第一篇：不等式證明方法(二)（大全）

不等式證明方法

（二）一、知識(shí)回顧

1、反證法：從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定原結(jié)論的正確；

2、放縮法：欲證A?B，可通過(guò)適當(dāng)放大或縮小，借助一個(gè)或多個(gè)中間量使得，常用的放縮方式： B?B1,B1?B2?...?A（或A?A1,A1?A2?...?B）舍去或加上一些項(xiàng)；

12n?n?n?1；12n?n?1?n；111

1?;?22nn(n?1)nn(n?1)

3、換元法：三角換元、代數(shù)換元；

4、判別式法

二、基本訓(xùn)練：

1、實(shí)數(shù)a、b、c不全為零的條件為（）

A)a、b、c全不為零

B)a、b、c中至多只有一個(gè)為零 C)a、b、c只有一個(gè)為零

D)a、b、c中至少有一個(gè)不為零

2、已知a、b、c、d?R?，s?abcd???，則有（）

a?b?ca?b?dc?d?ac?d?bA)0?s?B)1?s?2

C)2?s?

3D)3?s?4

3、為已知x2?y2?4，則2x?3y的取值范圍是________。

4、設(shè)x?0、y?0，A?x?yxy,B??，則A、B大小關(guān)系為_(kāi)_______。

1?x?y1?x1?y5、實(shí)數(shù)x?x?y，則x的取值范圍是________。y13

3三、例題分析：

例

1、x＞0，y＞0，求證：x?y?(x?y)

例

2、函數(shù)f(x)?1?x2(a?b)，求證：|f(a)?f(b)|?|a?b|

例

3、已知:a2?b2?1,x2?y2?1,求證:?1?ax?by?1（三角換元法）

例

4、求證：?1?x?11?（判別式法）

x2?x?1322

3例

5、若a,b,c都是小于1的正數(shù)，求證：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不可能同時(shí)大于

例

6、求證：1?

例

7、設(shè)二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c(a、b、c?R且a?0)，若函數(shù)y?f(x)的圖象與直線y?x和y??x均無(wú)公共點(diǎn)。

1.4（反證法）

111???????2(n?N)（放縮法）22223n（1）求證：4ac?b2?1

（2）求證：對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒有|ax2?bx?c|?

四、課堂小結(jié)：

1、凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法.2、換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的三角問(wèn)題.3、含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時(shí)，這時(shí)可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件.4、有些不等式若恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用放縮法可以很快得證，放縮時(shí)要看準(zhǔn)目標(biāo)，做到有的放矢，注意放縮適度.五、同步練習(xí)不等式證明方法

（二）1、若x2?xy?y2?1且x、y?R，則n?x2?y2的取值范圍是（）4|a|A)0?n?

1B)2?n?C)n?D)2?n?2 32、已知a、b?R?，則下列各式中成立的是（）

A)acos?bsin22??a?b

B)acos?bsin22??a?b

C)cos2?lga?sin2?lgb?lg(a?b)

D)cos2?lga?sin2?lgb?lga(?b)

3、設(shè),y∈R,且x2+y2=4,則A)2-

24、若f(n)=

2xy的最大值為（）

x?y?2B)2+2 C)-2 D)?4 3n2?1-n,g(n)=n-n2?1,φ(n)=

1,則f(n),g(n),ф(n)的大小順序?yàn)?n____________.5、設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)大于1”的條件是____________.6、a、b、c∈R-，a≠b，求證：|a?b|?a2?ab?b2?a2?b

2111?? a?bb?ca?c（提示：換元法，令a－b=m∈R＋，b－c=n∈R＋）

11111?2?2?????2?1

8、若n?N，且n?2，求證：?2n?123n7、a＞b＞c，求證：

|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不少于

9、已知f(x)?x2?px?q，求證：|f(1)|，1。2

答案：DCB

4、g(n)>ф(n)> f(n)

5、③

第二篇：g3.1039 不等式證明方法(二)

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g3.1039 不等式證明方法

（二）一、知識(shí)回顧

1、反證法：從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定原結(jié)論的正確；

2、放縮法：欲證A?B，可通過(guò)適當(dāng)放大或縮小，借助一個(gè)或多個(gè)中間量使得B?B1,B1?B2?...?A（或A?A1,A1?A2?...?B），常用的放縮方式：

舍去或加上一些項(xiàng)；

1?n?n?1；1?n?1?n；112n2nn2?1n(n?1);

n2?1n(n?1)

3、換元法：三角換元、代數(shù)換元；

4、判別式法

二、基本訓(xùn)練：

1、實(shí)數(shù)a、b、c不全為零的條件為（）

A)a、b、c全不為零

B)a、b、c中至多只有一個(gè)為零

C)a、b、c只有一個(gè)為零

D)a、b、c中至少有一個(gè)不為零

2、已知a、b、c、d?R?，s?a?b?c?da?b?ca?b?dc?d?ac?d?b，則有（A)0?s?B)1?s?2

C)2?s?

3D)3?s?4

3、為已知x2?y2?4，則2x?3y的取值范圍是________。

4、設(shè)x?0、y?0，A?x?yxyB1?x?y,B?1?x?1?y，則A、大小關(guān)系為_(kāi)_______

5、實(shí)數(shù)xy?x?y，則x的取值范圍是________。

三、例題分析：

1例

1、x＞0，y＞0，求證：x2?y2?(x3?y3)3

例

2、函數(shù)f(x)?1?x2(a?b)，求證：|f(a)?f(b)|?|a?b|

例

3、已知:a2?b2?1,x2?y2?1,求證:?1?ax?by?1（三角換元法）

例

4、求證：?1?x?1?1x2?x?13（判別式法）

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?？荚嚦煽?jī)錄入軟件Excel登分王下載地址http://

例

5、若a,b,c都是小于1的正數(shù)，求證：(1?

例

6、求證：1?

例

7、設(shè)二次函數(shù)y?xf(x)?ax2a)b,(1?b)c,(1?c)a不可能同時(shí)大于14.（反證法）

122?132?????1n2?2(n?N)（放縮法）

?bx?c(a、b、c?R且a?0)，若函數(shù)y?f(x)的圖象與直線和y??x均無(wú)公共點(diǎn)。

2（1）求證：4ac?b?1

14|a|（2）求證：對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒有|ax

2?bx?c|?

四、課堂小結(jié)：

1、凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法.2、換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的三角問(wèn)題.3、含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時(shí)，這時(shí)可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件.4、有些不等式若恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用放縮法可以很快得證，放縮時(shí)要看準(zhǔn)目標(biāo)，做到有的放矢，注意放縮適度.五、同步練習(xí)g3.1039 不等式證明方法

（二）1、若x2?xy?y2?1且x、y?R，則n?x2?y2的取值范圍是（）

不用整理試卷、免順號(hào)登分，左手翻試卷、右手敲鍵盤錄入成績(jī)之Excel登分王 考試成績(jī)錄入軟件Excel登分王下載地址http:// A)0?n?1

B)2?n?C)n?

2D)23?n?2

2、已知a、b?A)acos2R?2，則下列各式中成立的是（）

B)a2?bsin??a?b2cos2?bsin2??a?b2

C)cos2?lga?sin?lgb?lg(a?b)2xyx?y?22D)cos?lga?sin?lgb?lg(a?b)

3、設(shè),y∈R,且x2+y2=4,則A)2-2的最大值為（）

C)-2

?

1n2B)2+

2n2 D)

?43

4、若f(n)= ?1-n,g(n)=n-,φ(n)=

12n,則f(n),g(n),ф(n)的大小順序?yàn)開(kāi)___________.5、設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)大于1”的條件是____________.6、a、b、c∈R-，a≠b，求證：|a

7、a＞b＞c，求證：1a?b?1b?c?＋

?b|?a2?ab?b2?a2?b2

1a?c

（提示：換元法，令a－b=m∈R，b－c=n∈R＋）

8、若n?

9、已知

不用整理試卷、免順號(hào)登分，左手翻試卷、右手敲鍵盤錄入成績(jī)之Excel登分王 f(x)?x2N，且n?2，求證：

12?1n?1?122?132?????1n2?1

?px?q，求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不少于

12?？荚嚦煽?jī)錄入軟件Excel登分王下載地址http://

10、已知i、m、n是整數(shù)且1?i（1）niAmi?m?n，試證明：

?mAnnii；

m（2）(1?m)?(1?n).答案：DCB

4、g(n)>ф(n)> f(n)

5、③

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第三篇：證明不等式方法

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯(cuò)法多種多樣，本節(jié)通這一些實(shí)例，歸納整理證明不等式時(shí)常用的方法和技巧。1比較法

比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種?；舅枷胧前央y于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時(shí)，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較）

例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab

2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來(lái)說(shuō)明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。

∵（a3+b3)(a2b+ab2)

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

證明： =(a-b)2(a+b)

又∵(a-b)2≥0a+b≥0

∴(a-b)2(a+b)≥0

即a3+b3≥a2b+ab2

例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba

分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對(duì)稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達(dá)到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小

證明：由a、b的對(duì)稱性，不妨解a＞b＞0則

aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b

∵ab0，∴ab1，a-b0

∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba

練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法

利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：

（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

（3）若a、b同號(hào)，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1-b2+b1-a2≤

1分析：通過(guò)觀察可直接套用： xy≤x2+y2

2證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

∴b1-a2+a1-b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時(shí)，等號(hào)成立

練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(a-b)b≥

33綜合法

綜合法就是從已知或已證明過(guò)的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。

例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252

證明：∵ a0，b0，a+b=1

∴ab≤14或1ab≥

4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2

=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252

練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+cn

3求證：2f（n）≤f（2n）

4分析法

從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個(gè)條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時(shí)，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。

例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

分析：觀察求證式為一個(gè)連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價(jià)于 ｜a-c｜＜c2-ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。

要證c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

只需證-c2-ab＜a-c＜c2-ab

證明：即證 ｜a-c｜＜c2-ab

即證(a-c)2＜c2-ab

即證 a2-2ac＜-ab

∵a＞0，∴即要證 a-2c＜-b 即需證2+b＜2c，即為已知

∴ 不等式成立

練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）

25放縮法

放縮法是在證明不等式時(shí)，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來(lái)證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：（1）舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)），（2）在和或積中換大（或換?。┠承╉?xiàng)，（3）擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑?。

例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)

求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

2分析：觀察式子特點(diǎn)，若將4個(gè)分式商為同分母，問(wèn)題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。

證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞

ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=

1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d

∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2

綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2

練習(xí)5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜1

6換元法

換元法是許多實(shí)際問(wèn)題解決中可以起到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用，有些問(wèn)題直接證明較為困難，若通過(guò)換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見(jiàn)的是三角換元。

(1)三角換元：

是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問(wèn)題時(shí)，使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角問(wèn)題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問(wèn)題。

例

7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求證0＜A＜

1證明： ∵x，y∈R+，且x-y=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）

∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ

=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ

=sinθ

∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1

復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤

3(2)比值換元：

對(duì)于在已知條件中含有若干個(gè)等比式的問(wèn)題，往往可先設(shè)一個(gè)輔助未知數(shù)表示這個(gè)比值，然后代入求證式，即可。

例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥431

4證明：設(shè)x-1=y+12=z-23=k

于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+

2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

=14(k+514)2+4314≥4314

7反證法

有些不等式從正面證如果不好說(shuō)清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。

例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤

2分析：本題已知為p、q的三次，而結(jié)論中只有一次，應(yīng)考慮到用術(shù)立方根，同時(shí)用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。

證明：解設(shè)p+q＞2，那么p＞2-q

∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q

3將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0

即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤

2練習(xí)7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.求證：a＞0，b＞0，c＞0

8數(shù)學(xué)歸納法

與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通?？紤]用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟缺一不可。

例10：設(shè)n∈N，且n＞1,求證：(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12

分析：觀察求證式與n有關(guān)，可采用數(shù)學(xué)歸納法

證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左= 43，右=52

∵43＞52∴不等式成立

（2）假設(shè)n=k(k≥2，k∈n)時(shí)不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①

要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+12·

2k+22k+1＞2k+32②

對(duì)于②〈二〉2k+2＞2k+1·2k+3

〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)

〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3

〈二〉4＞3③

∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立

由（1）（2）證明可知，對(duì)一切n≥2（n∈N），原不等式成立

練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞132

49構(gòu)造法

根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達(dá)到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。

1構(gòu)造函數(shù)法

例11：證明不等式：x1-2x ＜x2（x≠0）

證明：設(shè)f（x）=x1-2x-x2（x≠0）

∵f(-x)

=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x

2=x1-2x-［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2

=f（x）

∴f（x）的圖像表示y軸對(duì)稱

∵當(dāng)x＞0時(shí)，1-2x＜0，故f（x）＜0

∴當(dāng)x＜0時(shí)，據(jù)圖像的對(duì)稱性知f（x）＜0

∴當(dāng)x≠0時(shí)，恒有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）

練習(xí)9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：b-b2-ab＜a＜b+b2-ab

2構(gòu)造圖形法

例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）-f（b）|＜ |a-b|

分析：由1+x2 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

于是如下圖，設(shè)A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2

|AB|=|a-b|又0A|-|0B＜|AB|∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|

練習(xí)10：設(shè)a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(a-c)+c(b-c)≤ab

10添項(xiàng)法

某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項(xiàng)”技巧，能得到快速求解的效果。

1倍數(shù)添項(xiàng)

若不等式中含有奇數(shù)項(xiàng)的和，可通過(guò)對(duì)不等式乘以2變成偶數(shù)項(xiàng)的和，然后分組利用已知不等式進(jìn)行放縮。

例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立）證明：∵a、b、c∈R+

∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a·2bc+b·2ca+c·2ac)=3abc

當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。

2平方添項(xiàng)

運(yùn)用此法必須注意原不等號(hào)的方向

例14 ：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，求證：

(1+13)(1+15)…(1+12n-1＞ 2n+1 2)

證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時(shí)ba＞ b+ma+m

∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n-1)］2=（43、65…2n2n-1)（43、65…2n2n-1)＞（54、76…2n+12n)（43、65…2n2n-1)=2n+13＞ 2n+14＞

∴(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+1 2)

3平均值添項(xiàng)

例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤3

32分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術(shù)平均值添項(xiàng)sin π

3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立）∵0＜x+y2＜ π，-π2＜ x-y2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosx-y

2∴上式成立

反復(fù)運(yùn)用這個(gè)命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2·2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332

∴sinA+sinB≠sinC≤332

練習(xí)11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤18

4利用均值不等式等號(hào)成立的條件添項(xiàng)

例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18

分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時(shí)，等號(hào)成立

證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①

同理b4+3(12)4 ≥b②

∴a4+b4≥12(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③

∵a≠b ∴①②中等號(hào)不成立∴③中等號(hào)不成立∴ 原不等式成立

1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對(duì)任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯(cuò)解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說(shuō)明c存在。

正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23，因?yàn)閤,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。

6.2已知x,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

錯(cuò)解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz

錯(cuò)因：根據(jù)不等式的性質(zhì)：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡(jiǎn)得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:

x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

6.3 設(shè)x+y>0，n為偶數(shù)，求證yn-1xn+xn-1yn≥

1x 1y

錯(cuò)證：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y

=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

n為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xn-yn和xn-1-yn-

1同號(hào)，∴yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

錯(cuò)因：在x+y>0的條件下，n為偶數(shù)時(shí)，xn-yn和xn-1-yn-1不一定同號(hào)，應(yīng)分x、y同號(hào)和異號(hào)兩種情況討論。

正解：應(yīng)用比較法：

yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

① 當(dāng)x>0,y>0時(shí)，(xn-yn)(xn-1-yn-1)≥ 0，(xy)n >0

所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

≥0故：yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

② 當(dāng)x,y有一個(gè)是負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)x>0,y<0，且x+y>0，所以x>|y|

又n為偶數(shù)時(shí),所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)>0 又(xy)n >0，所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn ≥0即 yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

綜合①②知原不等式成立

第四篇：不等式證明若干方法

安康學(xué)院 數(shù)統(tǒng)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 11 級(jí)本科生

論文（設(shè)計(jì)）選題實(shí)習(xí)報(bào)告

11級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)《科研訓(xùn)練2》評(píng)分表

注：綜合評(píng)分?60的為“及格”； <60分的為“不及格”。

第五篇：證明不等式的基本方法二1

證明不等式的基本方法二

綜合法與分析法

1教學(xué)目的：教學(xué)重點(diǎn)：綜合法、分析法

教學(xué)難點(diǎn)：不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用

一、復(fù)習(xí)引入：

1．重要不等式：

如果a,b?R,那么a2?b2?2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”號(hào))

2．定理：如果a,b是正數(shù)，那么

a?b

222a?b2?ab(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”號(hào)).a?b2：ab≤，ab≤（）4． b

a?a

b≥2（ab＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)；

5．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷與0的關(guān)系——結(jié)論 比較法之二（作商法）步驟：作商——變形——判斷與1的關(guān)系——結(jié)論

二、講解新課：

（一）1．綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）2．用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2???Bn?B

3．綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)

（二）證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些條件都2．用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：B?B1?B2???Bn?A

3．分析法的思維特點(diǎn)是：4．分析法的書寫格式：

要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

??

這只需要證明命題A而已知A為真，故命題B

例1：已知a,b是正數(shù)，且a?b，求證：a3?b3?a2b?ab

2轉(zhuǎn)化嘗試，就是不斷尋找并簡(jiǎn)化欲證不等式成立的充分條件，到一個(gè)明顯或易證其成立的充分條件為止.其邏輯關(guān)系是：B?B1?B2???Bn?A 證明：∵a?0,b?0,且a?b

∴要證a3?b3?a2b?ab2,只要證(a?b)(a2?ab?b2)?ab(a?b), 只要證a2?ab?b2?ab,只要證a2?2ab?b2?0.∵a?b?0,∴(a?b)2?0即a2?2ab?b2?0得證.注：分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因.對(duì)于思路不明顯,感到無(wú)從下手的問(wèn)題宜用分析法探究證明途徑.另外,不等式的基本性質(zhì)告訴我們可以對(duì)不等式做這樣或那樣的變形,分析時(shí)貴在變形,不通思變,變則通

聯(lián)想嘗試，就是由已知的不等式及題設(shè)條件出發(fā)產(chǎn)生聯(lián)想,大膽嘗試,巧用已知不等式及不等式性質(zhì)做適當(dāng)變形，推導(dǎo)出要求證明的不等式.其邏輯關(guān)系是：

A?B1?B2???Bn?B

法二：證明：∵a?0,b?0,且a?b ∴a3?ab2?2a2b,b3?ba2?2ab2,∴a3?ab2?b3?ba2?2a2b?2ab2,∴a3?b3?a2b?ab2

a?a?b

法三 ?aab

注：綜合法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)因索果.基本不等式以及一些已經(jīng)得證的不等式往往與待證的不等式有著這樣或那樣的聯(lián)系,作由此及彼的聯(lián)想往往能啟發(fā)我們證明的方向.嘗試時(shí)貴在聯(lián)想，浮想聯(lián)翩，思潮如涌。

例2.（P23例1）已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證

a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

證明：∵b?c≥2bc,a＞0,∴a(b?c)≥2abc① 同理 b(c?a)≥2abc②

c(a?b)≥2abc③

因?yàn)閍，b，c不全相等，所以b2?c2≥2bc, c2?a2≥2ca, a2?b2≥2ab三式不能全取“=”號(hào)，從而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc 法二：ab?bc?ca

?3abc

333

3法三：ab2?ac2?bc2?ba2?ca2?cb2?6法四：ab2??ba2?

2法五：a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?33a(b2?c2)b(c2?a2)c(a2?b2)例3（P23例2）.已知a1,a2,?an?R?，且a1a2?an?1，求證

（1?a1)(1?a2)?(1?an)?2

n

改變:同樣的條件,怎樣證明:（2?a1)(2?a2)?(2?an)?3

n

證明：?a1?R?,?1?

1?a

1?

?a1?a1即

a1?2a1，同理1?a2?2a2??1?an?2an

因?yàn)閍1,a2,?an?R?，由不等式的性質(zhì)，得

（1?a1)(1?a2)?(1?an)?2

n

a1a2?an?2

n

因?yàn)閍i?1時(shí)，1?ai?2ai取等號(hào)，所以原式在a1?a2???an?1時(shí)取等號(hào) 變式：已知a1,a2,?an?R?，且a1a2?an?1，求證

（2?a1)(2?a2)?(2?an)?3

n

例

4、（P24例3）求證2?證（略）

四、課堂練習(xí)： 1．設(shè)a, b, c ? R，1?求證：a?b

7?3?6

?

2(a?b)

2?求證：a?b?

b?c

?c?a

?2(a?b?c)

3?若a + b = 1,求證：a?

?b?

?2

證：1?∵

a?b2

?（a?b2

2222)?0∴

a?b2

?|

a?b2

|?

a?b2

∴a2?b2?(a?b)

2?同理：b2?c2?

(b?c)，c?a

?

(c?a)

三式相加：a2?b2?3?由冪平均不等式：

b?c

?c?a

?2(a?b?c)

(a?

?b?

(a?)?

12)?(b?2

12)?

(a?b?1)

?

?

1∴a?

?b?

?2

2．已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)分析一:用分析法

證法一:(1)當(dāng)ac+bd≤0時(shí),(2)當(dāng)ac+bd>0時(shí),欲證原不等式成立, 只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 即證2abcd≤b2c2+a2d2

即證0≤(bc-ad)2

因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

證法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)+(bc-ad)≥(ac+bd)

∴(a?b)(c?d)≥|ac+bd|≥ac+22

22222

五、課后作業(yè)

P25習(xí)題2。2 1、2、3、4