第一篇：隨機(jī)信號分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告

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實(shí) 驗(yàn) 報(bào) 告 告

課程名稱:

隨機(jī)信號分析

院

系：

電子與信息工程學(xué)院

班

級：

姓

名:

學(xué)

號：

指導(dǎo)教師:

實(shí)驗(yàn)時(shí)間:

實(shí)驗(yàn)一、各種分布隨機(jī)數(shù)得產(chǎn)生

（一)實(shí)驗(yàn)原理 1、、均勻分布隨機(jī)數(shù)得產(chǎn)生原理 產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)得一種實(shí)用方法就是同余法,它利用同余運(yùn)算遞推產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)序列．最簡單得方法就是加同余法

為了保證產(chǎn)生得偽隨機(jī)數(shù)能在[0,１]內(nèi)均勻分布,需要Ｍ為正整數(shù)，此外常數(shù) c 與初值 y0 亦為正整數(shù)。加同余法雖然簡單,但產(chǎn)生得偽隨機(jī)數(shù)效果不好。另一種同余法為乘同余法,它需要兩次乘法才能產(chǎn)生一個［0，１]上均勻分布得隨機(jī)數(shù)

? ??

式中,ａ為正整數(shù)。用加法與乘法完成遞推運(yùn)算得稱為混合同余法,即

??

?用混合同余法產(chǎn)生得偽隨機(jī)數(shù)具有較好得特性,一些程序庫中都有成熟得程序供選擇。

常用得計(jì)算語言如 Basic、Ｃ與 Matlab 都有產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)得函數(shù)可

以調(diào)用，只就是用各種編程語言對應(yīng)得函數(shù)產(chǎn)生得均勻分布隨機(jī)數(shù)得范圍不同，有得函數(shù)可能還需要提供種子或初始化。

Matlaｂ提供得函數(shù)ｒａnd()可以產(chǎn)生一個在[0,1］區(qū)間分布得隨機(jī)數(shù)，rand（2,4）則可以產(chǎn)生一個在［０,1]區(qū)間分布得隨機(jī)數(shù)矩陣,矩陣為２行４列。Matlab 提供得另一個產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)得函數(shù)就是 ranｄom(’unif’,a,b，N，M),unif 表示均勻分布,a與b就是均勻分布區(qū)間得上下界,N與M分別就是矩陣得行與列。

2、、隨機(jī)變量得仿真 根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)變換得原理,如果能將兩個分布之間得函數(shù)關(guān)系用顯式表達(dá),那么就可以利用一種分布得隨機(jī)變量通過變換得到另一種分布得隨機(jī)變量。

若Ｘ就是分布函數(shù)為 F(x)得隨機(jī)變量,且分布函數(shù) F(x)為嚴(yán)格單調(diào)升函數(shù),令Ｙ=F(X）,則 Y 必為在[0，1]上均勻分布得隨機(jī)變量．反之,若 Y 就是在[0,1]上均勻分布得隨機(jī)變量,那么 即就是分布函數(shù)為 FX(x）得隨機(jī)變量。式中 F X??1()為F X()? 得反函數(shù).這樣,欲求某個分布得隨機(jī)變量,先產(chǎn)生在[0,１］區(qū)間上得均勻分布隨機(jī)數(shù),再經(jīng)上式變換，便可求得所需分布得隨機(jī)數(shù)。

３、高斯分布隨機(jī)數(shù)得仿真 廣泛應(yīng)用得有兩種產(chǎn)生高斯隨機(jī)數(shù)得方法，一種就是變換法,一種就是近似法.如果Ｘ1,X2 就是兩個互相獨(dú)立得均勻分布隨機(jī)數(shù),那么下式給出得 Y１,Y2

便就是數(shù)學(xué)期望為 m,方差為得高斯分布隨機(jī)數(shù)，且互相獨(dú)立，這就就是變換法。

另外一種產(chǎn)生高斯隨機(jī)數(shù)得方法就是近似法.在學(xué)習(xí)中心極限定理時(shí)，曾提到 n 個在[0,1］區(qū)間上均勻分布得互相獨(dú)立隨機(jī)變量 Xi（i＝１，2…，ｎ）,當(dāng)ｎ足夠大時(shí),其與得分布接近高斯分布.當(dāng)然,只要 n 不就是無窮大，這個高斯分布就是近似得。由于近似法避免了開方與三角函數(shù)運(yùn)算，計(jì)算量大大降低。當(dāng)精度要求不太高時(shí)，近似法還就是具有很大應(yīng)用價(jià)值得.4、、各種分布隨機(jī)數(shù)得仿真 有了高斯隨機(jī)變量得仿真方法，就可以構(gòu)成與高斯變量有關(guān)得其她分布隨機(jī)變量,如瑞利分布、指數(shù)分布與分布隨機(jī)變量。

(二）

實(shí)驗(yàn)?zāi)康?在很多系統(tǒng)仿真得過程中,需要產(chǎn)生不同分布得隨機(jī)變量。利用計(jì)算機(jī)可以很方便地產(chǎn)生不同分布得隨機(jī)變量，各種分布得隨機(jī)變量得基礎(chǔ)就是均勻分布得隨機(jī)變量.有了均勻分布得隨機(jī)變量，就可以用函數(shù)變換等方法得到其她分布得隨機(jī)變量。

(三)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

附:源程序 suｂplot（2,2，1);

x=random（’ｕniｆ’，2，5，1，１024）； ploｔ(x)； tｉtｌｅ(’均勻分布隨機(jī)數(shù)’)subpｌｏt(２，2，2);G1=ｒandｏm(’Nｏrmaｌ＇,0,1,1，20００0)； ploｔ（G１)； ｔitle（’高斯分布隨機(jī)數(shù)’)ｓｕbplot(2，2,３）;G2=raｎdom(“Nｏrmal’,0,1,1,20０00);R=sqrt（G1、＊G1＋G2、＊G２）;plｏt（Ｒ);title(’瑞利分布隨機(jī)數(shù)’)suｂplot(2，２,4);G3=raｎdｏm(”Nｏrｍal’,0,１,1,2000０);G４=ｒandom(“Nｏrｍａl’，０,1,1,2０0０0）； Ｘ=G１、＊Ｇ1+G２、*G2+G３、*G3+Ｇ4、*G4； pｌoｔ（Ｘ);ｔｉtle（”x^2 分布隨機(jī)數(shù)＇）

實(shí)驗(yàn) 二、隨機(jī)變量檢驗(yàn)（一)實(shí)驗(yàn) 原理 1、均值得計(jì)算 在實(shí)際計(jì)算時(shí),如果平穩(wěn)隨機(jī)序列滿足各態(tài)歷經(jīng)性，則統(tǒng)計(jì)均值可用時(shí)間均值代替。這樣，在計(jì)算統(tǒng)計(jì)均值時(shí),并不需要大量樣本函數(shù)得集合，只需對一個樣本函數(shù)求時(shí)間平均即可。甚至有時(shí)也不需要計(jì)算 N ? ? 時(shí)得極限,況且也不可能。通常得做法就是取一個有限得、計(jì)算系統(tǒng)能夠承受得 N 求時(shí)間均值與時(shí)間方差。根據(jù)強(qiáng)調(diào)計(jì)算速度或精度得不同,可選擇不同得算法。

設(shè)隨機(jī)數(shù)序列｛}，一種計(jì)算均值得方法就是直接計(jì)算下式中,xn 為隨機(jī)數(shù)序列中得第 n 個隨機(jī)數(shù)。

另一種方法就是利用遞推算法，第ｎ次迭代得均值也亦即前 n 個隨機(jī)數(shù)得均值為迭代結(jié)束后,便得到隨機(jī)數(shù)序列得均值 m m N ?

遞推算法得優(yōu)點(diǎn)就是可以實(shí)時(shí)計(jì)算均值,這種方法常用在實(shí)時(shí)獲取數(shù)據(jù)得場合。

當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí),為防止計(jì)算誤差得積累,也可采用式中,m1 就是取一小部分隨機(jī)數(shù)計(jì)算得均值.２、方差得計(jì)算 計(jì)算方差也分為直接法與遞推法。仿照均值得做法

方差得遞推算法需要同時(shí)遞推均值與方差 m mnx mn n n n? ? ?? ? 1 11()

迭代結(jié)束后，得到隨機(jī)數(shù)序列得方差為

其它矩函數(shù)也可用類似得方法得到.３、統(tǒng)計(jì)隨機(jī)數(shù)得概率密度直方圖 假定被統(tǒng)計(jì)得序列得最大值與最小值分別為 a 與 b。將區(qū)間等分 M(M 應(yīng)與被統(tǒng)計(jì)得序列得個數(shù) N 相適應(yīng)，否則統(tǒng)計(jì)效果不好。)份后得區(qū)間為,，…，,… ,。用，表示序列得值落在區(qū)間里得個數(shù),統(tǒng)計(jì)序列得值在各個區(qū)間得個數(shù)，則就粗略地反映了隨機(jī)序列得概率密度得情況.用圖形方式顯示出來就就是隨機(jī)數(shù)得概率密度直方圖.（二）

實(shí)驗(yàn)?zāi)康?隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生之后,必須對它得統(tǒng)計(jì)特性做嚴(yán)格得檢驗(yàn)。一般來講,統(tǒng)計(jì)特性得檢驗(yàn)包括參數(shù)檢驗(yàn)、均勻性檢驗(yàn)與獨(dú)立性檢驗(yàn)等.事實(shí)上,我們?nèi)绻诙A矩范圍內(nèi)討論隨機(jī)信號,那么參數(shù)檢驗(yàn)只對產(chǎn)生得隨機(jī)數(shù)一、二階矩進(jìn)行檢驗(yàn)。我們可以把產(chǎn)生得隨機(jī)數(shù)序列作為一個隨機(jī)變量,也可以瞧成隨機(jī)過程中得一個樣本函數(shù)。不論就是隨機(jī)變量還就是隨機(jī)過程得樣本函數(shù)，都會遇到求其數(shù)字特征得情況，有時(shí)需要計(jì)算隨機(jī)變量得概率密度直方圖等.（三）

實(shí)驗(yàn)結(jié)果

附：源程序 subplｏt(2,2，1）;x=raｎdom(“ｕnｉf”,２，５,1,１０2４）;ｈisｔ（x,2:0、２：5);ｔitle（’均勻分布隨機(jī)數(shù)直方圖’);s1=0 foｒ ｎ１＝1:１024

s１=x(n1)＋s１;end Mｅan1=s1/102４； t1=0 for n1＝１:10２4

ｔ1＝(x（n1）—Mean1)＾2＋t1;end Ｖaｒiance１＝ｔ1/１024;sｕbplot(2,2，2)； G1＝raｎdｏm(’Noｒｍal“,0，1,１，２0０00)； hist(G1，—4:0、2:4）； ｔitｌe(”高斯分布隨機(jī)數(shù)直方圖’）;ｓ2=０ foｒ n２=1：2０00０

ｓ2=Ｇ1（ｎ2）+s2； eｎｄ Mｅan2＝s2/20000； t2=0 fｏr n2＝1：20０00

t2=(G1(n2）-Mean２)^2+t2;enｄ Vaｒｉaｎｃe2=t2/20000； subｐｌot(２，2,3);G2=rａndom(’Nｏｒmal’,0，1，1,２0000）； R＝sqｒt（G１、*G1＋G2、*G２);hｉst（R,0:０、２:5）;tｉtｌｅ(“瑞利分布隨機(jī)數(shù)直方圖’)； s3=０ for n3=1：20000

ｓ3=R(ｎ3）+ｓ3;ｅnd Meａn３=s3/２00０0;t３＝0 ｆor n3=1：2０000

ｔ3=(R（n３)—Ｍｅan3）^2+t3;end Ｖarianｃｅ3=t3/２00００;subｐlot(2,２，4);G3=ｒandom（’Normaｌ”，0,1，1,200０0）;G４=raｎdom（“Ｎormal”,０,1,１，２0000）;X=Ｇ1、*G1＋G2、＊Ｇ2+G3、＊G3＋Ｇ4、＊G4； hist(X，0：０、5：30）;tiｔle(“x^2 分布隨機(jī)數(shù)直方圖’)ｓ4=0 for ｎ4=1:200０0

ｓ４=X(ｎ４）+s４;ｅnd Mean4=s4/2000０;t4＝0 for n４＝1:２00０0

t4=(X(ｎ4)-Meaｎ４)^2＋t4； end 實(shí)驗(yàn) 三、中心極限定理得驗(yàn)證(一）

實(shí)驗(yàn) 原理 如果 n 個獨(dú)立隨機(jī)變量得分布就是相同得,并且具有有限得數(shù)學(xué)期望與方差，當(dāng) n 無窮大時(shí)，它們之與得分布趨近于高斯分布。這就就是中心極限定理中

得一個定理。

我們以均勻分布為例，來解釋這個定理。若 n 個隨機(jī)變量 Xi（ｉ=1，2，…,n)都為[0,1］區(qū)間上得均勻分布得隨機(jī)變量,且互相獨(dú)立，當(dāng) n 足夠大時(shí)，其與得分布接近高斯分布。

(二）

實(shí)驗(yàn)?zāi)康?利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生均勻分布得隨機(jī)數(shù)。對相互獨(dú)立得均勻分布得隨機(jī)變量做與,可以很直觀瞧到均勻分布得隨機(jī)變量得與,隨著做與次數(shù)得增加分布情況得變化，通過實(shí)驗(yàn)對中心極限定理得進(jìn)行驗(yàn)證。

((三）

實(shí)驗(yàn)結(jié)果

分析:隨ｎ取值得增大，均勻分布隨機(jī)序列求與得圖形越發(fā)接近于高斯分布。

附：源程序 X0=random(＇uniｆ”,0,1，１,１0２4);X1=randｏm(’unｉｆ’,0,1，1，１024)；

Ｘ2=ｒandoｍ（＇ｕniｆ“,0,1,1，１024);X3=rａndom(＇unif＇，0,１,１,1024);

Ｘ4=ｒaｎｄｏｍ(”uｎif＇，0，１，1，１０24);

X5=raｎdom(’ｕnif’，0，1,１,１024）；

Ｘ６=ｒaｎdom（’ｕnif“,0,1，1,1024）;X7=raｎｄom（’ｕｎiｆ’,0,1，１,1024);

X８=raｎdom(＇unif”，0，1，1,１０24);

X9=ｒaｎdom(’ｕnｉf’,0,１,１,1０２４）； Ｇ=rａｎｄom(“ｎｏｒmal”,０，1，1，1024）;

Ｙ1=X０+X1+X2＋X3＋Ｘ4；

Y2=Ｘ0+X1＋X2+Ｘ3+X４+Ｘ5+X6+X7+Ｘ8+X9;

suｂploｔ(2,2,1);ｈｉsｔ(X０,０:0、２：2)；

titlｅ(“均勻分布隨機(jī)數(shù)直方圖’）

sｕbplot(2，２,2）;hist（Y１,0：0、２：6);

ｔitlｅ(’五個均勻分布之與隨機(jī)數(shù)直方圖”)sｕｂplot(2,２,3）;ｈｉｓｔ(Y2，0：0、2：8);

title（’十個均勻分布之與隨機(jī)數(shù)直方圖“)subpｌoｔ(2，２，4);ｈiｓt（G,－4：0、2:4）;title(”高斯分布隨機(jī)數(shù)直方圖“）

實(shí)驗(yàn) 四、中心極限定理得驗(yàn)證(一）

實(shí)驗(yàn) 原理 在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以把產(chǎn)生得隨機(jī)數(shù)序列瞧成隨機(jī)過程中得一個樣本函數(shù)。如果平穩(wěn)隨機(jī)序列滿足各態(tài)歷經(jīng)性,則統(tǒng)計(jì)自相關(guān)序列可用時(shí)間自相關(guān)序列

代替。當(dāng)數(shù)據(jù)得樣本數(shù)有限時(shí),也只能用有限個數(shù)據(jù)來估計(jì)時(shí)間自相關(guān)序列,統(tǒng)計(jì)自相關(guān)序列得估值。若各態(tài)歷經(jīng)序列Ｘ(n）得一個樣本有 N 個數(shù)據(jù),由于實(shí)序列自相關(guān)序列就是對稱得，自相關(guān)函數(shù)得估值為

(二)實(shí)驗(yàn)?zāi)康?在隨機(jī)信號理論中,自相關(guān)函數(shù)就是非常重要得概念。在實(shí)際系統(tǒng)仿真中也會經(jīng)常計(jì)算自相關(guān)函數(shù)．通過本試驗(yàn)學(xué)生可以親自動手計(jì)算自相關(guān)函數(shù),加深對概念得理解，并增強(qiáng)實(shí)際動手能力．（三))實(shí)驗(yàn)結(jié)果

分析：分別生成均值為 0 與１，方差為 1 得高斯隨機(jī)數(shù),由圖形可以明顯瞧出兩者自相關(guān)函數(shù)得差異。

附:源程序 N=２56;xn=ranｄom(’nｏｒm＇，０,１,1，N);Rx=ｘcoｒr（ｘn,＇biａsed”);ｍ=-N+1：N－1;ｓubplｏｔ(2,1，１）;ｐlot(m,Rx);tｉtle(“均值為０，方差為１得高斯分布得自相關(guān)函數(shù)＇）； axis（［—N N—1 —0、５ 1、５］)； N=256;xn＝randｏｍ（’noｒm’,1,1，1，Ｎ);Ｘk=ｆft(xn,2*N)； Rx＝ifｆｔ（(aｂs（Xk)、＾2)／N）； m=-N:Ｎ—１;suｂｐlot(２，1，2)； plot（m，fｆtsｈift（Rx));ｔitｌe（’均值為 1,方差為 1 得高斯分布得自相關(guān)函數(shù)’);ａxｉs（[-N N—1-0、5 １、5]);實(shí)驗(yàn)五、功率譜密度(一)實(shí)驗(yàn) 原理 一般把平穩(wěn)隨機(jī)序列得功率譜定義為自相關(guān)序列得傅里葉變換。如果自相關(guān)序列就是周期序列, X(ｎ）得功率譜與自相關(guān)序列得關(guān)系為

? 與實(shí)平穩(wěn)過程一樣,實(shí)平穩(wěn)序列得功率譜也就是非負(fù)偶函數(shù),即

可以證明，功率譜還可表示為

當(dāng) X(ｎ）為各態(tài)歷經(jīng)序列時(shí),可去掉上式中得統(tǒng)計(jì)均值計(jì)算,將隨機(jī)序列 X(n)用它得一個樣本序列 x（ｎ)代替。在實(shí)際應(yīng)用中，由于一個樣本序列得可用數(shù)據(jù)個數(shù) N 有限,功率譜密度也只能就是估計(jì)

式中，X(x（n)得傅里葉變換．這就是比較簡單得一種估計(jì)方法,這種功率譜密度得估計(jì)方法稱為周期圖方法。如果直接利用數(shù)據(jù)樣本做離散傅里葉變換,可得到 X(FＦT 算法實(shí)現(xiàn),所以得到了廣泛得應(yīng)用。

(二）實(shí)驗(yàn)?zāi)康?在隨機(jī)信號理論中，功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)一樣都就是非常重要得概念.在實(shí)際系統(tǒng)仿真中也會經(jīng)常計(jì)算。通過本試驗(yàn)學(xué)生可以親自動手,加深對概念得理解，并增強(qiáng)實(shí)際動手能力。

(三）實(shí)驗(yàn)結(jié)果

附:源程序 N＝２5６;ｘ1＝random(”normal’,0,1，1,N);Sx1＝abs（ｆft(ｘ1）、＾2）／N;subplot(2,１,1);plｏｔ（１0*loｇ10（Sx1));ｔｉtle(“均值為０,方差為 1 得高斯分布得功率譜密度＇)； xlａｂel(’ｆ/Ｈz’)ylabel(”Sｘ１/dB’）

x２=rａndom(’ｎormａl“，１,1,1,N）； Ｓｘ2=abs（fｆt（x2)、＾２)/N;ｓuｂplot（2，1,2);plot（１０*log1０(Sx2));title（”均值為 1，方差為 1 得高斯分布得功率譜密度’）;xlabel(’ｆ/Hz＇）

ｙlabｅｌ（“Ｓx2/dB＇)實(shí)驗(yàn) 六、隨機(jī)信號經(jīng)過 線性系統(tǒng)前后信號仿真

（一))實(shí)驗(yàn)原理

需要先仿真一個指定系統(tǒng),再根據(jù)需要仿真輸入得隨機(jī)信號，然后使這個隨機(jī)信號通過指定得系統(tǒng)．通過對實(shí)際系統(tǒng)建模，計(jì)算機(jī)可以對很多系統(tǒng)進(jìn)行仿真。在信號處理中,一般將線性系統(tǒng)分解為一個全通放大器(或衰減器)與一個特定頻率響應(yīng)得濾波器。由于全通放大器可以用一個常數(shù)代替,因此線性系統(tǒng)得仿真往往只需設(shè)計(jì)一個數(shù)字濾波器。濾波器設(shè)計(jì)可采用 MＡTLAB 提供得函數(shù)，也可

利用相應(yīng)得方法自行設(shè)計(jì)。MＡＴLAＢ提供了多個設(shè)計(jì)濾波器得函數(shù),可以很方便地設(shè)計(jì)低通、帶通、高通、多帶通、帶阻濾波器。

((二）實(shí)驗(yàn) 目得

系統(tǒng)仿真就是信號仿真處理得一個重要部分，通過該實(shí)驗(yàn)要求學(xué)生掌握系統(tǒng)仿真得基本概念,并學(xué)會系統(tǒng)得仿真方法。

((三))實(shí)驗(yàn) 結(jié)果

1、低通濾波器

2、帶通濾波器

3、高通濾波器 4、多帶通濾波器

5、帶阻濾波器

附：源程序 １、X（n)

N＝2000；fｓ=４00;Nn=ｒandom（”normａl＇,0,1,1，N)； t=（0：Ｎ—１)/fs;fi=ｒaｎｄｏm(’unｉf’,0,１,１,２)＊2＊pｉ;xn＝sin(2*ｐi*５０*ｔ+ｆｉ(1))+Nn;Ｒx=ｘcorｒ(xn，“biaｓed’)； ｍ=—N+1:N－1;Sx=abs（ｆft（xn）、^2）/Ｎ； f=(—N／2:N/2-１）＊fs/N;sｕbｐlｏt（211),ｐｌot(m，Rｘ)； xlabｅl(’m’）

ｙｌabel（”Rx(m）’)titlｅ（’xn 得自相關(guān)函數(shù)“);subploｔ(212）,plｏt（f,ffｔshift（10＊lｏg10（Sx(1:N）)）);xlabeｌ（’f/Hz”)ｙlabｅl(“Sx/dB”)tｉtle(’xn 得功率譜密度’）;2、低通濾波器 ｈ=ｆir1（１00,0、４);H=ｆft(h,2＊N);HW=aｂs(Ｈ)、＾２;Rx=xcoｒr（xn，’ｂｉasｅｄ＇);Sx=abs（ｆfｔｓhift（fft(xn，2*N））、＾2)/（2＊Ｎ)； Ｓy＝Sx、*ＨＷ;Ｒy＝fftｓｈift（ifft（Sｙ)）;

f=（-Ｎ：N—1)＊ｆs/(2＊N)； m=(—N:Ｎ－1);subｐｌot(311);pｌot（(-N:Ｎ—1)/N，fｆtshiｆt(aｂs(HW(1:2＊N))）);tiｔlｅ(＇低通濾波器“）;ｓubplｏt(31２)，ｐｌoｔ（ｍ,Ry);xlabｅl(”m“)ylａbeｌ（”Ry（ｍ)＇)title(’xn 經(jīng)低通濾波器得自相關(guān)函數(shù)’)； ｓubｐloｔ(31３),plot（ｆ，ffｔshift(10*log10(Ｓy（１:2*N)）))； ａxis(［—200 20０ —20 20]);xlabeｌ(“f/Hz’)ｙlabｅl(＇Sｙ/ｄＢ”)titｌe(＇xn 經(jīng)低通濾波器得功率譜密度“)； 3、帶通濾波器 ｈ=fｉr1(10０，［０、１ ０、5]);H=ｆft(h，2*Ｎ);ＨW＝abs(H)、^2； Ｒx=ｘcorｒ(xn，”biａsed“）； Sｘ=aｂs（fｆtshiｆt(fｆt(ｘn,2*N））、＾2)／（2*N）； Sy=Ｓx、*ＨW； Rｙ=fｆtsｈift(ｉfft（Sｙ)）； f=(-Ｎ:N-1）*fs/(2＊Ｎ);m=（-N:N—1）;subｐlot(311);ｐlot((—N:N-1）/N,fftｓｈift（abs（HW（1:2＊Ｎ)))）； ｔitle(’帶通濾波器”）； ｓubｐlｏｔ（312)，ploｔ（ｍ,Ry);xlabeｌ(’m“)yｌabel(’Ｒy(m)’)title(”xn 經(jīng)帶通通濾波器得自相關(guān)函數(shù)“)； ｓubpｌoｔ(31３)，plｏt(f,fftshift(10＊lｏg10（Sy(１：2＊N))））； ａxiｓ（［—２０0 20０ －２0 20]);xｌabｅl（’f/Hz”)yｌabｅl(“Ｓｙ/dＢ’)tｉtle（’xn 經(jīng)帶通濾波器得功率譜密度’）;4、高通濾波器 h=ｆｉr1（１0０,0、6,’high’）； Ｈ=fft(h,2＊N）； ＨW=abｓ（H)、^２;Ｒx=xcｏｒr(xｎ,”bｉａｓed“）;Ｓx=abs(fftｓｈift（fｆt(xn,2＊N))、^２)/（2*N)； Sｙ=Ｓx、*HW;Ｒy=ffｔshiｆt(iｆfｔ（Sｙ));f=(-Ｎ:N-1）*ｆs/（2*N);m=(—Ｎ:N—1）；

sｕｂｐlｏt(31１)；plot(（-N：Ｎ—1）/N,ｆftshiｆt(aｂs(HＷ（1:２*N)）));tiｔｌe(＇高通濾波器”）;subpｌot(312），ploｔ(m,Rｙ);xlabｅl(“ｍ’)ylaｂeｌ(’Rｙ(m)”)tiｔlｅ(＇xn 經(jīng)高通通濾波器得自相關(guān)函數(shù)’);subplｏt（3１3）,ｐｌot(ｆ,fftshｉft(10*ｌog10(Sy（1:2＊Ｎ)）））;axis（［－２０0 2０0 —2０ 2０]）； xlａbeｌ（“ｆ/Ｈz’)ｙｌａbｅl（”Sy/ｄB“)tｉtle(＇xn 經(jīng)高通濾波器得功率譜密度＇);5、多帶通濾波器 h=fｉr１(100,[０、１,0、3，0、5,0、7］)； H＝ｆfｔ(h，2*N)； HW＝ａｂｓ（Ｈ)、^2； Ｒx=xcorr（xn,＇bｉasｅd’);Sx=abs（fｆtshift(fft(xn,2*N））、^2)/（２＊Ｎ）； Sy＝Ｓx、*HW;Ｒy=ffｔshiｆt（iｆft(Sy));f＝（—Ｎ:N—1)＊fｓ/(2*N);m＝（—N：Ｎ-1);sｕbｐloｔ(３１1）;ploｔ(（—N:N—１）/Ｎ,fftｓｈift（ａbs(HW（1:２＊N）)))； tiｔle(’多帶通濾波器’)； ｓｕbplot(312),pｌｏt(m,Ry）； ｘlabel（＇m’)ｙｌabｅl（”Ry(m）“）

ｔitle（”xn 經(jīng)多帶通通濾波器得自相關(guān)函數(shù)“);subpｌot（31３),plot(ｆ,fｆｔshｉｆt（1０＊ｌog10(Sｙ（1：2＊Ｎ)）));axis（［－2０0 2０0 —20 20]);xlaｂeｌ（’ｆ／Hz”）

ｙlabｅl(“Sy/dB’）

ｔitle(’xn 經(jīng)多帶通濾波器得功率譜密度”）； 6、帶阻濾波器 h=fiｒ１(100,[０、1,0、4],’sｔoｐ’);H=fft（h，2＊N);HＷ=abｓ(H)、^2;Rx=ｘｃｏrr（xｎ,’ｂiaseｄ“）;Ｓx＝ａbｓ（ffｔshift(fft（ｘｎ，２*N）)、＾2)／(2*N);Sy=Sx、＊ＨW； Ｒy＝fftshift（ｉfft(Sy））;f=(—N:N-1）*ｆｓ/（2*N);m=(-N：N—1)； ｓｕｂｐlot(311）；pｌoｔ(（—N：N-1）/Ｎ,fftshift(ａｂs（ＨＷ(1:２*Ｎ))));

ｔｉtｌｅ(”帶阻濾波器“）； ｓubpｌot（31２),ｐlot（m，Ｒy)； xlａbeｌ(’m’）

ｙlａbel（”Ｒy(m)’)ｔitle（’ｘn 經(jīng)帶阻濾波器得自相關(guān)函數(shù)＇)； sｕbplｏｔ(3１3)，ｐlot(f,fftshift（10＊log10(Sy（１:2*N)）））;aｘis([－200 20０-20 20］);xlaｂｅl（＇f／Ｈz“)ylabｅl（”Sy/ｄB“)titlｅ（”xn 經(jīng)帶阻濾波器得功率譜密度"）;

第二篇：《隨機(jī)信號分析》實(shí)驗(yàn)報(bào)告

《隨機(jī)信號分析》實(shí)驗(yàn)報(bào)告

學(xué)號：

姓名：

2009年12月21日

實(shí)驗(yàn)一：平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征

1、實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹罢?、小四宋體1.5倍行距”

2、實(shí)驗(yàn)任務(wù)

3、實(shí)驗(yàn)流程

4、實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5、實(shí)驗(yàn)代碼

“代碼、五號宋體1倍行距”

1、實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹罢?、小四宋體1.5倍行距”

2、實(shí)驗(yàn)任務(wù)

3、實(shí)驗(yàn)流程

4、實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5、實(shí)驗(yàn)代碼

“代碼、五號宋體1倍行距”

1、實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹罢?、小四宋體1.5倍行距”

2、實(shí)驗(yàn)任務(wù)

3、實(shí)驗(yàn)流程

4、實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5、實(shí)驗(yàn)代碼

“代碼、五號宋體1倍行距”

1、實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹罢?、小四宋體1.5倍行距”

2、實(shí)驗(yàn)任務(wù)

3、實(shí)驗(yàn)流程

4、實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5、實(shí)驗(yàn)代碼

“代碼、五號宋體1倍行距”

第三篇：隨機(jī)信號分析基礎(chǔ)讀書報(bào)告

讀書報(bào)告

——隨機(jī)信號分析基礎(chǔ)

本讀書報(bào)告主要分為三部分：

一、自學(xué)計(jì)劃。

二、理論原理知識。

三、個人總結(jié)及心得體會。

一、自學(xué)計(jì)劃。

在研究生第一學(xué)期，開設(shè)了隨機(jī)信號分析基礎(chǔ)課，這門課程是在信號分析基礎(chǔ)上對信號分析與處理的更深一步的學(xué)習(xí)。11月末，在老師的安排下我們開始進(jìn)行關(guān)于由王永德、王軍主編的，由電子工業(yè)出版社出版的《隨機(jī)信號分析基礎(chǔ)》（第二版），第5章隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的自學(xué)。

（1）時(shí)間安排

11月末至12月末，每周的周一下午，周四上午設(shè)定為學(xué)習(xí)時(shí)間。

（2）目標(biāo)要求

理解第五章關(guān)于5.2，5.3，5.5的相關(guān)內(nèi)容，隨時(shí)做好學(xué)習(xí)相關(guān)知識的筆記及心得體會。

二、理論原理知識。

在學(xué)習(xí)本書之前我已經(jīng)完成了《高等數(shù)學(xué)》、《復(fù)變函數(shù)》、《信號與系統(tǒng)》等基礎(chǔ)課程的學(xué)習(xí)。并且在學(xué)習(xí)第5章之前，學(xué)習(xí)了前四章的相關(guān)知識。

第2、3、4章討論了隨機(jī)過程的一般概念及其統(tǒng)計(jì)特征。各種電子系統(tǒng)盡管種類繁多，作用各異，但基本上可分為兩大類：即線性統(tǒng)計(jì)與非線性統(tǒng)計(jì)。第五章研究的是現(xiàn)性系統(tǒng)問題并在5.5節(jié)開始隨機(jī)序列通過線性離散系統(tǒng)后統(tǒng)計(jì)特性的變化，并介紹隨機(jī)序列模型的概念與現(xiàn)代譜值的基本思想。以下為關(guān)于5.2，5.3及5.5的讀書筆記。5.2 隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)

主要研究輸入信號為隨機(jī)過程時(shí)，線性、穩(wěn)定性、是不變系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)特征。5.2.1線性系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特征 1.系統(tǒng)的輸出

系統(tǒng)的輸入輸出樣本函數(shù)之間的關(guān)系：Y(t)????h(?)X(t??)d?，??輸入隨機(jī)過程為X(t)，通過系統(tǒng)產(chǎn)生的新過程為Y(t)，對于有收斂的樣本函數(shù)都可以通過此關(guān)系求得輸出。

2.系統(tǒng)輸出的均值與自相關(guān)函數(shù)

主要為解決已知輸入隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)，求系統(tǒng)的輸出隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)。

（1）系統(tǒng)輸出均值

??若X(t)是有界平穩(wěn)過程，于是

E[Y(t)]?E[? ?mX??h(?)X(t??)]d???顯然mX是與時(shí)間無關(guān)

h(?)d????的常數(shù)。

（2）系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

若X(t)是有界平穩(wěn)過程，則系統(tǒng)的自相關(guān)函數(shù)為：

RY(t,t??)???????? ???RX(???1??2)h(?1)h(?2)d?1d?2?RY(?)通過上面兩式可以看出輸出的新隨機(jī)過程Y(t)亦是一個平穩(wěn)的隨機(jī)過程。但是實(shí)際上時(shí)不變隨機(jī)輸入信號時(shí)嚴(yán)平穩(wěn)的，那么輸出也是眼平穩(wěn)的。若輸入隨機(jī)過程是各態(tài)歷經(jīng)的，那么輸出隨機(jī)信號也是各態(tài)歷經(jīng)的。3.系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

輸入輸出的之間的互相關(guān)函數(shù)為：

RXY(?)????R??X(???)h(?)d?

即輸入輸出的互相關(guān)函數(shù)為輸入的自相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的卷積，可寫成

RXY(?)?RX(?)?h(?)

4.物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的響應(yīng)（1）無限工作時(shí)間系統(tǒng) 無限工作時(shí)間系統(tǒng)是指輸入信號x(t)始終作用在系統(tǒng)輸入端（即無始信號的情況），不考慮系統(tǒng)的瞬態(tài)過程，并且大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用都是這種情況。若系統(tǒng)輸入X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，則有

?Y(t)??h(?)X(t??)d??0mY?mX???h(?)d???0

RY???? ???RX(???1??2)h(?1)h(?2)d?1d?2可以看出只要將前面倒出的關(guān)系式中的積分下限“??”用“0”代替，即可得到物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的各關(guān)系式。

這是無限工作時(shí)間系統(tǒng)在時(shí)間域的關(guān)系，但一般情況下對于無限工作時(shí)間系統(tǒng)頻域法往往更簡單。

（2）有限工作時(shí)間系統(tǒng)

有限工作時(shí)間系統(tǒng)是指輸入信號x(t)在t?0時(shí)才開始加入（也就是輸入信號x(t)U(t)的情況）。所以輸入X(t)在t?0到t?t1時(shí)刻的輸出信號Y(t)為：

Y(t)??t1t10X(t1??)h(?)d?E[Y(t1)]?RY??t20t10E[X(t1??)]h(?)d?

? ?0RX(???1??2)h(?1)h(?2)d?1d?2以上討論的都是在時(shí)間域范圍內(nèi)，隨機(jī)信號輸入線性系統(tǒng)的響應(yīng)方法。5.2.2系統(tǒng)輸出的功率譜密度 主要是給出了系統(tǒng)的功率譜密度與輸入的功率譜密度關(guān)系。（假設(shè)輸入X(t)為寬平穩(wěn)過程，則輸出Y(t)也是寬平穩(wěn)過程，而X(t)和Y(t)是聯(lián)合寬平穩(wěn)的。這樣在討論中可以直接應(yīng)用維納-辛欽公式。）1.系統(tǒng)輸出的功率譜密度

線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出的功率譜密度GY(?)與輸入功率譜密度GX(?)的關(guān)系如下：

GY(?)?GX(?)H(?)

H(?)是系統(tǒng)傳遞函數(shù)，H(?)被稱為系統(tǒng)的功率傳遞函數(shù)。就此關(guān)系式書上意見給

22出詳細(xì)的證明。

2.系統(tǒng)輸入與輸出之間的互譜密度

互譜密度公式為GXY(?)?GX(?)H(?)GYX(?)?GX(?)H(??)可以看出，當(dāng)系統(tǒng)的性能未知時(shí)，若可以知道互譜密度就可以確定線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。3.未知系統(tǒng)辨識精度的分析

由前面的知識可以得出 ?2XY(?)?11?1?(?)

可以看出，對于某些頻率信噪比小，則相干系數(shù)值也小，反之則相干系數(shù)值也大。所以用此式可以定量的分析觀測噪聲對系統(tǒng)辨識的影響。5.2.3 多個隨機(jī)信號過程之和通過線性系統(tǒng)

在實(shí)際應(yīng)用中，輸入一般為多個隨機(jī)信號的情況是，所以討論多個隨機(jī)信號過程之和通過線性系統(tǒng)時(shí)很有必要的。假設(shè)系統(tǒng)的輸入X(t)時(shí)兩個聯(lián)合平穩(wěn)且單獨(dú)平穩(wěn)的隨機(jī)過程X1(t)與X2(t)的和，即

X(t)?X1(t)?X2(t)

由于系統(tǒng)式線性的，每個輸入都產(chǎn)生相應(yīng)的輸出，即有

Y(t)?Y1(t)?Y2(t)

輸出的自相關(guān)函數(shù)為：

RY(?)?RY(?)?RY(?)12GY(?)?GY(?)?GY(?)12

由以上式子可以看出，兩個獨(dú)立的（或至少不相關(guān)）的零均值隨機(jī)過程之和的功率譜密度或自相關(guān)函數(shù)等于各自功率譜密度或自相關(guān)函數(shù)之和。通過線性系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度或自相關(guān)函數(shù)也等于各自的輸出的功率譜密度或自相關(guān)函數(shù)之和。5.3白噪聲通過線性系統(tǒng)

白噪聲（white noise）是指功率譜密度在整個頻域內(nèi)均勻分布的噪聲。所有頻率具有相同能量的隨機(jī)噪聲稱為白噪聲。5.3.1噪聲寬帶

理想的白噪聲具有無限帶寬，因而其能量是無限大，這在現(xiàn)實(shí)世界是不可能存在的。實(shí)際上，我們常常將有限帶寬的平整訊號視為白噪音，因?yàn)檫@讓我們在數(shù)學(xué)分析上更加方便。然而，白噪聲在數(shù)學(xué)處理上比較方便，因此它是系統(tǒng)分析的有力工具。一般，只要一個噪聲過程所具有的頻譜寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于它所作用系統(tǒng)的帶寬，并且在該帶寬中其頻譜密度基本上可以作為常數(shù)來考慮，就可以把它作為白噪聲來處理。例如，熱噪聲和散彈噪聲在很寬的頻率范圍內(nèi)具有均勻的功率譜密度，通?？梢哉J(rèn)為它們是白噪聲。5.3.2白噪聲通過理想線性系統(tǒng)

1.白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)（濾波器或低頻放大器）

一個白噪聲通過一個理想低通線性系統(tǒng)。相關(guān)時(shí)間?0為：?0???0?Y(?)d??12?f，表明輸出隨機(jī)過程的相關(guān)時(shí)間與系統(tǒng)的帶寬成反比，即系統(tǒng)的帶寬越寬，相關(guān)時(shí)間?0越小，輸出過程隨時(shí)間變化越劇烈，反之，系統(tǒng)越窄，則?0越大，輸出過程隨時(shí)間變化就越緩慢。

2.白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)（帶通濾波器或高頻諧振放大器）

一個白噪聲通過一個理想帶通線性系統(tǒng)。相關(guān)時(shí)間?0為：?0???0?Y(?)d??12?f，形式與白噪聲通過一個理想低通線性系統(tǒng)相同，但是值得注意的是，這里?0是表示輸出窄帶過程的包絡(luò)隨時(shí)間起伏變化的快慢程度。即上式表明系統(tǒng)的帶快越寬，輸出包絡(luò)的起伏變化越劇烈。反之，帶寬越窄，則包絡(luò)變化越緩慢。

5.3.3白噪聲通過具有高斯頻率的線性系統(tǒng)

在實(shí)際中，只要放大設(shè)備中有4~5個以上的諧振回路，則放大設(shè)備就具有較近似的高斯頻率特性。高斯曲線表示式為

?(???0)2?22H(?)?K0e

5.5隨機(jī)序列通過線性系統(tǒng) 5.5.1自相關(guān)函數(shù)

隨機(jī)序列通過一階FIR濾波器

濾波器的輸出自相關(guān)函數(shù)滿足方程：

?2???bibi?k, k?0,1,?,q RY(k)??i?0?0 k?q ?q?k5.5.2 功率譜密度

在離散型隨機(jī)信號中，隨機(jī)序列的功率譜密度為自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，??RX(?)?D???RX(kT)?(??kTs)

對應(yīng)的傅里葉變換為：

?GX(?)??k???RX(kTs)e?j?kTs

當(dāng)Ts為1時(shí)，上面兩式可以改寫，即為隨機(jī)序列的維納-辛欽定理。pqYn??l?1alYn?l??m?0bmXn?m成為自回歸滑動平均（ARMA）系統(tǒng)。它們在描述受白噪聲污染的正弦過程等復(fù)雜過程時(shí)非常有用。

三、個人總結(jié)及心得體會。

通過本次對《隨機(jī)信號分析基礎(chǔ)》（第二版），第5章隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的自學(xué)。首先對我的自學(xué)能力加以考驗(yàn)，并得到了充分的鍛煉。發(fā)現(xiàn)自學(xué)過程是非常有意義的，并且使我對知識的理解和更加深刻。

通過自學(xué)，我系統(tǒng)的了解了連續(xù)隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的原理，及分析方法，對此有更好的領(lǐng)會。

第四篇：《隨機(jī)信號分析》習(xí)題答案（常建平）

1-9

已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

求：①系數(shù)k；

②X落在區(qū)間內(nèi)的概率；

③隨機(jī)變量X的概率密度。

解：

第①問

利用右連續(xù)的性質(zhì)

k＝1

第②問

第③問

1-10已知隨機(jī)變量X的概率密度為（拉普拉斯分布），求：

①系數(shù)k

②X落在區(qū)間內(nèi)的概率

③隨機(jī)變量X的分布函數(shù)

解：

第①問

第②問

隨機(jī)變量X落在區(qū)間的概率就是曲線下的曲邊梯形的面積。

第③問

1-11

某繁忙的汽車站，每天有大量的汽車進(jìn)出。設(shè)每輛汽車在一天內(nèi)出事故的概率為0.0001，若每天有1000輛汽車進(jìn)出汽車站，問汽車站出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少？

汽車站出事故的次數(shù)不小于2的概率

答案

1-12

已知隨機(jī)變量的概率密度為

求：①系數(shù)k？②的分布函數(shù)？③？

第③問

方法一：

聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)：

若任意四個實(shí)數(shù)，滿足，則

方法二：利用

1-13

已知隨機(jī)變量的概率密度為

①求條件概率密度和？②判斷X和Y是否獨(dú)立？給出理由。

先求邊緣概率密度、注意上下限的選取

1-14

已知離散型隨機(jī)變量X的分布律為

0.2

0.1

0.7

求：①X的分布函數(shù)

②隨機(jī)變量的分布律

1-15

已知隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)高斯分布。求：①隨機(jī)變量的概率密度？②隨機(jī)變量的概率密度？

分析:①

②

答案:

1-16

已知隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，概率密度分別為，求隨機(jī)變量的概率密度？

解：設(shè)

求反函數(shù)，求雅克比J＝－1

1-17

已知隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為

求：①邊緣分布律和？

②條件分布律和？

分析：

泊松分布

P19

（1－48）

解：①

②

即X、Y相互獨(dú)立

1-18

已知隨機(jī)變量相互獨(dú)立，概率密度分別為。又隨機(jī)變量

證明：隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為

因?yàn)閨J|＝1,故

已知隨機(jī)變量相互獨(dú)立，概率密度分別為

1-19

已知隨機(jī)變量X服從拉普拉斯分布，其概率密度為

求其數(shù)學(xué)期望與方差？

解:

1-20

已知隨機(jī)變量X可能取值為，且每個值出現(xiàn)的概率均為。求：①隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差？②隨機(jī)變量的概率密度？③Y的數(shù)學(xué)期望和方差？

①③

答案:

②

Y

P

1/5

1/5

1/5

2/5

離散型隨機(jī)變量的概率密度表達(dá)式　　　　　P12，1-25式

其中

為沖激函數(shù)

1-22

已知兩個隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，方差為，相關(guān)系數(shù)?，F(xiàn)定義新隨機(jī)變量為

求的期望，方差以及它們的相關(guān)系數(shù)？

0.13

1-23

已知隨機(jī)變量滿足，皆為常數(shù)。證明：

①

；②

；③

當(dāng)且時(shí)，隨機(jī)變量正交。

①

②

③

1-25

已知隨機(jī)變量相互獨(dú)立，分別服從參數(shù)為和的泊松分布。①求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差？②證明服從參數(shù)為的泊松分布。

解：①

泊松分布

特征函數(shù)的定義

由(1-17題用過)

可得

②根據(jù)特征函數(shù)的性質(zhì)，X

Y相互獨(dú)立，表明Z服從參數(shù)為的泊松分布1-26

已知隨機(jī)變量的聯(lián)合特征函數(shù)為

求：①隨機(jī)變量X的特征函數(shù)

②隨機(jī)變量Y的期望和方差

解：①

②

1-28

已知兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量的特征函數(shù)分別是和，求隨機(jī)變量特征函數(shù)？

解：

特征函數(shù)的性質(zhì)：相互獨(dú)立隨機(jī)變量和的特征函數(shù)等于它們特征函數(shù)之積

X、Y獨(dú)立，因此有

和獨(dú)立

獨(dú)立的等價(jià)條件（充分必要條件）

①

②

③

1-29

已知二維高斯變量中，高斯變量的期望分別為，方差分別為，相關(guān)系數(shù)為。令

①

寫出二維高斯變量的概率密度和特征函數(shù)的矩陣形式，并展開；

②

證明相互獨(dú)立，皆服從標(biāo)準(zhǔn)高斯分布。

解：，系數(shù)矩陣，線性變換，故也服從高斯分布，故不相關(guān)，高斯變量不相關(guān)和獨(dú)立等價(jià)，獨(dú)立

1-30

已知二維高斯變量的兩個分量相互獨(dú)立，期望皆為0，方差皆為。令

其中為常數(shù)。①證明：服從二維高斯分布；

②求的均值和協(xié)方差矩陣；

③證明：相互獨(dú)立的條件為。

復(fù)習(xí)：

n維高斯變量的性質(zhì)

1.高斯變量的互不相關(guān)與獨(dú)立是等價(jià)的2.高斯變量的線性變換后仍服從高斯分布。

3.高斯變量的邊緣分布仍服從高斯分布

解：①

②

③相互獨(dú)立、二維高斯矢量

因此互不相關(guān)

只要證為對角證

即

1-31

已知三維高斯隨機(jī)矢量均值為常矢量，方差陣為

證明：相互獨(dú)立。

復(fù)習(xí)：

n維高斯變量的性質(zhì)

1.高斯變量的互不相關(guān)與獨(dú)立是等價(jià)的2.高斯變量的線性變換后仍服從高斯分布。

3.高斯變量的邊緣分布仍服從高斯分布

思路：設(shè)隨機(jī)矢量

由性質(zhì)可得為三維高斯變量，求得方差陣為對角陣

1-32

已知三維高斯隨機(jī)變量各分量相互獨(dú)立，皆服從標(biāo)準(zhǔn)高斯分布。求和的聯(lián)合特征函數(shù)？

思路：是線性變換故也服從高斯分布，求得就可以寫出聯(lián)合特征函數(shù)，線性變換，故也服從高斯分布

N維高斯變量的聯(lián)合特征函數(shù)

2、已知隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

(1)條件概率密度

(2)X和Y是否獨(dú)立？給出理由。

解題思路：

解：(1)

(2)

X和Y不相互獨(dú)立

4、已知

(X1,X2,X3)

是三維高斯變量，其期望和方差為

求：(1)

(X1,X2)的邊緣特征函數(shù)。

(2)

(Y1,Y2)的聯(lián)合概率密度

高斯變量的線性變換后仍服從高斯分布

所以(X1,X2)、服從高斯分布

(1)

(2)

2-1

已知隨機(jī)過程，其中

為常數(shù)，隨機(jī)變量

服從標(biāo)準(zhǔn)高斯分布。求

三個時(shí)刻的一維概率密度？

解：

(離散型隨機(jī)變量分布律)

2-2

如圖2.23所示，已知隨機(jī)過程

僅由四條樣本函數(shù)組成，出現(xiàn)的概率為。

圖2.23

習(xí)題2-2

在和

兩個時(shí)刻的分布律如下：

1/8

1/4

3/8

1/4

求？

2－23

2-4

已知隨機(jī)過程，其中

皆為隨機(jī)變量。①求隨機(jī)過程的期望

和自相關(guān)函數(shù)

？②若已知隨機(jī)變量相互獨(dú)立，它們的概率密度分別為

和，求的一維概率密度

第②問

方法一：用雅克比做（求隨機(jī)變量函數(shù)的分布）

步驟：

t時(shí)刻，為兩個隨機(jī)變量的函數(shù)

①設(shè)二維的隨機(jī)矢量

②求反函數(shù)

③求雅克比行列式J，得到|J|

④利用公式

⑤由聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度

⑥t為變量，則得到

方法二：

用特征函數(shù)定義和性質(zhì)（獨(dú)立變量和的特征函數(shù)等于各特征函數(shù)的乘積）做

（特征函數(shù)和概率密度一一對應(yīng)）

2-5

已知

為平穩(wěn)過程，隨機(jī)變量

。判斷隨機(jī)過程的平穩(wěn)性？

隨機(jī)過程

非平穩(wěn)

2-6

已知隨機(jī)過程，其中隨機(jī)過程

寬平穩(wěn)，表示幅度；角頻率

為常數(shù)；隨機(jī)相位

服從的均勻分布，且與過程

相互獨(dú)立。①求隨機(jī)過程的期望和自相關(guān)函數(shù)？②判斷隨機(jī)過程

是否寬平穩(wěn)？

①

與過程

相互獨(dú)立

2-8

已知平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為，求過程的均方值和方差？

2-10

已知過程

和，其中隨機(jī)變量

獨(dú)立，均值都為0，方差都為5。①證明

和

各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)；②求兩個過程的互相關(guān)函數(shù)？

①

2-11

已知過程

和

各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，且

。①求的自相關(guān)函數(shù)

？②若

和

獨(dú)立，求

？③若

和

獨(dú)立且均值均為0，求

第①問

兩個聯(lián)合平穩(wěn)的過程的互相關(guān)函數(shù)

第②問

兩平穩(wěn)過程獨(dú)立

第③問

和

獨(dú)立且均值均為0

2-12

已知兩個相互獨(dú)立的平穩(wěn)過程

和的自相關(guān)函數(shù)為

令隨機(jī)過程，其中

是均值為2，方差為9的隨機(jī)變量，且與

和

相互獨(dú)立。求過程的均值、方差和

自相關(guān)函數(shù)？

隨機(jī)變量A，與

和

相互獨(dú)立

可以證明過程

平穩(wěn)

2-14

已知復(fù)隨機(jī)過程

式中

為n個實(shí)隨機(jī)變量，為n個實(shí)數(shù)。求當(dāng)

滿足什么條件時(shí)，復(fù)平穩(wěn)？

復(fù)過程

復(fù)平穩(wěn)條件

①

②

2-16

已知平穩(wěn)過程的均方可導(dǎo)。證明的互相關(guān)函數(shù)和的自相關(guān)函數(shù)分別為

若

為寬平穩(wěn)（實(shí)）過程，則

也是寬平穩(wěn)（實(shí)）過程，且

與

聯(lián)合寬平穩(wěn)。

2-17

已知隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望，求隨機(jī)過程的期望？

2-18

已知平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)

。求：①其導(dǎo)數(shù)的自相關(guān)函數(shù)和方差？②

和的方差比？

不含周期分量

補(bǔ)充題：若某個噪聲電壓

是一個各態(tài)歷經(jīng)過程，它的一個樣本函數(shù)為，求該噪聲的直流分量、交流平均功率

解：直流分量、交流平均功率

各態(tài)歷經(jīng)過程

可以用它的任一個樣本函數(shù)的時(shí)間平均來代替整個過程的統(tǒng)計(jì)平均

再利用平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

方法二：

2-19

已知隨機(jī)過程，其中

是均值和方

差皆為1的隨機(jī)變量。令隨機(jī)過程

求的均值、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和方差？

解：

1．求均值，利用

隨機(jī)過程的積分運(yùn)算與數(shù)學(xué)期望運(yùn)算的次序可以互換

2.求自相關(guān)函數(shù)

3.求互協(xié)方差函數(shù)

4.求方差

2-20

已知平穩(wěn)高斯過程的自相關(guān)函數(shù)為

①

②

求當(dāng)

固定時(shí)，過程的四個狀態(tài)的協(xié)方差矩陣？

分析：高斯過程四個狀態(tài)的解：①

②

2-21

已知平穩(wěn)高斯過程的均值為0，令隨機(jī)過程。

證明

2-22

已知隨機(jī)過程，其中隨機(jī)相位

服從

上的均勻分布；

可能為常數(shù)，也可能為隨機(jī)變量，且若

為隨機(jī)變量時(shí)，和隨機(jī)變量

相互獨(dú)立。當(dāng)

具備什么條件時(shí)，過程各態(tài)歷經(jīng)？

分析：隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)要求為平穩(wěn)過程且

解：①

A為常數(shù)時(shí)

為平穩(wěn)過程

A為隨機(jī)變量時(shí)

和隨機(jī)變量

相互獨(dú)立

為平穩(wěn)過程

②

③

l、隨機(jī)過程

X(t)=A+cos(t+B)，其中A是均值為2，方差為1的高斯變量，B是（0，2p）上均勻分布的隨機(jī)變量，且A和B獨(dú)立。求

（1）證明X(t)是平穩(wěn)過程。

（2）X(t)是各態(tài)歷經(jīng)過程嗎？給出理由。

（3）畫出該隨機(jī)過程的一個樣本函數(shù)。

（1）

（2）

3-1

已知平穩(wěn)過程的功率譜密度為，求：①該過程的平均功率？

②取值在范圍內(nèi)的平均功率？

解

3-7如圖3.10所示，系統(tǒng)的輸入為平穩(wěn)過程，系統(tǒng)的輸出為。證明：輸出的功率譜密度為

3-9

已知平穩(wěn)過程和相互獨(dú)立，它們的均值至少有一個為零，功率譜密度分別為

令新的隨機(jī)過程

①證明和聯(lián)合平穩(wěn)；

②求的功率譜密度？

③求和的互譜密度？

④求和的互相關(guān)函數(shù)？

⑤求和的互相關(guān)函數(shù)

解:

3-11

已知可微平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為，其導(dǎo)數(shù)為。求互譜密度和功率譜密度？

Ⅰ.平穩(wěn)過程

維納－辛欽定理

Ⅱ.2-17

已知平穩(wěn)過程的均方可導(dǎo)。證明的互相關(guān)函數(shù)和的自相關(guān)函數(shù)分別為

Ⅲ.傅立葉變換的微分性質(zhì)

3-17

已知平穩(wěn)過程的物理功率譜密度為，①求的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)？畫出的圖形。

②判斷過程是白噪聲還是色噪聲？給出理由

白噪聲的定義

若平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值為零，功率譜密度在整個頻率軸上均勻分布，滿足

(3-70)

其中為正實(shí)常數(shù)，則稱此過程為白噪聲過程，簡稱白噪聲。

4-4設(shè)有限時(shí)間積分器的單位沖激響應(yīng)

h(t)=U(t)－U(t－0.5)

它的輸入是功率譜密度為的白噪聲，試求系統(tǒng)輸出的總平均功率、交流平均功率和輸入輸出互相關(guān)函數(shù)

白噪聲

4-5

已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，其輸入平穩(wěn)信號的自相關(guān)函數(shù)為，求系統(tǒng)輸出的直流功率和輸出信號的自相關(guān)函數(shù)？

分析：直流功率＝直流分量的平方

解:

輸入平穩(wěn)

輸出的直流分量

輸出的直流功率

4-7

已知如圖4.21

所示的線性系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入信號是物理譜密度為的白噪聲，求：①系統(tǒng)的傳遞函數(shù)？②輸出的均方值？其中

4-11

已知系統(tǒng)的輸入為單位譜密度的白噪聲，輸出的功率譜密度為

求此穩(wěn)定系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)？

解：

4-12

已知系統(tǒng)輸入信號的功率譜密度為

設(shè)計(jì)一穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，使得系統(tǒng)的輸出為單位譜密度的白噪聲？

解：

4-14

功率譜密度為的白噪聲作用于的低通網(wǎng)絡(luò)上，等效噪聲帶寬為。若在電阻上的輸出平均功率為。求的值？

書P162，解：對于低通情況

或者調(diào)用公式

圖4.24

習(xí)題4-18

4-18

如圖4.24所示的線性系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入是零均值，物理譜密度為1的白噪聲，且。

①判斷和分別服從什么分布？給出理由。

②證明是嚴(yán)平穩(wěn)過程。

③求和的互相關(guān)函數(shù)，的功率譜密度？

④寫出的一維概率密度表達(dá)式？

⑤判斷同一時(shí)刻，和是否獨(dú)立？給出理由。

解：①是白噪聲

（白噪聲帶寬無限，由定義），線性系統(tǒng)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)，是個低通線性系統(tǒng)（帶寬有限）

由4.5節(jié)結(jié)論2若系統(tǒng)輸入信號的等效噪聲帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的帶寬，則輸出接近于高斯分布可知，為高斯過程。

由4.5節(jié)結(jié)論1可知，為高斯過程。

和服從高斯分布

②證明是嚴(yán)平穩(wěn)過程

證：是白噪聲（寬平穩(wěn)過程），通過線性系統(tǒng)的輸出也是寬平穩(wěn)過程（4.2.2結(jié)論1）。

對于高斯過程，寬平穩(wěn)和嚴(yán)平穩(wěn)等價(jià)。

③求和的互相關(guān)函數(shù)，的功率譜密度

習(xí)題3-7的結(jié)論

④求一維概率密度表達(dá)式，則易得

思考1：上述隨機(jī)過程的一維概率密度表達(dá)式中沒有時(shí)間參量，根據(jù)嚴(yán)平穩(wěn)過程的特性也可以推到。

思考2：試著寫出這個過程一維、二維的概率密度和特征函數(shù)形式。

⑤判斷同一時(shí)刻，和是否獨(dú)立？給出理由

和獨(dú)立（高斯過程）

等價(jià)

互不相關(guān)（零均值）

等價(jià)

正交

和聯(lián)合平穩(wěn)，再由兩者的相互關(guān)系可得

即不正交

和在同一時(shí)刻不獨(dú)立。

—

END

—

第五篇：統(tǒng)計(jì)信號分析與處理實(shí)驗(yàn)報(bào)告

實(shí)驗(yàn)2 隨機(jī)過程的計(jì)算機(jī)模擬

一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

1、給定功率譜（相關(guān)函數(shù)）和概率分布，通過計(jì)算機(jī)模擬分析產(chǎn)生相應(yīng)的隨機(jī)過程；

2、通過該隨即過程的實(shí)際功率譜（相關(guān)函數(shù)）和概率分布驗(yàn)證該實(shí)驗(yàn)的有效性；

3、學(xué)會運(yùn)用Matlab 函數(shù)對隨機(jī)過程進(jìn)行模擬。

二、實(shí)驗(yàn)原理

1、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)序列的產(chǎn)生方法：利用隨機(jī)變量函數(shù)變換的方法。設(shè)r1，r2為兩個相互獨(dú)立的（0，1）均勻分布的隨機(jī)數(shù)，如果要產(chǎn)生服從均值為m,方差為正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)x，則可以按如下變換關(guān)系產(chǎn)生：

2、正態(tài)隨機(jī)矢量的模擬：設(shè)有一 N 維正態(tài)隨機(jī)矢量，其概率密度為

為協(xié)方差矩陣，且是正定的。

3、具有有理譜的正態(tài)隨機(jī)序列的模擬

根據(jù)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的理論，白噪聲通過線性系統(tǒng)后，輸出是正態(tài)的，且輸出功

率譜只與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有關(guān)。利用這一性質(zhì)，我們可以產(chǎn)生正態(tài)隨機(jī)過程。

如上圖所示，輸入W(n)為白噪聲，假定功率譜密度為G(z)= 1 W，通過離散線性系統(tǒng)

后，輸出X(n)是正態(tài)隨機(jī)序列，由于要求模擬的隨機(jī)序列具有有理譜，則G(z)X 可表示為：

其中，G(z)X+ 表示有理譜部分，即所有的零極點(diǎn)在單位圓之內(nèi)，G(z)X? 表示非有理譜部分，即所有零極點(diǎn)在單位圓之外。

4、滿足一定相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程的模擬，當(dāng)已知平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)而要確定該隨機(jī)過程的模擬算法。很顯然，只要我們設(shè)計(jì)一個合適的濾波器，使得該白噪聲通過濾波器后，輸出的功率譜滿足上述相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，就可以模擬得到該隨機(jī)過程。

三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

1、產(chǎn)生兩組相互獨(dú)立的（0，1）均勻分布的隨機(jī)數(shù)（隨機(jī)數(shù)個數(shù)：500）

程序及圖形如下: clear;x=randn(1,500);y= randn(1,500);subplot(2,1,1);plot(x);title('第二組');subplot(2,1,2);plot(y);title('第一組')

2、按照實(shí)驗(yàn)原理中的方法產(chǎn)生一組均值為1，方差為1 的正態(tài)分布的隨機(jī)序列（序列長度：500）程序及圖形如下： clear;y=1+sqrt(1)*randn(1,500);plot(y);title(‘正態(tài)分布，均值方差都為1’)

3、畫出功率譜密度為G(w)=1/(1.25+cosw)的功率譜圖（一個周期內(nèi)），采用均勻采樣方法，采樣點(diǎn)數(shù)為500 程序及圖形如下： clear;w=rand(1,500);M=1.25+cos(w);N=1;G=N./M;plot(G);title('均勻采樣功率頻譜');

5、模擬產(chǎn)生一個功率譜為G(w)=1/(1.25+cosw)的正態(tài)隨機(jī)序列 程序及圖形如下: clear;w=randn(1,500);M=1.25+cos(w);N=1;G=N./M;plot(G);title('均勻采樣功率頻譜');

四、實(shí)驗(yàn)中所遇到問題及解決方法

問題

1、對Matlab軟件很生疏、編程也不熟悉。解決方法：我和同學(xué)利用學(xué)校資源和網(wǎng)絡(luò)查找和參看了許多有關(guān)Matlab的資料，對其中一些基本知識和有關(guān)隨機(jī)信號處理的章節(jié)作了詳細(xì)了解和練習(xí)。同時(shí)也向老師同學(xué)請教，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)課上和平時(shí)的練習(xí)，漸漸地有了一些好的進(jìn)展，這個過程很漫長，但是很值得我們花時(shí)間和精力去了解。

問題

2、對Matlab中與統(tǒng)計(jì)信號處理隨機(jī)過程中的某些函數(shù)的運(yùn)用很有困難。

解決方法：也是查找Matlab的書籍中有關(guān)內(nèi)容，然后在Matlab上學(xué)會用help中的相關(guān)輔助、查找功能。

問題

3、運(yùn)用Matlab編程時(shí)編寫的程序經(jīng)過運(yùn)行之后有錯，而且很難發(fā)現(xiàn)其中錯誤。

解決方法：充分利用Matlab運(yùn)行出錯之后的英文提示進(jìn)行分析和改正，然后也要比較Matlab語言與C語言的差異和共同點(diǎn)，這樣比較學(xué)習(xí)有利于我們更好地了解這門語言。

五、實(shí)驗(yàn)總結(jié)及心得體會 實(shí)驗(yàn)總結(jié)：

本實(shí)驗(yàn)是運(yùn)用Matlab作為工具來對隨機(jī)過程中的功率譜（相關(guān)函數(shù)）和概率分布函數(shù)進(jìn)行模擬和驗(yàn)證，由于隨機(jī)過程中涉及的數(shù)據(jù)和運(yùn)運(yùn)算往往比較繁多和復(fù)雜，運(yùn)用Matlab這個軟件的強(qiáng)大的數(shù)據(jù)、運(yùn)算和圖像處理功能可以很好的解決隨機(jī)過程中的一些問題。

此外，這個實(shí)驗(yàn)也從實(shí)際動手的角度加深了我們對隨機(jī)過程特征估計(jì)的理解，運(yùn)用Matlab處理的圖形也可以很深刻的幫助我們理解相關(guān)知識。心得體會：

這次實(shí)驗(yàn)對于同學(xué)和我來說剛開始時(shí)是很不容易的，但是經(jīng)過和同學(xué)的協(xié)作、查找參看一些相關(guān)資料，我們對Matlab的實(shí)際操作之后，我們還是有一些收獲的，我們對Matlab有了進(jìn)一步認(rèn)識，對于隨機(jī)過程這一重要內(nèi)容也有所了解，對于統(tǒng)計(jì)信號分析的一些知識也不僅僅只是再停留在理論方面了，這次實(shí)驗(yàn)讓我們以實(shí)際動手的方式去認(rèn)知感受統(tǒng)計(jì)信號的知識。更重要的是我覺得，這次實(shí)驗(yàn)也在一定程度上，鍛煉、提高我們通信工程專業(yè)學(xué)生的根據(jù)理論分析和實(shí)驗(yàn)工具來設(shè)計(jì)分析實(shí)驗(yàn)的思維和能力。

此外，我們發(fā)現(xiàn)做實(shí)驗(yàn)時(shí)理論知識也是很重要的，只有對理論知識有了很深的理解，這樣才有可能運(yùn)用課堂所學(xué)內(nèi)容去指導(dǎo)實(shí)踐，也只有這樣的實(shí)踐才會加強(qiáng)我們對知識的掌握程度。

實(shí)驗(yàn)3 隨機(jī)過程的特征估計(jì)

一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

1、了解隨機(jī)過程特征估計(jì)的基本概念和方法；

2、學(xué)會運(yùn)用Matlab 函數(shù)對隨機(jī)過程進(jìn)行特征估計(jì)；

3、通過實(shí)驗(yàn)了解不同估計(jì)方法所估計(jì)出來結(jié)果之間的差異。

二、實(shí)驗(yàn)原理

設(shè)隨機(jī)序列 X(n)、Y(n)為各態(tài)歷經(jīng)過程，樣本分別為x(n)、y(n)（n=0,1,....N-1）。

1、均值的估計(jì)

2、方差的估計(jì)

方差估計(jì)有兩種情況，如果均值 mx 已知，則

如果均值未知，那么

3、相關(guān)函數(shù)估計(jì)

4、功率譜估計(jì)

功率譜的估計(jì)有幾種方法，（1）自相關(guān)法:先求相關(guān)函數(shù)的估計(jì)，然后對估計(jì)的相關(guān)函數(shù)做傅立葉變換，（2）周期圖法:先對序列 x(n)做傅立葉變換，則功率譜估計(jì)為

周期圖法是一種非參數(shù)譜估計(jì)方法，另外還有一種修正的周期圖方法，也叫Welch 法，MATLAB 有周期圖和Welch 法的譜估計(jì)函數(shù)。（3）現(xiàn)代譜估計(jì)技術(shù)

現(xiàn)代譜估計(jì)主要有參數(shù)譜估計(jì)和子空間譜估計(jì)。參數(shù)譜估計(jì)法是假定待估計(jì)功率譜的信號是白噪聲驅(qū)動線性系統(tǒng)的輸出，常用的方法有基于最大墑估計(jì)的伯格算法和Yuler-Walk自回歸(AR)方法，這些方法是估計(jì)線性系統(tǒng)的參數(shù)，通常會得到比經(jīng)典譜估計(jì)方法更好的估計(jì)。子空間法也稱為高分辨率譜估計(jì)或超分辨率譜估計(jì)，常用的方法有MUSIC 法和特征矢量法，這些方法是根據(jù)相關(guān)矩陣的特征分析或特征分解得到對信號的頻率分量的估計(jì)，特別適合于線譜（即正弦信號）的估計(jì)，是低信噪比環(huán)境下檢測正弦信號的有效方法。MATLAB 有許多估計(jì)數(shù)字特征的統(tǒng)計(jì)函數(shù)：

1.均值與方差mean(A)，返回序列的均值，序列用矢量A 表示。VAR(X)，返回序列X 的方差。

2.互相關(guān)函數(shù)估計(jì)xcorr用法： c = xcorr(x,y)c = xcorr(x)c = xcorr(x,y,'option')c = xcorr(x,'option')xcorr(x,y)計(jì)算X 與Y 的互相關(guān)，矢量X 表示序列x(n)，矢量Y 表示序列y(n)。xcorr(x)計(jì)算X 的自相關(guān)。option 選項(xiàng)是： 'biased'：有偏估計(jì)

'unbiased':：無偏估計(jì)

'coeff'：m=0 的相關(guān)函數(shù)值歸一化為1。'none'：不作歸一化處理。

3.功率譜估計(jì)：MATLAB 提供了許多功率鋪估計(jì)的函數(shù)：

三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

1、產(chǎn)生一組均值為1，方差為4 的正態(tài)分布的隨機(jī)序列（1000 個樣本），估計(jì)該序列的均值與方差。程序及圖形為：

clc,clear N=1000;alp=1;sig=1;delt=1;a=1;mm=zeros(1,N);x1=rand(1,N);x2=rand(1,N);x3=a.*sqrt(-2*log(x1)).*cos(2*pi*x2)+mm;

%產(chǎn)生隨高斯分布的隨機(jī)數(shù) y(1)=sig*x3(1);for

n=2:N

y(n)=exp(-alp)*y(n-1)+sig*sqrt(1-exp(-2*alp*delt))*x3(n);end i=1:N;plot(i,y);hold on;plot(i,mm,'-');title('正態(tài)分布隨機(jī)序列')M=0;for i=1:N

M=M+y(i);endM=M/ND=0;for i=1:N

D=D+(y(i)-M)^2;end D=D/N for m=1:N

%計(jì)算自相關(guān)函數(shù)正半軸%

for n=1:N-m+1

rr(n)=y(n)*y(n+m-1);

end

r2(m)=sum(rr)/N;end

M =-0.0061 D = 0.8837

2、按如下模型產(chǎn)生一組隨機(jī)序列： x(n)=0.8x(n-1)+w(n)其中w(n)為均值為1，方差為4 的正態(tài)分布白噪聲序列。估計(jì)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜。程序及圖形為：

N=500;u=randn(N,1);w=1+2.*u;x(1)=w(1);for i=2:N;x(i)=0.8*x(i-1)+w(i);end subplot(2,2,1);plot(x);subplot(2,2,3);R=xcorr(x,'coeff');plot(R);subplot(2,2,4);P=periodogram(x);plot(P);

3、設(shè)信號為x(n)=sin(2πf1n)+2cos(2πf2n)+w(n)，n=1,2,....,N，其中f1=0.05，f2=0.12，w(n)為正態(tài)白噪聲，試在N=356 和1024 點(diǎn)時(shí)，分別產(chǎn)生隨機(jī)序列x(n)、畫出x(n)的波形并估計(jì)x(n)的相關(guān)函數(shù)和功率譜。程序及圖形為：

Fs=1000;n=0:1/Fs:1;

xn=sin(2*pi*0.05*n)+2*cos(2*pi*0.12*n)+randn(size(n));nfft=356;subplot(3,1,1)

plot(n,abs(xn))title('x(n)=sin(2pi*f1*n)+2cos(2pi*f1*n)+w(n)')cxn=xcorr(xn,'unbiased');CXk=fft(cxn,nfft);Pxx=abs(CXk);

index=0:round(nfft/2-1);k=index*Fs/nfft;

plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));subplot(3,1,2)

plot(k,plot_Pxx)title('相關(guān)函數(shù)')

window=boxcar(length(xn));[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);Subplot(3,1,3)plot(f,10*log10(Pxx))title('功率譜')

四、實(shí)驗(yàn)中所遇到問題及解決方法

問題

1、對Matlab軟件很生疏、編程也不熟悉。解決方法：我和同學(xué)利用學(xué)校資源和網(wǎng)絡(luò)查找和參看了許多有關(guān)Matlab的資料，對其中一些基本知識和有關(guān)隨機(jī)信號處理的章節(jié)作了詳細(xì)了解和練習(xí)。同時(shí)也向老師同學(xué)請教，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)課上和平時(shí)的練習(xí)，漸漸地有了一些好的進(jìn)展，這個過程很漫長，但是很值得我們花時(shí)間和精力去了解。

問題

2、對統(tǒng)計(jì)信號處理隨機(jī)過程中的相關(guān)函數(shù)及功率譜的概念及算法不是特別熟悉。解決方法：查找相關(guān)資料和認(rèn)真參看課本，多次和同學(xué)討論之后就對相關(guān)函數(shù)和功率譜的熟悉程度逐漸增加。

問題

3、對Matlab中與統(tǒng)計(jì)信號處理隨機(jī)過程中的均值、方差、相關(guān)函數(shù)及功率譜的函數(shù)的運(yùn)用很有困難。

解決方法：也是查找Matlab的書籍中有關(guān)內(nèi)容，然后在Matlab上學(xué)會用help中的相關(guān)輔助、查找功能。

五、實(shí)驗(yàn)總結(jié)及心得體會

實(shí)驗(yàn)總結(jié)：

本實(shí)驗(yàn)是運(yùn)用Matlab作為工具來對隨機(jī)過程中的一些特征值進(jìn)行計(jì)算和估計(jì)，由于隨機(jī)過程中涉及的數(shù)據(jù)和運(yùn)運(yùn)算往往比較繁多和復(fù)雜，運(yùn)用Matlab這個軟件的強(qiáng)大的數(shù)據(jù)、運(yùn)算和圖像處理功能可以很好的解決隨機(jī)過程中的一些問題。隨機(jī)過程特征估計(jì)主要包括均值、方差、相關(guān)函數(shù)及功率譜的估計(jì)，這些值可以很全面很簡要的概括描述隨機(jī)過程的一些特征。

此外，這個實(shí)驗(yàn)也從實(shí)際動手的角度加深了我們對隨機(jī)過程特征估計(jì)的理解，運(yùn)用Matlab處理的圖形也可以很深刻的幫助我們理解相關(guān)知識。

心得體會：

這次實(shí)驗(yàn)對隊(duì)員和我來說剛開始時(shí)是很不容易的，但是經(jīng)過和同學(xué)的協(xié)作、查找參看一些相關(guān)資料，我們對Matlab的實(shí)際操作之后，我們還是有一些收獲的，我們對Matlab有了進(jìn)一步認(rèn)識，對于隨機(jī)過程這一重要內(nèi)容也有所了解，對于統(tǒng)計(jì)信號分析的一些知識也不僅僅只是再停留在理論方面了，這次實(shí)驗(yàn)讓我們以實(shí)際動手的方式去認(rèn)知感受統(tǒng)計(jì)信號的知識。更重要的是我覺得，這次實(shí)驗(yàn)也在一定程度上，鍛煉、提高我們通信工程專業(yè)學(xué)生的根據(jù)理論分析和實(shí)驗(yàn)工具來設(shè)計(jì)分析實(shí)驗(yàn)的思維和能力。

實(shí)驗(yàn)5 典型時(shí)間序列AR模型分析

一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

1,、熟悉一種典型的時(shí)間序列模型：AR 模型；

2、理解并分析AR模型的原理；

3、學(xué)會運(yùn)用 Matlab工具對AR模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)特性分析；

4、通過對模型的仿真分析，探討該模型的適用范圍，并且通過實(shí)驗(yàn)分析理論分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的差異。

二、實(shí)驗(yàn)原理

在生產(chǎn)和科學(xué)研究中，對某一個或一組變量x(t)進(jìn)行觀察測量，將在一系列時(shí)刻t1, t2, ?, tn(t為自變量且t1

AR模型，即自回歸（AutoRegressive, AR）模型又稱為時(shí)間序列模型，數(shù)學(xué)表達(dá)式為AR : y(t)=a1y(t-1)+...any(t-n)+e(t)其中，e(t)為均值為0，方差為某值的白噪聲信號。AR模型是一種線性預(yù)測，即已知N個數(shù)據(jù)，可由模型推出第N點(diǎn)前面或后面的數(shù)據(jù)（設(shè)推出P點(diǎn)），所以其本質(zhì)類似于插值，其目的都是為了增加有效數(shù)據(jù)，只是AR模型是由N點(diǎn)遞推，而插值是由兩點(diǎn)（或少數(shù)幾點(diǎn)）去推導(dǎo)多點(diǎn)，所以AR模型要比插值方法效果更好。

時(shí)間序列分析是根據(jù)系統(tǒng)觀測得到的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，通過曲線擬合和參數(shù)估計(jì)來建立數(shù)學(xué)模型的理論和方法。它一般采用曲線擬合和參數(shù)估計(jì)方法（如非線性最小二乘法）進(jìn)行。

時(shí)間序列建?；静襟E是：

①用觀測、調(diào)查、統(tǒng)計(jì)、抽樣等方法取得被觀測系統(tǒng)時(shí)間序列動態(tài)數(shù)據(jù)。②根據(jù)動態(tài)數(shù)據(jù)作相關(guān)圖，進(jìn)行相關(guān)分析，求自相關(guān)函數(shù)。相關(guān)圖能顯示出變化的趨勢和周期，并能發(fā)現(xiàn)跳點(diǎn)和拐點(diǎn)。跳點(diǎn)是指與其他數(shù)據(jù)不一致的觀測值。如果跳點(diǎn)是正確的觀測值,在建模時(shí)應(yīng)考慮進(jìn)去,如果是反?，F(xiàn)象，則應(yīng)把跳點(diǎn)調(diào)整到期望值。拐點(diǎn)則是指時(shí)間序列從上升趨勢突然變?yōu)橄陆第厔莸狞c(diǎn)。如果存在拐點(diǎn)，則在建模時(shí)必須用不同的模型去分段擬合該時(shí)間序列，例如采用門限回歸模型。

③辨識合適的隨機(jī)模型,進(jìn)行曲線擬合,即用通用隨機(jī)模型去擬合時(shí)間序列的觀測數(shù)據(jù)。對于短的或簡單的時(shí)間序列，可用趨勢模型和季節(jié)模型加上誤差來進(jìn)行擬合。對于平穩(wěn)時(shí)間序列，可用通用ARMA模型（自回歸滑動平均模型）及其特殊情況的自回歸模型、滑動平均模型或組合-ARMA模型等來進(jìn)行擬合。當(dāng)觀測值多于50個時(shí)一般都采用ARMA模型。對于非平穩(wěn)時(shí)間序列則要先將觀測到的時(shí)間序列進(jìn)行差分運(yùn)算，化為平穩(wěn)時(shí)間序列，再用適當(dāng)模型去擬合這個差分序列。

AR 模型分析

首先要依據(jù)給定二階的 AR 過程，用遞推公式得出最終的輸出序列，或者按照一個白噪聲通過線性系統(tǒng)的方式得到，依據(jù)函數(shù)產(chǎn)生相應(yīng)的樣本函數(shù)，并畫出波形；然后，估計(jì)均值和方差，畫出理論的功率譜密度曲線；最后，運(yùn)用Yule-Walker方程可以求出理論的 AR 模型的自相關(guān)序列，估計(jì)自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。

三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

1、熟悉實(shí)驗(yàn)原理，將實(shí)驗(yàn)原理上的程序應(yīng)用 matlab 工具實(shí)現(xiàn)；

2、設(shè)有AR(2)模型，x(n)=W(n)+0.3W(n-1)+0.2W(n-2)W(n)是零均值正態(tài)白噪聲，方差為4。（1）用MATLAB 模擬產(chǎn)生X(n)的500 觀測點(diǎn)的樣本函數(shù)，并繪出波形。（2）用產(chǎn)生的500 個觀測點(diǎn)估計(jì)X(n)的均值和方差。（3）畫出理論的功率譜。

（4）估計(jì)X(n)的相關(guān)函數(shù)和功率譜。

分析：給定二階的 AR 過程，可以用遞推公式得出最終的輸出序列?；蛘甙凑找粋€白噪聲通過線性系統(tǒng)的方式得到，這個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

11?0.3z?1?0.2z?2

這是一個全極點(diǎn)的濾波器，具有無限長的沖激響應(yīng)。對于功率譜，可以這樣得到

可以看出，P（ω）x 完全由兩個極點(diǎn)位置決定。對于 AR 模型的自相關(guān)函數(shù)

這稱為Yule-Walker方程，當(dāng)相關(guān)長度大于p 時(shí)，由遞推式求出：

這樣，就可以求出理論的 AR 模型的自相關(guān)序列。具體步驟：

1.產(chǎn)生樣本函數(shù)，并畫出波形

題目中的 AR 過程相當(dāng)于一個零均值正態(tài)白噪聲通過線性系統(tǒng)后的輸出，可以按照上面的方法進(jìn)行描述。

程序及仿真圖形依次如下：

clear all;

b=[1];a=[1 0.3 0.2];% 由描述的差分方程，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)

h=impz(b,a,20);% 得到系統(tǒng)的單位沖激函數(shù)，在20點(diǎn)處已經(jīng)可以認(rèn)為值是0 randn('state',0);

w=normrnd(0,2,1,500);% 產(chǎn)生題設(shè)的白噪聲隨機(jī)序列，標(biāo)準(zhǔn)差為2

x=filter(b,a,w);% 通過線形系統(tǒng)，得到輸出就是題目中要求的2階AR過程

plot(x,'r');ylabel('x(n)');title('產(chǎn)生的AR隨機(jī)序列');grid

2.估計(jì)均值和方差

可以首先計(jì)算出理論輸出的均值和方差，對于方差可以先求出理論自相關(guān)輸出，然后取零點(diǎn)的值。

并且，代入有

可以采用上面介紹的方法，對式中的卷積進(jìn)行計(jì)算。在最大值處就是輸出的功率，也就是方差，為

對實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，均值為mean(x)=-0.0703，而方差為var(x)= 5.2795，兩者和理論值吻合的比較好。3.畫出理論的功率譜密度曲線 理論的功率譜為，相關(guān)程序及仿真圖形如下：

delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;

w=w_min:delta:w_max;% 得到數(shù)字域上的頻率取樣點(diǎn)，范圍是[-pi,pi] Gx=4*(abs(1./(1+0.3*exp(-i*w)+0.2*exp(-2*i*w))).^2);% 計(jì)算出理論值

Gx=Gx/max(Gx);% 歸一化處理

f=w*Fs/(2*pi);% 轉(zhuǎn)化到模擬域上的頻率

plot(f,Gx,'b'),grid on;

那么可以看出這個系統(tǒng)是帶通系統(tǒng)。4.估計(jì)自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度

依據(jù)原理估計(jì)相關(guān)函數(shù)和功率譜，相關(guān)程序及仿真圖形如下： % 計(jì)算理論和實(shí)際的自相關(guān)函數(shù)序列

Mlag=20;% 定義最大自相關(guān)長度

Rx=xcorr(x,Mlag,'coeff');m=-Mlag:Mlag;stem(m,Rx,'r.');grid on;

由仿真圖形可以分析出它和上面的理論輸出值基本一致。實(shí)際的功率譜密度的程序及仿真圖形如下：

window=hamming(20);% 采用hanmming窗，長度為20 noverlap=10;% 重疊的點(diǎn)數(shù)

Nfft=512;% 做FFT的點(diǎn)數(shù)

Fs=1000;% 采樣頻率，為1000Hz

[Px,f]=pwelch(x,window,noverlap,Nfft,Fs, 'onesided');% 估計(jì)功率譜密度

f1=[-fliplr(f)f(1:end)];% 構(gòu)造一個對稱的頻率，范圍是[-Fs/2, Fs/2] Px=[-fliplr(Px)Px(1:end)];% 對稱的功率譜

plot(f1,10*log10(Px),'b');grid on;

四、實(shí)驗(yàn)中所遇到問題及解決方法

問題

1、對一些典型的時(shí)間序列模型不了解。

解決方法：通過對實(shí)驗(yàn)原理的分析，還有課本內(nèi)容及查找的相關(guān)資料的參閱，以及與同學(xué)們的討論，慢慢地就建立了一些有關(guān)時(shí)間序列的很基礎(chǔ)的觀念。

問題

2、運(yùn)用 Matlab工具對AR模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)特性分析很棘手。

解決方法：也是查找Matlab的書籍中有關(guān)內(nèi)容，然后在Matlab上學(xué)會用help中的相關(guān)輔助、查找功能。

問題

3、運(yùn)用Matlab編程時(shí)編寫的程序經(jīng)過運(yùn)行之后有錯，而且很難發(fā)現(xiàn)其中錯誤。

解決方法：充分利用Matlab運(yùn)行出錯之后的英文提示進(jìn)行分析和改正，同時(shí)也要學(xué)會運(yùn)用Matlab上一些有用的學(xué)習(xí)資源。

五、實(shí)驗(yàn)總結(jié)及心得體會

實(shí)驗(yàn)總結(jié)：

本實(shí)驗(yàn)是用解Yule-Walker方程估計(jì)法來實(shí)現(xiàn)AR模型的求解，是一種AR模型參數(shù)的直接估計(jì)法。

時(shí)間序列一靠數(shù)據(jù)順序，二靠數(shù)據(jù)大小，蘊(yùn)含著客觀世界及其變化的信息，表現(xiàn)著變化的動態(tài)過程，因此，時(shí)間序列也往往稱為“動態(tài)數(shù)據(jù)”，對動態(tài)數(shù)據(jù)建立模型就是數(shù)據(jù)建模。因此，從系統(tǒng)角度來考察，某一時(shí)間序列表現(xiàn)著客觀世界的某一動態(tài)過程，換而言之，表現(xiàn)著某一系統(tǒng)的某一行為及其變化過程，也可以說，某一時(shí)間序列就是某一相應(yīng)系統(tǒng)的有關(guān)輸出或響應(yīng)。

現(xiàn)代譜估計(jì)是通過觀測數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)模型再按照求參數(shù)模型輸出功率的方法估計(jì)信號功率譜，主要是針對經(jīng)典譜估計(jì)的分辨率低和方差性能不好等問題提出的，應(yīng)用最廣的是AR參數(shù)模型?，F(xiàn)代譜估計(jì)的參數(shù)模型有自回歸滑動平均（ARMA）模型、自回歸（AR）模型、滑動平均（MA）模型，Wold分解定理闡明了三者之間的關(guān)系：任何有限方差的ARMA或MA模型的平穩(wěn)隨機(jī)過程可以用無限階的AR模型表示，任何有限方差的ARMA或MA模型的平穩(wěn)隨機(jī)過程可以用無限階的AR模型表示。但是由于只有AR模型參數(shù)估計(jì)是一組線性方程，而實(shí)際的物理系統(tǒng)往往是全極點(diǎn)系統(tǒng)，因而AR應(yīng)用最廣。實(shí)驗(yàn)總結(jié)：

剛剛開始做實(shí)驗(yàn)時(shí)我們確實(shí)是一點(diǎn)頭緒也沒有，不知道該如何下手，只是查找和參看一些Matlab和統(tǒng)計(jì)信號分析的書籍，但是也實(shí)驗(yàn)好像都沒有進(jìn)展。對于我來說，首先要解決的問題就是要學(xué)著運(yùn)用Matlab這個有很實(shí)用的工具，不僅要基本認(rèn)識Matlab而且還要學(xué)會編寫程序。這個過程是不容易的，要參看大量資料而且還要花大量時(shí)間來自己編寫程序。其次還要很認(rèn)真的反復(fù)看課本上的相關(guān)內(nèi)容也要看一些書籍。

總之，這次實(shí)驗(yàn)對我來說剛開始時(shí)是很不容易的，但是經(jīng)過和同學(xué)的協(xié)作、查找參看一些相關(guān)資料之后，最后還是有一些收獲的，畢竟我付出了時(shí)間和精力。也許我做得不是特別好，但是通過努力之后，不可否認(rèn)的，我們對Matlab有了進(jìn)一步認(rèn)識，對于AR模型確實(shí)有了一定的認(rèn)知和理解，對于統(tǒng)計(jì)信號分析的一些知識也不僅僅只是再停留在理論方面了，這次實(shí)驗(yàn)讓我們以實(shí)際動手的方式去認(rèn)知感受統(tǒng)計(jì)信號的知識。更重要的是我覺得，這次實(shí)驗(yàn)也在一定程度上，鍛煉、提高我們通信工程專業(yè)學(xué)生的根據(jù)理論分析和實(shí)驗(yàn)工具來設(shè)計(jì)分析實(shí)驗(yàn)的思維和能力。因?yàn)槊鎸蠋煵贾玫膶?shí)驗(yàn)任務(wù)，我們必須有一個對于實(shí)驗(yàn)的全面的認(rèn)知和大體的結(jié)構(gòu)把握才有可能去一步步的去實(shí)現(xiàn)，否則我們是無從下手的。也許，這種遇到問題所需要的思維方法和能力才是這次實(shí)驗(yàn)的精華，也是對我們最有益處的。