第一篇：無界向量函數(shù)的第二型曲線積分問題

無界向量函數(shù)的第二型曲線積分問題

徐天棋

摘要：根據(jù)廣義積分的思想方法定義廣義的第二型曲線積分；舉例說明廣義的第二型曲線積

分在實(shí)際問題中的應(yīng)用；給出廣義的第二型曲線積分的計(jì)算方法以及性質(zhì)

關(guān)鍵詞：無界向量函數(shù)的第二型曲線積分

=

第二篇：數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第二十章曲線積分

《數(shù)學(xué)分析》教案

第二十章 曲線積分

教學(xué)目的：1.理解第一、二型曲線積分的有關(guān)概念；2.掌握兩種類型曲線積分的計(jì)算方法，同時(shí)明確它們的聯(lián)系。

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是曲線積分的概念、計(jì)算；難點(diǎn)是曲線積分的計(jì)算。教學(xué)時(shí)數(shù)：10學(xué)時(shí)

§ 1 第一型曲線積分

一.第一型線積分的定義:

1.幾何體的質(zhì)量: 已知密度函數(shù) , 分析線段的質(zhì)量 2.曲線的質(zhì)量:

3.第一型線 積分的定義: 定義及記法.線積分,.4.第一型線積分的性質(zhì): P198

二.第一型線積分的計(jì)算:

1.第一型曲線積分的計(jì)算: 回顧“光滑曲線”概念.Th20.1 設(shè)有光滑曲線 義在上的連續(xù)函數(shù).則

.(證)P199 ，.是定若曲線方程為 : , 則

.《數(shù)學(xué)分析》教案

, 即

.2.穩(wěn)流場通過曲線(從一側(cè)到另一側(cè))的流量: 解釋穩(wěn)流場.(以磁場為例)..求在單位時(shí)間內(nèi)通過曲線AB從左處的切向量為 , 設(shè)有流速場

側(cè)到右側(cè)的流量E.設(shè)曲線AB上點(diǎn)

(是切向量方向與X軸正向的夾角.切向量方向按如下方法確定: 法線方 向是指從曲線的哪一側(cè)到哪一側(cè), 在我們現(xiàn)在的問題中是指從左側(cè)到右側(cè)的方向.切向量方向與法線向按右手法則確定, 即以右手拇指所指為法線方向, 則食指所指為切線方向.).在弧段

上的流量 ，.因此 ，.由 , 得

.于是通過曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E為

.3.第二型曲線積分的定義: 閉路積分的記法.按這一定義 , 有

沿平面曲線 從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功為 力場

《數(shù)學(xué)分析》教案

A , B;函數(shù) 和

在L上連續(xù), 則沿L的自然方向(即從點(diǎn)A到點(diǎn)B的方向)有

.(證略)例1 計(jì)算積分).積分從點(diǎn)A到點(diǎn)B或閉合, 路徑為

ⅰ> 直線段AB

ⅱ> 拋物線

ⅲ> A(1, 1)路徑.P205例1 例2 計(jì)算積分

ⅰ> 沿拋物線

ⅱ> 沿直線

;, L的兩個(gè)端點(diǎn)為A(1, 1), B(2 ，D(2 , 1)B(2 , 3)A(1, 1), 折線閉合, 這里L(fēng) :

從點(diǎn)O(0 , 0)到點(diǎn)B(1 , 2);

從點(diǎn)O(0 , 0)到點(diǎn)B(1 , 2);ⅲ> 沿折線閉合路徑O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).P205例1 , 其中L是螺 例3 計(jì)算第二型曲線積分 I = 旋線, 從

到 的一段.P207例3 例4 求在力場

ⅰ> 質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A

L :

第三篇：曲線積分與路徑無關(guān)的問題之證明

設(shè)平面上的單連通區(qū)域G內(nèi)分別以A和B兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的弧???

有連續(xù)向量函數(shù)F(x,y)?P(x,y)i?Q(x,y)j，要使該函數(shù)的曲線積分與路徑無關(guān)，就有?AFB，AEB和弧???AEBPdx?Qd?y??AFBP?dx,于Qdy是有

即?

??AEBPdx?Qdy???Pdx?Qdy?0,AFB?AEB?Pdx?Qdy???Pdx?Qdy?0,實(shí)際上弧?AEB和弧BFABFA構(gòu)成了一封閉曲線L，上式等價(jià)為

內(nèi)可以取??Pdx?Qdy?0L任意大小。，記L圍起的區(qū)域?yàn)镈，D在G用格林公式

?Q?P(?)dxdy??Pdx?Qdy???L?x?yD，因?yàn)?/p>

???Q?PPdx?Qdy?0，得到??(?)dxdy?0，又因?yàn)長?x?yD

?Q?P?Q?P???0D可以取任意小，于是有，或者?x?y。這就得到了函數(shù)?x?y

曲面積分與路徑無關(guān)的條件。

第四篇：基于構(gòu)造函數(shù)的放縮法證數(shù)列型不等式問題的教學(xué)設(shè)計(jì)

基于構(gòu)造函數(shù)的放縮法證數(shù)列型不等式問題的教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)內(nèi)容分析

證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其內(nèi)在的函數(shù)規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s.一、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

任教的學(xué)生在年段屬中上程度，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣較高，已經(jīng)掌握了基本的數(shù)列求解問題的技巧，對于構(gòu)造函數(shù)這方法，知道大致思路，但是不明確如何有效合理的構(gòu)造能幫助解題，計(jì)算能力不是太過硬.二、設(shè)計(jì)思想

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，建構(gòu)就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組建，其過程一般是引導(dǎo)學(xué)生從身邊的、生活中的實(shí)際問題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問題，思考如何解決問題，進(jìn)而聯(lián)系所學(xué)的舊知識(shí)，首先明確問題的實(shí)質(zhì)，然后總結(jié)出新知識(shí)的有關(guān)概念和規(guī)律，形成知識(shí)點(diǎn)，把知識(shí)點(diǎn)按照邏輯線索和內(nèi)在聯(lián)系，串成知識(shí)線，再由若干條知識(shí)線形成知識(shí)面，最后由知識(shí)面按照其內(nèi)容、性質(zhì)、作用、因果等關(guān)系組成綜合的知識(shí)體。也就是以學(xué)生為主體，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對知識(shí)的主動(dòng)探索、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)以及學(xué)生對所學(xué)知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu)?；谝陨侠碚?，本節(jié)課遵循引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，循序漸進(jìn)的思路，采用問題探究式教學(xué)，運(yùn)用多媒體，投影儀輔助，倡導(dǎo)“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)方式。具體流程如下：

創(chuàng)設(shè)情景（課前準(zhǔn)備、引入實(shí)例）→授新設(shè)疑→質(zhì)疑問難、論爭辯難（進(jìn)一步加深理解→突破難點(diǎn)）→溝通發(fā)展（反饋練習(xí)→歸納小結(jié)）→布置作業(yè)

四、教學(xué)目標(biāo)

理解構(gòu)造函數(shù)的功能，通過模仿、操作、探索，學(xué)習(xí)構(gòu)造函數(shù)達(dá)到放縮的目的，以此來解決問題，發(fā)展有條理的思考與表達(dá)的能力，提高邏輯思維能力；能運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的放縮法解決數(shù)列型不等式問題，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解構(gòu)造函數(shù)的目的，厘清構(gòu)造函數(shù)與問題所需放縮的方向，最終完成合理構(gòu)造 難點(diǎn)：如何構(gòu)造出符合題情的函數(shù)，如何放縮

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

第一部分——問題引入

求證：ln2?ln3?ln4???ln3?3n?5n?6(n?N*).n23436n【師生互動(dòng)】：師生一起觀察本例，試圖確定本題所考查的知識(shí)點(diǎn)(數(shù)列、不等式、函數(shù)等)，所考查的數(shù)學(xué)思想方法（化歸與轉(zhuǎn)化的思想、函數(shù)的思想、特殊與一般的思想等），所考查的具體解題方法（放縮法等）；還有引導(dǎo)學(xué)生能不能把問題簡化，或者換一種方式方法來表 達(dá)，我以為理解題目不應(yīng)只局限于“未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？”，而應(yīng)體現(xiàn)在學(xué)生是否能用自己的語言復(fù)述題目，或者能用一幅圖、一條線段圖、一些符號(hào)來表示對題意的理解。

【設(shè)計(jì)意圖】：高三學(xué)生已經(jīng)具有相當(dāng)?shù)臄?shù)列和函數(shù)知識(shí)，因此選擇這個(gè)中檔問題為例，以期能喚起學(xué)生解答題目的欲望，應(yīng)該有助于學(xué)生對本節(jié)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的理解，以期揭示此類問題的解法本質(zhì).第二部分——回顧放縮法

【師生互動(dòng)】：根據(jù)此前師生一起探討出來的此題可能要用到的放縮法，教師讓學(xué)生按分組自行探討回憶，竟可能的梳理出平時(shí)有涉及到的放縮的一些結(jié)論，或者方法技巧，或者相關(guān)的典型例題等，經(jīng)過師生努力后得到如下常用結(jié)論或者是已證過的例子：（1）1441??1???2???； 222n4n4n?1?2n?12n?1?（2）2(n?1?n)?1?2(n?n?1)； n（3）1?n?n?1(n?2)；

n(n?1)n?1（4）22n12n?2?2?(3?1)?2?3?3(2?1)?2?2?1??n?；

32?13nnnnnn（5）(1?)?1?1?例（1）求?k?1n1n1115????? 等.2?13?2n(n?1)224k?12的值;（2）求證:

?kk?1n12?5.3附：解:（1）因?yàn)?4n2?1?211??，(2n?1)(2n?1)2n?12n?1?1?12n ?2n?12n?1所以?4kk?1n22?1（2）因?yàn)?141??1???2???, 221n4n?1?2n?12n?1?n2?4所以 ?kk?1n1211?25?11?1?2???????1?? ?2n?12n?1?33?35【設(shè)計(jì)意圖】：通過對放縮法的回顧與整理，讓學(xué)生盡量找到解題的“題感”，數(shù)學(xué)題的“數(shù) 感”，盡量引導(dǎo)學(xué)生把已有的知識(shí)，解題思路跟現(xiàn)在所需求解的問題掛鉤，由已知想未知，由未知想需知，為突破本節(jié)教學(xué)重難點(diǎn)埋下伏筆.第三部分——回顧如何建模——構(gòu)造函數(shù)

【師生互動(dòng)】：根據(jù)上述回顧，觀察到不等式左側(cè)結(jié)構(gòu)齊整，聯(lián)想到某個(gè)函數(shù)的模型，因此，老師引導(dǎo)學(xué)生回顧如何構(gòu)造函數(shù)，如何構(gòu)造跟不等式有關(guān)的函數(shù)模型，經(jīng)過師生努力后得到如下常用結(jié)論：（1）ex?x?1；

（2）x?ln(x?1)或其變形x?lnx?1 ；（3）當(dāng)0?x??2時(shí)，sinx?x?tanx等.【設(shè)計(jì)意圖】：通過對放縮法進(jìn)一步整理，讓學(xué)生找到跟函數(shù)有關(guān)的放縮方向，盡量引導(dǎo)學(xué)生努力地把握此題的方向，向最后的解題方案擬定而努力.第四部分——擬定方案 【師生互動(dòng)】：

lnx得結(jié)構(gòu)，再結(jié)合第三部分所回顧的常用結(jié)論，故可先構(gòu)造函xlnx1?1?, 數(shù)有x?lnx?1?x?x?1?xx（1）由需證不等式左側(cè)有（2）根據(jù)以上構(gòu)造的函數(shù)以及所證問題的左邊，可得：

ln2ln3ln4ln3n111?????n?3n?1?(????n)2343233n（3）尋找3?1?(?1115n?6???n)與右邊式子3n?的關(guān)系，故只需證出 23361115n????n?即可.2336（4）結(jié)合第二部分所回顧的常見結(jié)論及例子聯(lián)想可知需將左側(cè)式子分解，然后求和，然后繼續(xù)放縮：

111?11??111111?11??1????n????????????????n?n???n? 233?23??456789?3??22?1?3n?15?33??99?3n?1?5n??????????????n?? n?16?69??1827?2?33?6?【設(shè)計(jì)意圖】：方案的核心就是構(gòu)造了函數(shù)模型x?lnx?1，突破了本節(jié)的重難點(diǎn)，從理解題目到構(gòu)思解題方案是一個(gè)漫長而曲折的過程.因?yàn)閷τ诒绢}，學(xué)生即使做到了理解，但仍 會(huì)感到無從下手.波利亞啟發(fā)我們說“好的思路大多來源于過去的經(jīng)驗(yàn)和以前獲得的知識(shí).”因此我們不妨引導(dǎo)學(xué)生思考“你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？”我想，這個(gè)有關(guān)，并不一定就是一個(gè)曾經(jīng)求解過的與當(dāng)前題目緊密相關(guān)的題，而更可能是通過變化、轉(zhuǎn)換或修改敘述方式，找到與某個(gè)題目的聯(lián)系點(diǎn)，從而“重新敘述這道題目”擬定一個(gè)有可能解決問題的方案.第五部分——執(zhí)行方案

【師生互動(dòng)】：教師根據(jù)第四部分的分析，按照所你定的方案邊講解邊板書呈現(xiàn)出完整的解題過程：

解:先構(gòu)造函數(shù)有x?lnx?1?x?x?1?lnx1?1?,從而將2,3,4?3n代入、相加可xxln2ln3ln4ln3n111?????n?3n?1?(????n)得：2343233由于111?11??111111?11??1????n????????????????n?n???n?233?23??456789?3??22?1?3n?15?33??99?3n?1?5n??????????????n?? n?16?69??1827?3?6?2?3ln2ln3ln4ln3n5n5n?6?????n?3n?1??3n?所以.234366【設(shè)計(jì)意圖】： 假如這個(gè)方案是學(xué)生主動(dòng)獲得的，則不容易遺忘，反之，學(xué)生則很容易找不到來時(shí)的路了.因此，教師必須堅(jiān)持讓學(xué)生檢查每一個(gè)步驟，以使學(xué)生真正確信每一步的正確性,而且通過教師的板書示范，使學(xué)生能更好的模仿訓(xùn)練，以至鞏固.第六部分——回顧、反思

【師生互動(dòng)】：教師根據(jù)第五部分的解答，提醒學(xué)生再次回顧之前所擬定的方案，檢查是否都按既定的方案徹底的執(zhí)行了，或者在執(zhí)行的過程中是否有需要進(jìn)一步做合理調(diào)整的，或者有沒需要驗(yàn)證的；最后反思整理，一起努力總結(jié)出本題的解題思路、策略：理解題意——回顧相關(guān)知識(shí)點(diǎn)或者方法——擬定方案——執(zhí)行方案——回顧、反思.【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生養(yǎng)成自我檢查、反思的好習(xí)慣，達(dá)到對問題的舉一反三,提高學(xué)生的分析問題，解決問題的能力.第七部分——鞏固、整理

【師生互動(dòng)】：教師給出以下例子，讓學(xué)生分組限時(shí)練習(xí)（考慮到時(shí)間關(guān)系，一組一題），答案在學(xué)生解題過程用投影儀呈現(xiàn)出來后板書出，或者時(shí)間不夠，就借用PPT呈現(xiàn)，然后點(diǎn)評 學(xué)生的作業(yè)的優(yōu)缺點(diǎn).練習(xí)1.證明: ln2ln3ln4lnnn(n?1)??????(n?N*,n?1)345n?14 證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)?ln(x?1)?(x?1)?1(x?1),求導(dǎo),可以得到: ' f(x)?12?x?1?,令f'(x)?0有1?x?2,令f'(x)?0有x?2, x?1x?1 所以f(x)?f(2)?0,所以ln(x?1)?x?2,令x?n2?1有, lnn2?n2?1

lnnn?1ln2ln3ln4lnnn(n?1)???????(n?N*,n?1),所以n?12345n?1411)an?n.證明an?e2.練習(xí)2.已知a1?1,an?1?(1?2n?n2 所以證明: an?1?(1?1111)an?n?(1??n)an, n(n?1)2n(n?1)2然后兩邊取自然對數(shù),可以得到lnan?1?ln(1?然后運(yùn)用ln(1?x)?x和裂項(xiàng)可以得到答案： 放縮思路：an?1?(1?11?n)?lnan

n(n?1)21111?)a?lna?ln(1??)?lnan?

nn?12n2nn?n2n?n21111lnan?1?lnan?2?n于是lnan?1?lnan?2?n，n?n2n?n211?()n?1n?1n?1111112(lna?lna)?(?)?lna?lna?1???2??n?2.??i?1in12i1i?i2nn2i?1i?11?2 即lnan?lna1?2?an?e2.11111?????ln(n?1)?1???? 23n?12nn?1n2n?1n?????ln?ln???ln2 證明:提示: ln(n?1)?lnnn?11nn?11函數(shù)構(gòu)造形式: lnx?x,lnx?1? yx練習(xí)3.求證: 當(dāng)然本題的證明還可以運(yùn)用積分放縮

如圖,取函數(shù)f(x)?n1, xnEFDC首先: SABCF111BAO??,從而, ?i???lnx|nn-iln(nn?i)n?i?lnn?xnxn?in?i5

x 1?lnn?ln(n?1), n1111?ln(n?1)?lnn,相加所以有?ln2, ?ln3?ln2,?, ?lnn?ln(n?1), 32nn?1111?ln(n?1)后可以得到: ????23n?1取i?1有, 另一方面SABDE取i?1有，111??,從而有?i???lnx|nn?i?lnn?ln(n?i)

xn?ixn?in?inn1?lnn?ln(n?1), n?11111111?ln(n?1)?1???? 所以有l(wèi)n(n?1)?1????,所以綜上有????2n23n?12n練習(xí)4.已知函數(shù)f(x)?xlnx.若a?0,b?0,證明:f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).證明:設(shè)函數(shù)g(x)?f(x)?f(k?x),(k?0)

?f(x)?xlnx,?g(x)?xlnx?(k?x)ln(k?x), ?0?x?k.?g?(x)?lnx?1?ln(k?x)?1?lnx, k?x令g?(x)?0,則有k2x2x?kk?1??0??x?k.k?xk?x2k2k2∴函數(shù)g(x)在[,k）上單調(diào)遞增，在(0,]上單調(diào)遞減.∴g(x)的最小值為g()，即總有g(shù)(x)?g().而g()?f()?f(k?)?kln k2k2k2k2k?k(lnk?ln2)?f(k)?kln2, 2?g(x)?f(k)?kln2,即f(x)?f(k?x)?f(k)?kln2.令x?a,k?x?b,則k?a?b.?f(a)?f(b)?f(a?b)?(a?b)ln2.?f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).【設(shè)計(jì)意圖】：自己解決問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動(dòng)力，使學(xué)生體驗(yàn)到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要研究”的主動(dòng)學(xué)習(xí),點(diǎn)評時(shí)的師生互動(dòng)，增強(qiáng)了師生感情，一起構(gòu)造了和諧、智慧的課堂.七、教學(xué)反思

《怎樣解題》是美國著名數(shù)學(xué)家波利亞所著的一本關(guān)于數(shù)學(xué)解題方法的書籍，雖然這本書編寫的年代距今已很久遠(yuǎn)了,但書中所講述的數(shù)學(xué)思維的新方法卻具有極強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義.首先看他對教師教學(xué)目的的解讀.他認(rèn)為教師最重要的任務(wù)之一是幫助學(xué)生，以使學(xué)生獲得盡可能多的獨(dú)立工作的經(jīng)驗(yàn).如今課改所提倡的動(dòng)手實(shí)踐、自主探究的學(xué)習(xí)方式不正暗合了這一思想嗎？但是波利亞也提出了有關(guān)幫助的度的問題，即不能少，學(xué)生完全沒有方向，就根本不會(huì)有提高;也不宜多，學(xué)生沒有思考的空間，同樣不會(huì)有進(jìn)步.最好的辦法是教師把自己放在學(xué)生的位置上，根據(jù)學(xué)生的情況，努力去理解學(xué)生的想法，然后提出一個(gè)問題或指 出一個(gè)步驟.看到這里，我不禁想起了課標(biāo)對于數(shù)學(xué)活動(dòng)的詮釋---教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.其次，進(jìn)一步理解了怎樣解題的四個(gè)階段（1、理解題目;

2、擬定方案;、執(zhí)行方案;

4、回顧.）波利亞所概括的這四個(gè)階段，在以往的教學(xué)中本人雖或多或少的都有所體現(xiàn)，但相對于波利亞論述中所要達(dá)到的層次，還是有許多欠缺的.