第一篇：2017不等式的證明方法教案

1.5.1--1.5.2 不等式的證明方法

（一）教案

教學(xué)目標(biāo)：了解證明不等式的最基本的基本方法即比較法、綜合法、分析法.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：分析法 教學(xué)過(guò)程：

一、情景引入：

不等式歷來(lái)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。對(duì)于本節(jié)來(lái)講，復(fù)習(xí)有關(guān)不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，而且還考察邏輯推理能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。要在思想方法上下功夫。

.要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可，即利用不等式的性質(zhì)：

a?b?a?b?0

a?b?a?b?0 a?b?a?b?0

比較法證明不等式的一般步驟：作差—變形—判斷—結(jié)論；為了判斷作差后的符號(hào)，有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式，也可變形為幾個(gè)因式的積的形式，以便判斷其正負(fù)。

綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。由于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)，以便于對(duì)比研究?jī)煞N思路方法的特點(diǎn)。

所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式，逐步推導(dǎo)出要證的不等式。而分析法，則是由結(jié)果開(kāi)始，倒過(guò)來(lái)尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知中。前一種是“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因”。打一個(gè)比方：張三在山里迷了路，救援人員從駐地出發(fā)，逐步尋找，直至找到他，這是“綜合法”；而張三自己找路，直至回到駐地，這是“分析法”。

二、精講精練：

例

1、設(shè)a>0，b>0，求證：

ab?ba≥a?b。

分析：當(dāng)不等式是代數(shù)不等式時(shí)，常用比差法，比差法的三步驟即為函數(shù)單調(diào)性證明的步驟。

解：左-右=ab?ba?a?b?a?baba?bb?b?aa?(a?b)(1b?1a)?(a?b)a?bab

?(a?b)2≥0 ∴ 左≥右

即原不等式成立.點(diǎn)評(píng)：⑴做差；變形整理；判斷差式的正負(fù)，該法尤其適用于具有多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)特征的不等式的證明.⑵本題中應(yīng)注意做差后分組的原則，是以提取公因式從而判定差式的結(jié)果是大于零還是小于零為目的.變式訓(xùn)練1：課本P24練習(xí)第7題.an?bn?cn, 例2：已知a,b,c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)?lg3求證：2f(n)?f(2n).2?an?bn?cn?an?bn?cn分析：由2f(n)?2lg?lg??,33??

a2n?b2n?c2nf(2n)?lg.3比較兩個(gè)真數(shù)聯(lián)想到可用基本不等式來(lái)證明.2?an?bn?cn?an?bn?cn證明：2f(n)?2lg?lg??33??a2n?b2n?c2n?2anbn?2bncn?2cnan?lg.9又?2anbn?a2n?b2n，2bncn?b2n?c2n，2cnan?c2n?a2n，將上面三個(gè)不等式相加，得2anbn?2bncn?2cnan?（2a2n?b2n?c2n）.a2n?b2n?c2n?2anbn?2bncn?2cnan?2f(n)?lg9a2n?b2n?c2n?（2a2n?b2n?c2n）?lg9a2n?b2n?c2n?lg?f(2n).3點(diǎn)評(píng)：本題采用采用的是把幾個(gè)不等式相加（或相乘）的方法，這是綜合法證明不等式時(shí)常用的變形方法.變式訓(xùn)練2：課本P27練習(xí)第2題.例3：已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c,三內(nèi)角為A,B,C.因?yàn)閍、b、c?0,A?B?C??,欲證原不等式成立，則只需證3先證前一個(gè)不等式，只需證A(b?c?2a)?B(a?c?2b)?C(a?b?2c)?0.?A?B?C（?a?b?c）?aA?bB?cC??A?B?C（?a?b?c）2求證：即證A(b?a)?A(c?a)?B(a?b)?B(c?b)?C(a?c)?C(b?c)?0.即(a?b)(B?A)?(c?a)(A?C)?(b?c)(C?B)?0.不妨設(shè)a?b?c,則A?B?C.?(a?b)(B?A)?0;(c?a)(A?C)?0;(b?c)(C?B)?0.?①式成立，同理可證第二個(gè)不等式成立.因此原不等式成立.①分析：本題是一個(gè)連鎖不等式，也應(yīng)該用逐步分析的方法分別證明，但要注意隱含條件A?B?C??.證明：因?yàn)閍、b、c?0,A?B?C??,欲證原不等式成立，則只需證3先證前一個(gè)不等式，只需證A(b?c?2a)?B(a?c?2b)?C(a?b?2c)?0.?A?B?C（?a?b?c）?aA?bB?cC??A?B?C（?a?b?c）2即證A(b?a)?A(c?a)?B(a?b)?B(c?b)?C(a?c)?C(b?c)?0.即(a?b)(B?A)?(c?a)(A?C)?(b?c)(C?B)?0.不妨設(shè)a?b?c,則A?B?C.?(a?b)(B?A)?0;(c?a)(A?C)?0;(b?c)(C?B)?0.?①式成立，同理可證第二個(gè)不等式成立.因此原不等式成立.點(diǎn)評(píng)：本題出題角度比較新穎，能力要求較高，三角形的邊角問(wèn)題一般用正弦、余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，然而本題并沒(méi)有三角函數(shù)，所以想到A?B?C??.，再利用求差比較法證明。

變式訓(xùn)練3：課本P27練習(xí)第6題.三、課堂小結(jié)

1.證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法.2.在不等式證明過(guò)程中，應(yīng)注重與不等式的運(yùn)算性質(zhì)聯(lián)合使用

四、布置作業(yè)

課本P31習(xí)題1-5第2，3，7題.課外參考：已知a＞0，b＞0，且a+b=1。求證：(a+證法一：(分析綜合法)欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤

①2511)(b+)≥.ab41或ab≥8.41，從而得證.4∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2ab，∴ab≤證法二：(均值代換法)供參考 設(shè)a=11+t1，b=+t2.2211，|t2|＜ 22∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜

11a2?1b2?1?(a?)(b?)??abab1111(?t1)2?1(?t2)2?1(?t1?t12?1)(?t2?t22?1)4?2?2?41111?t1?t2(?t1)(?t2)2222115(?t1?t12?1)(?t2?t22?1)(?t22)2?t224?4?411?t22?t2244253225?t2?t2425?162?16?.1142?t244顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b=證法三：(比較法）

1時(shí)，等號(hào)成立.21 4∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤1125a2?1b2?1254a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)(a?)(b?)???????0ab4ab44ab4ab 1125?(a?)(b?)?ab4證法四：(綜合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤

1.425??2(1?ab)?1?2?139??(1?ab)?12516?2 ?1?ab?1???(1?ab)??????14416ab4? ?4???ab??1125即(a?)(b?)?

ab4證法五：(三角代換法）供參考

∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，11112(a?)(b?)?(sin2α?)(cosα?)absin2αcos2αsin4α?cos4α?2sin2αcos2α?2(4?sin2α)2?16??4sin22α4sin22α?sin22α?1,?4?sin22α?4?1?3.4?2sin22α?16?25?2225?(4?sin2α)???114?4sin22α?2sin2α4?1125即得(a?)(b?)?.ab4

?)22

第二篇：證明不等式方法

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯(cuò)法多種多樣，本節(jié)通這一些實(shí)例，歸納整理證明不等式時(shí)常用的方法和技巧。1比較法

比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種?；舅枷胧前央y于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時(shí)，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較）

例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab

2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來(lái)說(shuō)明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。

∵（a3+b3)(a2b+ab2)

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

證明： =(a-b)2(a+b)

又∵(a-b)2≥0a+b≥0

∴(a-b)2(a+b)≥0

即a3+b3≥a2b+ab2

例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba

分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對(duì)稱(chēng)性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達(dá)到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小

證明：由a、b的對(duì)稱(chēng)性，不妨解a＞b＞0則

aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b

∵ab0，∴ab1，a-b0

∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba

練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法

利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：

（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

（3）若a、b同號(hào)，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1-b2+b1-a2≤

1分析：通過(guò)觀察可直接套用： xy≤x2+y2

2證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

∴b1-a2+a1-b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時(shí)，等號(hào)成立

練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(a-b)b≥

33綜合法

綜合法就是從已知或已證明過(guò)的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。

例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252

證明：∵ a0，b0，a+b=1

∴ab≤14或1ab≥

4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2

=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252

練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+cn

3求證：2f（n）≤f（2n）

4分析法

從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個(gè)條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時(shí)，便可推出原不等式成立，這種方法稱(chēng)為分析法。

例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

分析：觀察求證式為一個(gè)連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價(jià)于 ｜a-c｜＜c2-ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。

要證c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

只需證-c2-ab＜a-c＜c2-ab

證明：即證 ｜a-c｜＜c2-ab

即證(a-c)2＜c2-ab

即證 a2-2ac＜-ab

∵a＞0，∴即要證 a-2c＜-b 即需證2+b＜2c，即為已知

∴ 不等式成立

練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）

25放縮法

放縮法是在證明不等式時(shí)，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來(lái)證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：（1）舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)），（2）在和或積中換大（或換?。┠承╉?xiàng)，（3）擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑取?/p>

例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)

求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

2分析：觀察式子特點(diǎn)，若將4個(gè)分式商為同分母，問(wèn)題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。

證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞

ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=

1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d

∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2

綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2

練習(xí)5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜1

6換元法

換元法是許多實(shí)際問(wèn)題解決中可以起到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用，有些問(wèn)題直接證明較為困難，若通過(guò)換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見(jiàn)的是三角換元。

(1)三角換元：

是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問(wèn)題時(shí)，使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角問(wèn)題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問(wèn)題。

例

7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求證0＜A＜

1證明： ∵x，y∈R+，且x-y=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）

∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ

=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ

=sinθ

∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1

復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤

3(2)比值換元：

對(duì)于在已知條件中含有若干個(gè)等比式的問(wèn)題，往往可先設(shè)一個(gè)輔助未知數(shù)表示這個(gè)比值，然后代入求證式，即可。

例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥431

4證明：設(shè)x-1=y+12=z-23=k

于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+

2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

=14(k+514)2+4314≥4314

7反證法

有些不等式從正面證如果不好說(shuō)清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。

例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤

2分析：本題已知為p、q的三次，而結(jié)論中只有一次，應(yīng)考慮到用術(shù)立方根，同時(shí)用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。

證明：解設(shè)p+q＞2，那么p＞2-q

∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q

3將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0

即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤

2練習(xí)7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.求證：a＞0，b＞0，c＞0

8數(shù)學(xué)歸納法

與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通?？紤]用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟缺一不可。

例10：設(shè)n∈N，且n＞1,求證：(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12

分析：觀察求證式與n有關(guān)，可采用數(shù)學(xué)歸納法

證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左= 43，右=52

∵43＞52∴不等式成立

（2）假設(shè)n=k(k≥2，k∈n)時(shí)不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①

要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+12·

2k+22k+1＞2k+32②

對(duì)于②〈二〉2k+2＞2k+1·2k+3

〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)

〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3

〈二〉4＞3③

∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立

由（1）（2）證明可知，對(duì)一切n≥2（n∈N），原不等式成立

練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞132

49構(gòu)造法

根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達(dá)到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。

1構(gòu)造函數(shù)法

例11：證明不等式：x1-2x ＜x2（x≠0）

證明：設(shè)f（x）=x1-2x-x2（x≠0）

∵f(-x)

=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x

2=x1-2x-［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2

=f（x）

∴f（x）的圖像表示y軸對(duì)稱(chēng)

∵當(dāng)x＞0時(shí)，1-2x＜0，故f（x）＜0

∴當(dāng)x＜0時(shí)，據(jù)圖像的對(duì)稱(chēng)性知f（x）＜0

∴當(dāng)x≠0時(shí)，恒有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）

練習(xí)9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：b-b2-ab＜a＜b+b2-ab

2構(gòu)造圖形法

例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）-f（b）|＜ |a-b|

分析：由1+x2 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

于是如下圖，設(shè)A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2

|AB|=|a-b|又0A|-|0B＜|AB|∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|

練習(xí)10：設(shè)a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(a-c)+c(b-c)≤ab

10添項(xiàng)法

某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項(xiàng)”技巧，能得到快速求解的效果。

1倍數(shù)添項(xiàng)

若不等式中含有奇數(shù)項(xiàng)的和，可通過(guò)對(duì)不等式乘以2變成偶數(shù)項(xiàng)的和，然后分組利用已知不等式進(jìn)行放縮。

例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立）證明：∵a、b、c∈R+

∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a·2bc+b·2ca+c·2ac)=3abc

當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。

2平方添項(xiàng)

運(yùn)用此法必須注意原不等號(hào)的方向

例14 ：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，求證：

(1+13)(1+15)…(1+12n-1＞ 2n+1 2)

證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時(shí)ba＞ b+ma+m

∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n-1)］2=（43、65…2n2n-1)（43、65…2n2n-1)＞（54、76…2n+12n)（43、65…2n2n-1)=2n+13＞ 2n+14＞

∴(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+1 2)

3平均值添項(xiàng)

例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤3

32分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術(shù)平均值添項(xiàng)sin π

3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立）∵0＜x+y2＜ π，-π2＜ x-y2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosx-y

2∴上式成立

反復(fù)運(yùn)用這個(gè)命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2·2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332

∴sinA+sinB≠sinC≤332

練習(xí)11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤18

4利用均值不等式等號(hào)成立的條件添項(xiàng)

例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18

分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時(shí)，等號(hào)成立

證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①

同理b4+3(12)4 ≥b②

∴a4+b4≥12(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③

∵a≠b ∴①②中等號(hào)不成立∴③中等號(hào)不成立∴ 原不等式成立

1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對(duì)任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯(cuò)解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說(shuō)明c存在。

正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23，因?yàn)閤,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。

6.2已知x,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

錯(cuò)解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz

錯(cuò)因：根據(jù)不等式的性質(zhì)：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡(jiǎn)得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:

x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

6.3 設(shè)x+y>0，n為偶數(shù)，求證yn-1xn+xn-1yn≥

1x 1y

錯(cuò)證：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y

=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

n為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xn-yn和xn-1-yn-

1同號(hào)，∴yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

錯(cuò)因：在x+y>0的條件下，n為偶數(shù)時(shí)，xn-yn和xn-1-yn-1不一定同號(hào)，應(yīng)分x、y同號(hào)和異號(hào)兩種情況討論。

正解：應(yīng)用比較法：

yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

① 當(dāng)x>0,y>0時(shí)，(xn-yn)(xn-1-yn-1)≥ 0，(xy)n >0

所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

≥0故：yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

② 當(dāng)x,y有一個(gè)是負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)x>0,y<0，且x+y>0，所以x>|y|

又n為偶數(shù)時(shí),所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)>0 又(xy)n >0，所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn ≥0即 yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

綜合①②知原不等式成立

第三篇：不等式證明若干方法

安康學(xué)院 數(shù)統(tǒng)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專(zhuān)業(yè) 11 級(jí)本科生

論文（設(shè)計(jì)）選題實(shí)習(xí)報(bào)告

11級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)《科研訓(xùn)練2》評(píng)分表

注：綜合評(píng)分?60的為“及格”； <60分的為“不及格”。

第四篇：不等式的一些證明方法

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))

不等式的一些證明方法

[摘要]：不等式是數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容,不等式的證明是學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),本文除總結(jié)不等式的常規(guī)證明方法外,給出了不等式相關(guān)的證明方法在具體實(shí)例中的應(yīng)用.[關(guān)鍵詞] 不等式;證明;方法； 應(yīng)用

不等式在數(shù)學(xué)中占重要地位,由于其本身的完美性及證明的困難性,使不等式成為各類(lèi)考試中的熱點(diǎn)試題,證明不等式的途徑是對(duì)原不等式作代數(shù)變形，在初等數(shù)學(xué)中常用的方法有放縮法、代換法、歸納法、反證法等等.因而涉及不等式的問(wèn)題很廣泛而且處理方法很靈活,故本文對(duì)不等式的證明方法進(jìn)行一些探討總結(jié).一、中學(xué)中有關(guān)不等式的證明方法 1.1中學(xué)課本中的四種證明方法 1.1.1理清不等式的證明方法

（1）比較法：證明不等式的基本方法,適應(yīng)面寬.①相減比較法—欲證A?B,則證A?B?0.②相除比較法—欲證A>B（A>0,B>0）,則證>1.（2）綜合法：利用平均不等式、二次方程根的判別式、二項(xiàng)式定理、數(shù)列求和等等。此方法靈活性大,需反復(fù)練習(xí).（3）分析法：當(dāng)綜合法較困難或行不通時(shí),可考慮此法,但不宜到處亂用.第1頁(yè)（共13頁(yè)）

AB

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))（4）數(shù)學(xué)歸納法：凡與自然數(shù)n有關(guān)的不等式,可考慮此法,但有時(shí)使用起來(lái)比較困難,應(yīng)與前面幾種方法配合應(yīng)用.1.1.2選擇典型范例,探求解題途徑

例1.1.1 求證 1?2x4?2x3?x2

分析 用相減比較法證明A?B?0.一般應(yīng)將A?B變形為[f(x)]

2、（f(x)?g(x)，其中f(x),g(x)同號(hào)）,或變形為多個(gè)因子的[f(x)]2?[g(x)]

2、乘積、平方式.本題可化為兩個(gè)完全平方式的和或化為一個(gè)完全平方式與一個(gè)正因式的積.證： ?2x4?2x3?x2?1?2x3(x?1)?(x?1)(x?1)

?(x?1)(2x3?x?1)?(x?1)(2x3?2x?x?1)

13?2(x?1)2[(x?)2?]

442x4?2x3?x2?1?0

?當(dāng)x?R時(shí)，即 1?2x4?2x3?x2

例1.1.2 證明 n(n?1)?n?1???....?(n?1).分析 題中含n,但此題用數(shù)學(xué)歸納法不易證明,通過(guò)變形后可采用平均不等式來(lái)證.11111????(1?1)?(1?）???（1?)23n?2n nn34n?12?????n>n2?3.4...n?1=nn?1（再變形）=2323nn11111n?1???....?(1?1)?(1?)?....?(1?)23n?2n

證：

nnn?1?1n12131n第2頁(yè)（共13頁(yè)）

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))

2? ?1n34n?1??....?23n?n2?3?4?....?n?1?nn?1

n23n131n所以 n(n?1)?n?1???....?

例1.1.3 求證：

1112+

11+?+>n(n?1,n為自然數(shù))2n 分析 與自然數(shù)有關(guān)的問(wèn)題,可考慮用數(shù)學(xué)歸納法.設(shè)n?K時(shí)成立,需證n?K?1時(shí)也成立,需證明K+K+

1>K?1,可采用“湊項(xiàng)”的方法： K?1KK?1?1KK?1K?11=>==K?1

K?1K?1K?1K?111?12?2?12?2?2,右邊?2,所以, 2 證：(1)當(dāng)n?2時(shí),左邊?左邊?右邊.(2)假設(shè)n?K時(shí), 1111+

11+?+>K成立,則當(dāng)n?K?1時(shí), 2K+

1111+?++ ?K+

K?12K?1KKK?1?1K?1 =>

KK?1K?1?K?1?K?1K?1

綜上所述： 1.2關(guān)于不等式證明的常規(guī)方法（1）利用特殊值證明不等式

11+

11+?+>n 2n特殊性存在于一般規(guī)律之中,并通過(guò)特例表現(xiàn)出來(lái).如果把這種辯證思想用于解題之中,就可開(kāi)闊解題思路.第3頁(yè)（共13頁(yè)）

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))例1.2.1 已知a?b,b?0,a?b?1.求證（a+）(b+)≥

121a1b25.412112211125只需證明當(dāng)a?b時(shí)，（a+）(b+)≥.故可設(shè)a??x

ab2411b? ?x,(|x|?且x?0)22證：考慮a與b都去特殊值,既當(dāng)a?b?時(shí)有（2?）（2?）=4則

a2?1b2?1(a2?1)(b2?1)(ab?1)2?111（a+）(b+)=== ?abababab33(?x2)2?1(?x2)2?125=4>4=.114?x244故原不等式得證.（2）利用分子有理化證明不等式

分母有理化是初中數(shù)學(xué)教材中重要知識(shí),它有著廣泛的應(yīng)用,而分子有理化也隱含于各種習(xí)題之中,它不但有各種廣泛的作用,而且在證明不等式中有它的獨(dú)特作用.例1.2.2[1] 求證13-12<12-11.證：利用分子有理化易得：13-12=?13?12>12+11 ?113?12113?12,12-11=

112?11, <

112?11

即 13-12<12-11.（3）應(yīng)用四種“平均”之間的關(guān)系證明不等式

四種“平均”之間的關(guān)系,既調(diào)和平均數(shù)H(a)≤幾何平均數(shù)G(a)≤

第4頁(yè)（共13頁(yè)）

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))算數(shù)平均數(shù)A(a)≤平方平均數(shù)Q(a).寫(xiě)得再詳細(xì)些就是：若a1,a2,a3?，an都是正實(shí)數(shù),則：

111aa?12???1≤na1a2?an≤

a1?a2???ann≤

a21?a2???ann22

an（注：這一串不等式在不等式證明中起著舉足輕重的作用.）例1.2.3 已知a?b,求證a+證：a+

1≥3(a?b)b111=(a?b)+b +≥3×3(a?b)b?3

(a?b)b(a?b)b(a?b)b（4）充分利用一些重要結(jié)論,使解題簡(jiǎn)捷

①對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c,d有

a2?b2≥2ab?ab?ba;a2?b2?c2?ab?bc?ca;a2?b2?c2?d2?ab?bc?cd?da.②若a,b同號(hào),則?≥2；

若a,b,c均為正數(shù),則??≥3.a2?b2a?b2 ③若是正數(shù),則≥≥ab≥（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)等號(hào)

1122?abbaabbacbac成立）

a2?b2?c2a?b?c3? 若a,b,c是正數(shù),則≥3abc≥

11133??abc（當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)等號(hào)成立）

例1.2.4 若a,b,c?0,且a?b?c?1,求證 ???9

第5頁(yè)（共13頁(yè)）

1a1b1c

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))分析 證法較多,但由a?b?c?1與??之間的聯(lián)系,考慮算術(shù)平均與調(diào)和平均的關(guān)系式簡(jiǎn)便.證：由算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均的關(guān)系可知

a?b?c3 ?1113??abc1a1b1c所以 a?b?c?99, 又a?b?c?1得 ?1

111111????abcabc1a1b1c即 ???9.（5）利用式的對(duì)稱(chēng)性證明不等式

形如x?y,a2?b2?c2的式子中任意兩個(gè)量交換位置后結(jié)果仍不變,這就是“式”對(duì)稱(chēng),可以用對(duì)稱(chēng)關(guān)系來(lái)解決一些不等式的證明.例1.2.5 設(shè)a,b,c,d是正數(shù),且滿(mǎn)足a?b?c?d?1,求證 4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?6

證：由4a?19?44a?1?294?2a?13 注意到對(duì)稱(chēng)有：

94(a?b?c?d)?1317(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)??

422即 4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?6 故原命題得證.（6）用“雙十字法”證明不等式

例1.2.6 已知x,y?0并且x?y?1 求證：

x2?3xy?2y2?2x?y?3?2x2?21xy?11y2?4x?21y?2

證：因 x2?3xy?2y2?2x?y?3?(x?2y)(x?y)?2x?y?3

第6頁(yè)（共13頁(yè)）

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))=(x?2y?3)(x?y?1)?0 類(lèi)似的，2x2?21xy?11y2?4x?21y?2?(2x?y?2)(x?11y?1)?0 故結(jié)論成立.（7）用恒等變形推導(dǎo)

例1.2.7[2] 求證：對(duì)于任意角度?,都有5?8cos??4cos2??cos3?≥0

證：5?8cos??4cos2??cos3?

=5?8cos??4(2cos2??1)?(4cos3??3cos?)

=1?5cos??8cos2??4cos3??(1?cos?)(4cos2??4cos??1)=(1?cos?)(2cos??1)2?0

（8）分解為幾個(gè)不等式的和或積

例1.2.8[2] 已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證：

a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

證： ?b2?c2?2bc,a?0,?a(b2?c2)?2abc

2222b(c?a)?2abc,c(a?b)?2abc.同理

?a,b,c不全相等,所以上述三式中,等號(hào)不能同時(shí)成立.把三式相加

得

a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

（注：這里把不等式的各項(xiàng)分別考慮,然后利用不等式的性質(zhì)和推論,證得所求不等式.）

例1.2.9 設(shè)?是銳角,求證：(1?11)(1?)?5.sin?cos? 證： ??是銳角,?0?sin??1,0?cos??1,0?sin2??1, 這時(shí) 112?1,?1,?2.sin?cos?sin2?第7頁(yè)（共13頁(yè)）

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))(1?11112)(1?)?1????5.sin?cos?sin?cos?sin2?（9）利用極限證明不等式

例1.2.10[2]證明：當(dāng)x?2(1+2)時(shí),有

(2x?1)?2(2x?3)?3(2x?5)?....?x?x3

證： 在x?0的情況下討論,令

f(x)?(2x?1)?(2x?3)?3(2x?5)?....?x,g(x)?x3

則 f(x)?x(x?1)(2x?1)，6x(x?1)(2x?1)f(x)16于是 lim ?lim?x??g(x)x??3x3按極限的定義,對(duì)于??,取??2(1?2)當(dāng)|x|???2(1?2)有

f(x)11???? , g(x)3414即 0?f(x)71?? 從而f(x)?g(x),故結(jié)論成立.12g(x)12（10）利用平分法證明不等式

例1.2.11 若x?0,i?1,2,3,且?xi?1,則

i?1311127??? 2221?x11?x21?x310 證：因?yàn)?1211191?1x?時(shí)有?,所以,且當(dāng) ?x?1ii22331?xi1?xi10111927????3? 222101?x11?x21?x310故

1.3關(guān)于不等式證明的非常規(guī)方法（1）換元法

這種方法多用于條件不等式的證明,換元法主要有三角代換和均值代

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數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))換兩種.三角代換時(shí)已知條件特征明顯.在結(jié)構(gòu)上必須和三角公式相似.例1.3.1 已知x2?y2?1,求證：| x2+2xy-y2|≤2.證：令x?rcos?,y?rsin?

則 | x2+2xy-y2|=|r2(cos2??2sin?cos??sin2?| =r2|cos2??sin2?| = r2|2sin(2??450)|≤1?2×1=2

例1.3.2[4]設(shè)a,b,c?R 且a?b?c?1,求證：a2?b2?c2≥.證：a=+α,b=+β,c=+γ, 因?yàn)閍?b?c?1,所以 ??????0

于是有a2?b2?c2=+（?????）+（?2??2??2）≥.（2）反證法

先假設(shè)所要證明的不等式不成立,即要證的不等式的反面成立,然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)進(jìn)行正確的推理,最終推出與已知條件或已知真命題相矛盾的結(jié)論,從而斷定假設(shè)錯(cuò)誤,進(jìn)而確定要證明的不等式成立.例1.3.3[5]求證：由小于1的三個(gè)正數(shù)a,b,c所組成的三個(gè)積（1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不能同時(shí)大于

證：（反證法）假設(shè)（1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于

則有（1-a)b(1-b)c(1-c)a>

2***31314141 ① 641?a?a?1但由0?1-a)a≤???條件,即有，0?(1-a)a≤.24??同理有0?(1-b)b≤,0?(1-c)c≤.即（1-a)b(1-b)c(1-c)a≤② 64

1414第9頁(yè)（共13頁(yè)）

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))①與②產(chǎn)生矛盾,從而原命題成立.（3）構(gòu)造法

在證明不等式時(shí),有時(shí)通過(guò)構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、向量、對(duì)偶式等,完成不等式的證明.例1.3.4 求證???? 證： 設(shè)A=????1212342n?11.?2n2n?132n?1242n,B=????，352n?142n12342n?12n由于?,?,?，?,因此A?B，23452n2n?113242n?1242n2n1)(????)??A?, 2n352n?12n?12n?1所以A2?AB?(????故 ????（4）判別式法

12342n?11 ?2n2n?1適用于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母不等式,而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時(shí),這時(shí)可考慮用判別式法.例1.3.5[6]x2?x?113求證:≤2≤.x?122x2?x?1 證： 設(shè)f(x)?y?2,則(1?y)x2?x?1?y?0,所以x?R，x?1當(dāng)y?1時(shí),Δ=b2?4ac≥0,即1?4(1?y)2≥0，所以 |y?1|≤,即≤y≤.又當(dāng)y?1時(shí),方程的解x?0，x2?x?113故 ≤2≤.x?122121232（5）放縮法

第10頁(yè)（共13頁(yè)）

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))為了證明不等式的需要,有時(shí)需舍去或添加一些項(xiàng),使不等式一邊放大或縮小,利用不等式的傳遞性達(dá)到目的.例1.3.6[5]設(shè)a,b為不相等的兩個(gè)正數(shù),且a3-b3=a2?b2.求證1?a?b?.證： 由題設(shè)得a3-b3=a2?b2?a2?ab?b2?a?b, 于是(a?b)2? a2?ab?b2?a?b,則(a?b)?1,又(a?b)2?4ab，(a?b)2 而(a?b)?a?2ab?b?a?b?ab?a?b?

422243即(a?b)2?a?b,所以（a?b)?, 綜上所述, 1?a?b?（6）向量法

向量這部分知識(shí)由于獨(dú)有的形與數(shù)兼?zhèn)涞奶攸c(diǎn),使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁,在方法和理論上是解決其他一些問(wèn)題的有利工具.對(duì)于某些不等式的證明,若借助向量的數(shù)量積的性質(zhì),可使某些不等式較易得到證明.例1.3.7 求證：求證1≤ 1?x2?x≤2

???9.三、小結(jié)

證明不等式的途徑是對(duì)原不等式作代數(shù)變形,在初等數(shù)學(xué)中常用的第11頁(yè)（共13頁(yè)）

1a1b1c

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))方法大致有放縮法、代換法、歸納法、反證法等等.然而涉及不等式的問(wèn)題很廣泛而且處理方法很靈活,僅在中學(xué)教科書(shū)上就有很多方法,但還不足以充分開(kāi)拓人們的思維,為此,我們要進(jìn)一步探究不等式的證明方法,并給出了在實(shí)例中的應(yīng)用.參考文獻(xiàn)

[1] 段明達(dá).不等式證明的若干方法[J].教學(xué)月刊(中學(xué)版),2007(6).[2] 彭軍.不等式證明的方法探索[J].襄樊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2007(4).[3] 周興建.不等式證明的若干方法[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2007(26).[4] 郭煜,張帆不等式證明的常見(jiàn)方法[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007(4).[5] 王保國(guó).不等式證明的六種非常規(guī)方法[J].數(shù)學(xué)愛(ài)好者(高二版),2007(7).[6] 趙向會(huì).淺談不等式的證明方法[J].張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2007(1).[7] 豆俊梅.高等數(shù)學(xué)中幾類(lèi)不等式的證明[J].中國(guó)科技信息,2007(18).[8] 劉玉璉,傅佩仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京:高等教育出版

第12頁(yè)（共13頁(yè)）

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))社,1988,P201-211.[9] 牛紅玲.高等數(shù)學(xué)中證明不等式的幾種方法[J].承德民族師專(zhuān)學(xué)報(bào),2006(2).[10] 王喜春.不等式證明常用的技巧[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,1995(2).第13頁(yè)（共13頁(yè)）

第五篇：不等式的證明方法

幾個(gè)簡(jiǎn)單的證明方法

一、比較法：

a?b等價(jià)于a?b?0；而a?b?0等價(jià)于a

b?1.即a與b的比較轉(zhuǎn)化為與0

或1的比較.使用比較發(fā)時(shí)，關(guān)鍵是要作適當(dāng)?shù)淖冃?，如因式分解、拆?xiàng)、加減項(xiàng)、通分等，這是第一章中許多代數(shù)不等式的證明及其他各章初等不等式的證明所常用的證明技巧.二、綜合法與分析法：

綜合法是由因?qū)Ч?，即是由已知條件和已知的不等式出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的不等式；分析法是執(zhí)果索因，即是要逐步找出使結(jié)論成立的充分條件或者充要條件，最后歸結(jié)為已知的不等式或已知條件.對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的不等式，往往要通過(guò)分析法或分析法與綜合法交替使用來(lái)尋找證明的途徑.還要注意：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各種不等式；第二，要善于利用題中的隱含條件；第三，不等式的各種變性技巧.三、反證法：

正難則反.設(shè)所要證的不等式不成立，從原不等式的結(jié)論的反面出發(fā)，通過(guò)合理的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，從而斷定所要證的不等式成立.要注意對(duì)所有可能的反面結(jié)果都要逐一進(jìn)行討論.四、放縮法：

要證a?b，又已知(或易證)a?c，則只要證c?b，這是利用不等式的傳遞性，將原不等式里的某些項(xiàng)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，或舍去若干項(xiàng)等以達(dá)證題目的.放縮法的方法有： ①添加或舍去一些項(xiàng)，如：a2?1?a；n(n?1)?n；

②將分子或分母放大（或縮?。?；

③利用基本不等式，如：

log3?lg5?（n(n?1)?lg3?lg522)2?lg?lg?lg4； n?(n?1)；

④利用常用結(jié)論：

k?1?k?

1k?1??

1k?

11?k1k

?

12k

1k；

1k(k?1)

1k?1

1k

1k?1

1k

?

1k(k?1)1k；

???

（程度大）

1k

?

?1

?

(k?1)(k?1)

?

2k?1

（?)；（程度?。?/p>

五、換元法：

換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元.如：

已知x2?y2?a2，可設(shè)x?acos?,y?asin?；

已知x2?y2?1，可設(shè)x?rcos?,y?rsin?(0?r?1)； 已知

xaxa

2?

ybyb

?1，可設(shè)x?acos?,y?bsin?；

已知

?

?1，可設(shè)x?asec?,y?btan?；

六、數(shù)學(xué)歸納法法：

與自然數(shù)n有關(guān)的許多不等式，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明，數(shù)學(xué)歸納法法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中有專(zhuān)門(mén)的研究.但運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)要注意：

第一，數(shù)學(xué)歸納法有多種形式.李大元就證明了下述七種等價(jià)的形式：設(shè)P(n)是與n有關(guān)的命題，則

(1)、設(shè)P(n0)成立，且對(duì)于任意的k?n0，從P(k)成立可推出P(k?1)成立，則P(n)對(duì)所有大于n0的n都成立.(2)、設(shè)m是任給的自然數(shù)，若P(1)成立，且從P(k)(1?k?m)成立可推出

P(k?1)成立，則P(n)對(duì)所有不超過(guò)m的n都成立.(3)、(反向歸納法)設(shè)有無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)n(例如n?2m)，使得P(n)成立，且從P(k?1)成立可推出P(k)成立，則P(n)對(duì)所有n成立.(4)、若P(且P(n)對(duì)所有滿(mǎn)足1?n?k的n成立可推出P(k?1)成立，1)成立，則P(n)對(duì)所有n成立.(5)、(最小數(shù)原理)自然數(shù)集的非空子集中必有一個(gè)最小數(shù).(6)、若P)且若P(k),P(k?1)成立可推出P(k?2)成立，則P(n)1(,P(2)成立，對(duì)所有n成立.(7)、(無(wú)窮遞降法)若P(n)對(duì)某個(gè)n成立可推出存在n1?n，使得P(n1)成立，則P(n)對(duì)所有n成立.此外，還有螺旋歸納法(又叫翹翹板歸納法)：設(shè)有兩個(gè)命題P(n),Q(n)，若

P(1)

成立，又從P(k)成立可推出Q(k)成立，并且從Q(k)成立可推出P(k?1)成立，其中k為任給自然數(shù)，則P(n),Q(n)對(duì)所有n都成立，它可以推廣到兩個(gè)以上的命題.這些形式雖然等價(jià)，但在不同情形中使用各有方便之處.在使用它們時(shí)，若能注意運(yùn)用變形和放縮等技巧，往往可收到化難為易的奇效.對(duì)于有些不等式與兩個(gè)獨(dú)立的自然數(shù)m,n有關(guān)，可考慮用二重?cái)?shù)學(xué)歸納法，即若要證命題P(m,n)對(duì)所有m,n成立，可分兩步：①先證P(1,n),P(m,1)對(duì)所有m,n成立；②設(shè)P(m?1,n),P(m,n?1)成立，證明P(m?1,n?1)也成立.第二，數(shù)學(xué)歸納法與其它方法的綜合運(yùn)用，例如，證明

n

?

k?

11k

sinkx?0,(0?x??)

就要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，反證法與極值法；有時(shí)可將n換成連續(xù)量x，用微分法或積分法.第三，并不是所有含n的不等式都能用數(shù)學(xué)歸納法證明的.七、構(gòu)造法：

通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來(lái)證明不等式；證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語(yǔ)言特點(diǎn)．筆者將在第三章中詳細(xì)地介紹構(gòu)造法.八、利用基本不等式：

善于利用已知不等式，特別是基本不等式去發(fā)現(xiàn)和證明新的不等式，是廣泛應(yīng)用的基本技巧.這種方法往往要與其它方法結(jié)合一起運(yùn)用.22

例1 已知a，b?R，且a?b?1.求證：?a?2???b?2??

252

.證法一：(比較法)?a,b?R,a?b?1

?b?1?a

??a?2???b?2??

252

?a?b?4(a?b)?

12?2(a?

12)?0

?a?(1?a)?4?

?2a?2a?

即?a?2?2??b?2?2?

證法二：(分析法)

252

(當(dāng)且僅當(dāng)a?b?時(shí)，取等號(hào)).?a?2?2??B?2??

252

?a?b?4(a?b)?8?

252

?b?1?a?

??225122

?(a?)?0?a?(1?a)?4?8?22?

顯然成立，所以原不等式成立.點(diǎn)評(píng)：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時(shí)，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件.證法三：(綜合法)由上分析法逆推獲證(略).證法四：(反證法)

假設(shè)(a?2)2?(b?2)2?

252，則 a2?b2?4(a?b)?8?

252

252

.由a?b?1，得b?1?a，于是有a2?(1?a)2?12?

1??

所以(a?)?0，這與?a???0矛盾.22??

.所以?a?2???b?2??

252

.證法五：(放縮法)

∵a?b?1

∴左邊＝?a?2???b?2?

??a?2???b?2??2125?2??a?b?4????????

222??

＝右

邊.點(diǎn)評(píng)：根據(jù)不等式左邊是平方和及a?b?1這個(gè)特點(diǎn)，選用基本不等式

?a?b?

a?b?2??.?2?

證法六：(均值換元法)

∵a?b?1，所以可設(shè)a?

12?t，b?

?t，1

∴左邊＝?a?2???b?2??(?t?2)2?(?t?2)2

5?5?2525??2

＝右邊.??t????t???2t??

2?2?22??

當(dāng)且僅當(dāng)t?0時(shí)，等號(hào)成立.點(diǎn)評(píng)：形如a?b?1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元.證法七：(利用一元二次方程根的判別式法)

設(shè)y??a?2???b?2?，由a?b?1，有y?(a?2)2?(3?a)2?2a2?2a?13，所以2a2?2a?13?y?0，因?yàn)閍?R，所以??4?4?2?(13?y)?0，即y?故?a?2???b?2??

252

.252

.下面，筆者將運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明第一章中的AG不等式.在證明之前，筆者先來(lái)證明一個(gè)引理.引理：設(shè)A?0，B?0，則(A+B)n?An+nA(n-1)B，其中n?N?.證明：由二項(xiàng)式定理可知

n

(A+B)=?An?iBi?An+nA(n-1)B

n

i?0

?

(A+B)?A+nA

nn(n-1)

B