第一篇：2017初三數(shù)學(xué)圓教案.doc

第七章 圓

一.本周教學(xué)內(nèi)容：

第七章 圓

三 圓和圓的位置關(guān)系

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.掌握圓和圓的各種位置關(guān)系的概念及判定方法； 2.理解并掌握兩圓相切的性質(zhì)定理；

3.掌握相交兩圓的性質(zhì)定理，并完成相關(guān)的計(jì)算和證明；

4.理解圓的內(nèi)、外公切線概念，會計(jì)算內(nèi)、外公切線長及兩公切線夾角；并能根據(jù)公切線的條數(shù)確定兩圓的位置關(guān)系；

5.通過兩圓位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步理解事物之間是相互聯(lián)系和運(yùn)動變化的觀點(diǎn)，學(xué)會在變化中尋找規(guī)律，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識的能力。

［知識回顧］

1.圓與圓的位置關(guān)系的判定方法及圖形特征

2.兩圓相切的性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上。3.兩圓相交的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。4.設(shè)兩圓公切線長L，兩圓半徑R、r，兩公切線的夾角α

【典型例題】

例1.已知⊙O1、⊙O2半徑分別為15cm和13cm，它們相交于A、B兩點(diǎn)，且AB長24cm，求O1O2長。

分析：該題沒有給出圖形，兩圓相交有兩種可能性： 1.兩圓心在公共弦的兩側(cè)； 2.兩圓心在公共弦的同側(cè)；

因此，我們必須分兩種情況來解。

解：（1）連結(jié)O1O2交AB于C（2）連結(jié)O1O2并延長交AB于C ∵⊙O1 ⊙O2交于A、B兩點(diǎn)

在Rt△AO1C中，由勾股定理：

在Rt△AO2C中，由勾股定理：

∴如圖（1）O1O2=O1C+O2C=14cm

如圖（2）O1O2=O1C－O2C=4cm

例1是兩圓相交時的一題兩解問題，希望引起同學(xué)們的重視。

例2.如圖，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P，AC切⊙O2于C交⊙O1于B，AP交⊙O2于D，求證：

（1）PC平分∠BPD（2）若兩圓內(nèi)切，結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論。

證明：（1）過P點(diǎn)作公切線PM交AC于M點(diǎn)

∵AC切⊙O2于C ∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC 在⊙O1中，由弦切角定理：

∠BPM=∠A ∵∠CPD為△APC的外角

∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC ∴PC平分∠BPD。

（2）兩圓內(nèi)切時仍有這樣的結(jié)論。

證明：過P點(diǎn)作公切線PM交AB延長線于M

∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP ∴∠MPC=∠MCP ∴∠MPB=∠A ∵∠MCP為△CPA的外角 ∠MCP=∠CPA+∠A 又∠MPC=∠MPB+∠BPC ∴∠BPC=∠CPA 即PC平分∠BPD。

在解決有關(guān)兩圓相切的問題時，過切點(diǎn)作兩圓的公切線是常見的一條輔助線，利用弦切角及圓周角的性質(zhì)或切線長定理，可使問題迎刃而解。

從這道題我們還可以聯(lián)想到做過的兩道題，①當(dāng)A、B重合時，也就是AC成為兩圓的外公切線時，PC⊥AD，即我們書上的例題（P129 例4）

②當(dāng)APD經(jīng)過O1、O2時，PB⊥AC，PC平分∠BPD的證法就更多了。

例3.如圖，以FA為直徑的⊙O1與以O(shè)A為直徑的⊙O1內(nèi)切于點(diǎn)A，△ADF內(nèi)接于⊙O，DB⊥FA于B，交⊙O1于C，連結(jié)AC并延長交⊙O于E，求證：

（1）AC=CE（2）AC=DB－BC

分析：（1）易證

（2）由（1）我們可聯(lián)想到相交弦定理，延長DB交⊙O于G：即AC·CE=DC·CG 由垂徑定理可知DB=BG，問題就解決了。

證明：（1）連結(jié)OG，延長DB交⊙O于G，∵OA為⊙O1直徑 ∴OC⊥AE 在⊙O中 OC⊥AE ∴AC=CE（2）在⊙O中，∵DG⊥直徑AF ∴DB=GB 由相交弦定理：AC·CE=DC·CG=（DB－BC）（BG＋BC）

∵AC=CE ∴AC＝DB－BC

本題中主要應(yīng)用了垂徑定理，相交弦定理等知識，另外，證明過程中線段代換比較巧妙，應(yīng)認(rèn)真體會。

例4.如圖：⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，過A作⊙O1切線交⊙O2于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作兩圓割線交⊙O1和⊙O2于D、E，DE與AC相交于P點(diǎn)，222222

（1）求證：PA·PE=PC·PD（2）當(dāng)AD與⊙O2相切且PA=6，PC=2，PD=12時，求AD的長。

分析：（1）從圖中我們看到有相交弦定理和切割線定理可用。

（2）求AD想到用切割線定理，但PB、PE均未知，利用相交弦定理也只能求出它們的乘積，我們連結(jié)公共弦得兩個弦切角，再連結(jié)CE，可推出AD∥CE，這樣，問題就解決了。

（1）證明：∵PA切⊙O1于A，PBD為⊙O1割線

在⊙O2中 由相交弦定理

（2）連結(jié)AB、CE ∵CA切⊙O1于A AB為弦 ∴∠CAB=∠D ∵⊙O2中∠CAB=∠E ∴∠D=∠E ∴AD∥CE

∴BE=3+4=7 DB=12－3=9 由切割線定理 AD=DB·DE=9×(9+7)∴AD=12

解與兩圓相交的有關(guān)問題時，作兩圓的公共弦為輔助線，使不同的兩個圓的圓周角建立聯(lián)系，溝通它們之間某些量的關(guān)系，同學(xué)們應(yīng)注意它的應(yīng)用。

例5.如圖，已知：⊙O與⊙B相交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)B在⊙O上，NE為⊙B的直徑，點(diǎn)C在⊙B上，CM交⊙O于點(diǎn)A，連結(jié)AB并延長交NC于點(diǎn)D，求證：AD⊥NC。

分析：要證AD⊥NC，我們可證∠C+∠CAD=90°或∠DBN+∠BND=90°，這里可用到的是①NE為直徑，它對的圓周角是直角，因此我們連結(jié)EC，而∠ECM=∠ENM，又可利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ENM=∠CAD，從而得證。

證明：連結(jié)EC ∵EN為直徑 ∴∠ECM+∠ACD=90°

∵四邊形ABNM內(nèi)接于⊙O ∴∠CAD=∠MNE ∵∠ECM=∠MNE ∴∠CAD+∠ACD=90°

∴∠ADC=180°－90°=90°

∴AD⊥NC 從證明中可見點(diǎn)B在⊙O上這一條件的重要性。

例6.如圖：已知△DEC中DE=DC，過DE作⊙O1交EC、DC于B、A，過A、B、C作⊙O2，過B作BF⊥DC 于F，延長FB交⊙O1于G，連DG交EC于H，（1）求證：BF過⊙O2的圓心O2

（2）若EH=6，BC=4，CA=4.8，求DG的長。

分析：要證BF過⊙O2圓心O2，只需證它所在弦對的圓周角是直角即可，故應(yīng)延長BF交⊙O2于M，連CM，去證∠MCA+∠ACB=90°，而連AB后可得∠MCA轉(zhuǎn)移到∠MBA，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)轉(zhuǎn)移到∠CDG，而DH⊥EC，于是可證。

（1）證明：延長BF交⊙O2于M，連MC、AB ∵四邊形ABGD內(nèi)接于⊙O1 ∴∠ABM=∠ADG ∵DG⊥EC于H ∴∠ADG+∠DCH=90°

∵∠ABM=∠ACM ∴∠ADG=∠ACM ∵∠ACM+∠ACB=90° ∴BM為⊙O2直徑

∴BF過⊙O2的圓心O2。

（2）解：∵四邊形ADEB內(nèi)接于⊙O1

∴∠CAB=∠E ∵DE=DC ∠E=∠DCB ∴∠CAB=∠ACB ∴AB=BC=4 ∴等腰△CBA∽△CDE

∴設(shè)CD=5k，EC=6k ∵DH⊥EC DE=DC ∴EC=2EH=12=6k，∴k=2 ∴CD=10 在Rt△DHE中，由勾股定理：

∵BH=6－4=2 由相交弦定理：DH·HG=EH·HB

∴DG=8+1.5=9.5

例7.如圖：⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P，AB是兩圓外公切線，AB與O1O2延長線交于

（1）求證：AC⊥EC（2）求證：PC=EC

（1）證明：連結(jié)BP

∴△APB∽△AEC ∴∠ACE=∠APB 由例4結(jié)論得∠APB=90°

∴∠ACE=90° 即AC⊥EC

（2）證明：連結(jié)BD，∵∠APB=∠BPD=90° ∴BD為直徑

∵AB為外公切線 B為切點(diǎn) ∴BD⊥AC于B ∵AC⊥EC ∴BD∥EC

∴PC=EC（3）解：設(shè)PC交⊙O2于F，連結(jié)BF 在Rt△ABD中 BP⊥AD

∴BP=3 ∵CB切⊙O2于B ∴∠CBF=∠BPC ∠ABP=∠BFP ∵∠BCF=∠PCB

∵PC=EC

第二篇：初三數(shù)學(xué) 圓教案

圓

一、本章知識框架

二、本章重點(diǎn)

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合． 2．判定一個點(diǎn)P是否在⊙O上． 設(shè)⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點(diǎn)P在⊙O 外； d＝r點(diǎn)P在⊙O 上； d

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形． ⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對角．

(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角． 弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半． 4．圓的性質(zhì)：(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等．

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸． 垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條?。?/p>

(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等．

5．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)． 6．切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn)． ③經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心．

(3)切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度叫做切線長．

(4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 7．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等． 8．直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)⊙O 半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個公共點(diǎn)直線l和⊙O 相交dr)，圓心距

．(1)外離(2)含(3)外切(4)dR＋r． 沒有公共點(diǎn)，且的每一個點(diǎn)都在外部

內(nèi)有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓外部d＝R＋r． 的每個點(diǎn)都在內(nèi)部有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，內(nèi)切d＝R－r．

相交(5)有兩個公共點(diǎn)R－r

10．兩圓的性質(zhì)：

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn)． 11．圓中有關(guān)計(jì)算： 圓的面積公式：，周長C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長．

圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算．

．

圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為

．，側(cè)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為πRl，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有

．

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第三篇：初三數(shù)學(xué)圓教案

初三數(shù)學(xué) 圓教案

一、本章知識框架

二、本章重點(diǎn)

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合． 2．判定一個點(diǎn)P是否在⊙O上． 設(shè)⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點(diǎn)P在⊙O 外； d＝r點(diǎn)P在⊙O 上； d

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形． ⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對角．

(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角． 弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半． 4．圓的性質(zhì)：

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等．

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸． 垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條?。?/p>

(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等．

5．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)． 6．切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn)． ③經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心．

(3)切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度叫做切線長．

(4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 7．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等． 8．直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)⊙O 半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個公共點(diǎn)直線l和⊙O 相交dr)，圓心距

．

(1)外離(2)含(3)外切(4)dR＋r． 沒有公共點(diǎn)，且的每一個點(diǎn)都在外部

內(nèi)有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓外部d＝R＋r． 的每個點(diǎn)都在內(nèi)部有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，內(nèi)切d＝R－r．

相交(5)有兩個公共點(diǎn)R－r

10．兩圓的性質(zhì)：

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn)． 11．圓中有關(guān)計(jì)算： 圓的面積公式：，周長C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長．

圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算．

．

圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為

．，側(cè)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為πRl，全面積為【經(jīng)典例題精講】

例1 如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點(diǎn)，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點(diǎn)位置是否隨C點(diǎn)位置改變而改變？，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有

．

分析：要確定P點(diǎn)位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個符合條件的點(diǎn)試一試，觀察P點(diǎn)位置的變化，然后從中觀察規(guī)律． 解：

連結(jié)OP，P點(diǎn)為中點(diǎn)．

小結(jié)：此題運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推斷． 例2 下列命題正確的是()A．相等的圓周角對的弧相等 B．等弧所對的弦相等 C．三點(diǎn)確定一個圓

D．平分弦的直徑垂直于弦． 解：

A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以A不正確． B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確． C．三個點(diǎn)只有不在同一直線上才能確定一個圓． D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦． 故選B．

例3 四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圓內(nèi)接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等． 解：

設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．

∴∠D＝90°．

小結(jié)：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長．

例4 為了測量一個圓柱形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以求得鐵環(huán)半徑．若測得PA＝5cm，則鐵環(huán)的半徑是__________cm．

分析：測量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識進(jìn)行

合作解決，即過P點(diǎn)作直線OP⊥PA，再用三角板畫一個頂點(diǎn)為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個角的另一邊與OP的交點(diǎn)即為圓心O，再用三角函數(shù)知識求解． 解：

．

小結(jié)：應(yīng)用圓的知識解決實(shí)際問題，應(yīng)將實(shí)際問題變成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型． 例5 已知

相交于A、B兩點(diǎn)，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距． 解：分兩種情況討論：(1)若位于AB的兩側(cè)(如圖23-8)，設(shè)

與AB交于C，連結(jié)又∵AB＝16 ∴AC＝8． 在在故(2)若，則垂直平分AB，∴

．

中，中，．

． ．

位于AB的同側(cè)(如圖23-9)，設(shè)

． 的延長線與AB交于C，連結(jié)∵垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8． 在在故中，中，．

． ．

注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時，要注意雙解或多解問題．

三、相關(guān)定理：

1.相交弦定理

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）

說明：幾何語言：

若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1． 已知P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，P任作一弦AB，設(shè)為。，⊙O半徑為，過，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式解：由相交弦定理得，即，其中 2.切割線定理

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)

說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC^2=PA·PB 例2． 已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。

解：設(shè)TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割線定理，理，∴

∴，（舍）由勾股定∴

四、輔助線總結(jié) 1.圓中常見的輔助線

1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．

2）．作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進(jìn)行證明．

3）．作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算．

4）．作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角．

5)．作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角——直角． 6)．遇到切線，作過切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角． 7)．遇到切線，作過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角．

8)．欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時，常連結(jié)公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點(diǎn)時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑．

9)．遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)．

10)．遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)．

11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線． 12)．遇兩圓相切，常過切點(diǎn)作兩圓的公切線．

13)．求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．

2、圓中較特殊的輔助線

1)．過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線． 2)．將割線、相交弦補(bǔ)充完整． 3)．作輔助圓．

例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長為()

A．2 B．3 C．4 D．5 分析：連結(jié)OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設(shè)AE＝x，則在Rt△CEO中，則，(舍去)．，即，答案：A．

例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點(diǎn)為A，點(diǎn)B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()

A．35° B．90° C．110° D．120°

分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關(guān)系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側(cè)面積等于()A． B．

C．

D．

分析：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長乘以圓柱的高，即

．答案：B．

例4 如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，延長CM交⊙O于E，且EM>MC，連結(jié)OE、DE，求：EM的長．

．

簡析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是則AM·MB＝x(7－x)，即

．所以

．設(shè)EM＝x，．而EM>MC，即EM＝4．

例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點(diǎn)B，PA交⊙O于點(diǎn)C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關(guān)于x的方程

(其中m為實(shí)數(shù))的兩根．

(1)求證：BE＝BD；(2)若，求∠A的度數(shù)．

簡析：(1)由BE、BD是關(guān)于x的方程的兩根，得，則m＝－2．所以，原方程為(2)由相交弦定理，得

．得，即

．故BE＝BD．

．而PB切⊙O于點(diǎn)B，AB為⊙O的直徑，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易證∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，則，所以，所以

．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．

第四篇：初三數(shù)學(xué)圓教案含答案

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第七章 圓

一.本周教學(xué)內(nèi)容：

第七章 圓

三 圓和圓的位置關(guān)系

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.掌握圓和圓的各種位置關(guān)系的概念及判定方法； 2.理解并掌握兩圓相切的性質(zhì)定理；

3.掌握相交兩圓的性質(zhì)定理，并完成相關(guān)的計(jì)算和證明；

4.理解圓的內(nèi)、外公切線概念，會計(jì)算內(nèi)、外公切線長及兩公切線夾角；并能根據(jù)公切線的條數(shù)確定兩圓的位置關(guān)系；

5.通過兩圓位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步理解事物之間是相互聯(lián)系和運(yùn)動變化的觀點(diǎn)，學(xué)會在變化中尋找規(guī)律，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識的能力。

［知識回顧］

1.圓與圓的位置關(guān)系的判定方法及圖形特征 兩圓位置關(guān)公共點(diǎn)個數(shù) 系 外離 0 相對關(guān)系 一圓在另一圓外部 除公共點(diǎn)外，一圓在另一圓外部 數(shù)量關(guān)系 d>R+r 公切線條數(shù) 4 外切 1 d=R+r 3 R－r

2.兩圓相切的性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上。3.兩圓相交的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。4.設(shè)兩圓公切線長L，兩圓半徑R、r，兩公切線的夾角α

則有：外公切線長L外?d2?(R?r)2這時sin?2?R?r d億庫教育網(wǎng)

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內(nèi)公切線長L內(nèi)?d2?(R?r)2這時sin?2?R?r d

【典型例題】

例1.已知⊙O1、⊙O2半徑分別為15cm和13cm，它們相交于A、B兩點(diǎn)，且AB長24cm，求O1O2長。

分析：該題沒有給出圖形，兩圓相交有兩種可能性： 1.兩圓心在公共弦的兩側(cè)； 2.兩圓心在公共弦的同側(cè)；

因此，我們必須分兩種情況來解。

解：（1）連結(jié)O1O2交AB于C（2）連結(jié)O1O2并延長交AB于C ∵⊙O1 ⊙O2交于A、B兩點(diǎn) ∴O1O2⊥AB，且AC?1AB?12cm 2 在Rt△AO1C中，由勾股定理： O1C?O1A2?AC2?152?122?9(cm)

在Rt△AO2C中，由勾股定理： O2C?O2A2?AC2?132?122?5cm

∴如圖（1）O1O2=O1C+O2C=14cm

如圖（2）O1O2=O1C－O2C=4cm 億庫教育網(wǎng)

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例1是兩圓相交時的一題兩解問題，希望引起同學(xué)們的重視。

例2.如圖，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P，AC切⊙O2于C交⊙O1于B，AP交⊙O2于D，求證：

（1）PC平分∠BPD（2）若兩圓內(nèi)切，結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論。

證明：（1）過P點(diǎn)作公切線PM交AC于M點(diǎn)

∵AC切⊙O2于C ∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC 在⊙O1中，由弦切角定理：

∠BPM=∠A ∵∠CPD為△APC的外角

∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC ∴PC平分∠BPD。

（2）兩圓內(nèi)切時仍有這樣的結(jié)論。

證明：過P點(diǎn)作公切線PM交AB延長線于M

∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP ∴∠MPC=∠MCP ∴∠MPB=∠A ∵∠MCP為△CPA的外角 ∠MCP=∠CPA+∠A 又∠MPC=∠MPB+∠BPC ∴∠BPC=∠CPA 即PC平分∠BPD。

在解決有關(guān)兩圓相切的問題時，過切點(diǎn)作兩圓的公切線是常見的一條輔助線，利用弦切角及圓周角的性質(zhì)或切線長定理，可使問題迎刃而解。

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從這道題我們還可以聯(lián)想到做過的兩道題，①當(dāng)A、B重合時，也就是AC成為兩圓的外公切線時，PC⊥AD，即我們書上的例題（P129 例4）

②當(dāng)APD經(jīng)過O1、O2時，PB⊥AC，PC平分∠BPD的證法就更多了。

例3.如圖，以FA為直徑的⊙O1與以O(shè)A為直徑的⊙O1內(nèi)切于點(diǎn)A，△ADF內(nèi)接于⊙O，DB⊥FA于B，交⊙O1于C，連結(jié)AC并延長交⊙O于E，求證：

（1）AC=CE（2）AC=DB－BC

分析：（1）易證

（2）由（1）我們可聯(lián)想到相交弦定理，延長DB交⊙O于G：即AC·CE=DC·CG 由垂徑定理可知DB=BG，問題就解決了。

證明：（1）連結(jié)OG，延長DB交⊙O于G，∵OA為⊙O1直徑 ∴OC⊥AE 在⊙O中 OC⊥AE ∴AC=CE（2）在⊙O中，∵DG⊥直徑AF ∴DB=GB 由相交弦定理：AC·CE=DC·CG=（DB－BC）（BG＋BC）

∵AC=CE ∴AC＝DB－BC

本題中主要應(yīng)用了垂徑定理，相交弦定理等知識，另外，證明過程中線段代換比較巧妙，應(yīng)認(rèn)真體會。

例4.如圖：⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，過A作⊙O1切線交⊙O2于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作兩圓割線交⊙O1和⊙O2于D、E，DE與AC相交于P點(diǎn)，222222億庫教育網(wǎng)

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（1）求證：PA·PE=PC·PD（2）當(dāng)AD與⊙O2相切且PA=6，PC=2，PD=12時，求AD的長。

分析：（1）從圖中我們看到有相交弦定理和切割線定理可用。

（2）求AD想到用切割線定理，但PB、PE均未知，利用相交弦定理也只能求出它們的乘積，我們連結(jié)公共弦得兩個弦切角，再連結(jié)CE，可推出AD∥CE，這樣，問題就解決了。

（1）證明：∵PA切⊙O1于A，PBD為⊙O1割線 ∴PA?PB·PD2PA2∴PB?

PD 在⊙O2中 由相交弦定理 PA·PC?PB·PE∴PB?PA·PC

PEPA2PA·PC? ∴PDPE（2）連結(jié)AB、CE

∴PA·PE?PC·PD

∵CA切⊙O1于A AB為弦 ∴∠CAB=∠D ∵⊙O2中∠CAB=∠E ∴∠D=∠E ∴AD∥CE ∴PCPE?PAPD∵PC?2PA?6PD?12

∴PE?PC·PD2×12??4

PA6∴PB?2×6?3 4 由相交弦定理：PB·PE?PC·PA ∴BE=3+4=7 DB=12－3=9 由切割線定理 AD=DB·DE=9×(9+7)∴AD=12 億庫教育網(wǎng)

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解與兩圓相交的有關(guān)問題時，作兩圓的公共弦為輔助線，使不同的兩個圓的圓周角建立聯(lián)系，溝通它們之間某些量的關(guān)系，同學(xué)們應(yīng)注意它的應(yīng)用。

例5.如圖，已知：⊙O與⊙B相交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)B在⊙O上，NE為⊙B的直徑，點(diǎn)C在⊙B上，CM交⊙O于點(diǎn)A，連結(jié)AB并延長交NC于點(diǎn)D，求證：AD⊥NC。

分析：要證AD⊥NC，我們可證∠C+∠CAD=90°或∠DBN+∠BND=90°，這里可用到的是①NE為直徑，它對的圓周角是直角，因此我們連結(jié)EC，而∠ECM=∠ENM，又可利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ENM=∠CAD，從而得證。

證明：連結(jié)EC ∵EN為直徑 ∴∠ECM+∠ACD=90°

∵四邊形ABNM內(nèi)接于⊙O ∴∠CAD=∠MNE ∵∠ECM=∠MNE ∴∠CAD+∠ACD=90°

∴∠ADC=180°－90°=90°

∴AD⊥NC 從證明中可見點(diǎn)B在⊙O上這一條件的重要性。

例6.如圖：已知△DEC中DE=DC，過DE作⊙O1交EC、DC于B、A，過A、B、C作⊙O2，過B作BF⊥DC 于F，延長FB交⊙O1于G，連DG交EC于H，（1）求證：BF過⊙O2的圓心O2

（2）若EH=6，BC=4，CA=4.8，求DG的長。

分析：要證BF過⊙O2圓心O2，只需證它所在弦對的圓周角是直角即可，故應(yīng)延長BF交⊙O2于M，連CM，去證∠MCA+∠ACB=90°，而連AB后可得∠MCA轉(zhuǎn)移到∠MBA，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)轉(zhuǎn)移到∠CDG，而DH⊥EC，于是可證。

（1）證明：延長BF交⊙O2于M，連MC、AB ∵四邊形ABGD內(nèi)接于⊙O1 ∴∠ABM=∠ADG ∵DG⊥EC于H ∴∠ADG+∠DCH=90°

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∵∠ABM=∠ACM ∴∠ADG=∠ACM ∵∠ACM+∠ACB=90° ∴BM為⊙O2直徑

∴BF過⊙O2的圓心O2。

（2）解：∵四邊形ADEB內(nèi)接于⊙O1

∴∠CAB=∠E ∵DE=DC ∠E=∠DCB ∴∠CAB=∠ACB ∴AB=BC=4 ∴等腰△CBA∽△CDE ∴CDBC45??? ECAC4.86 ∴設(shè)CD=5k，EC=6k ∵DH⊥EC DE=DC ∴EC=2EH=12=6k，∴k=2 ∴CD=10 在Rt△DHE中，由勾股定理： DH?102?62?8

∵BH=6－4=2 由相交弦定理：DH·HG=EH·HB ∴HG?EH·HB2×63???15.DH82 ∴DG=8+1.5=9.5

例7.如圖：⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P，AB是兩圓外公切線，AB與O1O2延長線交于

C點(diǎn)，AP延長線上一點(diǎn)E，滿足條件APAC?ABAEPE交⊙O2于點(diǎn)D，（1）求證：AC⊥EC（2）求證：PC=EC(3)若AP?4PD?（1）證明：連結(jié)BP ∵94求BC的值 ECAPAC?ABAE∠A?∠A

∴△APB∽△AEC ∴∠ACE=∠APB 由例4結(jié)論得∠APB=90°

∴∠ACE=90° 即AC⊥EC 億庫教育網(wǎng)

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（2）證明：連結(jié)BD，∵∠APB=∠BPD=90° ∴BD為直徑

∵AB為外公切線 B為切點(diǎn) ∴BD⊥AC于B ∵AC⊥EC ∴BD∥EC ∴△PO2D∽△PCE ∴PC=EC（3）解：設(shè)PC交⊙O2于F，連結(jié)BF 在Rt△ABD中 BP⊥AD ∴由射影定理：BP?AP·PD?4× ∴BP=3 ∵CB切⊙O2于B ∴∠CBF=∠BPC ∠ABP=∠BFP ∵∠BCF=∠PCB ∴△BCF∽△PCB∴ ∵PC=EC ∴

2O2DEC??1 O2PPC9 4BCBFBP3??ctg∠BFP?ctg∠ABP?? PCBPAP4BCBC3?? ECPC4億庫教育網(wǎng)

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第五篇：初三數(shù)學(xué)圓的綜合復(fù)習(xí)教案

精品講義

貢獻(xiàn)人：蜀道鵬

圓綜合復(fù)習(xí)

一、本章知識框架

二、本章重點(diǎn)

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合． 2．判定一個點(diǎn)P是否在⊙O上． 設(shè)⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點(diǎn)P在⊙O 外； d＝r點(diǎn)P在⊙O 上； d

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形． ⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對角．

(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角． 弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半．

精品講義

貢獻(xiàn)人：蜀道鵬

4．圓的性質(zhì)：

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等．

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸． 垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條?。?/p>

(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等．

5．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)． 6．切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn)． ③經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心．

(3)切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度叫做切線長．

(4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 7．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等． 8．直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)⊙O 半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個公共點(diǎn)直線l和⊙O 相交d

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9．圓和圓的位置關(guān)系： 設(shè)(1)外離(2)含(3)外切(4)dr)，圓心距

．

沒有公共點(diǎn)，且每一個圓上的所有點(diǎn)在另一個圓的外部d>R＋r． 沒有公共點(diǎn)，且的每一個點(diǎn)都在外部

內(nèi)有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，內(nèi)切d＝R－r．

相交(5)有兩個公共點(diǎn)R－r

10．兩圓的性質(zhì)：

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn)． 11．圓中有關(guān)計(jì)算： 圓的面積公式：，周長C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長．

圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算．

．

圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為

．，側(cè)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為πRl，全面積為

，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有．

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【經(jīng)典例題精講】

例1 如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點(diǎn)，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點(diǎn)位置是否隨C點(diǎn)位置改變而改變？

例2 下列命題正確的是()A．相等的圓周角對的弧相等 B．等弧所對的弦相等 C．三點(diǎn)確定一個圓

D．平分弦的直徑垂直于弦．

例3 四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．

例4 為了測量一個圓柱形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以求得鐵環(huán)半徑．若測得PA＝5cm，則鐵環(huán)的半徑是__________cm．

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例5 已知相交于A、B兩點(diǎn)，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距．

三、相關(guān)定理：

1.相交弦定理

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）

說明：幾何語言：

若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1． 已知P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，⊙O半徑為，過P任作一弦AB，設(shè)，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為。2.切割線定理

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng) 說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC^2=PA·PB 例2． 已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。

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四、輔助線總結(jié) 1.圓中常見的輔助線

1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．

2）．作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進(jìn)行證明．

3）．作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算．

4）．作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角．

5)．作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角——直角． 6)．遇到切線，作過切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角． 7)．遇到切線，作過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角．

8)．欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時，常連結(jié)公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點(diǎn)時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑．

9)．遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)．

10)．遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)．

11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線． 12)．遇兩圓相切，常過切點(diǎn)作兩圓的公切線．

13)．求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．

2、圓中較特殊的輔助線

1)．過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線． 2)．將割線、相交弦補(bǔ)充完整． 3)．作輔助圓． 【中考熱點(diǎn)】

近年來，在中考中圓的應(yīng)用方面考查較多，與一元二次方程、函數(shù)、三角函數(shù)、實(shí)際問題、作圖等是中考中的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)．

例1（·北京市)如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長為()

A．2 B．3 C．4 D．5 例2(北京市)如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點(diǎn)為A，點(diǎn)B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()

A．35° B．90° C．110° D．120°

例3（北京市)如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側(cè)面積等于()A． B．

C．

D．

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例4(河南省A卷)如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，延長CM交⊙O于E，且EM>MC，連結(jié)OE、DE，(1)求EM的長．

(2)求sin∠EOB的值．

例5（山西省)如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點(diǎn)B，PA交⊙O于點(diǎn)C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關(guān)于x的方程

(其中m為實(shí)數(shù))的兩根．

(1)求證：BE＝BD；(2)若，求∠A的度數(shù)．

．