?1?c(a?b)n?
1(1)
于b與c的對(duì)稱(chēng)性，不難得到Dn?(a?b)Dn?1?b(a?c)n?1
(2)聯(lián)立（1），(2）解之，得Dn?(b?c)?1b(a?c)n?c(a?b)n
a?b10?00aba?b1?000ab?00????000?0000?aba?b??例4計(jì)算n階行列式 Dn?a?b?
?a?b
10ab?00???00?100? aba?ba?b?解將Dn按第一行展開(kāi)，得Dn??a?b?Dn?1?ab?00?a?b于是得到一個(gè)遞推關(guān)系式Dn?(a?b)Dn?1?abDn?2，變形得Dn?bDn?1?a(Dn?1?bDn?1)
易知 Dn?bDn?1?a2(Dn?2?bDn?3)?a3(Dn?3?bDn?4)
???an?2(D2?bD1)?an?2(a?b)2?ab?b(a?b)?an
所以Dn?an?bDn?1，據(jù)此關(guān)系式在遞推，有
Dn?an?b(an?1?bDn?2)?an?an?1b?b2Dn?2
??
???an?an?1b???a2bn?2?bn?1D1?an?an?1b???abn?1?bn
如果我們將Dn的第一列元素看作a?b,1+0,……0+0,按第一列坼成兩個(gè)行 列式的和，那么可直接得到遞推關(guān)系式Dn?an?bDn?1，同樣可得Dn的值?；切畏?/p>
此種方法是利用行列式的性質(zhì)把給定的行列式表為一個(gè)非零數(shù)與一個(gè)三角形行列式之積，所謂三角形行列式是位于對(duì)角線一側(cè)的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主對(duì)角線的三角形行列式等于主對(duì)角線上元素之積，涉及次對(duì)角線的N階三角形行列式等于次對(duì)角線上元素之積且?guī)Х?hào)
abab??????bbabba1??a??n?1?b??00b?0??b0?a?b?bb1bab11例5計(jì)算N階行列式Dn?????
解 Dn??a??n?1?b?????
?a?b
?a?(n?1)b?(a?b)n?1 利用范德蒙（Vandermonde）行列式法
著名的范德蒙行列式，在線性代數(shù)中占有重要地位，研究它的應(yīng)用引起了一些數(shù)學(xué)家的興趣，因此在計(jì)算行列式時(shí)，可直接用其結(jié)果。
1x1(x1?1)1x2(x2?1)2x2(x2?1)????1xn(xn?1)2xn(xn?1)
例6 計(jì)算n階行列式Dn?x12(x1?1)???n?1n?1x1n?1(x1?1)x2(x2?1)?xn(xn?1)
解 將第一行可視為x1?(x1?1),x2?(x2?1),?xn?(xn?1)，再由行列式的性
x1質(zhì)，得Dn?x2x2(x2?1)????xnxn(xn?1)?
x1(x1?1)?n?1n?1x1n?1(x1?1)x2(x2?1)?xn(xn?1)4
x1?1
?x2?1x2(x2?1)xn?1xn(xn?1)n?1xn(xn?1)x1(x1?1)
n?1x1n?1(x1?1)x2(x2?1)把第一個(gè)行列式從第一行起依次將i行加到i?1行；第二個(gè)行列式的第i列提取xi?1(i?1,2,3?n),得
x1Dn?x12?x1nx2??xn????(xi?1)i?1n1x1(x1?1)?1x2(x2?1)????1xn(xn?1)? 22x2?xnnnx2?xnn?1n?1x1n?1(x1?1)x2(x2?1)?xn(xn?1)n?n?=??xi??(xi?1)?*?(xi?xj)
i?1?i?1?1?j?i?n5 利用乘法定理法
在計(jì)算行列式時(shí)，有時(shí)可以用乘法定理，將給定的行列式表為兩個(gè)容易計(jì)算的或已知的行列式的乘積，從而求出給定行列式的值；有時(shí)不直接計(jì)算給定的行列式，而是選一個(gè)適當(dāng)?shù)呐c給定行列式同階的行列式，計(jì)算兩行列式的乘積，由此求出給定行列式的值，這樣也可使問(wèn)題簡(jiǎn)單。
1?a1b1例7計(jì)算n階行列式Dn?1?a1b2?1b1100?1?a1bn????10 01?a2b11?a2b2?1?a2bn??1?anb11?anb2?1?anbn
1a1a2an000?0?0?0
解 Dn?11b2?bn??????00????所以，當(dāng)n?2時(shí)，Dn?0；
當(dāng)n?2時(shí)，D2?(a2?a1)(b2?b1)當(dāng)n?1時(shí)，D1?1?a1b1 利用拉普拉斯（Laplace）定理法
拉普拉斯定理，在計(jì)算行列式時(shí)，主要應(yīng)用k=1的情形，而很少用一般形式，不過(guò)當(dāng)行列式里零元素很多時(shí)，運(yùn)用一般情形的拉普拉斯定理，往往會(huì)給行列式的計(jì)算帶來(lái)方便。
a??ab??ba?ba??ab??ba?ba??ab??ba?ban?1b例8 計(jì)算2n階行列式D2n??n?
?ab解 D2n?(?1)1?2n?1?2nabba2??n?1?
?ab
?(?1)1?2(n?1)?1?2(n?1)abba2?n?2?
??? abba*abba?(a2?b2)n 提取公因式法
若行列式滿足下列條件之一，則可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，稱(chēng)為“a,a,?,a型”；（2）有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素之和或差相等，稱(chēng)為“鄰和型”；（3）各行（列）元素之和相等，稱(chēng)為“全和型”。滿足條件（1）的行列式可直接提取公因式a變?yōu)椤?，1，…，1型”，于是應(yīng)用按行（列）展開(kāi)定理，使行列式降一階。滿足（2）和（3）的行列式都可以根據(jù)行列式的性質(zhì)變?yōu)闈M足條件（1）的行列式，間接使用提取公因式法。
x?a1例9計(jì)算N階行列式 Dn?a2?a26
??anan?
a1?a1x?a2??x?an
n解 該行列式各行元素之和都等于 x??ai，屬于“全和型”，所以
i?11Dn?(x??ai)i?1na2x?a2?a2????anan?x?an?(x??ai)i?1n1a20?0x?0?an???0?x1?1
?xn?1(x??ai)
i?1n總結(jié):計(jì)算行列式的方法很多,除了以上常見(jiàn)的方法外還有一些特殊的方法,如n階輪換行列式的初等計(jì)算方法、極限法、導(dǎo)數(shù)法、積分法等。對(duì)于一個(gè)給定的行列式可以有多種方法求解，這是則要求我們注意方法的靈活性，要在眾多方法中選取一種最簡(jiǎn)便的方法。
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