第一篇：數(shù)列復(fù)習(xí)教案(例題加模擬題)1

數(shù)列

一.知識(shí)結(jié)構(gòu)

數(shù)列與自然數(shù) 通項(xiàng)公式 集的關(guān)系 遞推公式 數(shù)列的 定義 定義 等差數(shù)列 通項(xiàng)公式 等比數(shù)列 前n項(xiàng)和公式 數(shù)學(xué)歸納法

二.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用

難點(diǎn)：用上述知識(shí)與等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)解決一些綜合性應(yīng)用問(wèn)題

【典型例題】

例1.根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式

(1)1，2，4，2，??

1592712??

(3)a，b，a，b，??

(2)，，(4)1，3，6，10……

(5)1，11，111，1111，……

解：(1)a1?320，a2?321，a3?322，an?32n?1

(2)分子1，5，9……4n?3

分母2，7，12……5n?3

因此an?

(3)an??4n?3 5n?3 ?an為奇數(shù)時(shí)?bn為偶數(shù)時(shí)

或an?asinn?n? ?bcos22

(4)a2?a1?2

a3?a2?3

a4?a3?4

……

an?an?1?n ?an?a1?2?3?4???n

?an?1?2?3????n?10n?1

(5)an?

n(n?1)2

例2.數(shù)列2n2?15n?5的最小項(xiàng)是多少？

解：an?2n2?15n?5?f(x)?2x2?15x?5的對(duì)稱軸為x?

又由于4較3離??15 415近，因此f(4)?f(3)4

即a4??23為其最小項(xiàng)

例3.已知下列數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式

1.Sn?2n2?3n

2.Sn?3n?1

解：1.an?Sn?Sn?1

?4n?1

而a1?S1?5

4?1?1?5?an?4n?1

2.an?Sn?Sn?1

?2?3n?1

而a1?S1?3?1?4

2?30?2?4

(n?1)?4?an??n?1(n?2)?2?3

例4.在等差數(shù)列?an?中，(1)已知a2?a7?a8?a13?6，求a6?a9??(2)已知S11?66，求a6??

解：(1)?a2?a13?a7?a8?a6?a9

?a6?a9?

(2)S11?

例5.項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列?an?中，已知奇數(shù)之和為12，偶數(shù)項(xiàng)之和為10，求它的項(xiàng)數(shù)和中間項(xiàng)。

解：設(shè)奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，且共有2n?1項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶 6?3 211(a1?a11)?11a6?66?a6?6

則S奇n(a2?a2n)?nan?12(n?1)(a1?a2n?1)??(n?1)an?1?an?1?S奇?S偶?2

2?12?(n?1)?2S偶?

?n?5?共有2n?1?2?5?1?11

答：它的項(xiàng)數(shù)為11，中間項(xiàng)為2

例6.已知f(x)?1x?22(x??2)

(1)求f?1(x)

1??f?1(an)(n?N*)，求an?? an?1

(2)設(shè)a1?1,解：(1)x2?2?111?1?x??2??f(x)??2?(x?1(0,??))222yyx1 2an

(2)?f?1(an)?2?

?1an?1?2?111???2 222anan?1an

???1?1?1，公差為2的等差數(shù)列 是首項(xiàng)為?221?an??

1?1?2(n?1)?2n?12an12n?1

?an?

【模擬試題】

一.選擇題

1.已知an?n(n?N*)，則數(shù)列?an?的最大項(xiàng)是（）2n?1563an?3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）2

A.第12項(xiàng)

B.第13項(xiàng)

C.第12或第13項(xiàng)

D.不存在 2.如果數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?

A.an?2(n2?n?1)

B.an?3?2n

C.an?3n?1

D.an?2?3n

3.數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?n2?2n?5，則a6?a7?a8?（）

A.45

B.35

C.30

D.以上全錯(cuò)

4.若一個(gè)數(shù)列?an?的前4項(xiàng)分別是0，2，0，2，則下列各式：

(1)an??2?2(n為偶數(shù))n(2)an?1?(?1)；(3)an??中可作為?an?1?(?1)n；2??0(n為奇數(shù))??的通項(xiàng)公式的是（）

A.(1)(2)(3)

B.(1)(2)

C.(2)(3)

5.若等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和公式為Sn?an?1，則（）

A.a?0

B.a?1

C.a?0且a?1

D.a?R

6.在等差數(shù)列?an?中，已知S15?90，則a8?（）

A.6

B.12

C.3

D.4

7.等差數(shù)列?an?中，a3?a11?40，則a6?a7?a8?（）

A.72

B.60

C.48

D.36

1，當(dāng)且僅當(dāng)n?10時(shí)，則公差d的取值范圍是（）an?1，25897383?d??d?

A.d?

B.d?

C.D.***5a1?

8.等差數(shù)列?an?中，9.等差數(shù)列?an?的公差d?0，當(dāng)n?1時(shí)，下列關(guān)系式成立的是（）

A.a1an?1?a2an

B.a1an?1?a2an

C.a1an?1?a2an

D.a1an?1與a2an不確定

10.等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為30，前2n項(xiàng)和為100，則其前3n項(xiàng)和為（）

A.130

B.170

C.210

D.260

11.已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，若S13?0,S12?0，則此數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為（）

A.第5項(xiàng)

B.第6項(xiàng)

C.第7項(xiàng)

D.第8項(xiàng)

12.若2個(gè)等差數(shù)列?an?前n項(xiàng)和為An與Bn，滿足,?bn?，A.Ana7n?1，則11?（）?Bn4n?27b1173478

B.C.D.42371

13.等差數(shù)列?an?中，Sm?Sn?l(m?n)，則a1?am?n?（）

A.mnl

B.(m+n)l

C.0

D.(m+n-1)l

14.等差數(shù)列?an?滿足3a8?5a13，且a1?0，則Sn的最大值是（）

A.S10

B.S11

C.S20

D.S21

二.填空題

15.數(shù)列?an?中，a1?2,an?2an?1?1(n?1)，則a5?________ an?1

16.等差數(shù)列?an?中，若前三項(xiàng)之和為12，最后三項(xiàng)之和為75，各項(xiàng)之和為145，則n?_________，a1?__________，公差d?__________

17.如果等差數(shù)列5，8，11，……與等差數(shù)列3，7，11，……都有100項(xiàng)，則它們相同的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是___________

18.一凸n邊形，各內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，公差為10?，最小的內(nèi)角為100?，則n?_________

19.等差數(shù)列?an?中，d?1,S98?137，則a2?a4????a98?________

三.解答題

20.數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和公式Sn??2n?10n?5

(1)求?an?的通項(xiàng)公式

(2)求an的前n項(xiàng)和Tn

D.(1)(3)21.求在［1000，2000］內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)有多少個(gè)？

22.設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn???n(a1?an)，證明：?an?為等差數(shù)列 2

23.等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3?12,S12?0,S13?0

(1)求公差d的取值范圍

(2)指出S1，S2，S3，??S12中哪個(gè)值最大，并說(shuō)明理由

24.已知等差數(shù)列?an?及關(guān)于x的方程aix2?2ai?1x?ai?2?0(i?1其中ai，2，??n)，及公差d均為非零實(shí)數(shù)

(1)求證：這些方程有公共根

(2)若方程另一根為?i，求證：

111依次成等差數(shù)列，???1?1?2?1?n?1【試題答案】

一.1.C

2.D

3.A

4.A

5.C

6.A

7.B

8.D

9.B

10.C

11.C

12.C

13.C

14.C 二.15.6

16.10 1 3

17.25個(gè) 5

18.8

19.93 三.20.(1)an??(n?1)?13

?12?4n(n?2)(n?3)(n?3)2???2n?10n?5

(2)Tn??2??2n?10n?29

21.83個(gè)

22.略

23.(1)?24?d??3 7

(2)S6最大

24.略

第二篇：數(shù)列經(jīng)典例題

11．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3??7,a4?a6??6,則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n

等于_________．

20．(本小題滿分14分)

22已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n?1)an?1?nan?an?1an?0．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求證：?i?1nai?2(1an?1?1)．

S13等于2．等差數(shù)列

()

A．168 ?an?中，a3?a7?a10?8,a11?a4?4,記Sn?a1?a2?????an,則B．156 C．152 D．78

21．(本小題滿分14分)

設(shè)數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?1?1． an

(1)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)；

(2)求這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．

9．在等比數(shù)列?an?中，a2?4,a5?

20．(本小題滿分14分)1，則公比q＝___________． 2

已知數(shù)列{an}為公差大于0的等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足S4?16，a2a3?15．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若bn?1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn； an?an?1

(3)對(duì)于大于1的自然數(shù)n，求證：(1?

20．(本小題滿分14分)1112n?1)(1?)?(1?)?a2a3an2

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn?1?an(n?N)，各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{bn}中，對(duì)于一切n?N，有**?k?1n1k?k?1?nb1?bn?1，且b1?1,b2?2,b3?3．

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn?2．

3．已知?an?為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a2?a3?2a1,且a4與2a7的等差中項(xiàng)為,則S5?()4

A．35

20．(本小題滿分14分)

B．33

C．31

D．29

2n

已知數(shù)列?an?滿足a1?3，且an?an?1?2(n?N,n?2),記數(shù)列bn?，Sn

anan?1

n?1

*

為數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和．(1)求a2，b1的值；(2)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；(3)求證：Sn?

1． 3

20．(本小題滿分14分)

設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn?kn2?n,n?N*，其中k是常數(shù)．(1)用k表示a1及an，并證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)若對(duì)于任意的m?N*,am,a2m,a4m成等比數(shù)列，求數(shù)列{

an的前n項(xiàng)和Tn． 2n

*

4．已知數(shù)列?an?為等差數(shù)列，且a2?a7?a12?24，Sn為數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，n?N，則S13的值為 A．100 B．99 21．(本小題滿分14分)

C．104

D．102

*y?log1x的圖象上．

已知點(diǎn)P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,P(an,bn)(n?N)都在函數(shù)

(1)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列{an}的前《項(xiàng)和是Sn?1?2，過(guò)點(diǎn)Pn,Pn?1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍二角 形面積為cn，求最小的實(shí)數(shù)t使cn?t對(duì)n?N恒成立；

(3)若數(shù)列{bn}為山(2)中{an}得到的數(shù)列，在bk與bk?1之間插入3k?1(k?N*)個(gè)3，得一新數(shù)列{dn}，問(wèn)是杏存在這樣的正整數(shù)w，使數(shù)列{dn}的前m項(xiàng)的和Sm?2008，*

?n

如果存在，求出m的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S1?1?an(n?N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)

設(shè)bn?,cn?

log1an

記Tn?c1?c2??cn,證明:Tn?1.19．(本小題滿分14分)在數(shù)列{an}中，已知a1?1,.an?an?1?an?2?

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn?log2,an,?a2?a1(n?N*,n?2)．

11??b3b4b4b5

?

?m對(duì)于任意的n?N*，且n?3恒成bnbn?1

立，求m的取值范圍．

17．(本小題滿分12分)

設(shè)

函

數(shù)

f(x)?loaxg（a為常數(shù)且a?0,a?1)，已知數(shù)列

f(x1),f(x2),?f(xn),?是公差為2的等差數(shù)列，且x1?a2．

(Ⅰ)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)當(dāng)a?

11時(shí)，求證：x1?x2???xn?． 23

20．(14分)已知數(shù)列?an?是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前n項(xiàng)和，且滿足

an2?S2n?1,n?N*．?dāng)?shù)列?bn?滿足bn?

和．,n?N*，Tn為數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)

an?an?1

(1)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式an和數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和Tn；

(2)若對(duì)任意的n?N*，不等式?Tn?n?8?(?1)恒成立，求實(shí)數(shù)?的取值范圍；(3)是否存在正整數(shù)m,n(1?m?n)，使得T

1,Tm,Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有

m,n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

n

5．設(shè)?an?1?2

2?an?,n?N*，an＞0，令bn?lgan則數(shù)列?bn?為()A．公差為正數(shù)的等差數(shù)列 B．公差為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列

C．公比為正數(shù)的等比數(shù)列 D．公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列

19．(本題滿分14分)在數(shù)列?an?中，a1?1,a2?

1(n?1)an，且an?1?,(n?2)． 4n?an

(Ⅰ)求a3,a4，猜想an的表達(dá)式，并加以證明；(Ⅱ)

設(shè)bn?，求證：對(duì)任意的自然數(shù)n?N*，都

有

b1?b2??bn?

19．(本小題滿分14分)已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列，a3?5，a5?9．?dāng)?shù)列?bn?的前n項(xiàng)和

為Sn，且Sn?

1?bn

n????． ?2

(1)求數(shù)列?an?和?bn?的通項(xiàng)公式；

(2)若cn?an?bn，求數(shù)列?cn?的前n項(xiàng)和?n． 13．設(shè)Sn是等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和．若

S31

?，則S73

___________．

19．(本小題滿分14分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn?n2．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，且b1?1，b4?8．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)若數(shù)列{cn}滿足cn?abn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn，并證明Tn?1．

21．(本小題共14分)已知數(shù)列?an?中，a1?2，對(duì)于任意的p,q?N，有ap?q?ap?a q，?

(1)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列?bn?滿足：an?

bb1bb

?22?33?44?2?12?12?12?1

?(?1)n?1

bn，2n?1

(n?N?)，求數(shù)列?bn?的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)Cn?3n??bn(n?N?)，是否存在實(shí)數(shù)?，當(dāng)n?N時(shí)，Cn?1?Cn恒成立，若存在，求實(shí)數(shù)?的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

?

第三篇：數(shù)列極限例題

三、數(shù)列的極限

(?1)n?1}當(dāng)n??時(shí)的變化趨勢(shì).觀察數(shù)列{1?n問(wèn)題:

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí), xn是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是, 如何確定? 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:

(?1)n?1當(dāng)n無(wú)限增大時(shí), xn?1?無(wú)限接近于1.n問(wèn)題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.?xn?1?(?1)n?1給定

11? nn1111, 由?, 只要n?100時(shí), 有xn?1?, 100n10010011,只要n?1000時(shí), 有xn?1?, 給定1000100011,只要n?10000時(shí), 有xn?1?, 給定10000100001給定??0,只要n?N(?[])時(shí), 有xn?1??成立.?定義

如果對(duì)于任意給定的正數(shù)?(不論它多么小), 總存在正整數(shù)N, 使得對(duì)于n?N時(shí)的一切xn, 不等式xn?a??都成立, 那末就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為

limxn?a,或xn?a(n??).n??如果數(shù)列沒(méi)有極限, 就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意：

??N定義:limxn?a????0,?N?0, 使n?N時(shí), 恒有xn?a??.n??其中記號(hào)?:每一個(gè)或任給的;?:至少有一個(gè)或存在.數(shù)列收斂的幾何解釋:

a??2?a??xN?2x2x1xN?1ax3x

當(dāng)n?N時(shí), 所有的點(diǎn)xn都落在(a??,a??)內(nèi), 只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))落在其外.注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.n?(?1)n?1?1.例1 證明limn??nn?(?1)n?11?1 ?.證

注意到xn?1 ?nn任給??0, 若要xn?1??, 只要

11??,或 n?, n?所以, 取 N?[], 則當(dāng)n?N時(shí), 就有 1?n?(?1)n?1?1??.nn?(?1)n?1?1.即limn??n

重要說(shuō)明：（1）為了保證正整數(shù)N，常常對(duì)任給的??0,給出限制0???1；

n?(?1)n?1?1??”的詳細(xì)推理

（2）邏輯“取 N?[], 則當(dāng)n?N時(shí), 就有

n?1見(jiàn)下，以后不再重復(fù)說(shuō)明或解釋，對(duì)函數(shù)極限同樣處理邏輯推理.由于N?????立.嚴(yán)格寫(xiě)法應(yīng)該是：任給??0, 不妨取0???1，若要?1???1??N?1，所以當(dāng)n?N時(shí)一定成立n?N?1?1?，即得

1??成nn?(?1)n?1111?1?

?n????是成立

n?(?1)n?11?1???.xn?1=

nnn?(?1)n?1?1.即limn??n小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時(shí), 關(guān)鍵是任意給定??0,尋找N, 但不必要求最小的N.例3證明limq?0, 其中q?1.n??n證

任給??0(要求ε<1)若q?0, 則limq?lim0?0;

n??n??n若0?q?1, xn?0?q??, nlnq?ln?，n?n?ln?ln?, 取N?[](?1), 則當(dāng)n?N時(shí), 就有qn?0??, lnqlnq?limqn?0.n???0, q?1,?q?1,??, n

說(shuō)明：當(dāng)作公式利用：limq??

n??1, q?1,??不存在，q??1.?

第四篇：數(shù)列經(jīng)典例題4

例1錯(cuò)誤！未指定書(shū)簽。．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.(Ⅰ)推 導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式;(Ⅱ)設(shè)q≠1, 證明數(shù)列{an?1}不是等比數(shù)列.例2 已知數(shù)列?an?的首項(xiàng)為a1?1，其前n項(xiàng)和為sn，且對(duì)任意正整數(shù)n有：n、an、Sn成等差數(shù)列．

（1）求證：數(shù)列?Sn?n?2?成等比數(shù)列；（2）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式． 例3錯(cuò)誤！未指定書(shū)簽。．已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列,該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An,第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an?1,an?2,的最小值記為Bn,dn=An-Bn.(I)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3，是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意n∈N,an?4?an),寫(xiě)出*d1,d2,d3,d4的值;

(II)設(shè)d為非負(fù)整數(shù),證明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列;(III)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),則{an}的項(xiàng)只能是1或者2,且有無(wú)窮多項(xiàng)為1.

第五篇：數(shù)列經(jīng)典例題8

1錯(cuò)誤！未指定書(shū)簽。．已知數(shù)列?an?的首項(xiàng)為a1?5,前n項(xiàng)和為Sn,且

Sn?1?2Sn?n?5(n?N*)

(Ⅰ)證明數(shù)列?an?1?是等比數(shù)列

(Ⅱ)令f?x??a1x?a2x2????????anxn,求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?1處的導(dǎo)數(shù)f?1?,并比較2f?1?與23n2?13n的大小.''

2.錯(cuò)誤！未指定書(shū)簽。設(shè)數(shù)列?an?的前為Tn,且Tn?2?2an(n?N?).．n項(xiàng)積．．

(Ⅰ)求證數(shù)列??1??是等差數(shù)列;

?Tn?

(Ⅱ)設(shè)bn?(1?an)(1?an?1),求數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和Sn.例3錯(cuò)誤！未指定書(shū)簽。設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1?8,an?1?Sn?3n?1?5,n?N?.(Ⅰ)設(shè)bn?an?2?3n,證明:數(shù)列?bn?是等比數(shù)列;

222232n

(Ⅱ)證明:??????1.a1a2a3an