第一篇：初三數(shù)學(xué)圓知識點總結(jié)和初中數(shù)學(xué)圓解題技巧

初三數(shù)學(xué)圓知識點總結(jié)和初中數(shù)學(xué)圓解題技巧

初三數(shù)學(xué)圓知識點總結(jié)

一、圓的相關(guān)概念

1、圓的定義

在一個個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

2、直線圓的與置位關(guān)系

1.線直與圓有唯公一共時,點做直叫與圓線切

2.三角的外形圓接的圓叫做三心形角外心

3.弦切角于所等夾弧所對的的圓心角

4.三角的內(nèi)形圓切的圓叫做三心形角內(nèi)心

5.垂于直徑半直線必為圓的的切線

6.過徑半外的點并且垂直端于半的徑直線是圓切線

7.垂于直徑半直線是圓的的切線

8.圓切線垂的直過切于點半徑

3、圓的幾何表示

以點O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”

二、垂徑定理及其推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

推論1：(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

(3)平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

垂徑定理及其推論可概括為：

過圓心

垂直于弦

直徑平分弦 知二推三

平分弦所對的優(yōu)弧

平分弦所對的劣弧

三、弦、弧等與圓有關(guān)的定義

1、弦

連接圓上任意兩點的線段叫做弦。(如圖中的AB)

2、直徑

經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。(如途中的CD)

直徑等于半徑的2倍。

3、半圓

圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

4、弧、優(yōu)弧、劣弧

圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

弧用符號“⌒”表示，以A，B為端點的弧記作“ ”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。

大于半圓的弧叫做優(yōu)弧(多用三個字母表示);小于半圓的弧叫做劣弧(多用兩個字母表示)

四、圓的對稱性

1、圓的軸對稱性

圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。

2、圓的中心對稱性

圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

1、圓心角

頂點在圓心的角叫做圓心角。

2、弦心距

從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。

六、圓周角定理及其推論

1、圓周角

頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2、圓周角定理

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

七、點和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：

d＜r點P在圓內(nèi)

d=r 點P在⊙O上;

d>r 點P在⊙O外。

八、過三點的圓

1、過三點的圓

不在同一直線上的三個點確定一個圓。

2、三角形的外接圓

經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。

3、三角形的外心

三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它叫做這個三角形的外心。

4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)(四點共圓的判定條件)

圓內(nèi)接四邊形對角互補。

九、反證法

先假設(shè)命題中的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過推理，引出矛盾，判定所做的假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。

十、直線與圓的位置關(guān)系

直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：

(1)相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點;

(2)相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，(3)相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：

直線l與⊙O相交 d

直線l與⊙O相切 d=r;

直線l與⊙O相離 d>r;

十一、切線的判定和性質(zhì)

1、切線的判定定理

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

2、切線的性質(zhì)定理

圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

十二、切線長定理

1、切線長

在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。

2、切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

十三、圓和圓的位置關(guān)系

1、圓和圓的位置關(guān)系

如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。

如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，相切分為外切和內(nèi)切兩種。

如果兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交。

2、圓心距

兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。

3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定

設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么

兩圓外離 d>R+r

兩圓外切 d=R+r

兩圓相交 R-r

兩圓內(nèi)切 d=R-r(R>r)

兩圓內(nèi)含 dr)

4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)

如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線;相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。十四、三角形的內(nèi)切圓

1、三角形的內(nèi)切圓

與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。

2、三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點，它叫做三角形的內(nèi)心。

十五、與正多邊形有關(guān)的概念

1、正多邊形的中心

正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

2、正多邊形的半徑

正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。

3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。

4、中心角

正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角。

十六、正多邊形和圓

1、正多邊形的定義

各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

2、正多邊形和圓的關(guān)系

只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以做出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。

十七、正多邊形的對稱性

1、正多邊形的軸對稱性

正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。

2、正多邊形的中心對稱性

邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。

3、正多邊形的畫法

先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。

十八、弧長和扇形面積

1、弧長公式

n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為

2、扇形面積公式

其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長。

3、圓錐的側(cè)面積

其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑。

初中數(shù)學(xué)圓解題技巧

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。

切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。

要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓。

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗。

基本作圖很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。

虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。

第二篇：初三數(shù)學(xué)圓知識點總結(jié)

初三數(shù)學(xué)

圓知識點總結(jié)

一、本章知識框架

二、本章重點

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合．

2．判定一個點P是否在⊙O上．

設(shè)⊙O的半徑為R，OP＝d，則有

d>r點P在⊙O

外；

d＝r點P在⊙O

上；

d

內(nèi)．

3．與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半．

②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．

③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．

⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補；外角等于它的內(nèi)對角．

(3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．

弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角．

弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半．

4．圓的性質(zhì)：

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等．

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸．

垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條?。?/p>

(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．

(5)平行弦夾的弧相等．

5．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示．

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內(nèi)部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示．

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點．

6．切線的判定、性質(zhì)：

(1)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．

(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點的半徑．

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點．

③經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心．

(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長．

(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．

7．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等．

8．直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)⊙O

半徑為R，點O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點直線l和⊙O相切d＝R．

(3)直線l和⊙O

有兩個公共點直線l和⊙O

相交d

9．圓和圓的位置關(guān)系：

設(shè)的半徑為R、r(R>r)，圓心距．

(1)沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離d>R＋r．

(2)沒有公共點，且的每一個點都在外部內(nèi)含d

(3)有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部外切d＝R＋r．

(4)有唯一公共點，除這個點外，的每個點都在內(nèi)部內(nèi)切d＝R－r．

(5)有兩個公共點相交R－r

10．兩圓的性質(zhì)：

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點．

11．圓中有關(guān)計算：

圓的面積公式：，周長C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長．

圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積．

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算．

圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為，側(cè)面積為2πRl，全面積為．

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為πRl，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有．

【經(jīng)典例題精講】

例1

如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點位置是否隨C點位置改變而改變？

分析：要確定P點位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個符合條件的點試一試，觀察P點位置的變化，然后從中觀察規(guī)律．

解：

連結(jié)OP，P點為中點．

小結(jié)：此題運用垂徑定理進行推斷．

例2

下列命題正確的是（）

A．相等的圓周角對的弧相等

B．等弧所對的弦相等

C．三點確定一個圓

D．平分弦的直徑垂直于弦．

解：

A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以A不正確．

B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確．

C．三個點只有不在同一直線上才能確定一個圓．

D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦．

故選B．

例3

四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．

分析：圓內(nèi)接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等．

解：

設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．

x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．

∴∠D＝90°．

小結(jié)：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長．

例4

為了測量一個圓柱形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進而可以求得鐵環(huán)半徑．若測得PA＝5cm，則鐵環(huán)的半徑是__________cm．

分析：測量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識進行合作解決，即過

P點作直線OP⊥PA，再用三角板畫一個頂點為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個角的另一邊與OP的交點即為圓心O，再用三角函數(shù)知識求解．

解：

．

小結(jié)：應(yīng)用圓的知識解決實際問題，應(yīng)將實際問題變成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型．

例5

已知相交于A、B兩點，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距．

解：分兩種情況討論：

(1)若位于AB的兩側(cè)(如圖23-8)，設(shè)與AB交于C，連結(jié)，則垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16

∴AC＝8．

在中，．

在中，．

故．

(2)若位于AB的同側(cè)(如圖23-9)，設(shè)的延長線與AB交于C，連結(jié)．

∵垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8．

在中，．

在中，．

故．

注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個點到圓上各點的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時，要注意雙解或多解問題．

三、相關(guān)定理：

1.相交弦定理

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）

說明：幾何語言：　　若弦AB、CD交于點P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1．

已知P為⊙O內(nèi)一點，⊙O半徑為，過P任作一弦AB，設(shè)，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為。

解：由相交弦定理得，即，其中

2.切割線定理

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC^2=PA·PB

例2．

已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。

解：設(shè)TD=，BP=，由相交弦定理得：

即，（舍）

由切割線定理，由勾股定理，∴

∴

∴

四、輔助線總結(jié)

1.圓中常見的輔助線

1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．

2）．作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進行證明．

3）．作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算．

4）．作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角．

5)．作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角——直角．

6)．遇到切線，作過切點的弦，構(gòu)造弦切角．

7)．遇到切線，作過切點的半徑，構(gòu)造直角．

8)．欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點時，常連結(jié)公共點和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑．

9)．遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點．

10)．遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點．

11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線．

12)．遇兩圓相切，常過切點作兩圓的公切線．

13)．求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．

2、圓中較特殊的輔助線

1)．過圓外一點或圓上一點作圓的切線．

2)．將割線、相交弦補充完整．

3)．作輔助圓．

例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長為（）

A．2

B．3

C．4

D．5

分析：連結(jié)OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設(shè)AE＝x，則在Rt△CEO中，即，則，(舍去)．

答案：A．

例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點為A，點B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于（）

A．35°

B．90°

C．110°

D．120°

分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關(guān)系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3

如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側(cè)面積等于（）

A．

B．

C．

D．

分析：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長乘以圓柱的高，即．答案：B．

例4

如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，延長CM交⊙O于E，且EM>MC，連結(jié)OE、DE，．

求：EM的長．

簡析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是．設(shè)EM＝x，則AM·MB＝x(7－x)，即．所以．而EM>MC，即EM＝4．

例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關(guān)于x的方程(其中m為實數(shù))的兩根．

(1)求證：BE＝BD；

(2)若，求∠A的度數(shù)．

簡析：(1)由BE、BD是關(guān)于x的方程的兩根，得，則m＝－2．所以，原方程為．得．故BE＝BD．

(2)由相交弦定理，得，即．而PB切⊙O于點B，AB為⊙O的直徑，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易證∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，則，所以，所以．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．

第三篇：初三數(shù)學(xué)圓知識點總結(jié)

初三數(shù)學(xué) 圓知識點總結(jié)

一、本章知識框架

二、本章重點

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合． 2．判定一個點P是否在⊙O上． 設(shè)⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點P在⊙O 外； d＝r點P在⊙O 上； d

(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形． ⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補；外角等于它的內(nèi)對角．

(3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角．

弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半．

4．圓的性質(zhì)：

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等．

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸．

垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧．

(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等．

5．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示．

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內(nèi)部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示．

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點．

6．切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．

(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點的半徑．

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點． ③經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心．

(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長．

(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．

7．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等．

8．直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)⊙O 半徑為R，點O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個公共點直線l和⊙O 相交d

9．圓和圓的位置關(guān)系：（不考了）設(shè)(1)外離(2)含(3)外切(4)dr)，圓心距

．

沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部d>R＋r． 沒有公共點，且的每一個點都在外部

內(nèi)有唯一公共點，除這個點外，內(nèi)切d＝R－r．

相交(5)有兩個公共點R－r

10．兩圓的性質(zhì)：

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點．

11．圓中有關(guān)計算： 圓的面積公式：，周長C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長．

圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算．

．

圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為

．，側(cè)（補考圓錐面積了）圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為πRl，全面積為半徑之間有

【經(jīng)典例題精講】

例1 如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點位置是否隨C點位置改變而改變？

分析：要確定P點位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個符合條件的點試一試，觀察P點位置的變化，然后從中觀察規(guī)律． 解：

連結(jié)OP，．，母線長、圓錐高、底面圓的

P點為中點．

小結(jié)：此題運用垂徑定理進行推斷． 例2 下列命題正確的是()A．相等的圓周角對的弧相等 B．等弧所對的弦相等 C．三點確定一個圓

D．平分弦的直徑垂直于弦． 解：

A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以A不正確．

B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確． C．三個點只有不在同一直線上才能確定一個圓． D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦． 故選B．

例3 四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圓內(nèi)接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等． 解：

設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°． ∴∠D＝90°．

小結(jié)：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長．

例4 為了測量一個圓柱形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進而可以求得鐵環(huán)半徑．若測得PA＝5cm，則鐵環(huán)的半徑是__________cm． 分析：測量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識進行合作解決，即過P點作直線OP⊥PA，再用三角板畫一個頂點為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個角的另一邊與OP的交點即為圓心O，再用三角函數(shù)知識求解． 解：

．

小結(jié)：應(yīng)用圓的知識解決實際問題，應(yīng)將實際問題變成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型．

例5 已知

相交于A、B兩點，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距． 解：分兩種情況討論：(1)若位于AB的兩側(cè)(如圖23-8)，設(shè)

與AB交于C，連結(jié)又∵AB＝16 ∴AC＝8．，則垂直平分AB，∴

． 在在故(2)若中，中，．

位于AB的同側(cè)(如圖23-9)，設(shè)

．

∵垂直平分AB，的延長線與

． ．

AB交于C，連結(jié)∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8． 在在故中，中，．

． ．

注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個點到圓上各點的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時，要注意雙解或多解問題．

1.相交弦定理

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）

說明：幾何語言：

若弦AB、CD交于點P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1． 已知P為⊙O內(nèi)一點，P任作一弦AB，設(shè)為

。解：由相交弦定理得，⊙O半徑為，過，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，即，其中

2.切割線定理

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC^2=PA·PB

例2． 已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。

解：設(shè)TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割線定理，理，∴ ∴，（舍）

由勾股定

∴

四、輔助線總結(jié)（重要）1.圓中常見的輔助線

1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．

2）．作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進行證明．

3）．作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算．

4）．作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角．

5)．作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角——直角． 6)．遇到切線，作過切點的弦，構(gòu)造弦切角． 7)．遇到切線，作過切點的半徑，構(gòu)造直角．

8)．欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點時，常連結(jié)公共點和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑．

9)．遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點．

10)．遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點．

11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線． 12)．遇兩圓相切，常過切點作兩圓的公切線．

13)．求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．

2、圓中較特殊的輔助線

1)．過圓外一點或圓上一點作圓的切線． 2)．將割線、相交弦補充完整． 3)．作輔助圓．

例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長為()

A．2 B．3 C．4 D．5

分析：連結(jié)OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設(shè)AE＝x，則在Rt△CEO中，即，則，(舍去)．

答案：A．

例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點為A，點B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()

A．35° B．90° C．110° D．120°

分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關(guān)系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側(cè)面積等于()A． B．

C．

D．

分析：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長乘以圓柱的高，即

．答案：B．

例4 如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，延長CM交⊙O于E，且EM>MC，連結(jié)OE、DE，．

求：EM的長．

簡析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是．設(shè)EM＝x，則AM·MB＝x(7－x)，即．所以

．而EM>MC，即EM＝4．

例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關(guān)于x的方程

(其中m為實數(shù))的兩根．

(1)求證：BE＝BD；(2)若，求∠A的度數(shù)．

簡析：(1)由BE、BD是關(guān)于x的方程的兩根，得，則m＝－2．所以，原方程為

．得

．故BE＝BD．

(2)由相交弦定理，得，即

．而PB切⊙O于點B，AB為⊙O的直徑，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易證∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，則，所以，所以

．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．

第四篇：初中數(shù)學(xué)知識點圓總結(jié)

今天小編為大家精心整理了一篇有關(guān)初中數(shù)學(xué)圓的知識點內(nèi)容，以供大家閱讀，謝謝！

知識點：

一、圓

1、圓的有關(guān)性質(zhì)

在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫圓，固定的端點O叫圓心，線段OA叫半徑。

由圓的意義可知：

圓上各點到定點（圓心O）的距離等于定長的點都在圓上。

就是說：圓是到定點的距離等于定長的點的集合，圓的內(nèi)部可以看作是到圓。心的距離小于半徑的點的集合。

圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點的集合。連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧。

圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫半圓，大于半圓的弧叫優(yōu)??；小于半圓的弧叫劣弧。由弦及其所對的弧組成的圓形叫弓形。

圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫同心圓。

能夠重合的兩個圓叫等圓。

同圓或等圓的半徑相等。

在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧。

二、過三點的圓

l、過三點的圓

過三點的圓的作法：利用中垂線找圓心

定理不在同一直線上的三個點確定一個圓。

經(jīng)過三角形各頂點的圓叫三角形的外接圓，外接圓的圓心叫外心，這個三角形叫圓的內(nèi)接三角形。

2、反證法

反證法的三個步驟：

①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；

③由矛盾得出假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。

例如：求證三角形中最多只有一個角是鈍角。

證明：設(shè)有兩個以上是鈍角

則兩個鈍角之和＞180°

與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾。

∴不可能有二個以上是鈍角。

即最多只能有一個是鈍角。

三、垂直于弦的直徑

圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推理1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對兩條弧。

弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一個條弧。

推理2：圓兩條平行弦所夾的弧相等。

四、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

實際上，圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能夠與原來的圖形重合。

頂點是圓心的角叫圓心角，從圓心到弦的距離叫弦心距。

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距相等。

推理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中，有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。

五、圓周角

頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。

推理1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

推理2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。

推理3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

由于以上的定理、推理，所添加輔助線往往是添加能構(gòu)成直徑上的圓周角的輔助線。

六、圓的判定性質(zhì)

1.不在同一直線上的三點確定一個圓。

2.垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

推論1 ①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等

3.圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

4.圓是定點的距離等于定長的點的集合5.圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合6.圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合7.同圓或等圓的半徑相等

8.到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

9.定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦 相等，所對的弦的弦心距相等

10.推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩 弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等。

11定理 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它 的內(nèi)對角

12.①直線L和⊙O相交 d

②直線L和⊙O相切 d=r

③直線L和⊙O相離 dr

13.切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

14.切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

15.推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

16.推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

17.切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

18.圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等 外角等于內(nèi)對角

19.如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

20.①兩圓外離 dR+r ②兩圓外切 d=R+r

③.兩圓相交 R-rr)

④.兩圓內(nèi)切 d=R-r(Rr)⑤兩圓內(nèi)含dr)

[初中數(shù)學(xué)知識點圓總結(jié)]相關(guān)文章：

第五篇：初三數(shù)學(xué)圓的知識點整理

1.經(jīng)過三角形的三個頂點可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。

2.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

3.圓的切線垂直于過切點的半徑。

4.經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。

5.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

6.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心。

7.如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離，（分外離和內(nèi)含）如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，（分外切和內(nèi)切）。如果這兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交。

8.兩圓圓心的距離叫做圓心距。

9.我們把一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

10.在半徑是R的圓中，因為360°圓心角所對的弧長就是圓周長C＝2πR，所以n°的圓心角所對的弧長為

nπR

L＝——

180

11.在半徑是R的圓中，因為360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積S＝πR2nπR2

S扇形＝——

360

12.我們把連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線。

37.RT△a+b-c

r內(nèi)＝——

38.任意三角形中2S

r內(nèi)＝——

C