第一篇：RC4算法總結(jié)
一、RC4算法原理
RC4算法的原理很簡單，包括初始化算法（KSA）和偽隨機(jī)子密碼生成算法（PRGA)兩大部分。
RC4產(chǎn)生一個(gè)偽隨機(jī)比特流（a keystream），加密的時(shí)候，把它跟明文進(jìn)行比特級別的異或處理，解密時(shí)進(jìn)行一樣的步驟（因?yàn)楫惢虿僮魇菍ΨQ的）。（這個(gè)類似于Vernam cipher，只不過后者不使用偽隨機(jī)比特流而直接使用隨機(jī)比特流）。為了產(chǎn)生keystream，本密碼算法使用時(shí)需要兩個(gè)數(shù)據(jù)的私有空間來保存內(nèi)部狀態(tài)：
1.總共256個(gè)字節(jié)的序列（下面用“S“代替）
2.兩個(gè)8比特的索引指針（下面用“i”和“j”代替）
比特流序列的初始化是根據(jù)key的長度（key的長度通常在40到256比特之間），使用key-scheduling 算法來進(jìn)行的（KSA)，一旦完成了初始化，比特流就可以根據(jù)偽隨機(jī)生成算法(PRGA)來產(chǎn)生。
（1）The key-scheduling algorithm(KSA)key-scheduling算法用來初始化數(shù)組“S”中的字節(jié)序列，“keylength”定義了key的字節(jié)長度，可能的范圍是[1, 256]，典型的值是5到16之間，相應(yīng)的key長度就是40-128比特。首先，數(shù)組“S”被初始化成identity permutation（身份鑒別的序列），隨后在PRGA的算法中進(jìn)行256為周期的循環(huán)列舉出來，每次處理的方式都是一樣的，是聯(lián)合key的字節(jié)進(jìn)行的。
for i from 0 to 255 S[i] := i endfor
j := 0
for i from 0 to 255
j:=(j + S[i] + key[i mod keylength])mod 256 swap(&S[i],&S[j])endfor
（2）偽隨機(jī)生成算法（PRGA）
對于盡可能多的每個(gè)列舉過程，PRGA算法修改 內(nèi)部的狀態(tài)并輸出keystream的一個(gè)字節(jié)。在每次循環(huán)中，PRGA把i加一，并把i所指向的S值加到j(luò)上去，然后交換S[i]和S[j]的值，最后 輸出S[i]和S[j]的和(取256的模)對應(yīng)的S值。至多經(jīng)過256次，S每個(gè)位置上的值都被交換一次。
i := 0 j := 0
while GeneratingOutput: i :=(i + 1)mod 256 j :=(j + S[i])mod 256 swap(&S[i],&S[j])output S[(S[i] + S[j])mod 256] endwhile
二、RC4算法實(shí)現(xiàn)
實(shí)現(xiàn)一
假設(shè)S-box的長度為256，密鑰長度為Len。
KSA部分：
先來看看算法的初始化部分（用C代碼表示）：
其中，參數(shù)1是一個(gè)256長度的char型數(shù)組，定義為: unsigned char sBox[256];
參數(shù)2是密鑰，其內(nèi)容可以隨便定義：char key[256];
參數(shù)3是密鑰的長度，Len = strlen(key);
void rc4_init(unsigned char *s, unsigned char *key, unsigned long Len)
{
int i =0, j = 0, k[256] = {0};
for(i=0;i<256;i++)
{
s[i]=i;
k[i]=key[i%Len];
}
for(i=0;i<256;i++)
{
j=(j+s[i]+k[i])%256;
swap(s,x,y);
} } 在初始化的過程中，密鑰的主要功能是將S-box攪亂，i確保S-box的每個(gè)元素都得到處理，j保證S-box的攪亂是隨機(jī)的。而不同的S-box在經(jīng)過偽隨機(jī)子密碼生成算法的處理后可以得到不同的子密鑰序列，將S-box和明文進(jìn)行xor運(yùn)算，得到密文，解密過程也完全相同。
PRGA部分：
再來看看算法的加密部分（用C代碼表示）：
其中，參數(shù)1是上邊rc4_init函數(shù)中，被攪亂的S-box;
參數(shù)2是需要加密的數(shù)據(jù)data;
參數(shù)3是data的長度.void rc4_crypt(unsigned char *s, unsigned char *Data, unsigned long Len)
{
int x = 0, y = 0, t = 0, i = 0;
for(i=0;i { x=(x+1)%256; y=(y+s[x])%256; t=(s[x]+s[y])%256;swap(s,x,y); Data[i] ^= s[t]; } } 最后，在main函數(shù)中，調(diào)用順序如下： void main() { unsigned char s[256] = {0};//S-box unsigned char key[256] = {”just for test“}; unsigned char pData[512] = ”這是一個(gè)用來加密的數(shù)據(jù)Data“;ULONG len = strlen(pData);printf(”pData = %sn“,pData);printf(”key = %s, length = %dn“,key,strlen(key)); rc4_init(s,(unsigned char *)key,strlen(key));//初始化 rc4_crypt(s,(unsigned char *)pData,len);//加密 printf(”pData = %snn“,pData); rc4_crypt(s,(unsigned char *)pData,len);//解密 printf(”pData = %snn",pData);} 實(shí)現(xiàn)二（對實(shí)現(xiàn)一的改進(jìn)） 許多流加密算法都是基于Linear feedback shift register（LFSRs, 寄存器線性反饋移位）, 雖然在硬件上有效率但是在軟件實(shí)現(xiàn)上卻可能比較慢。RC4的設(shè)計(jì)避免了LFSRs的使用，對于軟件實(shí)現(xiàn)是相當(dāng)理想的，它只需字節(jié)操作，使用了256字節(jié)的 狀態(tài)數(shù)組（從S[0]到S[255]）, k字節(jié)的key內(nèi)存（從key[0]到key[k-1]），整數(shù)i,j和k。進(jìn)行256的取模操作可以用255的字節(jié)AND來進(jìn)行（在有些平臺上，只需簡單地進(jìn)行字節(jié)相加，忽略掉溢出即可）。 /*交換數(shù)組s中的兩個(gè)元素*/ void swap(unsigned char *s, unsigned int i, unsigned int j){ unsigned char temp = s[i];s[i] = s[j];s[j] = temp;} /*KSA算法初始化s-box*/ void rc4_init(unsigned char *s, unsigned char *key, unsigned long length){ unsigned int i = 0, j = 0;unsigned char temp = 0;for(i = 0;i < 256;i++){ s[i] = i;} for(i = 0;i < 256;i++){ } } /*和255進(jìn)行邏輯與運(yùn)算相當(dāng)于對256求模*/ j =(j+s[i]+key[i%length])&255;swap(s, i, j);/*PRGA算法生成偽隨機(jī)序列*/ void rc4_crypt(unsigned char *s, unsigned char *data, unsigned long length){ int x = 0, y = 0, t = 0, i = 0;for(i=0;i x =(x+1)&255; y =(y+s[x])&255; swap(s, x, y); t =(s[x]+s[y])&255; data[i] ^= s[t];} } RC電路在模擬電路、脈沖數(shù)字電路中得到廣泛的應(yīng)用，由于電 路的形式以及信號源和R，C元件參數(shù)的不同，因而組成了RC電路的各種應(yīng)用形式：微分電路、積分電路、耦合電路、濾波電路及脈沖分壓器。關(guān)鍵詞：RC電路。微分、積分電路。耦合電路。在模擬及脈沖數(shù)字電路中，常常用到由電阻R和電容C組成的RC電路，在些電路中，電阻R和電容C的取值不同、輸入和輸出關(guān)系以及處理的波形之間的關(guān)系，產(chǎn)生了RC電路的 不同應(yīng)用，下面分別談?wù)勎⒎蛛娐?、積分電路、耦合電路、脈沖分壓器以及濾波電路。 1.RC微分電路 如圖1所示，電阻R和電容C串聯(lián)后接入輸入信號VI，由電阻R輸出信號VO，當(dāng)RC 數(shù)值與輸入方波寬度tW之間滿足：RC< 在t=t1時(shí)，VI由0→Vm，因電容上電壓不能突變（來不及充電，相當(dāng)于短 路，VC＝0），輸入電壓VI全降在電阻R上，即VO＝VR＝VI＝V m。隨后（t>t1），電容C的電壓按指數(shù)規(guī)律快速充電上升，輸出電壓隨之按指數(shù)規(guī) 律下降（因VO＝VI－VC＝Vm－VC），經(jīng)過大約3τ（τ＝R × C）時(shí)，VCVm，VO0，τ（RC）的值愈小，此過程愈快，輸出正 脈沖愈窄。 t=t2時(shí)，VI由Vm→0,相當(dāng)于輸入端被短路，電容原先充有左正右負(fù)的電壓V m開始按指數(shù)規(guī)律經(jīng)電阻R放電，剛開始，電容C來不及放電，他的左端（正電）接地，所以VO＝－Vm，之后VO隨電容的放電也按指數(shù)規(guī)律減小，同樣經(jīng)過大 約3τ后，放電完畢，輸出一個(gè)負(fù)脈沖。 只要脈沖寬度tW>（5~10）τ，在tW時(shí)間內(nèi)，電容C已完成充電或放電（約需3 τ），輸出端就能輸出正負(fù)尖脈沖，才能成為微分電路，因而電路的充放電時(shí)間常數(shù)τ必須 滿足：τ＜（1/5~1/10）tW，這是微分電路的必要條件。 由于輸出波形VO與輸入波形VI之間恰好符合微分運(yùn)算的結(jié)果［VO=RC（dVI/dt）］，即輸出波形是取輸入波形的變化部分。如果將VI按傅里葉級展開，進(jìn)行微分運(yùn)算的結(jié)果，也將是VO的表達(dá)式。他主要用于對復(fù)雜波形的分離和分頻器，如從電視信號的復(fù)合同步脈沖分離出行同步脈沖和時(shí)鐘的倍頻應(yīng)用。 2.RC耦合電路 圖1中，如果電路時(shí)間常數(shù)τ（RC）>>tW，他將變成一個(gè)RC耦合電路。輸 出波形與輸入波形一樣。如圖3所示。 （1）在t=t1時(shí)，第一個(gè)方波到來，VI由0→Vm，因電容電壓不能突變（VC=0），VO=VR=VI=Vm。 （2）t1 （3）t=t2時(shí)，VO由Vm→0，相當(dāng)于輸入端被短路，此時(shí)，VC已充有左 正右負(fù)電壓Δ［Δ=（VI/τ）×tW］，經(jīng)電阻R非常緩慢地放電。 （4）t=t3時(shí)，因電容還來不及放完電，積累了一定電荷，第二個(gè)方波到來，電阻上的電 壓就不是Vm，而是VR=Vm-VC（VC≠0），這樣第二個(gè)輸出 方波比第一個(gè)輸出方 波略微往下平移，第三個(gè)輸出方波比第二個(gè)輸出方波又略微往下平移，…，最后，當(dāng)輸出波 形的正半周“面積”與負(fù)半周“面積”相等時(shí)，就達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。也就是電容在一個(gè)周期 內(nèi)充得的電荷與放掉的電荷相等時(shí)，輸出波形就穩(wěn)定不再平移，電容上的平均電壓等于輸入 信號中電壓的直流分量（利用C的隔直作用），把輸入信號往下平移這個(gè)直流分量，便得到 輸出波形，起到傳送輸入信號的交流成分，因此是一個(gè)耦合電路。 以上的微分電路與耦合電路，在電路形式上是一樣的，關(guān)鍵是tW與τ的關(guān)系，下面比 較一下τ與方波周期T（T>tW）不同時(shí)的結(jié)果，如圖4所示。在這三種情形中，由于電 容C的隔直作用，輸出波形都是一個(gè)周期內(nèi)正、負(fù)“面積”相等，即其平均值為0，不再含有 直流成份。 ①當(dāng)τ>>T時(shí)，電容C的充放電非常緩慢，其輸出波形近似理想方波，是理想耦合電路。 ②當(dāng)τ=T時(shí)，電容C有一定的充放電，其輸出波形的平頂部分有一定的下降或上升，不是 理想方波。 ③當(dāng)τ< 3.RC積分電路 如圖5所示，電阻R和電容C串聯(lián)接入輸入信號VI，由電容C輸出信號V0，當(dāng)RC（τ）數(shù)值與輸入方波寬度tW之間滿足：τ>>tW，這種電路稱為積分電路。在 電容C兩端（輸出端）得到鋸齒波電壓，如圖6所示。 （3）t=t2時(shí)，VI由Vm→0，相當(dāng)于輸入端被短路，電容原先充有左正右負(fù)電 壓VI（VI 這樣，輸出信號就是鋸齒波，近似為三角形波，τ>>tW是本電路必要條件，因?yàn)樗?在方波到來期間，電容只是緩慢充電，VC還未上升到Vm時(shí)，方波就消失，電容 開始放電，以免電容電壓出現(xiàn)一個(gè)穩(wěn)定電壓值，而且τ越大，鋸齒波越接近三角波。輸出波 形是對輸入波形積分運(yùn)算的結(jié)果號的變化量。，他是突出輸入信號的直流及緩變分量，降低輸入信4.RC濾波電路（無源） 在模擬電路，由RC組成的無源濾波電路中，根據(jù)電容的接法及大小主要可分為低通濾波 電路（如圖7）和高通濾波電路（如圖8）。 (1)在圖7的低通濾波電路中，他跟積分電路有些相似（電容C都是并在輸出端），但 他們是應(yīng) 用在不同的電路功能上，積分電路主要是利用電容C充電時(shí)的積分作用，在輸入方波情形下，來產(chǎn)生周期性的鋸齒波（三角波），因此電容C及電阻R是根據(jù)方波的tW來選取，而 低通濾波電路，是將較高頻率的信號旁路掉（因XC=1/（2πfC），f較大時(shí)，XC較 小，相當(dāng)于短路），因而電容C的值是參照低頻點(diǎn)的數(shù)值來確定，對于電源的濾波電路，理 論上C值愈大愈好。 (2)圖8的高通濾波電路與微分電路或耦合電路形式相同。在脈沖數(shù)字電路中，因RC與脈 寬tW的關(guān)系不同而區(qū)分為微分電路和耦合電路；在模擬電路，選擇恰當(dāng)?shù)碾娙軨值，就可以有選擇性地讓較高頻的信號通過，而阻斷直流及低頻信號，如高音喇叭串接的電容，就是阻止中低音進(jìn)入高音喇叭，以免燒壞。另一方面，在多級交流放大電路中，他也是一種 耦合電路。 5.RC脈沖分壓器 當(dāng)需要將脈沖信號經(jīng)電阻分壓傳到下一級時(shí)，由于電路中存在各種形式的電容，如寄生電容，他相當(dāng)于在負(fù)載側(cè)接有一負(fù)載電容（如圖9），當(dāng)輸入一脈沖信號時(shí)，因電容CL的 充電，電壓不能突變，使輸出波形前沿變壞，失真。為此，可在R1兩端并接一加速電容 C1，這樣組成一個(gè)RC脈沖分壓器（如圖10）。 (1)t=0+時(shí)，電容視為短路，電流只流經(jīng)C1，CL，VO由C1和CL分壓得到： 但是，任何信號源都有一定的內(nèi)阻，以及一些電路的需要，通常采取過補(bǔ)償?shù)霓k法，如電視 信號中，為突出傳送圖像的輪廓，采用勾邊電路，就是通過加大C1的取值。 求RC電路的放電時(shí)間為1分鍾，電壓從9V降到5v.放電電流為300mA左右，選擇最佳的的R值和C值。 RC電路的放電方程是：UC=US*e-t/RC，其中，US=9，UC=5，t=60，代入公式可求出時(shí)間常數(shù)RC的值，現(xiàn)在關(guān)鍵的就是要確定R和C的值了，它只能通過你所要求的放電電路來選擇了，由放電電流公式：I=C*dU/dt，再將此公式代入上面的公式中可得：I=-US*C/RCe-t/RC，將C看成一個(gè)未知參數(shù)，然后作出I-t曲線，計(jì)算出該曲線與直線I=300所圍成的面積，這個(gè)積分上下限為t=0-60，去使面積最小的C值就可. 算法分析與設(shè)計(jì)總結(jié)報(bào)告 71110415 錢玉明 在計(jì)算機(jī)軟件專業(yè)中，算法分析與設(shè)計(jì)是一門非常重要的課程，很多人為它如癡如醉。很多問題的解決，程序的編寫都要依賴它，在軟件還是面向過程的階段，就有程序=算法+數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)這個(gè)公式。算法的學(xué)習(xí)對于培養(yǎng)一個(gè)人的邏輯思維能力是有極大幫助的，它可以培養(yǎng)我們養(yǎng)成思考分析問題，解決問題的能力。作為IT行業(yè)學(xué)生，學(xué)習(xí)算法無疑會(huì)增強(qiáng)自己的競爭力，修煉自己的“內(nèi)功”。 下面我將談?wù)勎覍@門課程的心得與體會(huì)。 一、數(shù)學(xué)是算法的基礎(chǔ) 經(jīng)過這門課的學(xué)習(xí)，我深刻的領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)是一切算法分析與設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。這門課的很多時(shí)間多花在了數(shù)學(xué)公式定理的引入和證明上。雖然很枯燥，但是有必不可少。我們可以清晰的看到好多算法思路是從這些公式定理中得出來的，尤其是算法性能的分析更是與數(shù)學(xué)息息相關(guān)。其中有幾個(gè)定理令我印象深刻。 ①主定理 本門課中它主要應(yīng)用在分治法性能分析上。例如：T(n)=a*T(n/b)+f(n)，它可以看作一個(gè)大問題分解為a個(gè)子問題，其中子問題的規(guī)模為b。而f(n)可看作這些子問題的組合時(shí)的消耗。這些可以利用主定理的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行分析處理。當(dāng)f(n)量級高于nlogba時(shí)，我們可以設(shè)法降低子問題組合時(shí)的消耗來提高性能。反之我們可以降低nlogba的消耗，即可以擴(kuò)大問題的規(guī)?；蛘邷p小子問題的個(gè)數(shù)。因此主定理可以幫助我們清晰的分析出算法的性能以及如何進(jìn)行有效的改進(jìn)。 ②隨機(jī)算法中的許多定理的運(yùn)用 在這門課中，我學(xué)到了以前從未遇見過的隨機(jī)算法，它給予我很大的啟示。隨機(jī)算法不隨機(jī)，它可通過多次的嘗試來降低它的錯(cuò)誤率以至于可以忽略不計(jì)。這些都不是空穴來風(fēng)，它是建立在嚴(yán)格的定理的證明上。如素?cái)?shù)判定定理是個(gè)很明顯的例子。它運(yùn)用了包括費(fèi)馬小定理在內(nèi)的各種定理。將這些定理進(jìn)行有效的組合利用，才得出行之有效的素?cái)?shù)判定的定理。尤其是對尋找證據(jù)數(shù)算法的改進(jìn)的依據(jù)，也是建立在3個(gè)定理上。還有檢查字符串是否匹配也是運(yùn)用了許多定理：指紋的運(yùn)用，理論出錯(cuò)率的計(jì)算，算法性能的評價(jià)也都是建立在數(shù)學(xué)定理的運(yùn)用上。 這些算法都給予了我很大啟發(fā)，要想學(xué)好算法，學(xué)好數(shù)學(xué)是必不可少的。沒有深厚的數(shù)學(xué)功力作為地基，即使再漂亮的算法框架，代碼實(shí)現(xiàn)也只能是根底淺的墻上蘆葦。 二、算法的核心是思想 我們學(xué)習(xí)這門課不是僅僅掌握那幾個(gè)經(jīng)典算法例子，更重要的是為了學(xué)習(xí)蘊(yùn)含在其中的思想方法。為什么呢？舉個(gè)例子。有同學(xué)曾問我這樣一個(gè)問題：1000只瓶子裝滿水，但有一瓶有毒，且毒發(fā)期為1個(gè)星期?，F(xiàn)在用10只老鼠在一個(gè)星期內(nèi)判斷那只瓶子有毒，每只老鼠可以喝多個(gè)瓶子的水，每個(gè)瓶子可以只喝一點(diǎn)。問如何解決？其實(shí)一開始我也一頭霧水，但是他提醒我跟計(jì)算機(jī)領(lǐng)域相關(guān)，我就立馬有了思路，運(yùn)用二進(jìn)制。因?yàn)橛?jì)算機(jī)的最基本思想就是二進(jìn)制。所以說，我們不僅要學(xué)習(xí)算法，更得學(xué)習(xí)思想方法。 ①算法最基本的設(shè)計(jì)方法包括分治法，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法，貪心法，周游法，回溯法，分支定界法。我們可利用分治法做快速排序，降低找n個(gè)元素中最大元和最小元的量級，降低n位二進(jìn)制x和y相乘的量級，做Strassen矩陣乘法等等。它的思想就是規(guī)模很大的問題分解為規(guī)模較小的獨(dú)立的子問題，關(guān)鍵是子問題要與原問題同類，可以采取平衡法來提高性能。 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法是把大問題分解為子問題，但是子問題是重復(fù)的，后面的問題可以利用前面解決過的問題的結(jié)果。如構(gòu)造最優(yōu)二叉查找樹，解決矩陣連乘時(shí)最小計(jì)算次數(shù)問題，尋找最長公共子序列等等。 貪心法就是局部最優(yōu)法，先使局部最優(yōu)，再依次構(gòu)造出更大的局部直至整體。如Kruscal最小生成樹算法，求哈夫曼編碼問題。 周游法就是簡單理解就是采取一定的策略遍歷圖中所有的點(diǎn)，典型的應(yīng)用就是圖中的深度優(yōu)先搜索(DFS)和廣度優(yōu)先搜索(BFS)。 回溯法就是就是在滿足一定的條件后就往前走，當(dāng)走到某步時(shí)，發(fā)現(xiàn)不滿足條件就退回一步重新選擇新的路線。典型的應(yīng)用就是8皇后問題，平面點(diǎn)集的凸包問題和0-1背包問題。 分支定界法：它是解決整數(shù)規(guī)劃問題一種最常用的方法。典型應(yīng)用就是解決整數(shù)規(guī)劃問題。 ②評價(jià)算法性能的方法如平攤分析中的聚集法，會(huì)計(jì)法和勢能法。聚集法就是把指令分為幾類，計(jì)算每一類的消耗，再全部疊加起來。會(huì)計(jì)法就是計(jì)算某個(gè)指令時(shí)提前將另一個(gè)指令的消耗也算進(jìn)去，以后計(jì)算另一個(gè)指令時(shí)就不必再算了。勢能法計(jì)算每一步的勢的變化以及執(zhí)行這步指令的消耗，再將每一步消耗全部累計(jì)。 這幾種方法都是平攤分析法，平攤分析的實(shí)質(zhì)就是總體考慮指令的消耗時(shí)間，盡管某些指令的消耗時(shí)間很大也可以忽略不計(jì)。上述三種方法難易程度差不多，每種方法都有屬于它的難點(diǎn)。如聚集法中如何將指令有效分類，會(huì)計(jì)法中用什么指令提前計(jì)算什么指令的消耗，勢能法中如何選取勢能。因此掌握這些方法原理還不夠，還要學(xué)會(huì)去應(yīng)用，在具體的問題中去判斷分析。 三、算法與應(yīng)用緊密相關(guān) 我認(rèn)為學(xué)習(xí)算法不能局限于書本上的理論運(yùn)算，局限于如何提高性能以降低復(fù)雜度，我們要將它與實(shí)際生活聯(lián)系起來。其實(shí)算法問題的產(chǎn)生就來自于生活，設(shè)計(jì)出高效的算法就是為了更好的應(yīng)用。如尋找最長公共子序列算法可以應(yīng)用在生物信息學(xué)中通過檢測相似DNA片段的相似成分來檢測生物特性的相似性，也可以用來判斷兩個(gè)字符串的相近性，這可應(yīng)用在數(shù)據(jù)挖掘中?？焖俑盗⑷~變換（FFT）可應(yīng)用在計(jì)算多項(xiàng)式相乘上來降低復(fù)雜度，脫線min算法就是利用了Union-Find這種結(jié)構(gòu)。還有圖中相關(guān)算法，它對于解決網(wǎng)絡(luò)流量分配問題起了很大的幫助，等等。 這些應(yīng)用給了我很大的啟發(fā)：因?yàn)閱渭冎v一個(gè)Union-Find算法，即使了解了它的實(shí)現(xiàn)原理，遇到具體的實(shí)際問題也不知去如何應(yīng)用。這就要求我們要將自己學(xué)到的算法要和實(shí)際問題結(jié)合起來，不能停留在思想方法階段，要學(xué)以致用，做到具體問題具體分析。 四、對計(jì)算模型和NP問題的理解 由于對這部分內(nèi)容不是很理解，所以就粗淺的談一下我的看法。 首先談到計(jì)算模型，就不得不提到圖靈計(jì)算，他將基本的計(jì)算抽象化，造出一個(gè)圖靈機(jī)，得出了計(jì)算的本質(zhì)。并提出圖靈機(jī)可以計(jì)算的問題都是可以計(jì)算的，否則就是不可計(jì)算的。由此引申出一個(gè)著名論題：任何合理的計(jì)算模型都是相互等價(jià)的。它說明了可計(jì)算性本身不依賴于任何具體的模型而客觀存在。 NP問題比較復(fù)雜，我認(rèn)為它是制約算法發(fā)展的瓶頸，但這也是算法分析的魅力所在。NP問題一般可分為3類，NP-C問題，NP-hard問題以及頑型問題。NP-C它有個(gè)特殊的性質(zhì)，如果存在一個(gè)NP-C問題找到一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間的解法，則所有的NP-C問題都能找到多項(xiàng)式時(shí)間解法。如哈密頓回路問題。NP-hard主要是解決最優(yōu)化問題。它不一定是NP問題。這些問題在規(guī)模較小時(shí)可以找出精確解，但是規(guī)模大時(shí)，就因時(shí)間太復(fù)雜而找不到最優(yōu)解。此時(shí)一般會(huì)采用近似算法的解法。頑型問題就是已經(jīng)證明不可能有多項(xiàng)式時(shí)間的算法，如漢諾塔問題。 最后談?wù)剬@門課程的建議 ①對于這門算法課，我認(rèn)為應(yīng)該加強(qiáng)對算法思想方法的學(xué)習(xí)。所以我建議老師可不可以先拋出問題而不給出答案，講完一章，再發(fā)課件。讓我們先思考一會(huì)兒，或者給出個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制，誰能解決這個(gè)問題，平時(shí)成績加分。這在一定程度上會(huì)將強(qiáng)我們思考分析問題的能力。因?yàn)槲腋杏X到，一個(gè)問題出來，未經(jīng)過思考就已經(jīng)知曉它的答案，就沒什么意思，得不到提高，而且也不能加深對問題的思考和理解。下次遇到類似的問題也就沒有什么印象。而且上課讓我們思考，點(diǎn)名回答問題可以一定程度上有效的防止不認(rèn)真聽課的現(xiàn)象。 ②作業(yè)安排的不是很恰當(dāng)。本門課主要安排了三次作業(yè)，個(gè)人感覺只有第一次作業(yè)比較有意思。后面兩次作業(yè)只是實(shí)現(xiàn)一下偽代碼，沒有太多的技術(shù)含量。而且對于培養(yǎng)我們的解決問題的能力也沒有太多的幫助，因?yàn)檫@間接成為了程序設(shè)計(jì)題，不是算法設(shè)計(jì)題。 ③本門課的時(shí)間安排的不太恰當(dāng)，因?yàn)楸緦W(xué)期的課程太多，壓力太大。沒有太多的時(shí)間去學(xué)習(xí)這門課程。因?yàn)槲蚁嘈糯蠹叶紝λ信d趣，比較重視，想花功夫，但苦于沒時(shí)間。所以可不可以將課程提前一個(gè)學(xué)期，那時(shí)候離散數(shù)學(xué)也已經(jīng)學(xué)過，且課程的壓力也不是很大。錯(cuò)開時(shí)間的話，我覺得應(yīng)該能夠更好提高大家算法分析設(shè)計(jì)的能力。 算法分塊總結(jié) 為備戰(zhàn)2005年11月4日成都一戰(zhàn)，特將已經(jīng)做過的題目按算法分塊做一個(gè)全面詳細(xì)的總結(jié)，主要突出算法思路，盡量選取有代表性的題目，盡量做到算法的全面性，不漏任何ACM可能涉及的算法思路。算法設(shè)計(jì)中，時(shí)刻都要牢記要減少冗余，要以簡潔高效為追求目標(biāo)。另外當(dāng)遇到陌生的問題時(shí)，要想方設(shè)法進(jìn)行模型簡化，轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的東西。 圖論模型的應(yīng)用 分層圖思想的應(yīng)用： 用此思想可以建立起更簡潔、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)模型，進(jìn)而很容易得到有效算法。重要的是，新建立的圖有一些很好的性質(zhì)： 由于層是由復(fù)制得到的，所以所有層都非常相似，以至于我們只要在邏輯上分出層的概念即可，根本不用在程序中進(jìn)行新層的存儲(chǔ)，甚至幾乎不需要花時(shí)間去處理。由于層之間的相似性，很多計(jì)算結(jié)果都是相同的。所以我們只需對這些計(jì)算進(jìn)行一次，把結(jié)果存起來，而不需要反復(fù)計(jì)算。如此看來，雖然看起來圖變大了，但實(shí)際上問題的規(guī)模并沒有變大。層之間是拓?fù)溆行虻?。這也就意味著在層之間可以很容易實(shí)現(xiàn)遞推等處理，為發(fā)現(xiàn)有效算法打下了良好的基礎(chǔ)。 這些特點(diǎn)說明這個(gè)分層圖思想還是很有潛力的，尤其是各層有很多公共計(jì)算結(jié)果這一點(diǎn)，有可能大大消除冗余計(jì)算，進(jìn)而降低算法時(shí)間復(fù)雜度。二分圖最大及完備匹配的應(yīng)用： ZOJ place the robots: 二分圖最優(yōu)匹配的應(yīng)用： 最大網(wǎng)絡(luò)流算法的應(yīng)用：典型應(yīng)用就求圖的最小割。最小費(fèi)用最大流的應(yīng)用： 容量有上下界的最大流的應(yīng)用： 歐拉路以及歐拉回路的應(yīng)用：主要利用求歐拉路的套圈算法。最小生成樹： 求最小生成樹，比較常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。前者借助Fibonacci堆可以使復(fù)雜度降為O(Vlog2V+E)，后者一般應(yīng)用于稀疏圖，其時(shí)間復(fù)雜度為O(Elog2V)。最小K度限制生成樹： 抽象成數(shù)學(xué)模型就是： 設(shè)G=(V,E,ω)是連通的無向圖，v0 ∈V是特別指定的一個(gè)頂點(diǎn),k為給定的一個(gè)正整數(shù)。首先考慮邊界情況。先求出問題有解時(shí)k 的最小值：把v0點(diǎn)從圖中刪去后，圖中可能會(huì)出 現(xiàn)m 個(gè)連通分量，而這m 個(gè)連通分量必須通過v0來連接，所以，在圖G 的所有生成樹中 dT(v0)≥m。也就是說，當(dāng)k 首先，將 v0和與之關(guān)聯(lián)的邊分別從圖中刪去，此時(shí)的圖可能不再連通，對各個(gè)連通分量，分別求最小生成樹。接著，對于每個(gè)連通分量V’，求一點(diǎn)v1，v1∈V’,且ω(v0,v1)=min{ω(v0,v’)|v’∈V’}，則該連通分量通過邊(v1,v0)與v0相連。于是，我們就得到了一個(gè)m度限制生成樹，不難證明，這就是最小m度限制生成樹。這一步的時(shí)間復(fù)雜度為O(Vlog2V+E)我們所求的樹是無根樹，為了解題的簡便，把該樹轉(zhuǎn)化成以v0為根的有根樹。 假設(shè)已經(jīng)得到了最小p度限制生成樹，如何求最小p+1 度限制生成樹呢？在原先的樹中加入一條與v0相關(guān)聯(lián)的邊后，必定形成一個(gè)環(huán)。若想得到一棵p+1 度限制生成樹，需刪去一條在環(huán)上的且與v0無關(guān)聯(lián)的邊。刪去的邊的權(quán)值越大，則所得到的生成樹的權(quán)值和就越小。動(dòng)態(tài)規(guī)劃就有了用武之地。設(shè)Best(v)為路徑v0—v上與v0無關(guān)聯(lián)且權(quán)值最大的邊。定義father(v)為v的父結(jié)點(diǎn)，動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)移方程：Best(v)=max(Best(father(v)),(father(v),v))，邊界條件為Best[v0]=-∞，Best[v’]=-∞|(v0,v’)∈E(T)。 狀態(tài)共|V|個(gè)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移的時(shí)間復(fù)雜度O(1)，所以總的時(shí)間復(fù)雜度為O(V)。故由最小p度限制生成樹得到最小p+1度限制生成樹的時(shí)間復(fù)雜度為O(V)。1 先求出最小m度限制生成樹； 2由最小m度限制生成樹得到最小m+1度限制生成樹;3 當(dāng)dT(v0)=k時(shí)停止。 加邊和去邊過程，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃優(yōu)化特別值得注意。 次小生成樹： 加邊和去邊很值得注意。 每加入一條不在樹上的邊，總能形成一個(gè)環(huán)，只有刪去環(huán)上的一條邊，才能保證交換后仍然是生成樹，而刪去邊的權(quán)值越大，新得到的生成樹的權(quán)值和越小。具體做法： 首先做一步預(yù)處理，求出樹上每兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的路徑上的權(quán)值最大的邊，然后，枚舉圖中不在樹上的邊，有了剛才的預(yù)處理，我們就可以用O(1)的時(shí)間得到形成的環(huán)上的權(quán)值最大的邊。如何預(yù)處理呢？因?yàn)檫@是一棵樹，所以并不需要什么高深的算法，只要簡單的BFS 即可。 最短路徑的應(yīng)用： Dijkstra 算法應(yīng)用： Folyed 算法應(yīng)用： Bellman-Ford 算法的應(yīng)用： 差分約束系統(tǒng)的應(yīng)用： 搜索算法 搜索對象和搜索順序的選取最為重要。一些麻煩題，要注意利用數(shù)據(jù)有序化，要找一個(gè)較優(yōu)的搜索出發(fā)點(diǎn)，凡是能用高效算法的地方盡量爭取用高效算法。基本的遞歸回溯深搜，記憶化搜索，注意剪枝： 廣搜（BFS）的應(yīng)用： 枚舉思想的應(yīng)用： ZOJ 1252 island of logic A*算法的應(yīng)用： IDA*算法的應(yīng)用，以及跳躍式搜索探索： 限深搜索，限次： 迭代加深搜索： 部分搜索+高效算法（比如二分匹配，動(dòng)態(tài)規(guī)劃）： ZOJ milk bottle data: 剪枝優(yōu)化探索： 可行性剪枝，最優(yōu)性剪枝，調(diào)整搜索順序是常用的優(yōu)化手段。 動(dòng)態(tài)規(guī)劃 動(dòng)態(tài)規(guī)劃最重要的就是狀態(tài)的選取，以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，另外還要考慮高效的預(yù)處理（以便更好更快的實(shí)現(xiàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移）。最常用的思想就是用枚舉最后一次操作。 狀態(tài)壓縮DP，又叫帶集合的動(dòng)態(tài)規(guī)劃：題目特點(diǎn)是有一維的維數(shù)特別小。類似TSP問題的DP： 狀態(tài)劃分比較困難的題目： 樹形DP： 四邊形不等式的應(yīng)用探索：四邊形不等式通常應(yīng)用是把O(n^3)復(fù)雜度O(n^2) 高檔數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的應(yīng)用 并查集的應(yīng)用： 巧用并查集中的路徑壓縮思想： 堆的利用： 線段樹的應(yīng)用： 總結(jié)用線段樹解題的方法 根據(jù)題目要求將一個(gè)區(qū)間建成線段樹，一般的題目都需要對坐標(biāo)離散。建樹時(shí)，不要拘泥于線段樹這個(gè)名字而只將線段建樹，只要是表示區(qū)間，而且區(qū)間是由單位元素(可以是一個(gè)點(diǎn)、線段、或數(shù)組中一個(gè)值)組成的，都可以建線段樹；不要拘泥于一維，根據(jù)題目要求可以建立面積樹、體積樹等等 樹的每個(gè)節(jié)點(diǎn)根據(jù)題目所需，設(shè)置變量記錄要求的值 用樹形結(jié)構(gòu)來維護(hù)這些變量：如果是求總數(shù)，則是左右兒子總數(shù)之和加上本節(jié)點(diǎn)的總數(shù)，如果要求最值，則是左右兒子的最大值再聯(lián)系本區(qū)間。利用每次插入、刪除時(shí)，都只對O(logL)個(gè)節(jié)點(diǎn)修改這個(gè)特點(diǎn)，在O(logL)的時(shí)間內(nèi)維護(hù)修改后相關(guān)節(jié)點(diǎn)的變量。 在非規(guī)則刪除操作和大規(guī)模修改數(shù)據(jù)操作中，要靈活的運(yùn)用子樹的收縮與葉子節(jié)點(diǎn)的釋放，避免重復(fù)操作。 Trie的應(yīng)用：； Trie圖的應(yīng)用探索： 后綴數(shù)組的應(yīng)用研究： 在字符串處理當(dāng)中，后綴樹和后綴數(shù)組都是非常有力的工具，其中后綴樹了解得比較多，關(guān)于后綴數(shù)組則很少見于國內(nèi)的資料。其實(shí)后綴數(shù)組是后綴樹的一個(gè)非常精巧的替代品，它比后綴樹容易編程實(shí)現(xiàn)，能夠?qū)崿F(xiàn)后綴樹的很多功能而時(shí)間復(fù)雜度也不太遜色，并且，它比后綴樹所占用的空間小很多。 樹狀數(shù)組的應(yīng)用探索：； 計(jì)算幾何 掌握基本算法的實(shí)現(xiàn)。凸包的應(yīng)用：； 半平面交算法的應(yīng)用：； 幾何+模擬類題目：幾何設(shè)計(jì)好算法，模擬控制好精度。掃描法：； 轉(zhuǎn)化法：ZOJ 1606 將求所圍的格子數(shù)，巧妙的轉(zhuǎn)化為求多邊形的面積。離散法思想的應(yīng)用：； 經(jīng)典算法：找平面上的最近點(diǎn)對。 貪心 矩形切割 二分思想應(yīng)用 活用經(jīng)典算法 利用歸并排序算法思想求數(shù)列的逆序?qū)?shù)： 利用快速排序算法思想，查詢N個(gè)數(shù)中的第K小數(shù)： 博弈問題 博弈類題目通常用三類解法：第一類推結(jié)論； 第二類遞推，找N位置，P位置； 第三類SG函數(shù)的應(yīng)用。第四類極大極小法，甚至配合上αβ剪枝。最難掌握的就是第四類極大極小法。 第一類：推結(jié)論。典型題目： 第二類：遞推。典型題目： 比如有向無環(huán)圖類型的博弈。在一個(gè)有向圖中，我們把選手I有必勝策略的初始位置稱為N位置(Next player winning)，其余的位置被稱為P位置(Previous player winning)。很顯然，P位置和N位置應(yīng)該具有如下性質(zhì)： 1． 所有的結(jié)束位置都是P位置。 2． 對于每一個(gè)N位置，至少存在一種移動(dòng)可以將棋子移動(dòng)到一個(gè)P位置。3． 對于每一個(gè)P位置，它的每一種移動(dòng)都會(huì)將棋子移到一個(gè)N位置。 這樣，獲勝的策略就是每次都把棋子移動(dòng)到一個(gè)P位置，因?yàn)樵谝粋€(gè)P位置，你的對手只能將棋子移動(dòng)到一個(gè)N位置，然后你總有一種方法再把棋子移動(dòng)到一個(gè)P位置。一直這樣移動(dòng)，最后你一定會(huì)將棋子移動(dòng)到一個(gè)結(jié)束位置（結(jié)束位置是P位置），這時(shí)你的對手將無法在移動(dòng)棋子，你便贏得了勝利。 與此同時(shí)，得到了這些性質(zhì)，我們便很容易通過倒退的方法求出哪些位置是P位置，哪些位置是N位置，具體的算法為： 1． 將所有的結(jié)束位置標(biāo)為P位置。 2． 將所有能一步到達(dá)P位置的點(diǎn)標(biāo)為N位置。 3． 找出所有只能到達(dá)N位置的點(diǎn)，將它們標(biāo)為P位置。 4． 如果在第三步中沒有找到新的被標(biāo)為P位置的點(diǎn)，則算法結(jié)束，否則轉(zhuǎn)到步驟2。這樣我們便確定了所有位置，對于題目給出的任一初始位置，我們都能夠很快確定出是選手I獲勝還是選手II獲勝了。第三類：SG函數(shù)的應(yīng)用。 關(guān)于SG函數(shù)的基本知識：對于一個(gè)有向圖(X, F)來說，SG函數(shù)g是一個(gè)在X上的函數(shù)，并且它返回一個(gè)非負(fù)整數(shù)值，具體定義為 g(x)?min{n?0,n?g(y)對于所有y?F(x)} 1． 對于所有的結(jié)束位置x，g(x)= 0。 2． 對于每一個(gè)g(x)≠ 0的位置x，在它可以一步到達(dá)的位置中至少存在一個(gè)位置y使得g(y)= 0。 3．對于每一個(gè)g(x)＝ 0的位置x，所有可以由它一步到達(dá)的位置y都有g(shù)(y)≠ 0。 定理 如果g(xi)是第i個(gè)有向圖的SG函數(shù)值，i = 1,…,n，那么在由這n個(gè)有向圖組成的狀態(tài)的SG函數(shù)值g(x1,…xn)= g(x1)xor g(x2)xor … xor g(xn) 第四類：極大極小法。 典型題目：ZOJ 1155：Triangle War ZOJ 1993：A Number Game 矩陣妙用 矩陣最基本的妙用就是利用快速乘法O（logn）來求解遞推關(guān)系（最基本的就是求Fibonacci數(shù)列的某項(xiàng)）和各種圖形變換，以及利用高斯消元法變成階梯矩陣。典型題目： 數(shù)學(xué)模型舉例 向量思想的應(yīng)用： UVA 10089：注意降維和向量的規(guī)范化 ； 利用復(fù)數(shù)思想進(jìn)行向量旋轉(zhuǎn)。 UVA 10253： 遞推 數(shù)代集合 數(shù)代集合的思想： ACM ICPC 2002-2003, Northeastern European Region, Northern Subregion 中有一題：Intuitionistic Logic 用枚舉+數(shù)代集合思想優(yōu)化，注意到題中有一句話：“You may assume that the number H = |H| of elements of H?doesn't exceed 100”，這句話告訴我們H的元素個(gè)數(shù)不會(huì)超過100，因此可以考慮用一個(gè)數(shù)代替一個(gè)集合，首先把所有的運(yùn)算結(jié)果都用預(yù)處理算出來，到計(jì)算的時(shí)候只要用O(1)的復(fù)雜度就可以完成一次運(yùn)算。 組合數(shù)學(xué) Polya定理則是解決同構(gòu)染色計(jì)數(shù)問題的有力工具。 補(bǔ)集轉(zhuǎn)化思想 ZOJ 單色三角形： 字符串相關(guān) 擴(kuò)展的KMP算法應(yīng)用：；最長回文串； 最長公共子串； 最長公共前綴； 填充問題 高精度運(yùn)算 三維空間問題專題 無論什么問題，一旦擴(kuò)展到三難空間，就變得很有難度了。三維空間的問題，很考代碼實(shí)現(xiàn)能力。 其它問題的心得 解決一些判斷同構(gòu)問題的方法：同構(gòu)的關(guān)鍵在于一一對應(yīng)，而如果枚舉一一對應(yīng)的關(guān)系，時(shí)間復(fù)雜度相當(dāng)?shù)母?，利用最小表示，就能把一個(gè)事物的本質(zhì)表示出來。求最小表示時(shí)，我們一定要仔細(xì)分析，將一切能區(qū)分兩個(gè)元素的條件都在最小表示中體現(xiàn)，而且又不能主觀的加上其他條件。得到最小表示后，我們往往還要尋求適當(dāng)?shù)?、高效的匹配算法（例如KMP字符匹配之類的），來比較最小表示是否相同，這里常常要將我們熟悉的高效算法進(jìn)行推廣 源程序代碼： } 一、自然數(shù)拆分（遞歸） } #include 二、快速排序（遞歸）int a[100];void spilt(int t)#include spilt(j+1);} } int partitions(int a[],int from,int to)void main(){ { int n,i; int value=a[from];printf(“please enter the number:”); while(from a[from]=a[to]; while(from ++from; a[to]=a[from]; } a[from]=value; return from; } void qsort(int a[],int from,int to){ int pivottag;if(from {pivottag=partitions(a,from,to);qsort(a,from,pivottag-1);qsort(a,pivottag+1,to); } scanf(“%d”,&n); for(i=1;i<=n/2;i++){ a[1]=i;a[2]=n-i;spilt(2); 三、刪數(shù)字（貪心） #include int a[11]={3,0,0,0,9,8,1,4,7,5,1}; int k=0,i=0,j; int m; while(i<11) { printf(“%d ”,a[i]); i++;} printf(“n please input delete number:”); 四、全排列（遞歸）#include int i;char temp;if(k==n) for(i=0;i<=3;i++) {printf(“%c ”,a[i]);} else { for(i=k;i<=n;i++) { temp=a[i]; a[i]=a[k]; a[k]=temp; A(a,k+1,n); } } } main(){ int n; char a[4]={'a','b','c','d'},temp; A(a,0,3); getch(); return 0;} 五、多段圖（動(dòng)態(tài)規(guī)劃）#include “stdio.h” #define n 12 //圖的頂點(diǎn)數(shù) { while(from scanf(“%d”,&m);for(k=0;k { for(i=0;i<=11-k;i++) { if(a[i]>a[i+1]) { for(j=i;j<10;j++) {a[j]=a[j+1];} break;//滿足條件就跳轉(zhuǎn) } } } int quicksort(int a[],int n){ qsort(a,0,n);} } printf(“the change numbers:”); for(i=0;i<11-m;i++) { if(a[i]!=0) { printf(“%d ”,a[i]);} } } #define k 4 //圖的段數(shù) #define MAX 23767 int cost[n][n];//成本值數(shù)組 int path[k];//存儲(chǔ)最短路徑的數(shù)組 void creatgraph()//創(chuàng)建圖的(成本)鄰接矩陣 { int i,j; for(i=0;i for(j=0;j scanf(“%d”,&cost[i][j]);//獲取成本矩陣數(shù)據(jù) } void printgraph()//輸出圖的成本矩陣 { int i,j; printf(“成本矩陣:n”); for(i=0;i { for(j=0;j printf(“%d ”,cost[i][j]); printf(“n”); } } //使用向前遞推算法求多段圖的最短路徑 void FrontPath(){ int i,j,length,temp,v[n],d[n]; for(i=0;i v[i]=0;for(i=n-2;i>=0;i--){ for(length=MAX,j=i+1;j<=n-1;j++) if(cost[i][j]>0 &&(cost[i][j])+v[j] {length=cost[i][j]+v[j];temp=j;} v[i]=length; d[i]=temp; } path[0]=0;//起點(diǎn) path[k-1]=n-1;//最后的目標(biāo) for(i=1;i<=k-2;i++)(path[i])=d[path[i-1]];//將最短路徑存入數(shù)組中 } //使用向后遞推算法求多段圖的最短路徑 void BackPath(){ int i,j,length,temp,v[n],d[n]; for(i=0;i for(i=1;i<=n-1;i++) { for(length=MAX,j=i-1;j>=0;j--) if(cost[j][i]>0 &&(cost[j][i])+v[j] {length=cost[j][i]+v[j];temp=j;} v[i]=length; d[i]=temp; } path[0]=0; path[k-1]=n-1; for(i=k-2;i>=1;i--)(path[i])=d[path[i+1]];} //輸出最短路徑序列 void printpath(){ int i; for(i=0;i printf(“%d ”,path[i]);} main(){ freopen(“E:1input.txt”,“r”,stdin); creatgraph(); printgraph(); FrontPath(); printf(“輸出使用向前遞推算法所得的最短路徑:n”); printpath(); printf(“n輸出使用向后遞推算法所得的最短路徑:n”); BackPath(); printpath();printf(“n”);} 六、背包問題（遞歸）int knap(int m, int n){ int x; x=m-mn; if x>0 sign=1; else if x==0 sign=0; else sign=-1; switch(sign){ case 0: knap=1;break; case 1: if(n>1) if knap(m-mn,n-1) knap=1; else knap= knap(m,n-1); else knap=0; case-1: if(n>1) knap= knap(m,n-1); else knap=0; } } 七、8皇后（回溯）#include int i; i=1; while(i if((X[i]==X[k])||(abs(X[i]-X[k])==abs(i-k))) return 0; i++; } return 1;} void Nqueens(int X[N+1]){ int k, i; X[1]=0;k=1; while(k>0){ X[k]=X[k]+1; while((X[k]<=N)&&(!place(k,X))) X[k]=X[k]+1; if(X[k]<=N) if(k==N){ for(i=1;i<=N;i++) printf(“%3d”,X[i]);printf(“n”); } else{ k=k+1; X[k]=0; } else k=k-1; } } void main(){ int n, i; int X[N+1]={0}; clrscr(); Nqueens(X); printf(“The end!”);} 八、圖著色（回溯）#include int j,t; while(1){ nextValue(k); if(X[k]==0) return 0; if(k==(N-1)){ for(t=0;t printf(“%3d”,X[t]); printf(“n”); count++; } else mcoloring(k+1); } } int nextValue(int k){ int j; while(1){ X[k]=(X[k]+1)%(M+1); if(X[k]==0) return 0; for(j=0;j if((GRAPH[k][j]==1)&&(X[k]==X[j])) break; } if(j==N){ return 0; } } } void main(){ int k; clrscr(); k=0; mcoloring(k); printf(“ncount=%dn”,count);} 矩陣鏈乘法（動(dòng)態(tài)規(guī)劃）? 符號S[i, j]的意義： 符號S(i, j)表示，使得下列公式右邊取最小值的那個(gè)k值 public static void matrixChain(int [ ] p, int [ ][ ] m, int [ ][ ] s) { int n=p.length-1; for(int i = 1;i <= n;i++)m[i][i] = 0; for(int r = 2;r <= n;r++) for(int i = 1;i <= n-r+1;i++){ int j=i+r-1; m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j]; s[i][j] = i; for(int k = i+1;k < j;k++){ int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]; if(t < m[i][j]){ m[i][j] = t; s[i][j] = k;} } } } O的定義： 如果存在兩個(gè)正常數(shù)c和n0，對于所有的n≥n0時(shí)，有： |f(n)|≤c|g(n)|，稱函數(shù)f(n)當(dāng)n充分大時(shí)的階比g(n)低，記為 f(n)=O(g(n))。計(jì)算時(shí)間f(n)的一個(gè)上界函數(shù) Ω的定義： 如果存在正常數(shù)c和n0，對于所有n≥n0時(shí)，有： |f(n)|≥c|g(n)|，則稱函數(shù)f(n)當(dāng)n充分大時(shí)下有界，且g(n)是它的一個(gè)下界，即f(n)的階不低于g(n)的階。記為： f(n)=Ω(g(n))。Θ的定義： 如果存在正常數(shù)c1，c2和n0，對于所有的n>n0，有： c1|g(n)|≤f(n)≤c2|g(n)|，則記f(n)=Θ(g(n))意味著該算法在最好和最壞的情況下計(jì)算時(shí)間就一個(gè)常因子范圍內(nèi)而言是相同的。(1)多項(xiàng)式時(shí)間算法： O(1) (2)指數(shù)時(shí)間算法： O(2n) Move(n,n+1)(2n+1,2n+2)move(2n-1,2n)(n,n+1)call chess(n-1) 貪心方法基本思想： 貪心算法總是作出在當(dāng)前看來最好的選擇。也就是說貪心算法并不從整體最優(yōu)考慮，它所作出的選擇只是在某種意義上的局部最優(yōu)選擇 所求問題的整體最優(yōu)解可以通過一系列局部最優(yōu)的選擇，即貪心選擇來達(dá)到。這是貪心算法可行的第一個(gè)基本要素，也是貪心算法與動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的主要區(qū)別。 多段圖： COST[j]=c(j,r)+COST[r]; 回溯法： (假定集合Si的大小是mi)不斷地用修改過的規(guī)范函數(shù)Pi(x1,…,xi)去測試正在構(gòu)造中的n-元組的部分向量(x1,…,xi)，看其是否可能導(dǎo)致最優(yōu)解。如果判定(x1,…,xi)不可能導(dǎo)致最優(yōu)解，那么就將可能要測試的mi+1…mn個(gè)向量略去。約束條件： (1)顯式約束：限定每一個(gè)xi只能從給定的集合Si上取值。 (2)解 空 間：對于問題的一個(gè)實(shí)例，解向量滿足顯式 約束條件的所有多元組，構(gòu)成了該實(shí)例 的一個(gè)解空間。 (3)隱式約束：規(guī)定解空間中實(shí)際上滿足規(guī)范函數(shù)的元 組，描述了xi必須彼此相關(guān)的情況?；咀龇ǎ?/p> 在問題的解空間樹中，按深度優(yōu)先策略，從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)搜索解空間樹。算法搜索至解空間樹的任意一點(diǎn)時(shí)，先判斷該結(jié)點(diǎn)是否包含問題的解：如果肯定不包含，則跳過對該結(jié)點(diǎn)為根的子樹的搜索，逐層向其祖先結(jié)點(diǎn)回溯；否則，進(jìn)入該子樹，繼續(xù)按深度優(yōu)先策略搜索。 8皇后問題 約束條件 限界函數(shù)： 子集和數(shù)問題： 約束條件 限界函數(shù)： 回溯法－－術(shù)語： 活結(jié)點(diǎn)：已生成一個(gè)結(jié)點(diǎn)而它的所有兒子結(jié)點(diǎn)還沒有 全部生成的結(jié)點(diǎn)稱為活結(jié)點(diǎn)。 E-結(jié)點(diǎn)：當(dāng)前正在生成其兒子結(jié)點(diǎn)的活結(jié)點(diǎn)叫E-結(jié)點(diǎn)。 死結(jié)點(diǎn)：不再進(jìn)一步擴(kuò)展或其兒子結(jié)點(diǎn)已全部生成的結(jié)點(diǎn)稱為死結(jié)點(diǎn)。 使用限界函數(shù)的深度優(yōu)先節(jié)點(diǎn)生成的方法成為回溯法；E-結(jié)點(diǎn)一直保持到死為止的狀態(tài)生成的方法 稱之為分支限界方法 且用限界函數(shù)幫助避免生成不包含答案結(jié)點(diǎn)子樹的狀態(tài)空間的檢索方法。區(qū)別： 分支限界法本質(zhì)上就是含有剪枝的回溯法，根據(jù)遞歸的條件不同，是有不同的時(shí)間復(fù)雜度的。 回溯法深度優(yōu)先搜索堆棧或節(jié)點(diǎn)的所有子節(jié)點(diǎn)被遍歷后才被從棧中彈出找出滿足約束條件的所有解 分支限界法廣度優(yōu)先或最小消耗優(yōu)先搜索隊(duì)列，優(yōu)先隊(duì)列每個(gè)結(jié)點(diǎn)只有一次成為活結(jié)點(diǎn)的機(jī)會(huì)找出滿足約束條件下的一個(gè)解或特定意義下的最優(yōu)解 一般如果只考慮時(shí)間復(fù)雜度二者都是指數(shù)級別的 可是因?yàn)榉种藿绶ù嬖谥鞣N剪枝，用起來時(shí)間還是很快的int M, W[10],X[10];void sumofsub(int s, int k, int r){ int j; X[k]=1; if(s+W[k]==M){ for(j=1;j<=k;j++) printf(“%d ”,X[j]); printf(“n”); } else if((s+W[k]+W[k+1])<=M){ sumofsub(s+W[k],k+1,r-W[k]); } if((s+r-W[k]>=M)&&(s+W[k+1]<=M)){ X[k]=0; sumofsub(s,k+1,r-W[k]); } } void main(){ M=30; W[1]=15; W[2]=9; W[3]=8; W[4]=7; W[5]=6; W[6]=5; W[7]=4; W[8]=3; W[9]=2; W[10]=1; sumofsub(0,1,60);} P是所有可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)用確定算法求解的判定問題的集合。NP是所有可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)用不確定算法求解的判定問題的集合 如果可滿足星月化為一個(gè)問題L，則此問題L是NP-難度的。如果L是NP難度的且L NP，則此問題是NP-完全的第二篇：RC電路總結(jié)
第三篇：算法總結(jié)
第四篇：算法總結(jié)
第五篇：算法總結(jié)材料
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