第一篇：一次函數應用專題--面積問題(教案)
《一次函數應用專題--面積問題》教學設計
（廣州市第四十七中學 初二）
【教學目標】
1、能根據一次函數的解析式（或圖像），求圖形的面積。
2、通過對已知圖形面積求值問題的探究，使學生體會“數形結合”思想和“轉化”思想。
3、培養(yǎng)學生主動探究，合作交流的意識，激發(fā)學生學習數學的熱情，體驗解決問題的樂趣?！窘虒W重點】
數形結合思想在一次函數中的應用 【教學難點】
在面積問題中滲透“數形結合”思想和“轉化”思想 【教學過程】
一、課前熱身，知識回顧
【熱身】已知一次函數y??x?3，請畫圖并解決以下問題：
1、y??x?3與x軸交于點A（，）與y軸交于點B（，）.2、函數y??x?3與兩坐標軸圍成的三角形的面積為.（設計意圖：通過習題回顧本節(jié)課所用到的知識點，體會函數、坐標、幾何圖形之間的相互轉化，為后面例1，例3探究，做好鋪墊.）
二、問題探究，總結方法
【例1】：若函數y=-x+b與兩坐標軸圍成的三角形的面積為9，求此一次函數的解析式.（設計意2圖：使學生會根據面積求一次函數解析式,并了解此類問題的結論有兩種,學會分類討論.）【例2】：如圖，若點P(a,b)是直線y=-x+3上的一個動點，在點P運動的過程中，ΔOPA的面積為S（O為坐標原點）
（1）當ΔOPA的面積為3時，求P的坐標.（2）若P位于第一象限內，試寫出S與a的函數關系式，并求自變量a的取值范圍.（設計意圖：在這個環(huán)節(jié)中，設置了一個動態(tài)問題，一方面鞏固所學內容，一方面滲透動態(tài)問題的解決方法.）
【例3】：如圖，直線y=4x+8與x軸交于點C，與y軸交于點D.且與y=-x+3的交點為E，求兩直線與x軸圍成的圖形的面積.（設計意圖：使學生會求兩條直線與x軸或y軸所圍圖形的面積.）【鞏固提升】：
1求兩直線與y軸圍成的圖形的面積.（設計意圖：鞏固例3）
2、連接CB，求ΔCEB的面積，你有多少種求法？
（設計意圖：在鞏固例3的同時，探究三條邊均不平行于坐標軸的三角形的面積的求法.）
三、課堂小結，反思提高
本環(huán)節(jié)由學生談自己的收獲，教師做適當的引導與補充.（設計意圖：總結回顧本節(jié)課的學習內容，養(yǎng)成梳理知識的習慣.）
四、練習
1、已知直線y=3x-6，畫出函數圖像，并求出一次函數圖像與兩坐標軸圍成的三角形面積.2、已知直線y=kx-4與兩坐標軸所圍成的三角形面積等于4，求直線解析式.3、求直線y=4x－2與直線y=－x+13及x軸所圍成的三角形的面積.54、如圖，直線y?kx?經過點A（-2，m），3yB（1，3）．
（1）求k，m的值；（2）求△AOB的面積．
5、如圖，直線L的解析表達式為y =-AOBx1x +2，且與x軸、y軸交于點A、B，在2y軸上有一點C（0，4），動點M從A 點以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動。（1）求A、B兩點的坐標；
（2）△COM的面積S與M的移動時間t之間的函數關系式；
ByC（3）當何值時△COM≌△AOB，并求出此時M點的坐標.(設計意圖：復習鞏固本節(jié)課的知識點)
OMAx
第二篇：教案：一次函數中的面積問題
一次函數的面積問題
【教學目標】
知識與技能：
1.通過復習使學生熟悉直線與坐標軸的交點坐標的求法，會求出兩直線交點坐標，進一步體會函數、坐標、幾何圖形之間的相互轉化，在解決函數相關問題中的重要作用.2.初步掌握由若干條直線所圍成的圖形的面積的計算方法，體會一次函數的有關面積問題的解決思路.過程與方法：
通過對平面直角坐標系中圖形面積求法的探究，使學生初步形成正確、科學的學習方法.情感態(tài)度與價值觀：
通過問題的解決，樹立學生學習數學的信心，激發(fā)學生學習數學的興趣，培養(yǎng)學生良好的學習習慣.【教學重點】
由若干條直線所圍成的圖形的面積的計算方法.【教學難點】
進一步滲透數形之間的轉化和結合.【教學過程】
一、課前熱身 回顧知識
1、點A（5，-3）到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為.點A到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為5，則點A的坐標為.2、一次函數y=2x+4的圖象與x軸的交點坐為，與y軸的交點坐標為.3、如圖：直線AB的解析式為.4、直線y=2x+1與直線y=x-2 的交點 坐標為.設計意圖：通過習題回顧本節(jié)課所用到的知識點，體會函數、坐標、幾何圖形之間的相互轉化，為后面的問題探究，做好鋪墊.二、問題探究 總結方法
問題一
已知如圖：直線y=2x+1與坐標軸交于A、C兩點，直線y=-x-2與坐標軸交于B、D兩點，兩直線交于點P.（1）求△ABP的面積.（2）若直線EF平行于 y軸，且經過點（1,0），與直線PA、PB分別交于點E、F，求△PEF的面積.問題引導：
（1）求△ABP的面積需要一組對應的底和高，思考：將哪條邊作為底計算較為簡單？（2）計算AB、PM的長需要哪些量？如何求？
師生活動：教師引導學生分析解題思路，師生共同完成解題過程，注意解答過程的規(guī)范性.學生在分析的基礎上，自主完成（2）.問題二
已知如圖：直線y=x+2與直線y=-2x+6交于點A.直線y=-2x+6分別交x軸、y軸于點B、C，直線y=x+2分別交x軸、y軸于點E、D.（1）求△ACE的面積.（2）求四邊形ADOB的面積.問題引導：
問題一中的三角形要么有一條邊在坐標軸上，要么有一條邊與坐標軸平行，而這道題中的△ACE并無上述特點，怎么辦？小組交流討論，盡可能多的找出解決思路.師生活動：
學生在自主分析解題思路后，交流討論，統(tǒng)一意見，師生共同完成解題過程，注意解答過程的規(guī)范性.學生在分析的基礎上，自主完成（2）.方法總結：
如何求平面直角坐標系中的圖形的面積？
（１）如果三角形有一邊在坐標軸上（或平行于坐標軸），直接用面積公式求面積．
（２）如果三角形任何一邊都不在坐標軸上，也不平行于坐標軸，則需轉化為幾個有邊在坐標軸上的三角形面積之和（或差）．
（３）四邊形面積常轉化為若干個三角形面積之和（或差）．
設計意圖：在這個環(huán)節(jié)中，設置四個問題，由淺入深，逐步探索總結出面直角坐標系中的圖形的面積的求法.三、即學即練
鞏固所學
已知：如圖，在平面直角坐標系中，A（-1,3）、B（3,-2），則△AOB的面積為
.學生談思路，教師點評.設計意圖：提倡方法的多樣性，強化坐標與函數、坐標與距離之間的轉化.四、課堂拓展 提升應用
1、已知點P（x，y）是第二象限內直線y=x+6上的一個動點，點A的坐標為（-4，0），在點P運動的過程中，△OPA的面積為S.（1）試寫出S與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍.（2）當點P運動到什么位置時，△OPA的面積為8.設計意圖：
在這個環(huán)節(jié)中，設置了一個動態(tài)問題，一方面鞏固所學，另一方面滲透動態(tài)問題的解決方法.五、課堂小結
反思提高
本環(huán)節(jié)由學生自己談收獲，教師作適當的引導補充.六、作業(yè)布置
1、優(yōu)化設計54頁第11題
2、優(yōu)化設計64頁第9題
3、整理課堂拓展問題
第三篇：教案：一次函數中的面積問題
0128 一次函數の面積問題
【教學目標】
知識與技能：
1.通過複習使學生熟悉直線與坐標軸の交點坐標の求法，會求出兩直線交點坐標，進一步體會函數、坐標、幾何圖形之間の相互轉化，在解決函數相關問題中の重要作用.2.初步掌握由若幹條直線所圍成の圖形の面積の計算方法，體會一次函數の有關面積問題の解決思路.過程與方法：
通過對平面直角坐標系中圖形面積求法の探究，使學生初步形成正確、科學の學習方法.情感態(tài)度與價值觀：
通過問題の解決，樹立學生學習數學の信心，激發(fā)學生學習數學の興趣，培養(yǎng)學生良好の學習習慣.【教學重點】
由若幹條直線所圍成の圖形の面積の計算方法.【教學難點】
進一步滲透數形之間の轉化和結合.【教學過程】
一、課前熱身 回顧知識
0128
二、0128
0128
1、點A（5，-3）到x軸の距離為，到y(tǒng)軸の距離為.點A到x軸の距離為3，到y(tǒng)軸の距離為5，則點Aの坐標為.2、一次函數y=2x+4の圖象與x軸の交點坐為，與y軸の交點坐標為.3、如圖：直線ABの解析式為.4、直線y=2x+1與直線y=x-2 の交點 坐標為.設計意圖：通過習題回顧本節(jié)課所用到の知識點，體會函數、坐標、幾何圖形之間の相互轉化，為後面の問題探究，做好鋪墊.問題探究 總結方法
問題一
已知如圖：直線y=2x+1與坐標軸交於A、C兩點，直線y=-x-2與坐標軸交於B、D兩點，兩直線交於點P.（1）求△ABPの面積.（2）若直線EF平行於 y軸，且經過點（1,0），與直線PA、PB分別交於點E、F，求△PEFの面積.問題引導：
（1）求△ABPの面積需要一組對應の底和高，思考：將哪條邊作為底計算較為簡單？ 0128（2）計算AB、PMの長需要哪些量？如何求？
師生活動：教師引導學生分析解題思路，師生共同完成解題過程，注意解答過程の規(guī)範性.學生在分析の基礎上，自主完成（2）.問題二
已知如圖：直線y=x+2與直線y=-2x+6交於點A.直線y=-2x+6分別交x軸、y軸於點B、C，直線y=x+2分別交x軸、y軸於點E、D.（1）求△ACEの面積.（2）求四邊形ADOBの面積.問題引導：
問題一中の三角形要麼有一條邊在坐標軸上，要麼有一條邊與坐標軸平行，而這道題中の△ACE並無上述特點，怎麼辦？小組交流討論，盡可能多の找出解決思路.師生活動：
學生在自主分析解題思路後，交流討論，統(tǒng)一意見，師生共同完成解題過程，注意解答過程の規(guī)範性.學生在分析の基礎上，自主完成（2）.方法總結：
如何求平面直角坐標系中の圖形の面積？
（１）如果三角形有一邊在坐標軸上（或平行於坐標軸），0128
0128 直接用面積公式求面積．
（２）如果三角形任何一邊都不在坐標軸上，也不平行於坐標軸，則需轉化為幾個有邊在坐標軸上の三角形面積之和（或差）．
（３）四邊形面積常轉化為若幹個三角形面積之和（或差）．
設計意圖：在這個環(huán)節(jié)中，設置四個問題，由淺入深，逐步探索總結出面直角坐標系中の圖形の面積の求法.三、即學即練
鞏固所學
已知：如圖，在平面直角坐標系中，A（-1,3）、B（3,-2），則△AOBの面積為
.學生談思路，教師點評.設計意圖：提倡方法の多樣性，強化坐標與函數、坐標與距離之間の轉化.四、課堂拓展 提升應用
1、已知點P（x，y）是第二象限內直線y=x+6上の一個動點，點Aの坐標為（-4，0），在點P運動の過程中，△OPAの面積為S.（1）試寫出S與xの函數關系式，並寫出xの取值範圍.（2）當點P運動到什麼位置時，△OPAの面積為8.設計意圖：
在這個環(huán)節(jié)中，設置了一個動態(tài)問題，一方面鞏固所學，另一方面滲透動態(tài)問題の解決方法.0128
0128
五、課堂小結
反思提高
本環(huán)節(jié)由學生自己談收獲，教師作適當の引導補充.六、作業(yè)布置
1、優(yōu)化設計54頁第11題
2、優(yōu)化設計64頁第9題
3、整理課堂拓展問題
0128
第四篇：坐標的應用(面積問題)教案
7.1坐標系中的面積問題
梁園區(qū)雙八鎮(zhèn)第一中學 王宏超
教學目標：1.學生會在坐標系中根據點的坐標求三角形、四邊形等圖形的面積
2.懂得數形結合的應用
3.熟練應用數學中的類比、轉化思想
教學重點：在坐標系中求三角形、四邊形等圖形的面積 教學過程：
一、知識回顧
1.怎樣表示數軸上兩點之間線段的長
數字之差的絕對值
2.怎樣表示坐標平面內兩點之間線段的長
引出坐標線段
二、知識探索
今天我們探索坐標系中的面積問題.以前面積問題解決的方法：
面積公式、面積和差
1.已知點A(0，2)，點B(3，0)，AB與坐標軸所圍成的三角形面積為()
解題思路：先確定合適的底和高(與已知點的坐標相聯系），再利用公式求出面積。問：以OB為邊，另一點在Y軸上，還有沒有面積為3的三角形？
若以OA為邊，另一邊在x軸上，有幾個面積為3 的三角形？ 2.已知點A（1，0），B（0，2），點P在x軸上，且△PAB的面積為5，則點P的坐標為()怎樣確定底和高呢？
3.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，3），B（4，1），則△AOB的面積為()
解題思路：
拓展 應用下列各題怎樣割補
1.平面直角坐標系中有A（-4，3），B（-2，-1），則△ABO的面積為()解題思路：
2.平面直角坐標系中有三點O（0，0），M（-2，3），N（3，-1），則△MON的面積為()解題思路：
3.如圖所示的直角坐標系中，四邊形ABCD各頂點的坐標分別為A（-1，4），B（-4，3），C（-5，0），D（4，0）．則四邊形ABCD的面積是()
解題思路：
4.如圖所示的直角坐標系中，四邊形ABCD各頂點的坐標分別為A（-1，3），B（-3，-2），C（4，-2），D（3，2）．則四邊形ABCD的面積是()
解題思路：
三、提煉升華：規(guī)則圖形確定低、高，不規(guī)則圖形進行割補。
思考題：如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD各頂點的坐標分別為A（-1，2），B（-3，4），C（-2，9），D（7，0）．則四邊形ABCD的面積是()
第五篇：一次函數教案
一、要點解讀
1,知識總攬
一次函數是函數大家族中的主要成員之一,是研究兩個變量和學習其它函數的基礎,它的表達式簡單,性質也不復雜,但在我們的日常生活中的應用卻十分廣泛,與其它函數的聯系也十分密切,許多實際問題只要我們注意細心觀察,認真分析,及時將問題轉化為一次函數模型,再得用一次函數的性質即可求解.2,疑點、易錯點
(1)若兩個變量x、y間的關系式可以表示成y=kx+b(k≠0),則稱y是x的一次函數.特別地,當b=0時,稱y是x的正比例函數,就是說,正比例函數是一次函數的特例,而一次函數包含正比例函數,是正比例函數一定是一次函數,但一次函數不一定是正比例函數.如y=-x是正比例函數,也是一次函數,而y=-2x-3是一次函數,但并不是正比例函數.因此,同學們在復習時一定要注意正確理解正比例函數和一次函數的概念,注意掌握它們之間的區(qū)別和聯系.(2)一次函數的圖象是一條直線,它所經過的象限是由k與b決定的,所以在復習鞏固一次函數的性質時可以通過函數圖象來鞏固,從而可以避免因k與b的符號的干擾.如,在如圖中,表示一次函數y=mx+n與正比例函數y=mnx(m、n是常數且mn≠0)圖象是()對于兩不同函數圖象共存同一坐標系問題,常假設某一圖象正確而后根據字母系數所表示的實際意義來判定另一圖象是否正確來解決問題.例如,假設選項B中的直線y=mx+n正確則m<0,n>0,mn<0則正比例函數y=mnx則應過第二、四象限,而實際圖象則過第一、三象限,所以選項B錯誤.同理可得A正確.故應選A.(3)雖然一次函數的表達式簡單,性質也并不復雜,且一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線,它的位置由k、b的符號確定.但是,涉及實際問題的一次函數圖象與自變量的取值范圍,畫出來的圖象不一定是直線,可能是線段或其他圖形,這一點既是學習一次函數的疑點,也是難點,更是解題量的易錯點.如,拖拉機開始工作時,油箱中有油40L,如果每小時耗油5L,那么工作時,油箱中的余油量Q(L)與工作時間t(h)的函數關系用圖象可表示為()依題意可以得到油箱中的余油量Q(L)與工作時間t(h)的函數關系為Q=40-5t,就這個一次函數的解析式而言,它的圖象是一條直線,所以不少同學就會選擇A,而事實上,自變量t有一個取值范圍,即0≤t≤8,所以正確的答案應該選擇C.二、思想方法
復習一次函數這一章的知識一定注意數學思想方法的鞏固.具體地說,一次函數的知識涉及常見的思想方法有:(1)函數思想
所謂的函數思想就是用一個表達式將兩個變量表示出來其兩個變量之間是一個對應的關系.確定兩個變量之間的關系和列一元一次方程解應用題基本相似,即弄清題意和題目中的數量關系,找到能夠表示應用題全部含義的一個相等的關系,根據這個相等的數量關系式,列出所需的代數式,從而列出兩個變量之間的關系式.例1 長方形的長是20,寬是x,周長是y.寫出x和y之間的關系式.簡析(1)由長方形的周長公式,得y=2(x+20)=2x+40;說明 在依據題意寫出兩個變量之間的關系式時,會經常用到以前學到的各種公式,所以對以前常用的公式我們要熟練掌握,分析每一個公式的結構特征,做到運用自如,方可避免常見錯誤.(2)數形結合思想
數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系,既分析其代數含義,又揭示其幾何意義,使問題的數量關系巧妙、和諧地結合起來,通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想.例2 某博物館每周都吸引大量中外游客前來參觀.如果游客過多,對館中的珍貴文物會產生不利影響.但同時考慮到文物的修繕和保存等費用問題,還要保證一定的門票收入.因此,博物館采取了漲浮門票價格的方法來控制參觀人數.在該方法實施過程中發(fā)現:每周參觀人數與票價之間存在著如圖2所示的一次函數關系.在這樣的情況下,如果確保每周4萬元的門票收入,那么每周應限定參觀人數是多少?門票價格應是多少元? 解 設每周參觀人數與票價之間的一次函數關系式為y=kx+b.由題意,得 解得
所以y=-500x+12 000.而根據題意,得xy=40 000,即x(-500x+12 000)=40 000,x2-24x+80=0, 所以方程變形為(x-12)2=64,兩邊開平方求得x1=20,x2=4.把x1=20,x2=4分別代入y=-500x+12 000中得y1=2 000,y2=10 000.因為控制參觀人數,所以取x=20,y=2 000.即每周應限制參觀人數是2 000人,門票價格應是20元.說明 本題中得到方程x2-24x+80=0,雖然沒有學過不會解,但通過適當變形還是可以求解的.(3)待定系數法
待定系數法是確定代數式中某項系數的數學方法.它是方程思想的具體運用.例3 為了學生的身體健康,學校課桌、凳的高度都是按一定的關系科學設計的.小明對學校所添置的一批課桌、凳進行觀察研究,發(fā)現它們可以根據人的身長調節(jié)高度.于是,他測量了一套課桌、凳上相對應的四檔高度,得到如下數據: 第一檔 第二檔 第三檔 第四檔
凳高x(cm)37.0 40.0 42.0 45.0 桌高y(cm)70.0 74.8 78.0 82.8(1)小明經過對數據探究,發(fā)現:桌高y是凳高x的一次函數,請你求出這個一次函數的關系式(不要求寫出x的取值范圍);(2)小明回家后,測量了家里的寫字臺和凳子,寫字臺的高度為77cm,凳子的高度為43.5cm,請你判斷它們是否配套,說明理由.解(1)設y=kx+b(k≠0),依題意得 解得
所以這個一次函數的關系式y(tǒng)=1.6x+10.8;(2)當小明家寫字臺的高度y=77cm時,由(1)中的一次函數的關系式y(tǒng)=1.6x+10.8得77=1.6x+10.8,解得x=41.375<凳子的高度43.5cm,所以小明家的寫字臺和凳子的高度是不配套的.說明 對于(2)中的問題也可以利用凳子的高度x,求出寫字臺的高度y,再與77cm比較.由此,用待定系數法求一次函數的解析式的方法可歸納為:“一設二列三解四還原”.就是說,一設:設出一次函數解析式的一般形式y(tǒng)=kx+b(k≠0);二列:根據已知兩點或已知圖象上的兩個點坐標列出關于k、b的二元一次方程組;三解:解這個方程組,求出k、b的值;四還原:將已求得
(4)方程思想
方程思想即將問題中的數量關系運用數學語言轉化為方程模型加以解決.方程思想是最重要的一種數學思想,在數學解題中所占比重較大,綜合知識強、題型廣、應用技巧靈活.從例
1、例2和例3中,我們都可以看出用到了方程思想求解.三、考點解密
(所選例題均出自2006年全國部分省市中考試卷)考點1 確定自變量的取值范圍
確定函數解析式中的自變量的取值范圍,只需保證其函數有意義即可.例1(鹽城市)函數y= 中,自變量x的取值范圍是.分析 由于函數的表達式是分式型的,因此必需保證分母不等于0即可.解 要使函數y= 有意義,只需分母x-1≠0,即x≠1.說明 確定一個函數的自變量的取值范圍,對于函數是整式型的可以取任何數,若是分數型,只需使分母不為0,對于從實際問題中求出的解析式必須保證使實際問題有意義.考點2 函數圖象
把一個函數的自變量x與對應因變量y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標,在直角坐標系內描出它的對應點,所有這些點組成的圖形叫做函數函數圖象.例2(泉州市)小明所在學校離家距離為2千米,某天他放學后騎自行車回家,行駛了5分鐘后,因故停留10分鐘,繼續(xù)騎了5分鐘到家.如圖1中,哪一個圖象能大致描述他回家過程中離家的距離s(千米)與所用時間t(分)之間的關系()分析 依據題意,并觀察分析每一個圖象的特點,即可作出判斷.解 依題意小明所在學校離家距離為2千米,先行駛了5分鐘后,因故停留10分鐘,繼續(xù)騎了5分鐘到家,即能大致描述他回家過程中離家的距離s(千米)與所用時間t(分)之間的關系只有D圖符合,故應選D.說明 求解時要充分發(fā)揮數形結合的作用,及時從圖象中捕捉求解有用的信息,并依據函數圖象的概念對圖象作出正確判斷.考點3 判斷圖象經過的象限
對于一次函數y=kx+b:①當k>0,b>0時,圖象在第一、二、三象限內;②當k>0,b<0時,圖象在第一、三、四象限內;③當k<0,b>0時,圖象在第一、二、四象限內;④當k<0,b<0時,圖象在第二、三、四象限內.特別地,b=0即正比例函數y=kx有:①當k>0時,圖象在第一、三象限內;②當k<0時,圖象在第二、四象限內.例3(十堰市)已知直線l經過第一、二、四象限,則其解析式可以為___(寫出一個即可).分析 由題意直線l經過第一、二、四象限,此時滿足條件的解析式有無數個.解 經過第一、二、四象限的直線有無數條,所以本題是一道開放型問題,答案不唯一.如:y=-x+2,y=-3x+1.等等.說明 處理這種開放型的問題,只要選擇一個方便而又簡單的答案即可.考點4 求一次函數的表達式,確定函數值
要確定一次函數的解析式,只需找到滿足k、b的兩個條件即可.一般地,根據條件列出關于k、b的二元一次方程組,解出k與b的值,從而就確定了一次函數的解析式.另外,對于實際問題可妨照列方程解應用題那樣,但應注意自變量的取值范圍應受實際條件的制約.例4(衡陽市)為了鼓勵市民節(jié)約用水,自來水公司特制定了新的用水收費標準,每月用水量,x(噸)與應付水費(元)的函數關系如圖2.(1)求出當月用水量不超過5噸時,y與x之間的函數關系式;(2)某居民某月用水量為8噸,求應付的水費是多少?
分析 觀察函數圖象我們可以發(fā)現是一條分段圖象,因此只要分0≤x≤5和x≥5求解.解(1)由圖象可知:當0≤x≤5時是一段正比例函數,設y=kx,由x=5時,y=5,得5=5k,即k=1.所以0≤x≤5時,y=x.(2)當x≥5時可以看成是一條直線,設y=k1x+ b由圖象可知 解得 所以當x≥5時,y=1.5x-2.5;當x=8時,y=1.5×8-2.5=9.5(元).說明 確定正比例函數的表達式需要一個獨立的條件;確定一次函數的表達式需要兩個獨立的條件.對于在某個變化過程中,有兩個變量x和y,如果給定一個x值,相應地就確定了一個y值.在處理本題的問題時,只需利用待定系數法,構造出相應的二元一次方程組求解.另外,在處理這類問題時,一定要從圖形中獲取信息,并把所得到的信息進行聯系處理.考點5 比較大小 利用一次函數的性質可以比較函數值的大小,具體地應由k的符號決定.例5(青島市)點P1(x1,y1),點P2(x2,y2)是一次函數y=-4x+3 圖象上的兩個點,且 x1
對于一次函數y=kx+b與坐標軸的兩個交點坐標分別是(0,b)和(-,0),由此與坐標軸圍成的三角形的面積為 =.例6(日照市)已知直線y=mx-1上有一點B(1,n),它到原點的距離是 ,則此直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為()A.B.或 C.或 D.或
分析 若能利用直線y=mx-1上有一點B(1,n),它到原點的距離是 求出n,則可以進一步求出了m,從而可以求出直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積.解 因為點B(1,n)到原點的距離是 ,所以有12+ n2=10,即n=±3,則點B的坐標為(1,3)或(1,-3).分別代入y=mx-1,得m=4,或m=-2.所以直線的表達式為y=4x-1或y=-2x-1,即易求得直線與坐標軸圍成的三角形的面積為 或.故應選C.說明 要求直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積,只要能求出直線與坐標軸的交點坐標即可,這里的分類討論是正確求解的關鍵.考點7 利用一次函數解決實際問題
利用一次函數解決實際問題可妨照列方程解應用題那樣,但應注意自變量的取值范圍應受實際條件的制約.例7(長沙市)我市某鄉(xiāng)A、B兩村盛產柑桔,A村有柑桔200噸,B村有柑桔300噸.現將這些柑桔運到C、D兩個冷藏倉庫,已知C倉庫可儲存240噸,D倉庫可儲存260噸;從A村運往C、D兩處的費用分別為每噸20元和25元,從B村運往C、D兩處的費用分別為每噸15元和18元.設從A村運往C倉庫的柑桔重量為x噸,A,B兩村運往兩倉庫的柑桔運輸費用分別為yA元和yB元.(1)請?zhí)顚懴卤?并求出yA、yB與x之間的函數關系式;C D 總計
A x噸 200噸
B 300噸
總計 240噸 260噸 500噸
(2)試討論A,B兩村中,哪個村的運費較少;(3)考慮到B村的經濟承受能力,B村的柑桔運費不得超過4830元.在這種情況下,請問怎樣調運,才能使兩村運費之和最小?求出這個最小值.分析 依題意可以知道從A村運往C倉庫的柑桔重量、從A村運往D倉庫的柑桔重量、從B村運往C倉庫的柑桔重量和從B村運往D倉庫的柑桔重量,這樣就可以求得yA、yB與x之間的函數關系式,進而利用不等式和一次函數的性質求解.解(1)依題意,從A村運往C倉庫的柑桔重量為x噸,則從A村運往D倉庫的柑桔重量應為(200-x)噸,同樣從B村運往C倉庫的柑桔重量為(240-x)噸,從B村運往D倉庫的柑桔重量應為(300-240+x)噸,即(60+x)噸.所以表中C欄中填上(240-x)噸,D欄中人上到下依次填(200-x)噸、(60+x)噸.從而可以分別求得yA=-5x+5000(0≤x≤200),yB=3x+4680(0≤x≤200).(2)當yA=yB時,-5x+5000=3x+4680,即x=40;當yA>yB時,-5x+5000>3x+4680,即x<40;當yA 1,(衡陽市)函數y= 中自變量劣的取值范圍是___.2,(攀枝花市)如圖,直線y=-x+4與y軸交于點A,與直線y= x+ 交于點B,且直線y= x+ 與x軸交于點C,則△ABC的面積為___.3,(海淀區(qū))打開某洗衣機開關,在洗滌衣服時(洗衣機內無水),洗衣機經歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續(xù)過程,其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y(升)與時間x(分鐘)之間滿足某種函數關系,其函數圖象大致為()4,(江西省)如圖,已知直線l1經過點A(-1,0)與點B(2,3),另一條直線l2經過點B,且與x軸交于點P(m,0).(1)求直線l1的解析式;(2)若△APB的面積為3,求m的值.5,(南安市)近兩年某地外向型經濟發(fā)展迅速,一些著名跨國公司紛紛落戶該地新區(qū),對各類人才需求不斷增加,現一公司面向社會招聘人員,其信息如下: [信息一]招聘對象:機械制造類和規(guī)劃設計類人員共150名.[信息二]工資待遇:機械類人員工資為600元/月,規(guī)劃設計類人員為1000元/月.設該公司招聘機械制造類和規(guī)劃設計類人員分別為x人、y人.(1)用含x的代數式表示y;(2)若公司每月付給所招聘人員的工資為p元,要使本次招聘規(guī)劃設計人員不少于機械制造人員的2倍,求p的取值范圍.參考答案: 1,≥1;2,4;3,D; 4,(1)設直線l1的解析式為 y=kx + b,由題意,得 解得 所以,直線l1的解析式為 y=x +1.(2)當點P在點A的右側時,AP=m-(-1)=m +1,有.解得 m=1,此時,點P的坐標為(1,0);當點P在點A的左側時,AP=-1-m,有.解得 m =-3,此時,點P的坐標為(-3,0).綜上所述,m的值為1或-3;5,(1)y=150-x.(2)根據題意,得:y≥2x,所以150-x≥2x,解得:x≤50,又x≥0,150-x≥0,即0≤x≤50,所以p=600x+1000(150-x)=-400x+150000;又因為p隨x的增大而減小,并且0≤x≤50,所 以 -400×50+150000≤p≤-400×0+150000,即130000≤p≤150000
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