關(guān)于“頻率與概率”關(guān)系的思考

頻率與概率是兩個不同的概念，它們之間既有區(qū)別，又有聯(lián)系，學(xué)習(xí)時要關(guān)注以下幾個方面：

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一、頻率與概率定義不同

1.對事件發(fā)生可能性大小的感覺通常來自觀察這個事件發(fā)生的頻率，即該事件實際發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值。由于觀察的時間有長短，隨機事件的發(fā)生與否也有隨機性，所以在不同的試驗中，同一個事件發(fā)生的頻率可以彼此不相等。

2.概率被用來表示一個事件發(fā)生的可能性的大小。

如果一個事件是必然事件，它發(fā)生的概率就是1，如果一個事件是不可能事件，它發(fā)生的概率是0，隨機事件發(fā)生的概率通常大于0且小于1。

例如：拋擲一枚均勻的硬幣，硬幣落地后“正面朝上”的概率是。當(dāng)試驗次數(shù)較少的時候，“正面朝上”的頻率有可能是0，也有可能是1或其它數(shù)，但是經(jīng)過多次重復(fù)試驗后，“正面朝上”的頻率會穩(wěn)定在。

二、頻率與概率的聯(lián)系

即用頻率來估計概率。

誰也無法預(yù)測隨機事件在每次試驗中是否會發(fā)生，但是在相同的條件下進行多次重復(fù)試驗后，事件出現(xiàn)的頻率會逐漸穩(wěn)定，穩(wěn)定后的頻率可以作為概率的估計值。反之，如果知道一個事件發(fā)生的概率，就可以由此推斷：在多次重復(fù)試驗后該事件發(fā)生的頻率將接近其概率。

值得注意的是：用試驗的方法得出的頻率只是概率的估計值，要想得到近似程度較高的概率估計值，通常需要經(jīng)過大量的重復(fù)試驗。

三、典型題例

1.頻率與概率的關(guān)系

例1

（1）

從一批準(zhǔn)備出廠的電視機中，隨機抽取10臺進行質(zhì)量檢查，其中有1臺是次品，能否就說這批電視機的次品的概率是0．10？

（2）

某廠產(chǎn)品的次品率是2%，問“從該廠產(chǎn)品中任意抽取100件，其中一定有2件是次品”這一說法是否正確？為什么？

分析

“頻率”是單次具體試驗時，某事件表現(xiàn)出來的結(jié)果。不同時、不同次的試驗該事件發(fā)生的頻率往往也是不同的；而“概率”是在大量重復(fù)試驗中，該事件發(fā)生的頻率所表示出來的規(guī)律性結(jié)果，它是固有的、客觀的和不變的。

解：（1）

不能說這批電視機的次品的概率是0．10，只能說在這次試驗中出現(xiàn)次品的頻率是0．10。

（2）

次品率是2%，即現(xiàn)出次品的概率是2%，是在多次或大量重復(fù)質(zhì)檢的基礎(chǔ)上表現(xiàn)出來的規(guī)律性的結(jié)果，并不是說在每一次具體的試驗中，隨機抽取100件恰有2件次品，也不能說恰有2件次品的可能性最大。

例2

甲、乙兩人輪流拋擲一普通的正六面體骰子，甲已經(jīng)拋了5次，一次也沒擲得6點；乙也拋了5次，有2次擲得了6點，下一次拋擲時誰擲得6點的機會比較大？

析解

拋擲一個普通的正六面體骰子，骰子落地后“6點朝上”的概率是。在每一次拋擲中，這個概率是不變的。因此，下一次拋擲時兩人擲得6點的機會是一樣大。

例3

下列說法中，合理的是________。（填序號）

（1）

買彩票中獎是個隨機事件，因此中獎的概率與不中獎的概率都是50%。

（2）

小明在10次拋圖釘?shù)脑囼炛邪l(fā)現(xiàn)3次釘尖朝上，據(jù)此他說釘尖朝上的概率一定是30%。

（3）

在一次課堂進行的試驗中，甲乙兩組同學(xué)估計一枚硬幣光榮稱號地后正面朝上的概率分別為0．48和0．51。

（4）

拋擲一枚普通的正六面體骰子，骰子落地后出現(xiàn)6的概率是，但有人連續(xù)兩次擲得了6點。

解析隨機事件發(fā)生的概率有大有小，并不都是50%，因此（1）說法不對。

小明進行的試驗次數(shù)太少了，因此估計值缺乏可信度，所以說法（2）不合理。

因為隨機事件的發(fā)生與否有隨機性，在不同的試驗中隨機事件發(fā)生的頻率有可能不同，所以兩組同學(xué)的估計值不同是可能的，說法（3）是合理的。

概率是，并不能決定頻率也是，因此說法（4）也是合理的。

綜上所述，填（3）、（4）。

2.用頻率估計概率

例4公園里有一生意人設(shè)計了游戲攤位，游客只需拋擲一枚正方體骰子，如果出現(xiàn)6點，就可獲得價值10元的獎品，要拋擲一次骰子需付一元的費用。小明在攤位前觀察了很久，記下了游客們的中獎情況：

看了小明的記錄，你有什么想法？

解析對于一個普通正方體骰子來說，6點出現(xiàn)的頻率應(yīng)為，小明記錄拋擲的次數(shù)為161次，中獎的次數(shù)應(yīng)在27次左右，而實際中獎次數(shù)只有4次?？梢詰岩缮馊怂玫镊蛔淤|(zhì)量分布不均勻。要進一步證實這處懷疑，可以通過更多的試驗來完成。

例5甲乙兩人分別拋擲兩個正方體骰子，并將骰子落地后出現(xiàn)點數(shù)之和大于6的頻率描述如下：

根據(jù)折線圖，甲估計骰子落地后出現(xiàn)點數(shù)之和大于6的概率為60%，乙估計骰子落地后出現(xiàn)點數(shù)之和大于6的概率約為56%。小明說：甲圖的折線比較平穩(wěn)，乙圖的折線波動較大，因此甲的估計比較好。小強說：乙的試驗次數(shù)多，應(yīng)該是乙的估計較好。你怎么看？

解：小強的說法是正確的。

仔細觀察會發(fā)現(xiàn)兩圖的縱軸刻度大小不同，如果將兩人的數(shù)據(jù)繪制在同一幅圖上，將會發(fā)現(xiàn)乙數(shù)據(jù)的波動較小。

（責(zé)任編輯

錢家慶）