第一篇：陜西省龍鳳培訓(xùn)學(xué)校九年級數(shù)學(xué) 暑假銜接班《第一講 如何做幾何證明題》練習(xí)

《第一講 如何做幾何證明題》

【知識梳理】

1、幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常常可以相互轉(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。

2、掌握分析、證明幾何問題的常用方法：

（1）綜合法（由因?qū)Ч瑥囊阎獥l件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；

（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；

（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。

3、掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。

【例題精講】

【專題一】證明線段相等或角相等

兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。

【例1】已知：如圖所示，?中，?C?90?，AC?BC，AD?DB，AE?CF。ABC

求證：DE＝DF

【鞏固】如圖所示，已知?為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE＝BD，連結(jié)CE、DE。ABC 求證：EC＝ED

【例2】已知：如圖所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求證：∠E＝∠F

【專題二】證明直線平行或垂直

在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。

【例3】如圖所示，設(shè)BP、CQ是?的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。ABC 求證：KH∥BC

B

C

K

PH

B

C

D

E

B

F

D

A?90?，AE?BF，BD?DC【例4】已知：如圖所示，AB＝AC，∠。

求證：FD⊥ED

B

D

【專題三】證明線段和的問題

（一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法）【例5】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是AB上一個(gè)動點(diǎn)，若∠B＝60°，AB＝BC，且∠DEC＝60°； 求證：BC＝AD＋AE

【鞏固】已知：如圖，在?中，?，∠BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于O。ABCB?60? 求證：AC＝AE＋CD

（二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補(bǔ)短法）

【例6】 已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，?。EAF??45求證：EF＝BE＋DF

A

D

C

A

DF

B

E

C

【專題四】證明幾何不等式：

【例7】已知：如圖所示，在?ABC中，AD平分∠BAC，AB?AC。求證：BD?DC

B

D

C

【拓展】?ABC中，?BAC??90，AD?BC于D，求證：AD1

?AB?AC?BC?