第一篇：第3講：數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)問題

數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)問題

1的圖象按向量?(2,1)平移后便得到函數(shù)f(x)的x?2

圖象，數(shù)列{an}滿足an?f(an?1),(n?2,n?N?)。31（Ⅰ）若a1?，數(shù)列{bn}滿足bn?，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； 5an?1

3（Ⅱ）若a1?，數(shù)列{an}中是否存在最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，若存在，求出最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，5問題引入——已知函數(shù)y?1?

若不存在，說明理由。

錯(cuò)因回放——本題第一問大多數(shù)學(xué)生都能做對(duì)，主要是第二問，一部分學(xué)生解得an?2n?52n?524之后就思路受阻；或令y?an??1??y????022n?72n?72n?7(2n?7)恒成立，故說an只有最大項(xiàng)為a1，無最小項(xiàng)等等。

分析：數(shù)列可以理解為特殊的函數(shù)，可以借助函數(shù)的知識(shí)求解，但又不是連續(xù)的函數(shù)，所以在求解過程中要注意這一點(diǎn)，尤其是在取導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，另外最好把a(bǔ)n的關(guān)系式理解成一個(gè)經(jīng)過平移的反比例函數(shù)圖像上的一些孤立點(diǎn)較好。

知識(shí)背景——本題判斷數(shù)列是等差數(shù)列可以利用定義法，即證明后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)為定值；第二問利用“一次分式型”函數(shù)的求最值方法（注意數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的只是一些孤立點(diǎn)），即可以分離常數(shù)后直接討論單調(diào)性、或結(jié)合圖像觀察、或利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性等判斷其最小項(xiàng)和最大項(xiàng)。另外我們判斷數(shù)列項(xiàng)的最值問題也往往構(gòu)造函數(shù)后利用作差或作商法。正確解答：

(1)f(x)?1?

bn?1?1

an?1?1an?11111?2?.?an?2?(n?2,n?N?)?bn??,x?2?2xan?1an?1an?1?1,?bn?bn?1?1(n?2,n?N?)?數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.15571??,公差為1,?bn???(n?1)?1?n?,由bn?得a1?1222an?1(2)由(1)知b1?

an?1?122?1?.故構(gòu)造函數(shù)y?an?1?.方法一：討論單調(diào)性（略）；bn2n?72n?7

4?0.2(2n?7)方法二：結(jié)合圖像觀察（略）；方法三：利用導(dǎo)數(shù)y???

777?函數(shù)y?an在區(qū)間(??,),(,??)上為減函數(shù).當(dāng)x?時(shí)y?1,bn取最小值b3??1,222

7當(dāng)x?時(shí)y?1,bn取最大值b4?3,故存在.2

相關(guān)練習(xí)——設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無窮數(shù)列{an}的集合：①an?an?2?an?1；②an?M其中n?N?，M是與n無關(guān)的常數(shù)。2

（1）若{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，a3=4,S3=18.證明：{Sn}∈W；

（2）設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=5n-2n，且{bn}∈W。求M的取值范圍；

（3）設(shè)數(shù)列{cn}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且{cn}∈W。證明cn≤cn+1：

練習(xí)答案：（1）略；（2）；M≥7（3）略。

第二篇：公文最講規(guī)矩和格式

公文最講規(guī)矩和格式。《黨政機(jī)關(guān)公文處理工作條例》雖已實(shí)施近四年，但實(shí)踐中公文錯(cuò)誤仍不同程度存在，有的錯(cuò)誤還是反復(fù)出現(xiàn)。試想，辛苦寫好的一篇公文，如果因格式上的“低級(jí)錯(cuò)誤”被領(lǐng)導(dǎo)痛批一頓，那就得不償失了。對(duì)公文寫作中的任何問題，老筆頭向來提倡“解剖麻雀”的方式，通過講理與講例的結(jié)合講干貨傳實(shí)招。這篇文章就是老筆頭“得道”會(huì)員中一位綜合部門的負(fù)責(zé)同志所寫，并經(jīng)老筆頭多位筆桿子審定，力求做到既權(quán)威可信、又精煉可學(xué)?？山Y(jié)合“得道”會(huì)員資料庫(kù)的各類范文匯編一并學(xué)習(xí)，真正把公文格式理解透、把握準(zhǔn)，成為讓領(lǐng)導(dǎo)省心的公文“大拿”。

現(xiàn)在，機(jī)關(guān)領(lǐng)導(dǎo)都喜歡妙手著文章的“快槍手”，卻很少有人能騰出時(shí)間、精力教新人如何把握公文格式的問題，所以能夠自學(xué)成才的，都是有心人。因公文涉及規(guī)范眾多，指望寫一篇文章就可以完全實(shí)現(xiàn)公文速成是絕對(duì)不現(xiàn)實(shí)的（詳細(xì)內(nèi)容可參考老筆頭“得道”會(huì)員資料庫(kù)，15種常用公文的具體范例解析）。本文僅著重就常見的問題進(jìn)行探討，目的在于新人少走彎路，老人溫故知新。

以下進(jìn)入正文

公文標(biāo)題字體

公文標(biāo)題應(yīng)當(dāng)是二號(hào)小標(biāo)宋體，副標(biāo)題用三號(hào)楷體，一般不用加粗。許多人愛用小標(biāo)宋簡(jiǎn)體、宋體、仿宋體、華文中宋、黑體，用小二號(hào)、一號(hào)，這都是不對(duì)的。

標(biāo)題位置、格式

紅頭文件（即黨政機(jī)關(guān)使用的帶發(fā)文機(jī)關(guān)名稱的文件俗稱，文件頭一般為紅色）的標(biāo)題編排于紅色分隔線下空一行或者兩行位置，非紅頭文件的標(biāo)題編排于頁(yè)面第一行即可。

標(biāo)題由發(fā)文機(jī)關(guān)名稱、事由和文種組成。（發(fā)文機(jī)關(guān)單獨(dú)一行）

標(biāo)題分一行或多行居中排布；回行時(shí)，做到詞意完整，排列對(duì)稱，長(zhǎng)短適宜，間距恰當(dāng)。多行標(biāo)題排列使用正梯形、倒梯形或者菱形，不采用上下長(zhǎng)度一樣的長(zhǎng)方形和上下長(zhǎng)、中間短的沙漏形。

如果是呈報(bào)領(lǐng)導(dǎo)審閱批示的非正式發(fā)文紙質(zhì)件，一般無報(bào)批頁(yè)且領(lǐng)導(dǎo)又可能有大段批示，此類可以在標(biāo)題前多空幾行，多多留白，以供領(lǐng)導(dǎo)批示。公文如果有副標(biāo)題，副標(biāo)題應(yīng)當(dāng)隨破折號(hào)另起一行；另外，標(biāo)題中不應(yīng)出現(xiàn)書名號(hào)和引號(hào)（轉(zhuǎn)發(fā)通知除外）。（如下圖）

正文的有關(guān)要求

正文是公文的主體。公文首頁(yè)必須顯示正文，正文用三號(hào)仿宋體字，編排在主送機(jī)關(guān)名稱下一行，每個(gè)自然段左空二字，回行頂格。這里著重強(qiáng)調(diào)下仿宋體字盡量用“仿宋_GB2312”(即國(guó)標(biāo)仿宋)，不要用”仿宋”，因微軟自xp系統(tǒng)之后開發(fā)的win7、win8、win10系統(tǒng)的“仿宋”字體，將此類文檔拷貝到xp系統(tǒng)，仿宋字體就變成了黑體。

文中結(jié)構(gòu)層次序數(shù)依次用“

一、”“

（一）”“1.”“（1）”標(biāo)注，不能逆向，這里尤其要注意一后面是頓號(hào)，1后面是點(diǎn)（實(shí)心的圓點(diǎn)），（一）和（1）后面無任何標(biāo)點(diǎn)符號(hào)。特殊情況下可以做適當(dāng)調(diào)整，一般第一層用三號(hào)黑體字，第二層用三號(hào)楷體字，第三層和第四層用三號(hào)仿宋字體標(biāo)注（多指小標(biāo)題的字體）。這里，常見錯(cuò)誤是濫用頓號(hào)，“

（一）、”“

1、”“（1）、”都是不對(duì)的。

正文涉及數(shù)字、年份的，一律不得拆行。

有多級(jí)小標(biāo)題的法規(guī)性公文，第一層次編、章的序號(hào)及其標(biāo)題（如“第一章總則”）用三號(hào)小標(biāo)宋體居中排印，上下方各空一行；第二層次（如“第一條”）用三號(hào)黑體字排印，后空一字接排正文（具體可參考“得道”會(huì)員資料庫(kù)的15種常用公文范例）。

單獨(dú)的小標(biāo)題，末尾不標(biāo)注標(biāo)點(diǎn)符號(hào)；小標(biāo)題之后接著帶正文的，末尾用句號(hào)。

附件的要求

在正文下空一行左空二字編排“附件”二字，后標(biāo)全角冒號(hào)和附件名稱（即一個(gè)附件的格式是附件：×××）。如果有多個(gè)附件，使用阿拉伯?dāng)?shù)字標(biāo)注附件順序號(hào)（如“附件：1.×××”）；附件名稱后不加標(biāo)點(diǎn)符號(hào)。附件名稱較長(zhǎng)需回行時(shí)，與上一行附件名稱的首字對(duì)齊。寫成“附件1：”、“附件：

1、”“附件一：”等都是不對(duì)的；另外附件回行采用自然段格式也是不對(duì)的。

附件說明之后，才是發(fā)文機(jī)關(guān)和成文日期，順序不得顛倒。（如下圖）

附件應(yīng)當(dāng)另起一面編排，不得與正文同面，但與公文正文一起裝訂。“附件”二字及附件順序號(hào)用三號(hào)黑體字頂格編排，編排在左上角第一行，附件標(biāo)題居中編排在第三行，附件順序號(hào)和附件標(biāo)題應(yīng)當(dāng)與附件說明的表述一致。附件格式要求同正文。（如下圖）

發(fā)文機(jī)關(guān)和成文日期

發(fā)文機(jī)關(guān)署名應(yīng)署發(fā)文機(jī)關(guān)全稱或者規(guī)范化簡(jiǎn)稱。如“中華人民共和國(guó)國(guó)家發(fā)展和改革委員會(huì)”的規(guī)范化簡(jiǎn)稱為“國(guó)家發(fā)展改革委”。

成文日期應(yīng)當(dāng)用阿拉伯?dāng)?shù)字將年、月、日標(biāo)全，如“2015年12月30日”，而非“二零一五年十二月三十日”。

聯(lián)系人和聯(lián)系方式

機(jī)關(guān)上報(bào)請(qǐng)示、發(fā)通知或公函，往往會(huì)留具體聯(lián)系人和聯(lián)系方式，宜放在“發(fā)文單位、成文日期”下方空一行，居中排列，并用括號(hào)，聯(lián)系人與電話之間用逗號(hào)隔開。（如下圖）

關(guān)于文種

按照現(xiàn)行的《黨政機(jī)關(guān)公文處理工作條例》，公文種類有15種（以往的規(guī)定是13種已作廢），分別是決議、決定、命令（令）、公報(bào)、公告、通告、意見、通知、通報(bào)、報(bào)告、請(qǐng)示、批復(fù)、議案、函、紀(jì)要。文種具體用途和范例詳見老筆頭公眾號(hào)第二篇原創(chuàng)文章，在此不再贅述。

總結(jié)、要點(diǎn)、方案、計(jì)劃、安排、規(guī)劃、建議和答復(fù)，都不屬于正式的公文文種，但實(shí)際工作仍需經(jīng)常用到。大家要注意以上兩者的區(qū)別。

著重談一下最容易混淆的是報(bào)告和請(qǐng)示。報(bào)告主要適用于向同級(jí)人民代表大會(huì)及其常務(wù)委員會(huì)、上級(jí)機(jī)關(guān)匯報(bào)工作、反映情況、回復(fù)詢問。請(qǐng)示主要適用于向上級(jí)機(jī)關(guān)請(qǐng)求指示、批準(zhǔn)。報(bào)告是陳述某一情況，請(qǐng)上級(jí)閱知。請(qǐng)示是提出請(qǐng)求事項(xiàng)，請(qǐng)上級(jí)予以答復(fù)。報(bào)告的受文主體沒有答復(fù)義務(wù)，請(qǐng)示的受文主體則有答復(fù)義務(wù)。

請(qǐng)示應(yīng)當(dāng)一文一事，不得在報(bào)告等非請(qǐng)示性公文中夾帶請(qǐng)示事項(xiàng)。絕對(duì)不存在《關(guān)于××××××的請(qǐng)示報(bào)告》，這是錯(cuò)誤的，屬于文種混用（具體可參考老筆頭“得道”會(huì)員資料庫(kù)的15種常用公文范例）。再談一下通報(bào)和函。通報(bào)適用于表彰先進(jìn)、批評(píng)錯(cuò)誤、傳達(dá)重要精神和告知重要情況，通俗的說好事、壞事都可以通報(bào)，并不是通常理解的通報(bào)只用于批評(píng)；函適用于不相隸屬機(jī)關(guān)之間商洽工作、詢問和答復(fù)問題、請(qǐng)求批準(zhǔn)和答復(fù)審批事項(xiàng)，絕對(duì)不允許給上級(jí)機(jī)關(guān)發(fā)函，給上級(jí)機(jī)關(guān)要么是報(bào)告，要么是請(qǐng)示。

關(guān)于公文的諸多細(xì)節(jié)問題

俗話說“細(xì)節(jié)決定成敗”，細(xì)節(jié)對(duì)公文而言同樣如此。

（一）公文起草。公文起草應(yīng)當(dāng)做到：

1.符合黨的理論路線方針政策和國(guó)家法律法規(guī)，完整準(zhǔn)確體現(xiàn)發(fā)文機(jī)關(guān)意圖，并同現(xiàn)行有關(guān)公文相銜接。

2.一切從實(shí)際出發(fā)，分析問題實(shí)事求是，所提政策措施和辦法切實(shí)可行。3.內(nèi)容簡(jiǎn)潔，主題突出，觀點(diǎn)鮮明，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，表述準(zhǔn)確，文字精練。4.文種正確，格式規(guī)范。

5.深入調(diào)查研究，充分進(jìn)行論證，廣泛聽取意見。6.公文涉及其他地區(qū)或者部門職權(quán)范圍內(nèi)的事項(xiàng)，起草單位必須征求相關(guān)地區(qū)或者部門意見，力求達(dá)成一致。

7.機(jī)關(guān)負(fù)責(zé)人應(yīng)當(dāng)主持、指導(dǎo)重要公文起草工作。

（二）公文審核。公文文稿簽發(fā)前，應(yīng)當(dāng)由發(fā)文機(jī)關(guān)辦公廳（室）進(jìn)行審核。審核的重點(diǎn)是： 1.行文理由是否充分，行文依據(jù)是否準(zhǔn)確。

2.內(nèi)容是否符合黨的理論路線方針政策和國(guó)家法律法規(guī)；是否完整準(zhǔn)確體現(xiàn)發(fā)文機(jī)關(guān)意圖；是否同現(xiàn)行有關(guān)公文相銜接；所提政策措施和辦法是否切實(shí)可行。

3.涉及有關(guān)地區(qū)或者部門職權(quán)范圍內(nèi)的事項(xiàng)是否經(jīng)過充分協(xié)商并達(dá)成一致意見。

4.文種是否正確，格式是否規(guī)范；人名、地名、時(shí)間、數(shù)字、段落順序、引文等是否準(zhǔn)確；文字、數(shù)字、計(jì)量單位和標(biāo)點(diǎn)符號(hào)等用法是否規(guī)范。5.其他內(nèi)容是否符合公文起草的有關(guān)要求。

需要發(fā)文機(jī)關(guān)審議的重要公文文稿，審議前由發(fā)文機(jī)關(guān)辦公廳（室）進(jìn)行初核。經(jīng)審核不宜發(fā)文的公文文稿，應(yīng)當(dāng)退回起草單位并說明理由；符合發(fā)文條件但內(nèi)容需作進(jìn)一步研究和修改的，由起草單位修改后重新報(bào)送。

（三）簽發(fā)。公文應(yīng)當(dāng)經(jīng)本機(jī)關(guān)負(fù)責(zé)人審批簽發(fā)。重要公文和上行文由機(jī)關(guān)主要負(fù)責(zé)人簽發(fā)。黨委、政府的辦公廳（室）根據(jù)黨委、政府授權(quán)制發(fā)的公文，由受權(quán)機(jī)關(guān)主要負(fù)責(zé)人簽發(fā)或者按照有關(guān)規(guī)定簽發(fā)。簽發(fā)人簽發(fā)公文，應(yīng)當(dāng)簽署意見、姓名和完整日期；圈閱或者簽名的，視為同意。聯(lián)合發(fā)文由所有聯(lián)署機(jī)關(guān)的負(fù)責(zé)人會(huì)簽。

上行文應(yīng)當(dāng)標(biāo)注簽發(fā)人姓名，格式由“簽發(fā)人”三字加全角冒號(hào)加和簽發(fā)人姓名組成，居右空一字，編排在發(fā)文機(jī)關(guān)標(biāo)志下空二行位置。“簽發(fā)人”三字用三號(hào)仿宋體字，簽發(fā)人姓名用三號(hào)楷體字。

如有多個(gè)簽發(fā)人，簽發(fā)人姓名按照發(fā)文機(jī)關(guān)排列順序從左至右，從上到下依次均勻編排，一般每行排兩個(gè)姓名，回行時(shí)與上一行第一個(gè)簽發(fā)人姓名對(duì)齊。

（四）發(fā)文字號(hào)。用三號(hào)仿宋字體，年份、發(fā)文順序號(hào)用阿拉伯?dāng)?shù)字標(biāo)注；年份標(biāo)注公元紀(jì)年全稱，用六角括號(hào)標(biāo)明；發(fā)文順序號(hào)不加“第”字，不編虛位（即1不編為01），在阿拉伯?dāng)?shù)字后加“號(hào)”字。發(fā)文機(jī)關(guān)代字應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確、規(guī)范、無歧義、易識(shí)別，并固定使用。如“青政辦發(fā)〔2015〕3號(hào)”，而不是【】（）〈〉等括號(hào)。

平行文、下行文的發(fā)文字號(hào)編排在發(fā)文機(jī)關(guān)標(biāo)志下空兩行位置，居中排布；上行文的發(fā)文字號(hào)居左空一字編排，與最后一個(gè)簽發(fā)人姓名處在同一行。（三、四的相關(guān)描述如下圖，三種情況）

（五）公文用紙。采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)A4型，以前是政府機(jī)關(guān)用A4紙，黨的機(jī)關(guān)用16K紙，目前已黨政統(tǒng)一。

（六）數(shù)字和英文。標(biāo)題、正文中所有阿拉伯?dāng)?shù)字與英文，建議采用Times New Roman字體，用仿宋字體也可?，F(xiàn)代社會(huì)生活中出現(xiàn)的事物、現(xiàn)象、事件，名稱的書寫形式中包含阿拉伯?dāng)?shù)字，已經(jīng)廣泛使用而穩(wěn)定下來，應(yīng)采用阿拉伯?dāng)?shù)字。如：“7?5”事件、“12?5”槍擊案。但是，漢語(yǔ)中長(zhǎng)期使用已經(jīng)穩(wěn)定下來的包含漢字?jǐn)?shù)字形式的詞語(yǔ)，應(yīng)采用漢字?jǐn)?shù)字，如：五四運(yùn)動(dòng)、“一?二八”事變、“一二?九”運(yùn)動(dòng)。如果要突出莊重典雅的表達(dá)效果，應(yīng)使用漢字?jǐn)?shù)字。如十一屆全國(guó)人大一次會(huì)議，不應(yīng)寫為“11屆全國(guó)人大1次會(huì)議”；十八屆四中全會(huì)，不應(yīng)寫為“18屆4中全會(huì)”。對(duì)于法律文書引用法條，如“《中華人民共和國(guó)城鄉(xiāng)規(guī)劃法》第四十條”，不應(yīng)寫成“《中華人民共和國(guó)城鄉(xiāng)規(guī)劃法》第40條”。

（七）書名號(hào)。書名號(hào)的形式有雙書名號(hào)“《》”和單書名號(hào)“〈〉”兩種。當(dāng)書名號(hào)中還需要書名號(hào)時(shí)，里面一層用單書名號(hào)，外面一層用雙書名號(hào)。例如，歡迎訂閱《〈中華人民共和國(guó)行政處罰法〉學(xué)習(xí)讀本》。最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，是用尖括號(hào)或數(shù)學(xué)中的“大于號(hào)”或“小于號(hào)”代替單書名號(hào)，如《＜中華人民共和國(guó)行政處罰法＞學(xué)習(xí)讀本》。

（八）連接號(hào)。連接號(hào)的形式有短橫線“-”、一字線“——”和浪紋線“～”三種。標(biāo)示相關(guān)項(xiàng)目（如時(shí)間、地域等）的起止，一般用一字線，有時(shí)也可用浪紋線。實(shí)踐中常見錯(cuò)誤是用短橫線代替一字線，如《×××××五年改革綱要（2014-2018）》，正確表述應(yīng)該是《×××××五年改革綱要（2014——2018）》。

（九）頁(yè)面設(shè)置。一般要求為每頁(yè)22行，每行28個(gè)字。公文左邊界28毫米，右邊界26毫米，天頭（上邊界）37毫米，地腳（下邊界）35毫米。

（十）頁(yè)碼。正式公文的頁(yè)碼用四號(hào)半角宋體阿拉伯?dāng)?shù)字，數(shù)字左右各放一條一字線。編排在公文版心下邊緣之下，單頁(yè)碼居右，雙頁(yè)碼居左。公文附件與正文一起裝訂時(shí)，頁(yè)碼應(yīng)當(dāng)連續(xù)編排。（如下圖）對(duì)于非正式公文的頁(yè)碼設(shè)置，大家可以隨意，但也基本位于頁(yè)面最下方，以居中、靠右為多。

（十一）常見錯(cuò)字。如“檢查和檢察”、“截至”和“截止”、“制定”和“制訂”、“做”和“作”等。

寫作本身就是一門大學(xué)問，公文寫作枯燥，卻有許多講究；文字工作沒有捷徑，要下苦功夫，加強(qiáng)學(xué)習(xí)，努力鉆研，總結(jié)積累。老筆頭作為公文領(lǐng)域首批原創(chuàng)公眾號(hào)，“得道”會(huì)員作為上線最早、內(nèi)容最全的綜合公文品牌，目前推送的300多篇文章、上傳的500萬(wàn)字范文，目的也是盡力實(shí)現(xiàn)介紹思維方法與提供精品范文的統(tǒng)一，從而使大家既有方向也有標(biāo)桿，更快地提升脫穎而出的文字能力。

第三篇：第2講數(shù)列極限及其性質(zhì)2009

《數(shù)學(xué)分析I》第2講教案

第2講數(shù)列極限概念及其性質(zhì)

講授內(nèi)容

一、數(shù)列極限概念

數(shù)列 a1,a2,?,an,?,或簡(jiǎn)單地記為{an}，其中an，稱為該數(shù)列的通項(xiàng)．

關(guān)于數(shù)列極限，先舉二個(gè)我國(guó)古代有關(guān)數(shù)列的例子．（1）割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒?n

22園內(nèi)接正n邊形的面積An?

Rsin

2?n

sin

(n?3,4,?），當(dāng)n??時(shí)，An??R

2?nn

??R

2?

（2）古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，其含義是：一根長(zhǎng)為一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過程可以無限制地進(jìn)行下去．第一天截下

12，第二天截下

n

2，??，第n天截下

n，??這樣就得到一個(gè)數(shù)列

22,2,?,?1?,?．或?n?.n2?2?

不難看出，數(shù)列{}的通項(xiàng)

n

隨著n的無限增大而無限地接近于0．一般地說，對(duì)于數(shù)列{an}，若當(dāng)n無

限增大時(shí)an能無限地接近某一個(gè)常數(shù)a，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)a稱為它的極限．不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂數(shù)列．下面我們給出收斂數(shù)列及其極限的精確定義．

定義1設(shè){an}為數(shù)列，a為定數(shù)．若對(duì)任給的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)，n>N時(shí)有|an?a|??則稱數(shù)列{an收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{an}的極限，并記作liman?a，或an?a(n??).讀作“當(dāng)n

n??

趨于無窮大時(shí)，an的極限等于a或an趨于a”．

若數(shù)列{an}沒有極限，則稱{an}為發(fā)散數(shù)列．下面舉例說明如何根據(jù)??N定義來驗(yàn)證數(shù)列極限．

二、根據(jù)??N定義來驗(yàn)證數(shù)列極限

例2證明lim

1n

?

n??

?0，這里?為正數(shù)

?,故對(duì)任給的?>0，只要取N=?

1????

?

??1，則當(dāng)n?N時(shí)，便有 ??

證：由于 |

1n

?

?0|?

1n

?

1n

?

?

1N

?

??即|

1n

?

?0|??.這就證明了lim

1n

?

n??

?0.例3證明lim

3n

n??

n?33n

?3.分析由于|

n?

3?3|?

9n?3

?

9n

(n?3).因此，對(duì)任給的?>o，只要

9n

??，便有

|

3n

n?3

?3|??,即當(dāng)n?

時(shí)，(2)式成立．故應(yīng)取N?max{3, ??

999

證任給??0,取N?max{3,據(jù)分析，當(dāng)n?N時(shí)有|2?3|??,式成立.于是本題得證.?n?3

n

例4證明limq=0，這里|q|<1．

n??

3n

證若q=0，則結(jié)果是顯然的．現(xiàn)設(shè)0<|q|<1．記h?

1|q|

?1，則h>0．我們有

|q?0|?|q|?

11?nh

nn

1(1?h)

n,并由(1?h)?1+nh得到|q|?

|q?0|??，這就證明了limq

n??

n

nn

?

1nh

.對(duì)任給的??0,只要取N?

?h,則當(dāng)n?N時(shí)，得

n

?0.注：本例還可利用對(duì)數(shù)函數(shù)y?lgx的嚴(yán)格增性來證明，簡(jiǎn)述如下：對(duì)任給的?>0(不妨設(shè)?<1)，為使

n

n

只要nlg|q|?lg?即n?|q?0|?|q|??，lg?lg|q|

（這里0?|q|?1).于是，只要取N?

lg?lg|q|

即可。

例5證明lim

n

n??

a?1，其中a>0．

證：(ⅰ)當(dāng)a?1時(shí)，結(jié)論顯然成立.(ⅱ)當(dāng)a?1時(shí)，記??an?1，則??0.由 a?(1??)n?1?n??1?n(an?1)得

an?1?

a?1n.（1）

任給??0，由(1)式可見，當(dāng)n?

a?1

?

?N時(shí)，就有an?1??，即|an?1|??.所以lim

n??

a?1.(ⅲ)當(dāng)0?a?1時(shí)，,１

n

－１??，則??0.由

a

?1

?1?n

?(1??)?1?n??1?n??1???得 a?a?1

1?a

n

?

a

?1n.a?

a

?1

?1

n.?1

（2）

任給??0，由（2式可見，當(dāng)n?１?

a?1

?

?N時(shí)，就有1?an??，即|an?1|??.所以lim

n

n??

a?1.關(guān)于數(shù)列極限的?—N定義，應(yīng)著重注意下面幾點(diǎn)：

1．?的任意性：盡管?有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時(shí)地被確定下來，以便依靠它來求出N，又?既

?

2時(shí)任意小的正數(shù)，那么,3?或?等等同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義1中不等式|an?a|??中的?可用

?,3?或?等來代替．

2．N的相應(yīng)性：一般說，N隨?的變小而變大，由此常把N寫作N(?)，來強(qiáng)調(diào)N是依賴于?的；但這并不意味著N是由?所唯一確定的.3．從幾何意義上看，“當(dāng)n>N時(shí)有|a?a|??”意味著：所有下標(biāo)大于N的項(xiàng)aｎ都落在鄰域U(a;?)內(nèi)；而在U(a;?)之外，數(shù)列{an}中的項(xiàng)至多只有N個(gè)(有限個(gè))．

定義2若liman?0，則稱{an}為無窮小數(shù)列．由無窮小數(shù)列的定義，不難證明如下命題：

n??

n

定理2.1數(shù)列{an}收斂于a的充要條件是：{an?a}為無窮小數(shù)列．

三、收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理2.2(唯一性)若數(shù)列{an}收斂，則它只有一個(gè)極限．

定理2.3(有界性)若數(shù)列{an}收斂，則{an}為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)有|an|?M.證：設(shè)liman?a取??1，存在正數(shù)N，對(duì)一切n>N有

n??

|an?a|?1即a?1?an?a?1.記M?max{|a1|,|a2|,?|aN|,|a?1|,|a?1|},則對(duì)一切正整數(shù)n都有an?M．注：有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件．例如數(shù)列??1?定理2.4(保號(hào)性)若liman?a?0

n??

?

n

?有界，但它并不收斂．

?(a,0

(或<0)，則對(duì)任何a??(0,a)(或a?，存在正數(shù)N，使

得當(dāng)n?N時(shí)有an?a?(或an?a?)．

證：設(shè)a?0．取??a?a?(>0)，則存在正數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)有a???an?a??，即

an?a???a?，這就證得結(jié)果．對(duì)于a?0的情形，也可類似地證明．

注：在應(yīng)用保號(hào)性時(shí)，經(jīng)常取a??

a2

.即有an?

a2，或an?

a2

定理2.5(保不等式性)設(shè)?an?與?bn?均為收斂數(shù)列．若存在正數(shù)N0，使得當(dāng)n?N0時(shí)，有an?bn，則liman?limbn.n??

n??

請(qǐng)學(xué)生思考：如果把定理2.5中的條件an?bn換成嚴(yán)格不等式an?bn，那么能否把結(jié)論換成liman?limbn?，并給出理由.n??

n??

例1設(shè)an?0?n?1,2,??．證明：若liman?a,則lim

n??

n??

an?

a.證：由定理2.5可得a?0.若a?0，則由liman?0，任給??0，存在正數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)有an??，從而an??即

n??

an?0??,故有l(wèi)im

n??

an?0.an?aan?

a

an?a

a

若a?0，則有

an?

a??

.任給??0，由liman?a，存在正數(shù)N，使得當(dāng)

n??

n?N時(shí)有an?a?

a?,從而

an?

a??．故得證．

第四篇：初升高銜接教材第5講二次函數(shù)最值問題

第五講 二次函數(shù)的最值問題

二次函數(shù)y?ax2?bx?c(a?0)是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況(當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)在bb4ac?b2x??處取得最小值，無最大值；當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)在x??處取得最大值2a2a4a4ac?b2，無最小值。4a本節(jié)我們將在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)自變量x在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)的最值問題。同時(shí)還將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問題在實(shí)際生活中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

【例1】當(dāng)?2?x?2時(shí)，求函數(shù)y?x2?2x?3的最大值和最小值。

分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對(duì)稱軸的草圖，觀察圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量x的值。

【例2】當(dāng)1?x?2時(shí)，求函數(shù)y??x2?x?1的最大值和最小值。

【例3】當(dāng)x?0時(shí)，求函數(shù)y??x(2?x)的取值范圍。

【例4】當(dāng)t?x?t?1時(shí)，求函數(shù)y?125x?x?的最小值(其中t為常數(shù))。22分析：由于x所給的范圍隨著t的變化而變化，所以需要比較對(duì)稱軸與其范圍的相對(duì)位置。

【例5】某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)m?162?3x,30?x?54。

(1)寫出商場(chǎng)賣這種商品每天的銷售利潤(rùn)y與每件銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤(rùn)為多少？

練習(xí)

第五篇：共產(chǎn)黨人最講認(rèn)真

共產(chǎn)黨人最講認(rèn)真

報(bào)刊載過一篇短文,題目 是“認(rèn)真,不對(duì)嗎?”道出了作者在現(xiàn)實(shí)生活中感受到的一系列“想不通”。認(rèn)真,真的不對(duì)嗎?回答當(dāng)然是否定的。論語(yǔ)云:“勿以善小而不為,勿以惡小而為之”,這是一種認(rèn)真;范仲淹“先天下之憂而憂,后天下之樂而樂”也是一種認(rèn)真;徐九斤“當(dāng)官不為民作主,不如回家賣紅薯”是一種認(rèn)真;困難時(shí)期毛主席堅(jiān)持不吃肉,周恩來私人用車自付費(fèi)更是一種認(rèn)真;孔繁森母老妻病但終不歸又何不是一種認(rèn)真???不正是這些認(rèn)真才真切地構(gòu)造了偉人杰出的高風(fēng)亮節(jié)和光輝形象嗎?!毋庸諱言,目前我們黨員干部隊(duì)伍的狀況難以令人滿意,老百姓對(duì)我們“頗有微詞”。那么,究竟是什么原因走到這步田地的呢?許多問題往往出在“說起來清清楚楚,做起來糊里糊涂”,言行不一,失信于民,當(dāng)然也毀壞了自身的形象。形象不好,何談號(hào)召力?何以得民心?又何以治國(guó)、平天下?!正是從這個(gè)意義上說,認(rèn)真,是從政的起碼“官德”。筆者以為,作為一名黨政干部,當(dāng)前至少有以下五個(gè)方面須切實(shí)“認(rèn)