第一篇：重積分證明題

證明題（共 46 小題）

1、設(shè)函數(shù)f(x,y)和g(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，證明

2、設(shè)函數(shù)f(x,y)和g(x,y)在D上連續(xù)，且f(x,y)≤g(x,y),(x,y)?D，利用二重積分定義證明：

3、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，且M，m分別是f(x,y)在D上的最大值與最小值，證明：

其中σ是D的面積。

4、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，證明：

5、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，證明在D上必有點(diǎn)(ξ,η)使得

成立，其中σ是D的面積。

6、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，且D可以分為兩個(gè)閉域D1和D2，證明

7、設(shè)D={(x,y)}｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},試證

其中φ(x)在[a,b]上連續(xù)，f(x),g(y)均在D上連續(xù)，且g(－y)=－g(y).8、設(shè)D={(x,y)｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},試證

[a,b]上連續(xù)，f(x,y)在D上連續(xù)且f(x,－y)=－f(x,y).9、設(shè)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，證明其中a,m為常數(shù)，且a>0.10、設(shè)f(u)為連續(xù)函數(shù)，試證

其中φ(x)在11、設(shè)f(x,y),g(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且g(x,y)≥0,證明：在D上必有點(diǎn)(ξ,η),使

成立。

12、設(shè)f(x,y)為區(qū)域D：上的連續(xù)函數(shù)，試證

13、利用二重積分的估值性質(zhì)，證明 線－x+y=1,x+y=1及ox軸所圍成的區(qū)域。

其中D是由直

14、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，證明 其中n>0.15、證明：

大于1的自然數(shù)。

16、設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，試用二重積分證明不等式：

17、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，證明

18、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，證明不等式

19、設(shè)p(x)是[a,b]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，f(x),g(x)是[a,b]上的連續(xù)單增函數(shù)，證明

20、設(shè)f(x)是[0,1]上的連續(xù)正值函數(shù)，且f(x)單調(diào)減少，證明不等式：

其中n為

21、設(shè)f(x)是[0,1]上的連續(xù)單增函數(shù)，求證：

22、設(shè)f(u)是連續(xù)函數(shù)，證明

及x=－1所圍成的區(qū)域。

23、設(shè)f(t)為連續(xù)函數(shù)，證明

其中D是由y=x3,y=

124、設(shè)f(t)是連續(xù)函數(shù)，證明

其中A為正常數(shù)，其中a2+b2≠0.25、設(shè)f(t)是連續(xù)函數(shù)，證明

26、設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù)，證明

27、設(shè)f(x)是[a,b]上的連續(xù)正值函數(shù)，試證不等式：

其中D：a≤x≤b,a≤y≤b.28、設(shè)f(u)為可微函數(shù)，且f(0)=0,證明

29、設(shè)Ω為空間有界閉區(qū)域，f(x,y,z)在Ω上連續(xù)，若?(ξ,η,ζ)∈Ω使得任意閉區(qū)域D，D?Ω，都有f(x,y,z)dv=f(ξ,η,ζ)VD,VD為D的體積，試證f(x,y,z)在Ω上是常數(shù)。

30、錐面x2+y2－z2=0將閉區(qū)域x2+y2+z2≤2az(a>0)分割成兩部分，試證其兩部分體積的大小之比為3：1.31、設(shè)D1與D2分別是第一象限由

以及x2+y2≤a2(a>0)所確定的閉區(qū)域，試證：面積關(guān)系式

32、設(shè)Ω是由曲面(a1x+b1y+c1z)2+(a2x+b2y+c2z)2+(a3x+b3y+c3z)2=1所圍的有界閉區(qū)域，,f(x,y,z)在Ω上連續(xù)，試證：?(ξ，η，ζ)∈Ω滿足

.33、設(shè)Ω為單位球體x2+y2+z2≤1,試證可選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，使得

(a2+b2+c2=1)

34、設(shè)Ω是上半單位球體x2+y2=z2≤1,z≥0,f(x,y,z)在Ω上連續(xù)，試?yán)们蛎孀鴺?biāo)積分方法證明?(ξ，η，ζ)∈Ω使得

222222???f(x,y,z)dv?f(?,?,?)(???)(?????)??.?

35、試證：對(duì)形狀為z=的增速與液面高度成正比。

36、設(shè)Ω為一半橢球體x2+y2+試證：

.(a;b>0)的容器，當(dāng)其液面高度增速為常數(shù)時(shí)，其容積,z≥0.g(u)為一單調(diào)增函數(shù)。

37、試證：在平面薄片關(guān)于所有平行于oy軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中，對(duì)于穿過(guò)重心的軸所得的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。

38、設(shè)Ω為由

≤1所確定的立體(0＜a≤b≤c)，其密度函數(shù)ρ=ρ(z)為關(guān)

[(x于z的偶函數(shù)。試證：對(duì)任意的(x0,y0,z0)∈Ω，關(guān)于(x0,y0,z0)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量滿足I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(z)dv≤I(0,0,c).39、體密度為ρ(x,y,z)的空間立體Ω關(guān)于(x0,y0,z0)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為：I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(x,y,z)dv.試證：I(x0,y0,z0)≥,其中

[(x

是Ω的重心坐標(biāo)。

40、設(shè)Ω為一有界閉區(qū)域，f(x,y,z)在Ω上連續(xù)。若對(duì)任意Ω1,Ω2

?Ω,其對(duì)應(yīng)體積為V1，V2，只要V1

。試證：f為正常數(shù)。

41、設(shè)f(z)在[－1,1]上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，試證：

42、設(shè)f(t)為一單調(diào)增函數(shù)，試證：

43、設(shè)f(u)為一單調(diào)增函數(shù)，試證：，其中

a2+b2+c3=1.44、設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，若對(duì)任意閉區(qū)域D1，D1

?

D都有，試證在 D上f(x,y,z)≤0.45、設(shè)Ω為區(qū)域x+y+z≤1,P0(x0,y0,z0)為Ω外的一點(diǎn)，試證：

22。

46、設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域Ω上連續(xù)，若

f(x,y,z)dv=f(x0,y0,z0)·V,V為Ω的體積，試證：當(dāng)f(x0,y0,z0)取到f(x,y,z)的最大值或最小值時(shí)f(x,y,z)在Ω必是一個(gè)常數(shù)。

第二篇：重積分總結(jié)

多重積分的方法總結(jié)

計(jì)算根據(jù)被積區(qū)域和被積函數(shù)的形式要選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄌ幚恚@里主要是看被積區(qū)域的形式來(lái)選擇合適的坐標(biāo)形式，并給區(qū)域一個(gè)相應(yīng)的表達(dá)，從而可以轉(zhuǎn)化多重積分為多次的積分形式．具體的一些作法在下面給出．

一．二重積分的計(jì)算

重積分的計(jì)算主要是化為多次的積分．這里首先要看被積區(qū)域的形式, 選擇合適的坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行處理．二重積分主要給出了直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的計(jì)算方法．我們都可以從以下幾個(gè)方面把握相應(yīng)的具體處理過(guò)程：1.被積區(qū)域在幾何直觀上的表現(xiàn)（直觀描述，易于把握）；2.被積分區(qū)域的集合表示（用于下一步確定多次積分的積分次序和相應(yīng)的積分限）；3.化重積分為多次積分．

1.在直角坐標(biāo)下：(a)X-型區(qū)域

幾何直觀表現(xiàn)：用平行于y軸的直線穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交點(diǎn)最多兩個(gè)．從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲線確定兩個(gè)函數(shù)y?y1(x)和y?y2(x)；

被積區(qū)域的集合表示：D?{(x,y)a?x?b,y1(x)?y?y2(x)}； 二重積分化為二次積分：

??Df(x,y)dxdy??dx?aby2(x)y1(x)f(x,y)dy．

(b)Y-型區(qū)域

幾何直觀表現(xiàn)：用平行于x軸的直線穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交點(diǎn)最多兩個(gè)．從而可以由左右交點(diǎn)位于的曲線確定兩個(gè)函數(shù)x?x1(x)和x?x2(x)；

被積區(qū)域的集合表示：D?{(x,y)c?y?d,x1(x)?x?x2(x)}； 二重積分化為二次積分：

??f(x,y)dxdy??Ddcdx?x2(y)x1(y)f(x,y)dx．

2.在極坐標(biāo)下：

幾何直觀表現(xiàn)：從極點(diǎn)出發(fā)引射線線穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交點(diǎn)最多兩個(gè)．從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲線確定兩個(gè)函數(shù)r?r1(?)和r?r2(?)（具體如圓域，扇形域和環(huán)域等）；

被積區(qū)域的集合表示：D?{(r,?)?1????2,r1(?)?r?r2(?)}，注意，如果極點(diǎn)在被積區(qū)域的內(nèi)部，則有特殊形式D?{(r,?)0???2?,0?r?r2(?)}； 直角坐標(biāo)下的二重積分化為極坐標(biāo)下的二重積分，并表示成相應(yīng)的二次積分：

??Df(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd???d??D?2r2(?)?1r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr．

注：具體處理題目時(shí)，首要要能夠選擇適當(dāng)?shù)奶幚矸椒?，并能夠?qū)崿F(xiàn)不同積分次序及直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化．

3.二重積分的換元法：

z?f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，設(shè)有變換

?x?x(u,v)T?,(u,v)?D? y?y(u,v)?將D?一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)關(guān)于u, v有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且

J??(x,y)?0,(u,v)?D? ?(u,v)則有

??f(x,y)dxdy???f(x(u,v),y(u,v))Jdudv．

DD?

二．三重積分的計(jì)算

三重積分具體的處理過(guò)程類似于二重積分，也分為三個(gè)步驟來(lái)進(jìn)行處理． 1.在直角坐標(biāo)下：

空間區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：用平行于z軸的直線穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部，與邊界曲面的交點(diǎn)最多兩個(gè)．從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲面確定兩個(gè)函數(shù)z?z1(x,y)和z?z1(x,y)，并把區(qū)域投影到xoy面上從而確定(x,y)的范圍，記為Dxy；

被積區(qū)域的集合表示：V?{(x,y,z)(x,y)?Dxy,z1(x,y)?z?z2(x,y)}, 進(jìn)一步地, Dxy可以表示成X－型區(qū)域或Y－型區(qū)域;三重積分化為三次積分：

???f(x,y,z)dV???dxdy?VDxybaz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（所謂“二套一”的形式）dy?z2(x,y)??dx?dy2(x)y1(x)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy為X－型）

??dy?cx2(y)x1(y)dx?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy為Y－型）

注：類似于以上的處理方法，把空間區(qū)域投影到 yoz面或zox面又可把三重積分轉(zhuǎn)化成不同次序的三次積分．這時(shí)區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)，區(qū)域的集合表示，以及新的三次積分次序如何？可見(jiàn)，三重積分最多可以對(duì)應(yīng)六種積分次序．這里還有所謂一套二的處理方法，區(qū)域的直觀表現(xiàn)為：平行于xoy面的截面面積容易求得．作為被積函數(shù)最好與x，y無(wú)關(guān)，即可表示為為f(z)．則區(qū)域表示為：

V?{(x,y,z)c?z?d,(x,y)?Dz}, 其中Dz表示垂直于z軸的截面．此時(shí)，三重積分化為：

???f(x,y,z)dV??Vdcdz??f(z)dxdy

（所謂“一套二”的形式）

Dz

??f(z)SDzdz

cd其中SDz表示截面Dz的面積，它是關(guān)于z的函數(shù)．

2.在柱坐標(biāo)下：

柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：

?x?rcos???y?rsin?,(0?r??,0???2?,???z???)?z?z?空間區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：用平行于z軸的直線穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部，與邊界曲面的交點(diǎn)最多兩個(gè)，從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲面確定兩個(gè)函數(shù)z?z1(x,y)和z?z1(x,y)．空間區(qū)域在xoy面上的投影區(qū)域易于用參數(shù)r和?表示范圍（具體如圓域，扇形域和環(huán)域等），并且z?z1(x,y)和z?z1(x,y)也易于進(jìn)一步表示z成關(guān)于r,?較簡(jiǎn)單的函數(shù)形式，比如x2?y2可以看成一個(gè)整體（具體如上、下表面為旋轉(zhuǎn)面的情形）；

被積區(qū)域的集合表示：

V?{(r,?)?1????2,r1(?)?r?r2(?),z1(r,?)?z?z2(r,?)}；

直角坐標(biāo)下的三重積分化為極坐標(biāo)下的三重積分，并表示成相應(yīng)的三次積分：

???f(x,y,z)dV????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dzVV??d???1?2r2(?)r1(?)rdr?z2(r,?)z1(r,?)f(rcos?,rsin?,z)dz．

3.在球坐標(biāo)下：

球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系： ?x?rsin?cos???y?rsin?sin?,(0?r??,0???2?,0????)?z?cos??空間區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：從原點(diǎn)出發(fā)引射線穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部，與邊界曲面的交點(diǎn)最多兩個(gè)，從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲面確定兩個(gè)球坐標(biāo)函數(shù)r?r1(r,?)和r?r2(r,?);（具體如球心在原點(diǎn)或z軸上的球形域）

被積區(qū)域的集合表示：

V?{(r,?,?)?1????2,?1????2,r1(?,?)?r?r2(?,?)}；

直角坐標(biāo)下的三重積分化為極坐標(biāo)下的三重積分，并表示成相應(yīng)的三次積分：

???Vf(x,y,z)dV????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d?

V=?2?0d??d??02??r2(?,?)r1(?,?)f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?dr．如球心在原點(diǎn)半徑為a的球形域下：

???Vf(x,y,z)dV??d??d??f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?dr．

000?a4.三重積分的換元法：

u?f(x,y,z)在閉區(qū)域V上連續(xù)，設(shè)有變換

?x?x(u,v,w)?T:?y?y(u,v,w),(u,v,w)?V? ?z?z(u,v,w)?將V?一一映射到V上，又x(u,v,w),y(u,v,w)和z(u,v,w)關(guān)于u, v和w有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且

J??(x,y,z)?0,(u,v)?V?

?(u,v,w)則有

???f(x,y,z)dV????f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw．

VV

三．重積分的幾何和物理應(yīng)用 1.幾何應(yīng)用

a)二重積分求平面區(qū)域面積；b)二重積分求曲頂柱體體積；c)三重積分求空間區(qū)域的體積；d)二重積分求空間曲面的面積．

求曲面的面積A，對(duì)應(yīng)著曲面方程為直角坐標(biāo)系下的二元函數(shù)形式和參數(shù)方程形式分別有以下公式：

i)曲面方程 S:z?f(x,y),(x,y)?D

A???1?fx2?fy2dxdy

D?x?x(u,v)?ii)曲面參數(shù)方程S:?y?y(u,v),(u,v)?Duv

?z?z(u,v)?iA???(xui?yuj?zuk)?(xvi?yvj?zvk)dudv???xuDuvDuvjyuyvkzududv zvxv注：這里的公式都對(duì)函數(shù)有相應(yīng)的微分條件． 2.物理應(yīng)用

包括求質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和引力等應(yīng)用，積分是研究物理問(wèn)題的重要工具．建立物理量對(duì)應(yīng)的積分公式的一般方法是從基本的物理原理出發(fā)，找到所求量對(duì)應(yīng)的微元，也就是對(duì)應(yīng)積分的被積表達(dá)式了．

以上對(duì)多重積分的計(jì)算方法做了個(gè)小結(jié)，關(guān)鍵要在具體的情況下要找到對(duì)應(yīng)的適宜的處理方法．處理重積分計(jì)算時(shí)從幾何形式出發(fā)，則易于直觀把握．注意選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，注意被積區(qū)域的表達(dá)，還要注意函數(shù)關(guān)于區(qū)域的對(duì)稱性．這種對(duì)稱性包括奇對(duì)稱和偶對(duì)稱，從而可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程．

第三篇：數(shù)學(xué)分析 重積分

《數(shù)學(xué)分析》教案

第二十一章 重積分

教學(xué)目的：1.理解并掌握二重積分的有關(guān)概念及可積條件，進(jìn)而會(huì)計(jì)算二重積分；2.理解三重積分的概念，掌握三重積分的計(jì)算方法，并能應(yīng)用其解決有關(guān) 的數(shù)學(xué)、物理方面的計(jì)算問(wèn)題；

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是重積分的計(jì)算和格林公式；難點(diǎn)是化重積分為累次積分。

教學(xué)時(shí)數(shù)：22學(xué)時(shí)

§ 1 二重積分概念

一.矩形域上的二重積分 : 從曲頂柱體的體積引入.用直線網(wǎng)分割.定義 二重積分.例1 用定義計(jì)算二重積分

.用直線網(wǎng)

分割該正方形 , 在每個(gè)正方形上取其右上頂點(diǎn)為介點(diǎn).解

.二.可積條件 : D

.大和與小和.Th 1 ，.《數(shù)學(xué)分析》教案

性質(zhì)6

.性質(zhì)7 中值定理.Th 若區(qū)域D 的邊界是由有限條連續(xù)曲線()組成 , 例3 去掉積分

在D上連續(xù) , 則

在D上可積.或

中的絕對(duì)值.§ 2 二重積分的計(jì)算

二.化二重積分為累次積分:

1.矩形域

上的二重積分:

用“ 體積為冪在勢(shì)上的積分”推導(dǎo)公式.2.簡(jiǎn)單域上的二重積分: 簡(jiǎn)推公式, 一般結(jié)果]P219Th9.例1 ，.解法一 P221例3 解法二 為三角形, 三個(gè)頂點(diǎn)為 ,.例2 ,.P221例2.例3 求底半徑為 的兩直交圓柱所圍立體的體積.P222例4.《數(shù)學(xué)分析》教案

解法一(直接計(jì)算積分)曲線AB的方程為

.方向?yàn)樽匀环较虻姆聪?因此

.解法二(用Green公式)補(bǔ)上線段BO和OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)), 成閉路.設(shè)所圍

區(qū)域?yàn)镈, 注意到 D為反向, 以及, 有

.例2 計(jì)算積分 I =, 其中L為任一不包含原點(diǎn)的閉區(qū)域D的邊界(方向任意)P227例2 解 導(dǎo)數(shù))..（和

在D上有連續(xù)的偏,.于是, I =.二.曲線積分與路線無(wú)關(guān)性:

《數(shù)學(xué)分析》教案

;.例6 驗(yàn)證式 P231例4

是恰當(dāng)微分, 并求其原函數(shù).§ 4 二重積分的變量變換:（4時(shí)）

1.二重積分的變量變換公式: 設(shè)變換 的Jacobi , 則

, 其中 是在該變換的逆變換

下平面上的區(qū)域 在

平面上的象.由條件

一般先引出變換

.而 , 這里的逆變換是存在的., 由此求出變換

.例1 ,.P235 例1.註

當(dāng)被積函數(shù)形如 區(qū)域?yàn)橹本€型時(shí), 可試用線性變換 , 積分.《數(shù)學(xué)分析》教案

極坐標(biāo)變換: ,.廣義極坐標(biāo)變換: ,.例4.P240例3.例5(Viviani問(wèn)題)求球體 被圓柱面

所割下立體的體積.P240例4.例6 應(yīng)用二重積分求廣義積分

.P241例5.例7 求橢球體

四.積分換序: 例8 連續(xù).對(duì)積分的體積.P241例6.換序..例9 連續(xù).對(duì)積分

換序..例10 計(jì)算積分

..§ 5 三重積分簡(jiǎn)介

《數(shù)學(xué)分析》教案

例2 , :.解.法一(內(nèi)二外一), 其中 為橢圓域 , 即橢圓域, 其面積為.因此

.同理得 ,.因此.法二(內(nèi)一外二)上下對(duì)稱，為 的偶函數(shù)，1

《數(shù)學(xué)分析》教案

Th 21.13 P247.1.柱坐標(biāo): P248.例4 ，:

.P248例3 2.球坐標(biāo): P249.P 250例4.§ 6 重積分的應(yīng)用

一、曲面的面積

設(shè)曲面方程為

.有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).推導(dǎo)曲面面積公式 , 或.例1 P253例1`.3-

第四篇：第十章____重積分(高等數(shù)學(xué)教案)

高等數(shù)學(xué)教案

重積分

重積分

【教學(xué)目標(biāo)與要求】

1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）計(jì)算方法。

3.掌握計(jì)算三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算方法。

4.會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）。

【教學(xué)重點(diǎn)】

1.二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；

2.三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算。3.二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用。

【教學(xué)難點(diǎn)】

1.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分； 2.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分； 3.物理應(yīng)用中的引力問(wèn)題。

【教學(xué)課時(shí)分配】(10學(xué)時(shí))第1 次課

§１

第2 次課

§2

第3 次課

§3 第4 次課

§4

第5次課

習(xí)題課

【參考書(shū)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

高等數(shù)學(xué)教案

重積分

§10? 1 二重積分的概念與性質(zhì)

【回顧】定積分

設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a? b]上非負(fù)、連續(xù)? 求直線x?a、x?b、y?0 及曲線y?f(x)所圍成的曲邊梯形的面積?

(1)分割：用分點(diǎn)a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把區(qū)間[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間?

[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

(2)代替：任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]為底的小曲邊梯形的面積可近似為

f(?i)?xi(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

（3）作和：曲邊梯形面積A的近似值為

A??f(?)?x? iii?1nn(4)取極限：記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲邊梯形面積的精確值為

A?lim??0?f(?)?x?

iii?1則

?baf(x)dx?A?lim?f(?i)?xi??0i?1n§10? 1 二重積分的概念與性質(zhì)

一、引例

1? 曲頂柱體的體積V 設(shè)有一立體? 它的底面是xOy面上的閉區(qū)域D? 其側(cè)面為母線平行于z軸的柱面? 其頂是曲面z?f(x? y)非負(fù)連續(xù)? 稱為曲頂柱體?

若立體的頂是平行于xoy面的平面。

體積=底面積?高

現(xiàn)在我們來(lái)討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積?

（i）分割：用任意曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域 ：

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線? 作母線平行于z軸的柱面? 這些柱面把原來(lái)的曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

（ii）代替：在每個(gè)?? i中任取一點(diǎn)(? i ? ? i)? 以f(? i ? ? i)為高而底為?? i的平頂柱體的體積為

f(? i ? ? i)??i

(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

（iii）近似和： 整個(gè)曲頂柱體體積V

V??f(?i,?i)??i?

i?1n分割得越細(xì), 則右端的近似值越接近于精確值V, 若分割得“無(wú)限細(xì)”, 則右端近似值會(huì)無(wú)限接近于精確值V.（iv）取極限： 記 ??max{?i的直徑},1?i?n

其中??i的直徑是指??i中相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)的距離。則

V?lim?f(?i,?i)??i? 其中(?i,?i)???i

??0i?1n2?平面薄片的質(zhì)量?

當(dāng)平面薄板的質(zhì)量是均勻分布時(shí)，質(zhì)量 = 面密度×面積.若平面薄板的質(zhì)量不是均勻分布的.這時(shí), 薄板的質(zhì)量不能用上述公式算, 應(yīng)如何算該薄板的質(zhì)量M? 設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D? 它在點(diǎn)(x? y)處的面密度為?(x,y)? 這里?(x,y)非負(fù)連續(xù)? 現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M?

（i）分割：用任意一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域：

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

（ii）代替：把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量?

mi??(? i ? ? i)?? i ?

（iii）近似和： 各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值?

M???(?i,?i)??i?

i?1n高等數(shù)學(xué)教案

重積分

將分割加細(xì)? 取極限? 得到平面薄片的質(zhì)量（iv）取極限：

記 ??max{?的直徑},i1?i?n

則

M?lim??(?i,?i)??i?

??0i?1n兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1)解決問(wèn)題的步驟相同：

“分割, 代替,近似和,取極限”

(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同

曲頂柱體體積:

V?lim?f(?i,?i)??i

??0i?1n平面薄片的質(zhì)量:

M?lim??(?i,?i)??i

??0i?1n二、二重積分的定義及可積性

定義： 設(shè)f(x? y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)? 將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

其中?? i表示第i個(gè)小區(qū)域? 也表示它的面積? 在每個(gè)?? i上任取一點(diǎn)(? i? ?i)? 作和

?f(?i,?i)??i?

i?1n如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?趨于零時(shí)? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 記作

??f(x,y)d?? 即

D

lim?f(?i,?i)??i? ??f(x,y)d????0i?1Dnf(x? y)被積函數(shù)? f(x? y)d?被積表達(dá)式? d?面積元素? x? y積分變量? D積分區(qū)域? 積分和?

直角坐標(biāo)系中的面積元素?

如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分D? 那么除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外? 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域? 設(shè)矩形閉區(qū)域??i的邊長(zhǎng)為?xi和?yi? 則??i??xi?yi? 因此在直角坐標(biāo)系中? 有時(shí)也把面積元素d? 記作dxdy? 而把二重積分記作 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

??f(x,y)dxdy

D其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素?

二重積分的幾何意義? 如果f(x? y)?0? 被積函數(shù)f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(diǎn)(x? y)處的豎坐標(biāo)? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果f(x? y)是負(fù)的? 柱體就在xOy 面的下方? 二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負(fù)的?

說(shuō)明：當(dāng)函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)? 則f(x? y)在D上的二重積分必存在。于是我們總假定函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以f(x? y)在D上的二重積分都是存在的。例1.利用二重積分定義計(jì)算：三.二重積分的性質(zhì)

設(shè)D為有界閉區(qū)域，以下涉及的積分均存在。性質(zhì)1 ??xydxdy，其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}。

D??[f(x,y)?g(x,y)]d????f(x,y)d????g(x,y)d??

DDD性質(zhì)2 設(shè)k為常數(shù)，則性質(zhì)3 ??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?

DD??1?d????d??|D|，其中(|D|為D的面積)?

DD性質(zhì)4 設(shè)D?D1?D2，且D1,D2無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則

??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??

DD1D2性質(zhì)5.若在D上? f(x? y)?g(x? y)? 則

??f(x,y)d????g(x,y)d??

DD特殊：（1）若在D上f(x,y)?0，則

??f(x,y)d??0

D

（2）|??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d??

DD

這是因?yàn)?|f(x,y)|?f(x,y)?|f(x,y)|

性質(zhì)6 設(shè)M、m分別是f(x? y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值? |D|為D的面積? 則

高等數(shù)學(xué)教案

重積分

m|D|???f(x,y)d??M|D|?

D

性質(zhì)7(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)? ? 為D的面積? 則在D上至少存在一點(diǎn)(?,?)?D，使

例2.比較下列積分的大小：??f(x,y)d??f(?,?)??

D??(x?y)d?，??(x?y)d?，DD23其中D?{(x,y)|(x?2)2?(y?1)2?2}

小結(jié)

1.二重積分的定義：

n?f(?,?)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1i)，(d??dxdy2.二重積分的性質(zhì)（與定積分性質(zhì)相似）

教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

在教學(xué)過(guò)程中要注意二重積分的定義，性質(zhì)以及應(yīng)用，并且要與定積分的定義、性質(zhì)進(jìn)行比較，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.比較下列積分值的大小關(guān)系：I1?2x?y?1??|xy|dxdy，I22?|x|?|y|?1??|xy|dxdy，I3??1?1?1?1|xy|dxdy

22(sinx?cosy)d??2，其中D為0?x?1,0?y?1。??D2.證明：1?講課提綱、板書(shū)設(shè)計(jì)

作業(yè) P137: 4（1）（3），5（1）（4）

§10? 2 二重積分的計(jì)算法 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

X??型區(qū)域?

D ?

?1(x)?y??2(x)? a?x?b ?

Y ??型區(qū)域? D ?

?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

混合型區(qū)域?

設(shè)f(x? y)?0?

D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}?

此時(shí)二重積分柱體的體積?

對(duì)于x0?[a? b]?

曲頂柱體在x?x0的截面面積為以區(qū)間[?1(x0)? ?2(x0)]為底、以曲線z?f(x0? y)為曲邊的曲邊梯形? 所以這截面的面積為

A(x0)??2(x0)10??f(x,y)d?在幾何上表示以曲面z?f(x? y)為頂? 以區(qū)域D為底的曲頂D??(x)1f(x0,y)dy?

根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法? 得曲頂柱體體積為

V?即

V?可記為

?aA(x)dx??a[??(x)b?2(x)a?1(x)bb?2(x)f(x,y)dy]dx?

??f(x,y)d???[?Dbf(x,y)dy]dx?

??f(x,y)d???adx??(x)D1?2(x)f(x,y)dy?

類似地? 如果區(qū)域D為Y ??型區(qū)域?

D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

則有

??f(x,y)d???dy?Dcd?2(y)?1(y)f(x,y)dx?

例1? 計(jì)算??xyd?? 其中D是由直線y?

1、x?2及y?x所圍成的閉區(qū)域?

D

解? 畫(huà)出區(qū)域D?

方法一?

可把D看成是X??型區(qū)域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是

422y2x1xx1293?[?]??

?[x?]dx?(x?x)dxxyd??[xydy]dx11?12???1?124282?12x2D注? 積分還可以寫(xiě)成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy?

D11112x2x高等數(shù)學(xué)教案

重積分

解法2? 也可把D看成是Y??型區(qū)域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是

422y3x22y29??xyd???1[?yxydx]dy??1[y?2]ydy??1(2y?2)dy?[y?8]1?8? 222D

例2? 計(jì)算??yD1?x2?y2d?? 其中D是由直線y?

1、x??1及y?x所圍成的閉區(qū)域?

解

畫(huà)出區(qū)域D? 可把D看成是X??型區(qū)域? ?1?x?1? x?y?1? 于是

11[(1?x2?y2)2]1dx??11(|x|3?1)dx ??y1?x?yd??dxy1?x?ydyx????1?x3??13??1221122D31???(x3?1)dx??

302

也可D看成是Y??型區(qū)域：?1?y?1? ?1?x

??y1?x2?y2d???ydy?D?1D1y?11?x2?y2dx?

例3 計(jì)算

2xyd?? 其中D是由直線y?x?2及拋物線y?x所圍成的閉區(qū)域?

??

解 積分區(qū)域可以表示為D?D1+D2?

其中D, ?x?y?x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是 1: 0?x?1

??xyd???dx?D021x?xxydy??dx?14xx?2xydy?

積分區(qū)域也可以表示為D? ?1?y?2? y2?x?y?2? 于是

??xyd????1dy?yDy?222x12[y(y?2)2?y5]dy

?2xydx??[y]y2dy?y?122??126y443152y2

?[?y?2y?]?1?5?

24368討論積分次序的選擇?

例

4求兩個(gè)底圓半徑都等于?的直交圓柱面所圍成的立體的體積?

解

設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為

x2?y2?? 2及x2?z2?? 2? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性? 只要算出它在第一卦限部分的體積V1? 然后再乘以8就行了?

第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}為底? 以z?R2?x2頂?shù)那斨w?

于是

V?8??DR?xd??8?dx?022RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx

16R3?

22(R?x)dx??03 二?

利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

?8R

有些二重積分? 積分區(qū)域D 的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來(lái)表示比較方便? 且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量?、? 表達(dá)比較簡(jiǎn)單?

這時(shí)我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算二重積分

lim?f(?i,?i)??i?

??f(x,y)d?? 按二重積分的定義??f(x,y)d????0DnDi?

1下面我們來(lái)研究這個(gè)和的極限在極坐標(biāo)系中的形式?

以從極點(diǎn)O出發(fā)的一族射線及以極點(diǎn)為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為n個(gè)小閉區(qū)域? 小閉區(qū)域的面積為?

111222??(?i???i)???i???i??i??i??i?

?i2其中?i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值?

在??i內(nèi)取點(diǎn)(?i , ?i)? 設(shè)其直角坐標(biāo)為(? i? ? i)?

則有

??i?(?i???i)2???i???i2???i?(2?i???i)??i???i

?i??i cos?i? ?i??i sin?i?

lim?f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i?

?f(?i,?i)??i???0i?1i?1nn于是 lim??0即

??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d??

DD若積分區(qū)域D可表示為? 1(?)???? 2(?)?

?????? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

則

??f(?cos?,?sin?)?d?d???d??D??2(?)??1(?)f(?cos?,?sin?)?d??

討論?如何確定積分限?

??f(?cos?,?sin?)?d?d????d??0D2?D0??(?)f(?cos?,?sin?)?d??

??f(?cos?,?sin?)?d?d???d???xe??D2?(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

例5? 計(jì)算域? ?y2dxdy? 其中D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū)

解

在極坐標(biāo)系中? 閉區(qū)域D可表示為

0???a ? 0?? ?2? ?

于是 ??e?xD2?y2adxdy???e???d?d???[?e???d?]d? ??[?1e??]0d?

0002D22?a22??(1?e?a)

注? 此處積分

122?022?d???(1?e?a)?

dxdy?

2??e?xD22?y2dxdy也常寫(xiě)成x2?y2?a2??e?x?y2

利用x2?y2?a2?xe???y2dxdy??(1?e?a)計(jì)算廣義積分?e?xdx?

02??2

設(shè)D1?{(x? y)|x2?y2?R2? x?0? y?0}? D2?{(x? y)|x2?y2?2R2? x?0? y?0}?S?{(x? y)|0?x?R? 0?y?R}?

顯然D1?S?D2? 由于e?x

2?y2?0? 從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式

2??e?xD12?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy?

因?yàn)?/p>

??e?xS2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2?

000R2R2R2又應(yīng)用上面已得的結(jié)果有 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

??e?xD12?y2dxdy??(1?e?R)?

42??e?xD22?y2dxdy??(1?e?2R)?

42于是上面的不等式可寫(xiě)成?(1?e?R2)?(Re?x2dx)2??(1?e?2R2)?

?404令R???? 上式兩端趨于同一極限

?? 從而??e?x2dx???

?4 02

例6 求球體x2?y2?z2?4a2被圓柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積?

解

由對(duì)稱性? 立體體積為第一卦限部分的四倍?

V?4??D4a2?x2?y2dxdy?

其中D為半圓周y?2ax?x2及x軸所圍成的閉區(qū)域?

在極坐標(biāo)系中D可表示為

0???2a cos? ? 0???于是

V?4 ??

22acos?2d?00??D4a???d?d??4??22??4a2??2?d?

3232?2

?a2?2(1?sin3?)d??a2(?)?

03323

小結(jié)

1.二重積分化為累次積分的方法；

2.積分計(jì)算要注意的事項(xiàng)。

教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

在教學(xué)過(guò)程中要注意二重積分化為累次積分的方法：分直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)，以及在計(jì)算時(shí)要注意事項(xiàng)，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.設(shè)f(x)?C[0,1]，且?f(x)dx?A，求I??dx?f(x)f(y)dy。

00x111?2.交換積分順序I??2??2d??acos?0f(r,?)dr，(a?0)

講課提綱、板書(shū)設(shè)計(jì) 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

作業(yè) P154: 1(2),(4);2(1),(3);6(2),(4);12(1),(3);13(3),(4);14(1),(2)；15（1）（2）

§10?3

三重積分 一、三重積分的概念

定義 設(shè)f(x? y? z)是空間有界閉區(qū)域?上的有界函數(shù)? 將?任意分成n個(gè)小閉區(qū)域：

?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn

其中?vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域? 也表示它的體積? 在每個(gè)?vi上任取一點(diǎn)(?i? ?i? ?i)? 作乘積f(?

i? ? i? ? i)?vi(i?1? 2? ? ? ?? n)并作和

?f(?i,?i,?i)?vi? 如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?i?1n趨于零時(shí)?

這和的極限總存在?

則稱此極限為函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上的三重積分? 記作???f(x,y,z)dv?

即

?高等數(shù)學(xué)教案

重積分

lim?f(?i,?i,?i)?vi?

???f(x,y,z)dv???0i?1?n

三重積分中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)? ???——積分號(hào)?

f(x? y? z)——被積函數(shù)?

f(x? y? z)dv——被?積表達(dá)式?

dv體積元素?

x? y? z——積分變量?

?——積分區(qū)域?

在直角坐標(biāo)系中? 如果用平行于坐標(biāo)面的平面來(lái)劃分?? 則?vi??xi ?yi?zi ? 因此也把體積元素記為dv ?dxdydz? 三重積分記作

???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdydz?

??

當(dāng)函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上連續(xù)時(shí)? 極限lim?f(?i,?i,?i)?vi是存在的?

??0i?1n因此f(x? y? z)在?上的三重積分是存在的? 以后也總假定f(x? y? z)在閉區(qū)域?上是連續(xù)的?

三重積分的性質(zhì)? 與二重積分類似?

比如

???[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dv?c1???f(x,y,z)dv?c2???g(x,y,z)dv?

???

?1??2???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv?

?1?2?

???dv?V? 其中V為區(qū)域?的體積? 二、三重積分的計(jì)算

1? 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分

三重積分的計(jì)算? 三重積分也可化為三次積分來(lái)計(jì)算? 設(shè)空間閉區(qū)域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

則

???f(x,y,z)dv???[?z(x,y)?D1z2(x,y)f(x,y,z)dz]d?

?dxb?a?y(x)[?z(x,y)11by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

?dx?a?y(x)1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)高等數(shù)學(xué)教案

重積分

即 ???f(x,y,z)dv??dx??aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?

其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域?

提示? 設(shè)空間閉區(qū)域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

計(jì)算???f(x,y,z)dv?

?基本思想?

對(duì)于平面區(qū)域D?

y1(x)?y?y2(x)? a?x?b內(nèi)任意一點(diǎn)(x? y)? 將f(x? y? z)只看作z的函數(shù)? 在區(qū)間[z1(x? y)?

z2(x? y)]上對(duì)z積分? 得到一個(gè)二元函數(shù)F(x? y)?

F(x,y)?z2(x,y)1?z(x,y)f(x,y,z)dz?

然后計(jì)算F(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 這就完成了f(x? y? z)在空間閉區(qū)域?上的三重積分?

??F(x,y)d????[?DD1z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d???dx?aby2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy?

則 ???f(x,y,z)dv???[?z(x,y)?Dz2(x,y)f(x,y,z)dz]d?

z2(x,y)

1?dxb?a?y(x)[?z(x,y)1by2(x)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

f(x,y,z)dz?

?dx即

?a?y(x)1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)???f(x,y,z)dv??adx?y(x)dy?z(x,y)?11by2(x)z2(x,y)其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域?

例1 計(jì)算三重積分域?

解 作圖? 區(qū)域?可表示為:

0?z?1?x?2y? 0?y?(1?x)? 0?x?1? ???xdxdydz? 其中?為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x?2y?z?1所圍成的閉區(qū)?12高等數(shù)學(xué)教案

重積分

于是

???xdxdydz ??0dx??11?x1?x?2y2dyxdz 00?

??0xdx?11?x2(1?x?2y)dy0

111?

??(x?2x2?x3)dx?4048

討論? 其它類型區(qū)域呢?

有時(shí)? 我們計(jì)算一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分? 設(shè)空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1? z?c2}? 其中Dz是豎坐標(biāo)為z 的平面截空間閉區(qū)域?所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域? 則有

???f(x,y,z)dv??cdz??f(x,y,z)dxdy?

?1c2Dz2y2z2x

例2 計(jì)算三重積分???zdxdydz? 其中?是由橢球面2?2?2?1所圍成的空間閉

abc?2區(qū)域?

解 空間區(qū)域?可表為: x2?y2?1?z 2? ?c? z?c?

ab2c2于是

????2zzdxdydz ?zdzdxdy??ab?(1?2)z2dz?4?abc3?

?c?c15cD2?c2??zc

練習(xí)：

例3? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz?化為三次積分? 其中

(1)?是由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域?

(2)?是雙曲拋物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所圍成的閉區(qū)域?

(3)其中?是由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區(qū)域?

例4? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz?化為先進(jìn)行二重積分再進(jìn)行定積分的形式?

其中?由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域?

2? 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點(diǎn)? 并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P 的極坐標(biāo)為P(?? ?)? 則這樣的三個(gè)數(shù)?、?、z就叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)? 這里規(guī)定?、?、z的變化范圍為? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

0??

坐標(biāo)面???0? ? ?? 0? z?z0的意義?

點(diǎn)M 的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系?

?x??cos??

x??cos?? y??sin?? z?z ? ?y??sin?

??z?z

柱面坐標(biāo)系中的體積元素? dv??d?d?dz?

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)? dxdy??d?d? ? dxdydz?dxdy?dz??d?d? dz?

柱面坐標(biāo)系中的三重積分?

???f(x,y,z)dxdydz????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz?

??

例5利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分圍成的閉區(qū)域?

解 閉區(qū)域?可表示為?

?2?z?4? 0???2? 0???2??

于是

???zdxdydz? 其中?是由曲面z?x?y與平面z?4所

2????zdxdydz????z?d?d?dz

??1d??(16??4)d? d??d?zdz??0?0??2?02?01164??

??2?[8?2??6]2?026

3?2422?2?

3? 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點(diǎn)? 則點(diǎn)M也可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r、?、? 來(lái)確定? 其中 r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離? ?為OM與z軸正向所夾的角? ?為從正z軸來(lái)看自x軸按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線段OP的角? 這里P為點(diǎn)M在xOy面上的投影? 這樣的三個(gè)數(shù)r、?、??? 叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)? 這里r、?、? 的變化范圍為

0?r

坐標(biāo)面r?r0? ???0? ???0的意義，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系?

?x?rsin?cos??

x?rsin?cos?? y?rsin?sin?? z?rcos? ? ?y?rsin?sin?

??z?rcos?高等數(shù)學(xué)教案

重積分

球面坐標(biāo)系中的體積元素?

dv?r2sin?drd?d? ?

球面坐標(biāo)系中的三重積分?

???f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d??

??

例6 求半徑為a的球面與半頂角?為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積?

解 該立體所占區(qū)域?可表示為?

0?r?2acos?? 0????? 0???2??

于是所求立體的體積為

V????dxdydz????r2sin?drd?d???d??d????2??2acos?000r2sin?dr

?2??0?sin?d??2acos?0r2dr

316?a

?33??034cos?sin?d??4?a(1?cosa)?

3提示? 球面的方程為x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐標(biāo)下此球面的方程為r2?2arcos?? 即r?2acos??

小結(jié)

1.三重積分的定義和計(jì)算； 2.換元積分公式。

教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

在教學(xué)過(guò)程中要注意三重積分的定義和計(jì)算以及換元積分公式的應(yīng)用，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.將I????f(x,y,z)dv?用三次積分表示，其中?由六個(gè)平面x?0,x?2,y?1,x?2y?4,z?x,z?2所圍成，f(x,y,z)?C(?)。

2.設(shè)?由錐面z?2I???(x?y?z)dv ??x2?y2和球面x2?y2?z2?4所圍成，計(jì)算講課提綱、板書(shū)設(shè)計(jì)

作業(yè) P164: 4，5，7，9（1）高等數(shù)學(xué)教案

重積分

§10? 4 重積分的應(yīng)用

一、曲面的面積

設(shè)曲面S由方程 z?f(x? y)給出? D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域? 函數(shù)f(x? y)在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx(x? y)和fy(x? y)? 現(xiàn)求曲面的面積A ?

在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)P(x? y)? 并在區(qū)域D內(nèi)取一包含點(diǎn)P(x? y)的小閉區(qū)域d?? 其面積也記為d?? 在曲面S上點(diǎn)M(x? y? f(x? y))處做曲面S的切平面T? 再做以小區(qū)域d?的邊界曲線為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面? 將含于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近似值? 記為dA? 又設(shè)切平面T的法向量與z軸所成的角為? ? 則

dA?d??1?f2(x,y)?f2(x,y)d??

xycos?這就是曲面S的面積元素?

于是曲面S 的面積為 A???D1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

或

A???D1?(?z)2?(?z)2dxdy?

?x?y

設(shè)dA為曲面S上點(diǎn)M處的面積元素? dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域d?? M在xOy面上的投影為點(diǎn)P(x? y)? 因?yàn)榍嫔宵c(diǎn)M處的法向量為n?(?fx? ?fy? 1)? 所以

dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

提示? dA與xOy面的夾角為(n?^ k)? dAcos(n?^ k)?d??

n?k?|n|cos(n?^ k)?1? cos(n?^ k)?|n|?1?

討論? 若曲面方程為x?g(y? z)或y?h(z? x)? 則曲面的面積如何求？

A?Dyz??1?(?x)2?(?x)2dydz?

?y?z1?(?y2?y2)?()dzdx?

?z?x或

A?Dzx??其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區(qū)域?

Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域?

例1 求半徑為R的球的表面積?

提示?

?y?z??x?z??z?zR? ? 1?()2?()2??

222222222?x?y?x?yR?x?yR?x?yR?x?y

解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍?

上半球面的方程為z?R2?x2?y2? 而

?y?z??x?z?? ?

222222?x?yR?x?yR?x?y所以

A?22x?y2?R2??1?(?z)2?(?z)2

?x?y2?R?d?R dxdy?2R?d??2222200R??R?x?yR0

?22x?y2?R2??

??4?RR2??2 ?4?R2?

例2設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星? 距地面的高度為h?36000km? 運(yùn)行的角速度與高等數(shù)學(xué)教案

重積分

地球自轉(zhuǎn)的角速度相同? 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R?6400km)?

二、質(zhì)心

設(shè)有一平面薄片? 占有xOy 面上的閉區(qū)域D? 在點(diǎn)P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標(biāo)?

在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含點(diǎn)P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??

平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩分別為

Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??

DD

設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為(x, y)?平面薄片的質(zhì)量為M? 則有

x?M?My? y?M?Mx ?

于是

x?My?M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?D? y?Mx?M??y?(x,y)d?D???(x,y)d?D?

提示? 將P(x? y)點(diǎn)處的面積元素d?看成是包含點(diǎn)P的直徑得小的閉區(qū)域? D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

討論? 如果平面薄片是均勻的? 即面密度是常數(shù)? 則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)如何求？

求平面圖形的形心公式為

??xd?

x?D??yd??

y?D??d?D??d?D?

例3 求位于兩圓??2sin? 和??4sin? 之間的均勻薄片的質(zhì)心?

解 因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸? 所以質(zhì)心C(x, y)必位于y軸上? 于是x?0? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

因?yàn)?/p>

2yd???????sin?d?d???sin?d??DD?4sin?02sin??2d??7??

??d????22???12?3??

D??yd?所以y?DD?7??7? 所求形心是C(0, 7)?

3??d?3?

3類似地? 占有空間閉區(qū)域?、在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)(假寬?(x? y? z)在?上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標(biāo)是

x?1M1? x?(x,y,z)dvy????M?1? y?(x,y,z)dvz????M????z?(x,y,z)dv?

?

其中M?????(x,y,z)dv?

?

例4 求均勻半球體的質(zhì)心?

提示?

?? 0?r?a? 0????? 0???2??

2?2?a???dv???2?2d?00??d??rsin?dr??2sin?d??d??r2dr?2?a?

00003a2???zdv??02d??0??2?42?a1a132d??rcos??rsin?dr??sin2?d??d??rdr??2???

0002420a2?

三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)有一平面薄片? 占有xOy面上的閉區(qū)域D? 在點(diǎn)P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含點(diǎn)P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的元素分別為

dIx?y2?(x? y)d? ? dI y?x2?(x? y)d? ?

整片平面薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為

Ix???y2?(x,y)d?? Iy???x2?(x,y)d??

DD高等數(shù)學(xué)教案

重積分

例5 求半徑為a 的均勻半圓薄片(面密度為常量?)對(duì)于其直徑邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

解 取坐標(biāo)系如圖? 則薄片所占閉區(qū)域D可表示為

D?{(x? y)| x2?y2?a2? y?0} 而所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即半圓薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix ?

Ix????y2d??????2sin2???d?d?

DD

??

?其中M??0sin? d??0?2a4?a2?d?????sin? d?

4031?a4???1Ma2?

4241?a2?為半圓薄片的質(zhì)量?

2類似地? 占有空間有界閉區(qū)域?、在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)的物體對(duì)于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

Ix?

Iy?

Iz????(y2?z2)?(x,y,z)dv?

??22(z?x)?(x,y,z)dv? ??????(x2?y2)?(x,y,z)dv?

?

例6 求密度為?的均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

解 取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)? z軸與軸l重合? 又設(shè)球的半徑為a? 則球體所占空間閉區(qū)域

??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2}?

所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即球體對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz ?

Iz????(x2?y2)? dv

?

?????(r2sin2? cos2??r2sin2? sin2?)r2sin?drd?d?

?

??8?a5??2a2M?

4rsin?drd?d???d?sin? d?rdr?????0?0?0515?432??3a其中M?4?a3?為球體的質(zhì)量?

3提示?

x2?y2?r2sin2?cos2??r2sin2? sin2??r2sin2??

四、引力

我們討論空間一物體對(duì)于物體外一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力問(wèn)題? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

設(shè)物體占有空間有界閉區(qū)域?? 它在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)? 并假定?(x? y? z)在?上連續(xù)?

在物體內(nèi)任取一點(diǎn)(x? y? z)及包含該點(diǎn)的一直徑很小的閉區(qū)域dv(其體積也記為dv)? 把這一小塊物體的質(zhì)量?dv近似地看作集中在點(diǎn)(x? y? z)處? 這一小塊物體對(duì)位于P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力近似地為

dF?(dFx,dFy,dFz)

?(G其中?(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dF

dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)?

dFx、dFy、dFz為引力元素

在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量?

r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2? G為引力常數(shù)? 將dFx、dFy、dFz在?上分別積分? 即可得Fx、Fy、Fz? 從而得F?(Fx、Fy、Fz)?

例7設(shè)半徑為R的勻質(zhì)球占有空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它對(duì)于位于點(diǎn)M0(0? 0? a)(a>R)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力?

解 設(shè)球的密度為?0? 由球體的對(duì)稱性及質(zhì)量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為

Fz????G?0?z?adv

[x2?y2?(z?a)2]3/ ?G?0??R??RRR(z?a)dzdxdy ??2223/2[x?y?(z?a)]x2?y2?R2?z22?R2?z22

?G?0(z?a)dz?d??0R?d?[??(z?a)]23/20

?2?G?01?1(z?a)()dz ??R22a?zR?2az?a1R(z?a)dR2?2az?a2]

a??R32R

?2G??0(?2R?2R?2)

3a4?R3??1??GM

??G?? 023aa2

?2?G?0[?2R?高等數(shù)學(xué)教案

重積分

其中M?4?R3?0為球的質(zhì)量?

3上述結(jié)果表明? 勻質(zhì)球?qū)η蛲庖毁|(zhì)點(diǎn)的引力如同球的質(zhì)量集中于球心時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)間的引力?

小結(jié)

1.曲面面積的計(jì)算；

2.質(zhì)心的計(jì)算；

3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義和求解。

教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

在教學(xué)過(guò)程中要注意曲面面積的計(jì)算，質(zhì)心的計(jì)算，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義和求解，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì) 1.設(shè)有一高度為h(t)(t為時(shí)間)的雪堆在融化過(guò)程中,其側(cè)面滿足方程2(x2?y2)，設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米, 時(shí)間單位為小時(shí), 已知體積減少的速率與側(cè)z?h(t)?h(t)面積成正比(比例系數(shù) 0.9), 問(wèn)高度為130 cm 的雪堆全部融化需要多少小時(shí)?(2001考研)講課提綱、板書(shū)設(shè)計(jì) 作業(yè) P175: 1，2，4（1），7（1）

高等數(shù)學(xué)教案

重積分

習(xí)題課

一、重積分計(jì)算的基本方法

—— 累次積分法

1.選擇合適的坐標(biāo)系

使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔或變量分離.2.選擇易計(jì)算的積分序

積分域分塊要少, 累次積分易算為妙.3.掌握確定積分限的方法

圖示法；列不等式法(從內(nèi)到外: 面、線、點(diǎn))

二、重積分計(jì)算的基本技巧 1.交換積分順序的方法

2.利用對(duì)稱性或重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算 3.消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào) 4.利用重積分換元公式

三、重積分的應(yīng)用 1.幾何方面

面積(平面域或曲面域), 體積 , 形心 2.物理方面

質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 質(zhì)心, 引力

3.其它方面

四、例題分析

1.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上 , 要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個(gè)薄片的重心恰好落在圓心上 ,問(wèn)接上去的均勻矩形薄片的另一邊長(zhǎng) 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

度應(yīng)為多少? 2.計(jì)算積分3.??(x?y)d?，其中D由yD2x2?y22?2x，x?y?4，x?y?12所圍成。

計(jì)算二重積分

DI???(x?xye)dxdy, 其中

（1）D為圓域 x2?y2?1;（2）D由直線y?x,y??1,x?1圍成 P182;6;(1),(3)

第五篇：高等數(shù)學(xué)第九章重積分教案

第九章 重積分

第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)

9.1.1 二重積分的概念

為引出二重積分的概念，我們先來(lái)討論兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題。

設(shè)有一平面薄片占有xOy>面上的閉區(qū)域D>，它在點(diǎn)（x>，y>）處的面密度為ρ（x>，y>），這里ρ（x>，y>）> 0>且在D>上連續(xù)?，F(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M>。

>由于面密度ρ（x>，y>）是變量，薄片的質(zhì)量不能直接用密度公式（M =>ρS>）來(lái)計(jì)算。但ρ（x>，y>）是連續(xù)的，利用積分的思想，把薄片分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區(qū)域D s i>的直徑很小，這些小塊就可以近似地看作均勻薄片。在D s i>（這小閉區(qū)域的面積也記作D s i

>）上任取一點(diǎn)（x i>，h i>），則ρ（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，?，n）可看作第i>個(gè)小塊的質(zhì)量的近似值。通過(guò)求和，再令n個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值（記作λ）趨于零，取和的極限，便自然地得出薄片的質(zhì)量M>，即 >。

>再設(shè)有一立體，它的底是xOy>面上的閉區(qū)域D>，它的側(cè)面是以D>的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z>軸的柱面，它的頂是曲面z = f>（x>，y>），這里f>（x>，y>）≥ 0>且在D>上連續(xù)。這種立體叫做曲頂柱體?，F(xiàn)在要計(jì)算上述曲頂柱體的體積V>。

>由于曲頂柱體的高f>（x>，y>）是變量，它的體積不能直接用體積公式來(lái)計(jì)算。但仍可采用上面的思想方法，用一組曲線網(wǎng)把D>分成n個(gè)小閉區(qū)域D s 1，D s 2>，?，D s n>，在每個(gè)D s i>上任取一點(diǎn)（x i>，h i>），則f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，?，n）可看作以f>（x i>，h i>）為高而底為D s i>的平頂柱體的體積>。通過(guò)求和，取極限，便得出 >。

上面兩個(gè)問(wèn)題所要求的，都?xì)w結(jié)為同一形式的和的極限。在其他學(xué)科中，由許多物理量和幾何量也可歸結(jié)為這一形式的和的極限。因此我們要一般地研究這種和的極限，并抽象出下述二重積分的定義。> 定義 >設(shè)f>（x>，y>）是有界閉區(qū)域D>上的有界函數(shù)。將閉區(qū)域D>任意分成n>個(gè)小閉區(qū)域

>D s 1，D s 2>，?，D s n>，>其中D s 也表示它的面積。在每個(gè)D s（x h，i>表示第i>個(gè)小閉區(qū)域，i>上任取一點(diǎn)i>，i>）作乘積 f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1, 2, >?, n,>），并作和。如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l 趨于零時(shí)，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上的二重積分，記作，即

>。（*>）

>其中f>（x>，y>）叫做被積函數(shù)，f>（x>，y>）ds >叫做被積表達(dá)式，ds >叫做面積元素，x>與y>叫做積分變量，D>叫做積分區(qū)域，叫做積分和。

>在二重積分的定義中對(duì)閉區(qū)域D>的劃分是任意的，如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分D>，那末除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域。設(shè)矩形閉區(qū)域D s i>的邊長(zhǎng)為D xj>和D yk>，則D s = D xj>·D yk>。因此在直角坐標(biāo)系中，有時(shí)也把面積元素ds >記作dxdy>，而把二重積分記作 >

>其中dxdy>叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素。

>這里我們要指出，當(dāng)f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上連續(xù)時(shí)，（*>）式右端的和的極限必定存在，也就是說(shuō)，函數(shù)f>（x>，y>）在D>上的二重積分必定存在。> 9.1.2 二重積分的性質(zhì)

二重積分與定積分有類似的性質(zhì)：

>性質(zhì)1 >被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號(hào)的外面，即 > >（k>為常數(shù)）。

>性質(zhì)2 >函數(shù)的和（或差）的二重積分等于各個(gè)函數(shù)的二重積分的和（或差）。例如 >。

>性質(zhì)3 >如果閉區(qū)域D>被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域，則在D>上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和。例如D>分為兩個(gè)閉區(qū)域D1>與 D2>，則 >。

此性質(zhì)表示二重積分對(duì)于積分區(qū)域具有可加性。

>性質(zhì)4 >如果在D>上，f>（x>，y>）= 1>，s 為D>的面積，則 >。

>此性質(zhì)的幾何意義很明顯，因?yàn)楦邽?>的平頂柱體的體積在數(shù)值上就等于柱體的底面積。>性質(zhì)5 >如果在D>上，f>（x>，y>）≤ j >（x>，y>），則有不等式 >。

特殊地，由于

>-| f>（x>，y>）| >≤ f>（x>，y>）≤ | f>（x>，y>）|>，> 又有不等式。

>性質(zhì)6 >設(shè)M>，m>分別是f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上的最大值和最小值，s 是D>的面積，則有 >。

上述不等式是對(duì)二重積分估值的不等式。

>性質(zhì)7>（二重積分的中值定理）>設(shè)函數(shù)f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上連續(xù)，s 是D>的面積，則在D>上至少存在一點(diǎn)（x，h）使得下式成立： >。

第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)）

按照二重積分的定義來(lái)計(jì)算二重積分，對(duì)少數(shù)特別簡(jiǎn)單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來(lái)說(shuō)是可行的，但對(duì)一般的函數(shù)和積分區(qū)域來(lái)說(shuō)，這不是一種切實(shí)可行的方法。這里介紹一種方法，把二重積分化為兩次單積分（即兩次定積分）來(lái)計(jì)算。9.2.1 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

下面用幾何的觀點(diǎn)來(lái)討論二重積分的計(jì)算問(wèn)題。

在討論中我們假定f（x，y）≥ 0。并設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式 j 1（x）≤ y ≤ j 2（x），a≤x≤b

來(lái)表示，其中函數(shù)j 1（x）、j 2（x）在區(qū)間 [a，b] 上連續(xù)。

我們應(yīng)用“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法，來(lái)計(jì)算這個(gè)曲頂柱體的體積。為計(jì)算截面面積，在區(qū)間 [a，b] 上任意取定一點(diǎn)x0，作平行于yOz面的平面x=x0。這平面截曲頂柱體所得截面是一個(gè)以區(qū)間 [j 1（x0），j 2（x0）] 為底、曲線z = f（x0，y）為曲邊的曲邊梯形，所以這截面的面積為。

一般的，過(guò)區(qū)間 [a，b] 上任一點(diǎn)x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為，于是，得曲頂柱體的體積為。

這個(gè)體積也就是所求二重積分的值，從而有等式

。（1）

上式右端的積分叫做先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分。就是說(shuō)，先把x看作常數(shù)，把f（x，y）只看作y的函數(shù)，并對(duì)y計(jì)算從j 1（x）到j(luò) 2（x）的定積分；然后把算得的結(jié)果（是x的函數(shù)）再對(duì)x計(jì)算在區(qū)間 [a，b] 上的定積分。這個(gè)先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分也常記作。

因此，等式（1）也寫(xiě)成，（1’）

在上述討論中，我們假定f（x，y）≥ 0，但實(shí)際上公式（1）的成立并不受此條件限制。類似地，如果積分區(qū)域D可以用不等式 ψ1（y）≤ x ≤ ψ2（y），c≤y≤d

來(lái)表示，其中函數(shù)ψ1（y）、ψ2（y）在區(qū)間 [c，d] 上連續(xù)，那末就有。

上式右端的積分叫做先對(duì)x、后對(duì)y的二次積分，這個(gè)積分也常記作。

因此，等式（2）也寫(xiě)成，（2’）

這就是把二重積分化為先對(duì)x、后對(duì)y的二次積分的公式。

我們稱圖9-2-1所示的積分區(qū)域?yàn)閄-型區(qū)域，圖9-2-3所示的積分區(qū)域?yàn)閅-型區(qū)域。對(duì)不同的區(qū)域，可以應(yīng)用不同的公式。如果積分區(qū)域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我們可以把D分成幾個(gè)部分，使每個(gè)部分是X-型區(qū)域或是Y-型區(qū)域。如果積分區(qū)域D既是X-型的，又是Y-型的，則由公式（1’）及（2’）就得。

上式表明，這兩個(gè)不同次序的二次積分相等，因?yàn)樗鼈兌嫉扔谕粋€(gè)二重積分。

二重積分化為二次積分時(shí)，確定積分限是一個(gè)關(guān)鍵。而積分限是根據(jù)積分區(qū)域D的類型來(lái)確定的。

例1 計(jì)算，其中D是由直線y =

1、x = 2及y = x所圍成的閉區(qū)域。

解法1 首先畫(huà)出積分區(qū)域D。D是X-型的，D上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的變動(dòng)范圍是區(qū)間[1，2]。在區(qū)間[1，2]上任意取定一個(gè)x值，則D上以這個(gè)x值為橫坐標(biāo)的點(diǎn)在一段直線上，這段直線平行于y軸，該線段上點(diǎn)的縱坐標(biāo)從y = 1變到y(tǒng) = x。利用公式（1）得。

解法2 把積分區(qū)域D看成是Y-型的。同學(xué)們可作為練習(xí)，驗(yàn)證解出的答案是否與解法1的相一致。

對(duì)于較復(fù)雜的積分區(qū)域，在化二重積分為二次積分時(shí)，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，需要選擇恰當(dāng)?shù)亩畏e分的次序。這時(shí)，既要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)f（x，y）的特性。例2 求量各底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積。解 設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為 x + y = R及x + z = R

利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性，只要算出它在第一卦限部分的體積V1，然后再乘以9就行了。

所求立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的底為 2222

22，如圖9-2-5（b）所示。它的頂是柱面。于是。

利用公式（1）得

從而所求立體體積為。

9.2.2 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

有些二重積分，積分區(qū)域D的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來(lái)表示比較方便，且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量r，θ比較簡(jiǎn)單。這時(shí)，我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算二重積分按二重積分的定義有

。，下面將推導(dǎo)出這個(gè)和的極限在極坐標(biāo)系中的形式。

假定從極點(diǎn)O出發(fā)且穿過(guò)閉區(qū)域D內(nèi)部的射線與D的邊界曲線相交不多于兩點(diǎn)。我們用以極點(diǎn)為中心的一族同心圓：r=常數(shù)，以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線：θ=常數(shù)，把D分成n個(gè)小閉區(qū)域。除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域的面積D s i可計(jì)算如下：

其中表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值。在這小閉區(qū)域內(nèi)取圓周點(diǎn)的直角坐標(biāo)設(shè)為x i，h i，則由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系有

。于是

上的一點(diǎn)，該，即。

由于在直角坐標(biāo)系中也常記作，所以上式又可寫(xiě)成

。（4）

這就是二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的變換公式，其中rdrdθ就是極坐標(biāo)系中的面積元素。公式（4）表明，要把二重積分中的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)，只要把被積函數(shù)中的x、y分別換成rcosθ、rsinθ，并把直角坐標(biāo)系中的面積元素dxdy換成極坐標(biāo)系中的面積元素rdrdθ。

極坐標(biāo)系中的二重積分，同樣可以化為二次積分來(lái)計(jì)算。，二重積分化為二次積分的公式為

。（5）

上式也寫(xiě)成

。（5'）

特別地，如果積分區(qū)域D是所示的曲邊扇形，那末相當(dāng)于圖9-2-7（a）中φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。這時(shí)閉區(qū)域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），α≤θ≤β 來(lái)表示，而公式（5'）成為。

如果積分區(qū)域D如圖）所示，極點(diǎn)在D的內(nèi)部，那末相當(dāng)于圖9-2-9中α= 0、β= 2π。這時(shí)閉區(qū)域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），0≤θ≤2π 來(lái)表示，而公式（5'）成為。

由二重積分的性質(zhì)4，閉區(qū)域D的面積s 可以表示為。

在極坐標(biāo)系中，面積元素ds = rdrdθ，上式成為。

如果閉區(qū)域D如圖9-2-7（a）所示，這由公式（5'）有。

特別地，如果閉區(qū)域D如圖9-2-9所示，則φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。于是。

例3 計(jì)算，其中D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域。

解 在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為 0≤r≤a，0≤θ≤2π。由公式（4）及（5）有

例4 求球體x+y+z≤4a圓柱面x+y=2ax（a>0）所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。解 由對(duì)稱性，22

222

2，其中D為半圓周式

及x軸所圍成的閉區(qū)域。在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可用不等0≤r≤2acos（θ），0≤θ≤π/2 來(lái)表示。于是。

第三節(jié) 二重積分的應(yīng)用實(shí)例

在二重積分的應(yīng)用中，由許多求總量的問(wèn)題可以用定積分的元素法來(lái)處理。如果所要計(jì)算的某個(gè)量對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性（就是說(shuō)，當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和），并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域dσ時(shí)，相應(yīng)的部分量可近似地表示為f（x，y）dσ的形式，其中（x，y）在dσ內(nèi)。這個(gè)f（x，y）dσ稱為所求量U的元素而記作dU，以它為被積表達(dá)式，在閉區(qū)域D上積分：，這就是所求量的積分表達(dá)式。9.3.1 曲面的面積 設(shè)曲面S由方程 z = f（x，y）

給出，D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域，函數(shù)f（x，y）在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx（x，y）和fy（x，y）。我們要計(jì)算曲面S的面積A。

在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)域的面積也記作dσ）。在dσ上取一點(diǎn)P（x，y），對(duì)應(yīng)地曲面S上有一點(diǎn)M（x，y，f（x，y）），點(diǎn)M在xOy面上的投影即點(diǎn)P。點(diǎn)M處曲面S的切平面設(shè)為T(mén)。以小閉區(qū)域dσ的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，這柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面。由于dσ的直徑很小，切平面T上的那一小片平面的面積dA可以近似代替相應(yīng)的那一小片面積的面積。設(shè)點(diǎn)M處曲面S上的法線（指向朝上）于z軸所成的角為γ，則

。因?yàn)?，所以?/p>

這就是曲面S的面積元素，以它為被積表達(dá)式在閉區(qū)域D上積分，得。

上式也可寫(xiě)為這就是計(jì)算曲面面積的公式。

設(shè)曲面的方程為x=g（x，y）或y=h（z，x），可分別把曲面投影到xOy面上（投影區(qū)域記作Dyz）或zOx面上（投影區(qū)域記作Dzx），類似地可得，或例1 求半徑為a的球的表面積。

解：取上半球面的方程為x+y≤a。222，則它在xOy面上的投影區(qū)域D可表示為由，得。因?yàn)檫@函數(shù)在閉區(qū)域D上無(wú)界，我們不能直接應(yīng)用曲面面積公式。所以先取區(qū)域D1：x+y≤b（0

222，利用極坐標(biāo)，得

于是。

這就是半個(gè)球面的面積，因此整個(gè)球面的面積為

A = 4πa2。

9.3.2平面薄片的重心

設(shè)有一平面薄片，占有xOy面上的閉區(qū)域D，在點(diǎn)（x，y）處的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上連續(xù)。現(xiàn)在要找該薄片的重心的坐標(biāo)。

在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)域的面積也記作dσ），（x，y）是這小閉區(qū)域上的一個(gè)點(diǎn)。由于dσ的直徑很小，且ρ（x，y）在D上連續(xù)，所以薄片中相應(yīng)于dσ的部分的質(zhì)量近似等于ρ（x，y）dσ，這部分質(zhì)量可近似看作集中在點(diǎn)（x，y）上，于是可寫(xiě)出靜矩元素dMy及dMx：

dMy = xρ（x，y）dσ，dMx =yρ（x，y）dσ。以這些元素為被積表達(dá)式，在閉區(qū)域D上積分，便得。

又由第一節(jié)知道，薄片的質(zhì)量為。

所以，薄片的重心的坐標(biāo)為。

如果薄片是均勻的，即面密度為常量，則上式中可把ρ提到積分記號(hào)外面并從分子、分母中約去，這樣便得均勻薄片重心的坐標(biāo)為

（1）

其中為閉區(qū)域D的面積。這時(shí)薄片的重心完全由閉區(qū)域D的形狀所決定。我們把均勻平面薄片的重心叫做這平面薄片所占的平面圖形的形心。因此，平面圖形D的形心，就可用公式（1）計(jì)算。

例2 求位于兩圓r = 2sinθ和r = 4sinθ之間的均勻薄片的重心

解 因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸，所以重心再按公式

必位于y軸上，于是。

計(jì)算。由于閉區(qū)域D位于半徑為1與半徑為2的兩圓之間，所以它的面積等于這兩個(gè)圓的面積之差，即A = 3π。再利用極坐標(biāo)計(jì)算積分：。

因此，所求重心是C（0，7/3）。

三、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)有一薄片，占有xOy面上的閉區(qū)域D，在點(diǎn)（x，y）處的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上連續(xù)?，F(xiàn)在要求該薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix以及對(duì)于y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iy。應(yīng)用元素法，在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)域的面積也記作dσ），（x，y）是這小閉區(qū)域上的一個(gè)點(diǎn)。由于dσ的直徑很小，且ρ（x，y）在D上連續(xù)，所以薄片中相應(yīng)于dσ的部分的質(zhì)量近似等于ρ（x，y）dσ，這部分質(zhì)量可近似看作集中在點(diǎn)（x，y）上，于是可寫(xiě)出薄片對(duì)于x軸以及對(duì)于y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素： dIx = yρ（x，y）dσ,dIy = xρ（x，y）dσ。以這些元素為被積表達(dá)式，在閉區(qū)域D上積分，便得

22。

例3 求半徑為a的均勻半圓薄片（面密度為常量ρ）對(duì)于其直徑邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：取坐標(biāo)系如圖所示，則薄片所占閉區(qū)域D可表示為 x+y≤a，y≥0；

而所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即半圓薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix。222

其中 為半圓薄片的質(zhì)量。

第四節(jié) 利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

與二重積分的計(jì)算類似，三重積分有時(shí)也要利用柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行計(jì)算。9.4.1 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M（x，y，z）為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P的極坐標(biāo)為r，θ，則這樣的三個(gè)數(shù)r，θ，z就叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)，這里規(guī)定r、θ、z的變化范圍為： 0 ≤ r < +∞, 0 ≤θ≤ 2π,-∞ < z < +∞。三組坐標(biāo)面分別為

r = 常數(shù)，即以z軸為軸的圓柱面； θ=常數(shù)，即過(guò)z軸的半平面； z = 常數(shù)，即與xOy面平行的平面。顯然，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為

（1）

現(xiàn)在要把三重積分中的變量變換為柱面坐標(biāo)。為此，用三組坐標(biāo)面r = 常數(shù)，θ=常數(shù)，z = 常數(shù)把Ω分成許多小閉區(qū)域，除了含Ω的邊界的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，這種小閉區(qū)域都是柱體?？紤]由r，θ，z各取得微小增量dr，dθ，dz所成的柱體的體積。柱體的高為dz、底面積在不計(jì)高階無(wú)窮小時(shí)為r dr dθ（即極坐標(biāo)系中的面積元素），于是得

dv = r dr dθdz，這就是柱面坐標(biāo)中的體積元素。再注意到關(guān)系式（1），就有

（2）

其中F（r，θ，z）= f（r cosθ，r sinθ，z）。（2）式就是把三重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為柱面坐標(biāo)的公式。至于變量變換為柱面坐標(biāo)后的三重積分的計(jì)算，則可化為三次積分來(lái)進(jìn)行?；癁槿畏e分時(shí)，積分限是根據(jù)r，θ，z在積分區(qū)域Ω中的變化范圍來(lái)確定的，下面通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明。例1 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分圍成的閉區(qū)域。，其中Ω是由曲面z = x+y與平面z = 4所

22解 把閉區(qū)域Ω投影到xOy面上，得半徑為2的圓形閉區(qū)域D：0≤r≤2，0≤θ≤2π。在D22內(nèi)任取一點(diǎn)（r，θ），過(guò)此點(diǎn)作平行于z軸的直線，此直線通過(guò)曲面z = x+y穿入Ω內(nèi)，然后通過(guò)平面z = 4穿出Ω外。因此閉區(qū)域Ω可用不等式 r2≤z≤4，0≤r≤2，0≤θ≤2π 來(lái)表示。于是

9.4.2 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M（x，y，z）為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M也可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r，φ，θ來(lái)確定，其中r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離，φ為有向線段看自x軸按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線段

與z軸正向所夾的角，θ為從正z軸來(lái)的角，這里P為點(diǎn)M在xOy面上的投影。這樣的三個(gè)數(shù)r，φ，θ叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)，這里r，φ，θ的變化范圍為 0 ≤ r < +∞, 0 ≤φ≤ π, 0 ≤θ≤ 2π.r = 常數(shù)，即以原點(diǎn)為心的球面；

φ= 常數(shù)，即以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、z軸為軸的圓錐面； θ = 常數(shù)，即過(guò)z軸的半平面。點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為

（3）

為了把三重積分中的變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)，用三組坐標(biāo)面r = 常數(shù)，φ=常數(shù)，θ= 常數(shù)把積分區(qū)域Ω分成許多小閉區(qū)域?？紤]由r，φ，θ各取得微小增量dr，dφ，dθ所成的六面體的體積。不計(jì)高階無(wú)窮小，可把這個(gè)六面體看作長(zhǎng)方體，其經(jīng)線方向的長(zhǎng)為rdφ，緯線方向的寬為r sinφdθ，向徑方向的高為dr，于是得 dv = r sinφdrdφdθ，這就是球面坐標(biāo)系中的體積元素。再注意到關(guān)系式（3），就有 2,（4）

其中F（r，φ，θ）= f（r sinφcosθ，r sinφsinθ，r cosφ）。（4）式就是把三重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)的公式。

要計(jì)算變量變換為球面坐標(biāo)后的三重積分，可把它化為對(duì)r對(duì)φ及對(duì)θ的三次積分。若積分區(qū)域Ω的邊界曲面是一個(gè)包圍原點(diǎn)在內(nèi)的閉曲面，其球面坐標(biāo)方程為r = r（φ，θ），則。

當(dāng)積分區(qū)域Ω為球面r = a所圍成時(shí)，則。

特別地，當(dāng)F（r，φ，θ）= 1時(shí)，由上式即得球的體積，這是我們所熟知的。

例2 求半徑為a的球面與半頂角為α的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積。解 設(shè)球面通過(guò)原點(diǎn)O，球心在z軸上，又內(nèi)接錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，其軸與z軸重合，則球面方程為r = 2acosφ，錐面方程為φ=α。因?yàn)榱Ⅲw所占有的空間閉區(qū)域Ω可用不等式 0≤r≤2acosφ, 0≤φ≤α, 0≤θ≤2π 來(lái)表示，所以

在三重積分的應(yīng)用中也可采用元素法。

設(shè)物體占有空間閉區(qū)域Ω，在點(diǎn)（x，y，z）處的密度為ρ（x，y，z），假定這函數(shù)在Ω上連續(xù)，求該物體的重心的坐標(biāo)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。與第三節(jié)中關(guān)于平面薄片的這類問(wèn)題一樣，應(yīng)用元素法可寫(xiě)出

等，其中為物體的質(zhì)量。

例3 求均勻半球體的重心。

解 取半球體的對(duì)稱軸為z軸，原點(diǎn)取在球心上，又設(shè)球半徑為a，則半球體所占空間閉區(qū)域Ω可用不等式 x+y+z≤a，z≥0 來(lái)表示。2222顯然，重心在z軸上，故。，其中為半球體的體積。

因此，重心為。