第一篇：證明數(shù)列前n項(xiàng)和 不等式的定積分 放縮法

證明數(shù)列前n項(xiàng)和 不等式的定積分 放縮法

摘要：本文深入分析數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系，結(jié)合高等數(shù)學(xué)中數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)[4]的觀點(diǎn)研究高考證明數(shù)列前n項(xiàng)和不等式的相關(guān)問(wèn)題。本著“數(shù)形結(jié)合”的重要數(shù)學(xué)思想，抓住數(shù)列的本質(zhì)是數(shù)值函數(shù)這一特點(diǎn)，另辟蹊徑，利用分析學(xué)“定積分”這一工具，探究對(duì)數(shù)列前n項(xiàng)和不等式進(jìn)行放縮的方法。關(guān)鍵詞：數(shù)列；不等式；定積分；數(shù)形結(jié)合。

數(shù)列，高考的重中之重。而對(duì)于數(shù)列前n項(xiàng)和不等式的證明更是天津高考的難點(diǎn)。這類(lèi)問(wèn)題大致可以分為兩種：如果這樣簡(jiǎn)單分類(lèi)的話，那么顯然第二種題型會(huì)比第一種更復(fù)雜[2]。對(duì)于第一種題型，題目中已然給出了我們要證明的“對(duì)象”，即便我們對(duì)原數(shù)列“無(wú)從下手”，也可以根據(jù)“式”的偶性，將不等號(hào)右邊的式子也看作是某一數(shù)列的“和”，再通過(guò)“和轉(zhuǎn)項(xiàng)”的方式找到其對(duì)應(yīng)的“項(xiàng)”，從而我們不妨逐項(xiàng)比較，最后累加達(dá)到目的。此外，山窮水復(fù)之時(shí)，數(shù)學(xué)歸納法也是個(gè)不錯(cuò)的選擇。所以，對(duì)于第一種題型來(lái)說(shuō)，有多種比較成熟的應(yīng)對(duì)方法，這里就不逐一列舉。然而，對(duì)于第二種題型，“和轉(zhuǎn)項(xiàng)”與歸納法則不再適用。題目中要求尋找的，類(lèi)似于這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和的“極限”，而這個(gè)“極限”則是一個(gè)常數(shù)。在處理這一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們通常要將原數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行一定程度的放縮與變形，處理成為一個(gè)能夠求和的數(shù)列，并且由變形后數(shù)列的“和”可以進(jìn)一步證明我們想要的結(jié)論（如果將變形后數(shù)列的前n項(xiàng)和看作一個(gè)函數(shù)，那么待證明的常數(shù)C通常是這個(gè)函數(shù)的極限）。顯然，這執(zhí)行起來(lái)十分困難，要求學(xué)生有足夠的“數(shù)學(xué)遠(yuǎn)見(jiàn)”，并且要記一些常用的方法和結(jié)論，無(wú)疑是“霧里看花”。因?yàn)?，即使在這些結(jié)論上下了很大功夫，題目稍加變化后，學(xué)生們?nèi)允歉械健盁o(wú)從下手”。況且，即便命題人不改變題目的結(jié)構(gòu)，僅僅是將不等式的強(qiáng)度加大，學(xué)生在解題時(shí)，還是會(huì)陷入漫無(wú)目的“嘗試”。所以，數(shù)列前n項(xiàng)和不等式的證明一直以來(lái)都是高考的難點(diǎn)，而那些盡可能巧妙地解決這類(lèi)問(wèn)題的方法大多都指向“構(gòu)造”的思想。而“構(gòu)造”需要“數(shù)學(xué)遠(yuǎn)見(jiàn)”，要求學(xué)生具備極好的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，非一日之功。況且，想要通過(guò)做題、總結(jié)的方式培養(yǎng)這種“素養(yǎng)”，絕非易事。為解決這一瓶頸，筆者嘗試從高中數(shù)學(xué)內(nèi)部尋找一種容易為高中生理解，又不會(huì)涉及“知識(shí)超綱”問(wèn)題，且盡可能普遍適用的方法和視角來(lái)解決這一類(lèi)問(wèn)題，并試圖探究其內(nèi)在“本原”。于是，筆者發(fā)現(xiàn)了——定積分。對(duì)照以上兩種方法，不難發(fā)現(xiàn)利用定積分放縮的方法十分優(yōu)美、簡(jiǎn)潔，并且在很大意義上揭示了級(jí)數(shù)不等式的本質(zhì)。下面以天津市近兩年高考與模擬的壓軸題為例深刻體會(huì)定積分放縮法的優(yōu)越性。由例1.及其變式不難看出，利用定積分放縮法往往并不是直接放縮至待證“對(duì)象”本身，而是構(gòu)造了一個(gè)比待證不等式強(qiáng)度更大的不等式，然后再次放縮到需要的“對(duì)象”。綜述：定積分放縮法作為一種簡(jiǎn)潔、優(yōu)美的解題方法，在解決由“數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)”所引申出的“證明數(shù)列前n項(xiàng)和不等式”的問(wèn)題中有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，具有一定程度的普適性。無(wú)疑為學(xué)生遇到問(wèn)題“無(wú)從下手”時(shí)，提供了一套系統(tǒng)的構(gòu)思程序。定積分放縮法中處處滲透了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，并將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到數(shù)列是離散的數(shù)值函數(shù)這一本質(zhì)，有機(jī)地反映了將“代數(shù)-幾何-分析”綜合起來(lái)的“數(shù)學(xué)美”，有助于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。定積分放縮法是建立在常規(guī)放縮法基礎(chǔ)之上的拓展，二者地位等同，相互依存。和一切的數(shù)學(xué)模型一樣，我們希望但永遠(yuǎn)不能將所有問(wèn)題都用一個(gè)“統(tǒng)一的方法”來(lái)解決。數(shù)學(xué)的靈魂，在于各分支間的融會(huì)貫通，“統(tǒng)一的方法”和“永動(dòng)機(jī)”一樣是不存在的。數(shù)學(xué)本身的“包羅萬(wàn)象”，足以從其自身內(nèi)部醞釀出千變?nèi)f化的解題方法。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)的精神在于各個(gè)數(shù)學(xué)分支的互相穿插與多種解法間內(nèi)在緊密聯(lián)系的數(shù)學(xué)邏輯。這就是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。參考文獻(xiàn)[1].《淺談高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用》[M].廣東石油化工學(xué)院，22-24[2].李廣修.證明不等式的定積分放縮法[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2008,47（7）：55-57[3].意琦行，數(shù)海拾貝.證明級(jí)數(shù)不等式的積分放縮法[J].光量子，2015；10；29[4].《高等數(shù)學(xué)》[M].同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，2014第7版：251-327致謝感謝天津市第一〇二中學(xué)數(shù)學(xué)組：馬萍，嚴(yán)虹，紀(jì)洪偉，張倩老師對(duì)我研究的幫助與支持。感謝“高中數(shù)學(xué)解題研究會(huì)”杜巍老師給予的幫助。感謝“高中數(shù)學(xué)解題研究會(huì)”提供優(yōu)良的研究平臺(tái)及學(xué)術(shù)氛圍。感謝周?chē)鷮?duì)我研究的支持和認(rèn)可。

第二篇：放縮法證明數(shù)列不等式

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識(shí)回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見(jiàn)的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：

① 等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的指數(shù)類(lèi)函數(shù)）③ 錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差錯(cuò)誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手

② 在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號(hào)同方向）

③ 在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見(jiàn)的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。

④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過(guò)”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。

（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

① 裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）

② 等比數(shù)列：所面對(duì)的問(wèn)題通常為“錯(cuò)誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。，如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號(hào)的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。，即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。

注：此方法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響

（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問(wèn)題：

① 此類(lèi)問(wèn)題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)行變形

② 在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問(wèn)題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過(guò)“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:

類(lèi)型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足：錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。）．

（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（3）在滿(mǎn)足條件（2）的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍．

例2.記錯(cuò)誤！未找到引用源。.對(duì)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。的子集錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.類(lèi)型

二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足：錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）．

例4.已知錯(cuò)誤！未找到引用源。是數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和，且對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，有錯(cuò)誤！未找到引用源。.其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；

②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足的條件，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，① 判定錯(cuò)誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；

②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍.方法、規(guī)律歸納: 常見(jiàn)的放縮變形：

（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。，（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。

注：對(duì)于錯(cuò)誤！未找到引用源。還可放縮為：錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。實(shí)戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無(wú)錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。記數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（3）問(wèn)是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立？說(shuō)明理由.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

⑵ 設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見(jiàn)解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。⑶錯(cuò)誤！未找到引用源。

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，．?dāng)?shù)列

滿(mǎn)足（1）求數(shù)列（2）若和，且． 的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請(qǐng)說(shuō)明理由．）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的，若不存在，4．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得對(duì)于任意錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。．

5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．

（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。？若存在，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足要求的數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試】已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列

分別滿(mǎn)足，其中（1）若數(shù)列（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為的通項(xiàng)公式；，使得，稱(chēng)數(shù)列

.都為遞增數(shù)列，求數(shù)列滿(mǎn)足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求 為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列

為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，并說(shuō)明理由；

（2）求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值.8．記等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（2）若 錯(cuò)誤！未找到引用源。，對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，均有錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯(cuò)誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿(mǎn)足(n＋1)bn＝an＋1錯(cuò)誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；

（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

10．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

②在錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值．

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識(shí)回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見(jiàn)的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：

① 等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的指數(shù)類(lèi)函數(shù)）③ 錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差錯(cuò)誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手

② 在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號(hào)同方向）

③ 在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見(jiàn)的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。

④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過(guò)”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。

（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

① 裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）

② 等比數(shù)列：所面對(duì)的問(wèn)題通常為“錯(cuò)誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。，如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號(hào)的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。，即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。注：此方法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響

（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問(wèn)題：

① 此類(lèi)問(wèn)題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)行變形

② 在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問(wèn)題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過(guò)“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:

類(lèi)型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足：錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。）．

（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（3）在滿(mǎn)足條件（2）的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍．

【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。

（2）由（1）知，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，則有錯(cuò)誤！未找到引用源。，而錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，故錯(cuò)誤！未找到引用源。，解得錯(cuò)誤！未找到引用源。，再將錯(cuò)誤！未找到引用源。代入錯(cuò)誤！未找到引用源。，得錯(cuò)誤！未找到引用源。，例2.記錯(cuò)誤！未找到引用源。.對(duì)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。的子集錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）詳見(jiàn)解析（3）詳見(jiàn)解析 【解析】

試題分析：（1）根據(jù)及時(shí)定義，列出等量關(guān)系，解出首項(xiàng)，寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)子集關(guān)系，進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；（3）利用等比數(shù)列和與項(xiàng)的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。因此由錯(cuò)誤！未找到引用源。，因此錯(cuò)誤！未找到引用源。中最大項(xiàng)必在A中，由（2）得錯(cuò)誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯(cuò)誤！未找到引用源。.于是當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.又錯(cuò)誤！未找到引用源。，故錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此，錯(cuò)誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯(cuò)誤！未找到引用源。.類(lèi)型

二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足：錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．

故錯(cuò)誤！未找到引用源。，則有：錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。例4.已知錯(cuò)誤！未找到引用源。是數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和，且對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，有錯(cuò)誤！未找到引用源。.其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；

②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足的條件，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，① 判定錯(cuò)誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；

②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯(cuò)誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是以錯(cuò)誤！未找到引用源。為首項(xiàng)，錯(cuò)誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，不是等比數(shù)列；②錯(cuò)誤！未找到引用源。．

方法、規(guī)律歸納: 常見(jiàn)的放縮變形：

（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。，（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。

注：對(duì)于錯(cuò)誤！未找到引用源。還可放縮為：錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。實(shí)戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無(wú)錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。記數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（3）問(wèn)是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立？說(shuō)明理由.【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見(jiàn)解析

（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以只要錯(cuò)誤！未找到引用源。

即只要滿(mǎn)足 ①：錯(cuò)誤！未找到引用源。，和②：錯(cuò)誤！未找到引用源。，對(duì)于①只要錯(cuò)誤！未找到引用源。就可以； 對(duì)于②，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。，不成立，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。令錯(cuò)誤！未找到引用源。，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。

即錯(cuò)誤！未找到引用源。，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，②式成立，即當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

⑵ 設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見(jiàn)解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。⑶錯(cuò)誤！未找到引用源。

要使錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，只要使錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。為正偶數(shù)恒成立，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，故實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍是錯(cuò)誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，因此數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值為錯(cuò)誤！未找到引用源。．

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。的關(guān)系式．

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列滿(mǎn)足，且

． 的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，．?dāng)?shù)列（1）求數(shù)列（2）若和的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）（2））成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因?yàn)閷?duì) 即所以恒成立，都有，，恒成立，記所以因?yàn)閺亩鴶?shù)列于是，為遞增數(shù)列，所以當(dāng)．

（），使

成等差數(shù)列，則，時(shí)取最小值，（3）假設(shè)存在正整數(shù)即，若為偶數(shù)，則若為奇數(shù)，設(shè)于是當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.，則，與

矛盾；，即，此時(shí)

4．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得對(duì)于任意錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。．

【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）存在，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：

（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項(xiàng)公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿(mǎn)足條件，先求出錯(cuò)誤！未找到引用源。，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成錯(cuò)誤！未找到引用源?？汕蟮缅e(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出Tn，然后寫(xiě)成分段函數(shù)的形式。

試題解析：（1）由錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。． 又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，上式成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。； 當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此錯(cuò)誤！未找到引用源。．

點(diǎn)睛：數(shù)列求和時(shí)，要根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組求和等。

5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．

（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。？若存在，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足要求的數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．

（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析

當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，兩式相減得錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試】已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和分別為（1）若數(shù)列.分別滿(mǎn)足，其中，設(shè)數(shù)列都為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列滿(mǎn)足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求 為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列，使得，稱(chēng)數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，并說(shuō)明理由；

（2）求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見(jiàn)解析（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)榧襄e(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。而言，存在錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。，又因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，將上述不等式相加得： 錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯(cuò)誤！未找到引用源。，又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，故錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。.點(diǎn)睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。求解第一問(wèn)時(shí)，直接運(yùn)用題設(shè)條件中所提供的條件信息進(jìn)行驗(yàn)證即可；解答第二問(wèn)時(shí)，先運(yùn)用題設(shè)條件中定義的信息可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，再將上述不等式相加得： 錯(cuò)誤！未找到引用源。即可獲證錯(cuò)誤！未找到引用源。；證明第三問(wèn)時(shí)，充分借助（2）的結(jié)論可知錯(cuò)誤！未找到引用源。，又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，因此構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，進(jìn)而求出錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。.8．記等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（2）若 錯(cuò)誤！未找到引用源。，對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，均有錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯(cuò)誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）見(jiàn)解析

解：（1）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。，從而錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列.（2）因?yàn)榈娜我獾腻e(cuò)誤！未找到引用源。都是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，顯然，錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足條件，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比大于錯(cuò)誤！未找到引用源。，首項(xiàng)大于錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，記公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。.以下證明： 錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿(mǎn)足(n＋1)bn＝an＋1錯(cuò)誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；

（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 【答案】（1）cn＝1．（2）見(jiàn)解析.10．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式； ②在錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。

（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。，在錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，故有錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，

第三篇：放縮法證明數(shù)列不等式

放縮法證明不等式

1、設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和Sn?

43an?

13?

2n

n?

1?

3(n?1,2,3,?)

n

（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn?

an?4?2

n

n

2Sn

(n?1,2,3,?)，證明：?Ti?

i?1

解：易求

Sn?Tn?

（其中n為正整數(shù)）

n

n

432

n

an??

n

13?

?2

n?1

??

?

4n

?23

n

??

?2

n?1

?

?

?2

n?1

?1??2?1?

n

Sn

?2

n?1

?1??2?1?

?

1?1?

??n?n?1

?

2?2?12?1?

所以：

?

i?1

Ti?

313?1?

??1?n?1??2?2?12?1?22、求證：（1）

1?1?法1：數(shù)歸（兩邊都可以）

法2：放縮裂項(xiàng) 法3：定積分放縮（2）

22??

?n?N)

?

???

1n1n

?

31n?

11n

法1：放縮一：

?

n(n?1)

??

(n?2)

Sn?

??

?

??1n

1n

?(1336

?

?

?

?

52)?（15

??

1653

?

?

???

1n?1

?

1n)

＝1?

1336

121400?

??1??1

121400

?1?

23893600(1

?1?

24003600

.放縮二：

1n

1n?1

?

(n?1)(n?1)

?

2n?1

?

n?1),(n?2)

Sn??54

?

?

??

1n

?（11

?

2)?

111111111(?????????)22435n?2nn?1n?1

?

1111151115

(???)??(?)?.223nn?142233

放縮三：

1n

?

1n?

?(n?

112)(n?

12)

?（1n?

?

1n?

12)?2（12n?1

?

12n?1),(n?1)

Sn?

?

?

??

1n

?1?2（13

?

?

?

???

12n?1

?

12n?1)?1?2（13

?

12n?1)?

法2：數(shù)歸——加強(qiáng)命題：常用的放縮公式：

1n(n?1)

2n?

n?1?

1n

???

1n

?

?

1n

?

1n(n?1)1n

；n?

n?1?2n?n?

n?1；

???n

n?

2n?1；

ab

?

a?mb?m

(b?a?0,m?0)

1k

?

k(k?1)(k?1)?

1n?11k(k?1)

?

?1?11*

?(k?2,k?N)??

2?k(k?1)k(k?1)?

1n?k?

n?kn1k!?

?

1n?2

?...?

?

kn?11

(k?3)

(k?2)

；2?12

n?1n

k!k(k?1)(k?2)

n

an?

例3：已知：

?1

(n?N

?)，求證：?ai?

i?1

n2

?

法1：均值不等式：即證

?

?

715n2

?...?

2?12

n?1

n

?1

?

?

n2

也即：

?

?

715

?...?

2?12

n

n?1

n

?1

?

而

:

?

?

715

?...?

2?12

n?1

?1

?n

???

法2：放縮后裂項(xiàng)求和

an?

2?1212

n?1n

?1?（?

2?12(2?1

?

n

n)1

?

?

?

n?1

=

?1

?

?

2?1(2

n?1

n

?1)(2?1)

n

=

?

2?1

n

n?1

?1)

法3：數(shù)歸，但是直接去證是不行的，要轉(zhuǎn)化為一個(gè)加強(qiáng)命題

4．定義數(shù)列如下：a1?2,an?1?an?an?1,n?N

?

證明：（1）對(duì)于n?N恒有an?1?an成立。

2?

?

（2）當(dāng)n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立。

（3）1?

2006

?

1a1

?

1a2

???

1a2006

?1。

解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。

（2）由an?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)?an?1?an?1(an?1?1)……

a2?1?a1(a1?1)以上各式兩邊分別相乘得：

an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2?an?1?anan?1?a2a1?1（3）要證不等式1?

2006

?

1a1

?

1a2

???

1a2006

?1，可先設(shè)法求和：

1a1

?

1a2

???

a2006，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。

?an?1?1?an(an?1)

?

1an?1?11an1a1

?

1an?1

?

1an

??

1an?11a2

?

1an?1?11a2006

?????

?（1a1?11

?

1a2?11)?（1a2?1

?

1a3?1)???（1a2006?1

?

1a2007?1)

?

a1?1

?

a2007?11

?1?

a1a2?a2006

?1

又a1a2?a2006?a1

2006

?2

2006

?1?

1a1a2?a2006

?1?

2006

?原不等式得證。

5．已知數(shù)列?an?中an?

i

i

n

nn

2?1，求證：?ai(ai?1)?3.i?1

方法一：ai(ai?1)?

n

i

2?12?1

?

i

i

i

(2?1)(2?2)

?

i

i?1

i?1

(2?1)(2?1)

?

i?1

?1

?

12?1

i

.?

?

i?1

ai(ai?1)?

(2?1)

?（12?1

?

12?1)?（12?1

?

12?1)???（12

n?1

?1

?

12?1

n)?3?

12?1

n

?3.方法二：

ai(ai?1)?

i

i

(2?1)

?

i

12?2?

i

?

12?2

i

?

122?

i

?

2?2

i

i?1

.(i?2)

n

?

?

i?1

ai(ai?1)?2?

?

???

n?1

?2?(1?

12)?3?n?1

n?1

?3.n

法3：數(shù)歸證?

?

i?1

ai(ai?1)?3?

12?1

n

?3.（即轉(zhuǎn)化為證明加強(qiáng)命題）

6、已知函數(shù)f?x??ln?1?x??x，數(shù)列?an?滿(mǎn)足：

a1?

2,ln2?lnan?1?an?1an?f

?an?1an?．

（1）求證：ln?1?x??x；（2）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

（3）求證不等式：a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2?． 解：（1）f?x??ln?1?x??x，f'?x??

11?x

?1??

x1?x，當(dāng)?1?x?0時(shí)，f'?x??0，即y?f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x?0時(shí)，f'?x??0，即y?f(x)是單

調(diào)遞減函數(shù)．

所以f'?0??0，即x?0是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)

f?x??ln?1?x??x?f?0??0?ln?1?x??x，當(dāng)x?0時(shí)取到等號(hào)．（2）法1：數(shù)學(xué)歸納法（先猜想，再證明）

法2：由ln2?lnan?1?an?1an?f?an?1an?得2an?1?an?1an?1，an?1?

12?an，an?1?1?

12?an

?1?

an?12?an，1an?1?

1?

1an?1

?1，即數(shù)列?

?

?1

??2，公差為?1，是等差數(shù)列，首項(xiàng)為?

a?11?an?1?

nn?1

∴

an?1

??n?1?an?

．

（3）法1：

a1?a2???an?1?

11?1

?1?

12?1

???1?

11??1

?n???????

23n?1n?1??

又∵x?0時(shí)，有x?ln?1?x?，令x?

1n?1?1?2

?0，則

1?n?2?

?ln?1??ln ?n?1n?1?n?1?1

∴n??

?

3???

345n?1n?2???

?n?ln?ln?ln???ln?ln??? n?1?234nn?1??n?

2?n?2

?n?l?n??

n?1?2

?n??ln?

?

?343

???ln?2

n? ?nl?

∴a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2? ． 法2：積分法要證原命題，即證：?

?1?2

?

??ln(n?2)?ln2 n?1?1

????

11??1???????3n?1??2

?1?2

n?2

?

1x

dx?lnx

n?22

法3：數(shù)歸證明：?7.1、（1）求證：2

n

?

???

?

??ln(n?2)?ln2 n?1?

?

?2n?1(n?2,n?N)

nn?1n01

法1：2?Cn?Cn?...?Cn?Cn；

法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)）

8.若n?N，證明：()+()+…+（n

n

*

n

n

n?1n)+（n

nn)?

n

ee?1

提示:借助e?1?x證明

x

第四篇：裂項(xiàng)放縮證明數(shù)列不等式

策略

一、裂項(xiàng)放縮證明數(shù)列不等式

若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來(lái)解題。例1-

1、（全國(guó)I理-22壓軸題）設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和Sn?項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn?

2n

43an?

?

2n?

1?

23，n?1,2,3,???（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通

n

Sn，n?1,2,3,???，證明：?Ti?

i?1

例1-

2、（湖北理-17）已知二次函數(shù)y?f(x)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)?6x?2，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)

?

和為Sn，點(diǎn)(n,Sn)(n?N)均在函數(shù)y?f(x)的圖像上。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn?

3anan?

1，Tn是

數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn?

m20

對(duì)所有n?N?都成立的最小正整數(shù)m；

例1-

3、（重慶理-22壓軸題）設(shè)數(shù)列{a}滿(mǎn)足a1?2,an?1?an?

n

1an

(n?1,2,?).（Ⅰ）證明a?

n

2n?1對(duì)一切正整數(shù)n

成立；（Ⅱ）令bn?

ann

(n?1,2,?)，判定b與b

n

n?

1的大小，并說(shuō)明理由

例1-

4、已知n?N*，求1?

例1-

5、設(shè)an?1?

2a

?

3???

1n

＜2n

?

a

???

1n

a,a?2.求證：an?2.策略

二、均值不等式放縮證明不等式 例2-

1、設(shè)Sn?

例3-

2、已知函數(shù)f(x)?

例3-

3、已知a,b為正數(shù)，且a?b

1?

1?2?2?3???n(n?1).求證

n(n?1)

2?Sn?

(n?1)

.4x

x

1?

4求證：f(1)?f(2)???f(n)?n?

n?1

?

.，試證：對(duì)每一個(gè)n?N?，(a?b)n

?a?b?2

nn2n

?2

n?1

.策略

三、調(diào)整分式值放縮證明數(shù)列不等式（尾式或局部放縮）

一個(gè)分式若分母不變分子變大則分式值變大，若分子不變分母變大則分式值變?。灰粋€(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大（“加糖不等式”）---姐妹不等式:

ba?b?ma?m

(b?a?0,m?0)和

ba?b?ma?m

(a?b?0,m?0)

例3-

1、（福建理-22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=1,an?1=2an+1(n∈N?)（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足4b1明:

例3-

2、證明：(1?1)(1?3)(1?5)?(1?2n?1)?

即證：1?3?5???(2n?1)?

例3-

3、證明:(1?1)(1?)(1?)?(1?

713n?

2)?

－1 b2－2

4?

4bn－

1=(a

n

+1)bn(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列;（Ⅲ）證

n2

?

3＜

a1a2

?

a2a3

???

anan?1

＜

n2

(n∈N).*

2n?1和(1?

?

12)(1?1

14)(1?

16)?(1?

12n)?

12n?1

2?4?6??2n

2n?1

和

1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n

2n?1

3n?1.例3-

4、已知a、b、c為三角形的三邊，求證：1＜

例3-

5、求證:

13?

1?

13?2?1

???

13?

2n?1

abc

＋＋＜2。b?ca?ca?b

?1

?

策略

四、單調(diào)性放縮證明不等式

例4-

1、（湖南理-19）已知函數(shù)f(x)?x?sinx,數(shù)列{an}滿(mǎn)足:0?a1?1,an?1?f(an),n?1,2,3,?.證明:（I）．0?an?1?an?1;（II）．a(chǎn)n?1?

例4-2（遼寧理-21）已知函數(shù)f(x)?ax?

0?a1?

2,an?1?f(an),n?N

?

an.32

x的最大值不大于

.16，又當(dāng)x?[

11,]42

時(shí)

f(x)?

.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設(shè)，證明an?

1n?

1x1例4-

3、（北京理-19）數(shù)列?xn?由下列條件確定：

xn?1??a?0，1?a?

?xn??,n?N．（I）證明：對(duì)n?2總有xn???2?xn?

a；

(II)證明：對(duì)n?2總有xn?xn?

1例4-

4、設(shè)Sn??2?

例4-

5、求證：(1?1)(1?)(1?)?(1?

12n?

1)?

2n?1.2?3???n(n?1).求證

n(n?1)

2?Sn?

(n?1)2

.策略五：二項(xiàng)式放縮證明不等式

nn01nn01

2?(1?1)?Cn?Cn???Cn,2?Cn?Cn?n?1,2?C?C?C?例5-

1、已知a1?1,an?1?(1?

例5-

2、證明2?(1?

n

例5-

3、設(shè)n?1,n?N，求證(3)

n

0n1n2n

n

?n?2

212

n

.證明a

n

?n(n?1)(n?2)

?e

1n?n)an?

n

1n)?3.n

?

8(n?1)(n?2)

策略六：遞推放縮證明數(shù)列不等式

例6-

1、（全國(guó)高考）設(shè)數(shù)列?a?滿(mǎn)足an?1?an?nan?1?n?N??，當(dāng)a1?3時(shí)證明對(duì)所有n?1, 有(i)an?n?2；

n

(ii)

11?a

1?

11?a

2???

11?an

?

例6-

2、(重慶理-22壓軸題)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1?1且an?1?(1?

1n?n)an?

2n

(n?1).（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

an?2(n?2)；（Ⅱ）已知不等式ln(1?x)?x對(duì)x?0成立,證明:an?e(n?1)，其中無(wú)理數(shù)e?2.71828?

例6-

3、（湖北理-22壓軸題）已知不等式

12?13???

1n?12[log

n],n?N,n?2.[log

?

2n]表示不超過(guò)log2b,n?3.n 的最大

整數(shù)。設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1?b(b?0),an?

nan?1n?an?

1,n?2,n?N?，證明：an?

2?b[log

n]

例6-

4、（浙江理-20壓軸題）已知函數(shù)f（x）=x3+x2，數(shù)列{xn}（xn＞0）的第一項(xiàng)x1=1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：

*

曲線y=f（x）在（xn+！，f（xn+！））處的切線與經(jīng)過(guò)（0，0）和（xn，f（xn））兩點(diǎn)直線平行（如圖）。求證：當(dāng)n∈N時(shí)

2（Ⅰ）xn?xn?3xn?1?2xn?1（Ⅱ）()

n?

11n?2

?xn?()

策略七：分項(xiàng)討論放縮證明數(shù)列不等式

例

7、（2004年全國(guó)3理-22壓軸題）（14分）已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn?2an?(?1)n,n?1.（1）寫(xiě)出數(shù)列?an?的前三項(xiàng)a1,a2,a3；（2）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)m?4，有

策略八： 數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式

例8-

1、（江西理-21倒二題）（12分）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)（1）證明an?an?1?2,n?N;（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.例8-

2、（江西理-22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足：a1＝

1a4

?

1a5

???

1am

?

.,且滿(mǎn)足:a0?1,an?1?

an,(4?an),n?N.，且an＝

n?2，n?N）（1）求數(shù)列｛an｝

2an－1＋n－1

3nan－1

?的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1?a2???an?2?n！

第五篇：放縮法證明數(shù)列不等式經(jīng)典例題

放縮法證明數(shù)列不等式

主要放縮技能： 1.1111111???2??? nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n

114411????2(?)

22n4n?1(2n?1)(2n?1)2n?12n?1n2?4

2.???? ????2)

? ??

??

??

?

? 4.2n2n2n?1115.n ????(2?1)2(2n?1)(2n?2)(2n?1)(2n?1?1)2n?1?12n?16.n?22(n?1)?n11??? n(n?1)?2n?1n(n?1)?2n?1n?2n(n?1)?2n?1

x2?x?n*c?(n?N)例1.設(shè)函數(shù)y?的最小值為，最大值為，且abnnn2x?1

（1）求cn；（2）證明：

例2.證明：16?1?

例3.已知正項(xiàng)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和為sn，且an?

2（1）求證：數(shù)列sn是等差數(shù)列； 11117?????? 444c14c2c3cn4????17 1?2sn，n?N*； an??

（2）解關(guān)于數(shù)列n的不等式：an?1?(sn?1?sn)?4n?8

（3）記bn?2sn,Tn?331111?Tn??????

?，證明：1 2b1b2b3bn

例4.已知數(shù)列?an?滿(mǎn)足：?n?2?an?an?1； ?是公差為1的等差數(shù)列，且an?1?nn??

（1）求an；（2

????2 例5.在數(shù)列?an?中，已知a1?2,an?1an?2an?an?1；

（1）求an；（2）證明：a1(a1?1)?a2(a2?1)?a3(a3?1)???an(an?1)?3

2n?1an例6.數(shù)列?an?滿(mǎn)足：a1?2,an?1?； n(n?)an?22

5112n

（1）設(shè)bn?，求bn；（2）記cn?，求證：?c1?c2?c3???cn? 162n(n?1)an?1an

例7.已知正項(xiàng)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和為sn滿(mǎn)足：sn?1,6sn?(an?1)(an?2)；

（1）求an；

（2）設(shè)數(shù)列?bn?滿(mǎn)足an(2n?1)?1,并記Tn?b1?b2?b3???bn，b

求證：3Tn?1?log2n

(a?3)（函數(shù)的單調(diào)性，貝努力不等式，構(gòu)造，數(shù)學(xué)歸納法）

例8.已知正項(xiàng)數(shù)列?an?滿(mǎn)足：a1?1,nan?1(n?1)an??1，anan?1

記b1?a1,bn?n[a1?

（1）求an；

（2）證明：(1?

2111????](n?2)。222a2a3an?11111)(1?)(1?)?(1?)?4 b1b2b3bn4