第一篇：兩點邊值問題地有限差分法偏微分方程數(shù)值解課程實驗報告

學

生

實

驗

報

告

實驗課程名稱

偏微分方程數(shù)值解

開課實驗室

數(shù)統(tǒng)學院

學

院

數(shù)統(tǒng)

年級

2013 專業(yè)班

信計 2 2 班

學

生

姓

名

學

號

開

課

時

間

2015 至

2016 學年第2

學期

總

成績

教師簽名

數(shù)學與統(tǒng)計學院制

開課學院、實驗室：

數(shù)統(tǒng)學院

實驗時間

：2016 年

月

日

實驗項目

名

稱

兩點邊值問題的有限差分法

實驗項目類型

驗證

演示

綜合設計

其他

指導教師

曾芳

成績

是

一．實驗目的通過該實驗，要求學生掌握求解兩點問題的有限差分法，并能通過計算機語言編程實現(xiàn)。

二．實驗容

考慮如下的初值問題：

? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? , ,du x du x dLu p x r x q x u x f x x a bdx dx dx? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?

(1)? ? ? ? , u a u b ? ? ? ?

(2)其中 ? ? ? ?1, p x C a b ?，? ? ? ? ? ? ? ? , , , r x q x f x C a b ?，? ?min0 p x p ? ?，? ? 0 q x ?，, ? ? 是給定常數(shù)。

將區(qū)間 N 等分，設b ahN??，網(wǎng)點 , 0,1,...,ix a ih i N ? ? ?。

1．在第三部分寫出問題（1）和（2）的差分格式，并給出該格式的局部截斷誤差。

2．根據(jù)你寫出的差分格式，編寫一個有限差分法程序。將所寫程序放到第四部分。

3．給定參數(shù) 0, 1 a b ? ?，3, 1, 2 p r q ? ? ?，0 ? ?，1 ? ?，問題(1)的精確解 ? ?2 1 ??xu x x e，其 中 將 ? ?2 1 ??xu x x e 及 1, 2, 3 ? ? ? p r q 帶 入 方 程(1)可 得 ? ? f x。

分 別 取10,20,40,80,160 N ?，用所編寫的程序計算問題(1)和(2)。將數(shù)值解記為iu，1,..., 1 i N ? ?，網(wǎng)點處精確解記為 ? ? i u，1,..., 1 i N ? ?。然后計算相應的誤差

? ?0maxNiici Ne u u? ?? ?，? ?1201NNiiie h u u??? ??及收斂階? ?2lnln2N Ne e，將計算結(jié)果填入第五部分的表格，并對表格中的結(jié)果進行解釋？ 4.將數(shù)值解和精確解畫圖顯示，每種網(wǎng)格上的解畫在一圖。

三．實驗原理、方法（算法）、步驟

1.差分格式：

錯誤!未找到引用源。= =--1/h^2(錯誤!未找到引用源。--((錯誤!未找到引用源。))錯誤!未找到引用源。+ +錯誤!未找到引用源。)+錯誤!未找到引用源。((錯誤!未找到引用源。)/2h+錯誤!未找到引用源。= =錯誤!未找到引用源。

錯誤!未找到引用源。

A,錯誤!未找到引用源。

2.局部階段誤差：

錯誤!未找到引用源。

(u)=O(h^2)

3.程序

clear all

N=10;

a=0;b=1;

p=(x)1;

r=(x)2;

q=(x)3;

alpha=0;beta=1;

f=(x)(4*x^2-2)*exp(x-1);

h=(b-a)/N;

H=zeros(N-1,N-1);g=zeros(N-1,1);%

for i=1

H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);

H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h));

g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h))*alpha;

end

for i=2:N-2

H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));

H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);

H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h));

g(i)=2*h*f(a+i*h);

end

for i=N-1

H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));

H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);

g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h))*beta;

end

u=Hg;

u=[alpha;u;beta];

x=a:h:b;

y=(x.^2).*exp(x-1);

plot(x,u);

hold on

plot(x,y);

y=y"

z=y-u

四．實驗環(huán)境（所用軟件、硬件等）及實驗數(shù)據(jù)文件

Matlab

五．實驗結(jié)果及實例分析

N Nce

收斂階 0Ne

收斂階 10 0.00104256 …… 0.00073524 …… 20 0.00026168 1.9341 0.00018348 1.4530 40 0.00006541 2.0001 0.00004585 2.0000 80 0.00001636 1.9993 0.00001146 2.0000 160 0.00000409 2.0000 0.00000287 2.0000

N N 越大

只會使絕對誤差變小，方法沒變，所以收斂階一致。

圖示為：((綠線為解析解，藍線為計算解))

N=10

N=20

N=40

N=80

N=160

教師簽名

****年**月**日