第一篇：數(shù)列前n項(xiàng)和構(gòu)成不等式證明方法與技巧（范文）

數(shù)列前n項(xiàng)和構(gòu)成不等式證明方法與技巧

安徽五河一中邢文舉、楊梅玲

由數(shù)列前n項(xiàng)和構(gòu)成的不等式是一種非常重要的題型，常在高考題中出現(xiàn)，由于不等式證明本身就是一個(gè)難點(diǎn)，再加數(shù)列的各種變形應(yīng)用，不少學(xué)生對(duì)該題型束手無(wú)策，不知從何處去分析尋求解題思路，該題型一般有三種解題思路：第一，若數(shù)列?an?是可求和數(shù)列，應(yīng)先求和Sn，再證明不等式；第二，若數(shù)列?an?是不可求和數(shù)列，一般先將數(shù)列的通項(xiàng)放縮成可求和數(shù)列，再求和證明不等式；第三，若數(shù)列是不可求和數(shù)列，對(duì)通項(xiàng)的放縮又有一定的困難可嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，當(dāng)然有的可求和數(shù)列和構(gòu)成的不等式也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，下面以例說(shuō)明。

例

1、各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列?an?，a1=3前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列?bn?中，b1=1，且b2S2=64，?ban?是公比為64的等比數(shù)列。

（1）求an、bn；

（2）證明1113????? S1S2Sn4

解：（1）設(shè)?an?的公差為d，?bn?的分比為q（d>0,q>0）

則an=3+(n-1)dbn=q n-1

ban?1qan?1?1

??an?1?qan?1?an?qd?64 banq

又b2S2=q(6+d)=64

可求得：d=2，q=8

∴an=2n+1，bn=8n-1

（2）由（1）知Sn=n(n+2)11111??(?)Snn(n?2)2nn?2

?1?顯然??是可求和數(shù)列，先求和，再證明不等式

?Sn?

∴1111?1111111???????(1?)?(?)?(?)???(?)? S1S2Sn2?32435nn?2?

1111113=(1???)?(1?)? 22n?1n?2224

∴原不等式對(duì)n?N?成立

例

2、等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n?N?，點(diǎn)(n,Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均為常數(shù))的圖象上。

（1）求r的值；

（2）當(dāng)b=2時(shí)設(shè)bn?n?11(n?N?)，數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和為Tn，證明Tn? 4an2解：（1）由已知有Sn=bn+r，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=bn-1+r

∴an=Sn-Sn-1=(b-1)·bn-1

又a1=b+ra2=(b-1)b ∴a2(b?1)b??b∴r=-1 a1b?r

（2）由b=2，故（1）有：an=2n-1bn=n?1 n?12

由于?bn?是可求和數(shù)列，先求和后證明不等式

Tn=b1+b2+b3+…+bn 234n?1∴Tn?2?3?4???n?1① 2222

123nn?1Tn?3?4???n?1?n?2② 22222

12111n?1①-②得：Tn?2?3?4???n?1?n?2 222222

3n?3∴Tn??n?1 22

∵?Tn?為遞增數(shù)列 ∴Tn?T1?

∴Tn?31?1? 221對(duì)n?N?成立

22?1

3???1

n?2(n?1?1)（n?N?）例

3、證明不等式：1?

?1?證明

（一）∵數(shù)列??是不可求和數(shù)列，應(yīng)先放縮再證明不等式。?n?

∵

∴

1?1

2?1n?2n?n?2n?1?n?2(n?1?n)1

???1

n?2(2?1)?(3?2)?(4?)???(n?1?n)??

=2（n?1?1）∴1?1

2?1

???1

n?2(n?1?1)對(duì)n?N?成立

（二）數(shù)學(xué)歸納法證明

（1）當(dāng)n=1時(shí)，1?2(2?1)，即n=1不等式成立。

（2）假設(shè)當(dāng)n=k(n?N?)時(shí)不等式成立 即：1?1

2?1

???1

k?2(k?1?1)

當(dāng)n=k+1時(shí)

1?1

2?1

???

k?11?1k?1?2(k?1?1)?1k?11k?1 =2k?1??2?(2k?1?)2?2 =4(k?1)?4?1?2?4(k?1)?4?2 k?1

=2((k?1)?1?1)

即n=k+1時(shí)，不等式成立。

由（1）（2）知，原不等式對(duì)n?N?均成立

例

4、已知數(shù)列?an?前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n,Sn)在函數(shù)y=3x-1的圖象上，bn=n(n?1)an，?bn?前n項(xiàng)和為Bn，證明：Bn

解：由已知：Sn=3n-1

當(dāng)n=1時(shí)，a1=3-1=2

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2×3n-1

∴an=2×3n-1（n?N?）∴bn?n(n?1)?2?3n?1

法

（一），顯然?bn?是不可求和數(shù)列，先放縮，再證明不等式。∵bn?n(n?1)?2?3n?1=4n2?4n?3n?1?(2n?1)2?3n?1

=(2n+1)×3n-1

∴Bn=b1+b2+b3+…+bn

<3×1+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1

令Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1

由錯(cuò)位相減法可求得Tn=n×3n

∴Bn< n×3n n?(n?1)2n?1對(duì)bn進(jìn)行放縮。?22n法

（二）用數(shù)學(xué)歸納法證明：Bn< n·3 注：也可用均值不等式：n(n?1)?

①當(dāng)n=1時(shí)，B1=b1=2?2?22<1×31=3

即n=1時(shí)，不等式成立

②假設(shè)當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，即Bk

當(dāng)n=k+1時(shí)）(k?2)?2?3k Bk+1=Bk+bk+1

(k?1)?(k?2)?2?3k 2k=(3k+3)×3=(k+1)×3k+1

即n=k+1時(shí)不等式成立< k·3k+

由①②知：Bn< n·3n對(duì)n?N?均成立

由以上例題可知，對(duì)于由數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn構(gòu)成的不等式證明，首先考查?an?是否可求和，若能求和，先求出Sn再證明不等式，若不可求和，要么先將an進(jìn)行放縮成可求和數(shù)列，再求和證明不等式；要么利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，當(dāng)然還可構(gòu)造函數(shù)來(lái)證明，在這就不說(shuō)了，希望通過(guò)本文，對(duì)同學(xué)們解答這類題有一定的啟發(fā)。

2011.4.26

第二篇：關(guān)于自然數(shù)數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明

自然數(shù)平方與立方數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明

huangjianwxyx

以下公式，尤其是二、三公式的推導(dǎo)體現(xiàn)了遞推消項(xiàng)數(shù)學(xué)思想。

一、證明：Sn=?k=1＋2＋3＋…＋n＝(1+n)n/2證：(略)

二、證明：Sn=?k2=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

k?1k?1nn

證：?(n＋1)3－n3=(n3＋3n2＋3n＋1)－n3=3n2＋3n＋1，則：

23－13=3×12＋3×1＋1（n從1開始）

33－23=3×22＋3×2＋1

43－33=3×32＋3×3＋1

53－43=3×42＋3×4＋1

63－53=3×52＋3×5＋1

…

(n＋1)3－n3=3×n2＋3×n＋1（至n結(jié)束）

上面左右所有的式子分別相加，得：

(n＋1)3－13=3×[12＋22＋32＋…＋n2]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n ?(n＋1)3－1=3Sn＋3×[n(n＋1)/2]＋n

?Sn=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

三、證明：Sn=?k3=13+23+.....+n3=n2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2

k?1n

證：?(n+1)4-n4=[(n+1)2+n2][(n+1)2-n2]=(2n2+2n+1)(2n+1)=4n3+6n2+4n+1則：

24-14=4*13+6*12+4*1+1（n從1開始）

34-24=4*23+6*22+4*2+1

44-34=4*33+6*32+4*3+1

...(n+1)4-n4=4*n3+6*n2+4*n+1（至n結(jié)束）

上面左右所有的式子分別相加，得：

(n+1)4-1=4*(13+23+.....+n3)+6*(12＋22＋32＋…＋n2)+4*(1+2+3+...+n)+n?4*(13+23+.....+n3)=(n+1)4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]2

?Sn=13+23+.....+n3=[n(n+1)/2] 2

第三篇：證明數(shù)列前n項(xiàng)和 不等式的定積分 放縮法

證明數(shù)列前n項(xiàng)和 不等式的定積分 放縮法

摘要：本文深入分析數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系，結(jié)合高等數(shù)學(xué)中數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)[4]的觀點(diǎn)研究高考證明數(shù)列前n項(xiàng)和不等式的相關(guān)問(wèn)題。本著“數(shù)形結(jié)合”的重要數(shù)學(xué)思想，抓住數(shù)列的本質(zhì)是數(shù)值函數(shù)這一特點(diǎn)，另辟蹊徑，利用分析學(xué)“定積分”這一工具，探究對(duì)數(shù)列前n項(xiàng)和不等式進(jìn)行放縮的方法。關(guān)鍵詞：數(shù)列；不等式；定積分；數(shù)形結(jié)合。

數(shù)列，高考的重中之重。而對(duì)于數(shù)列前n項(xiàng)和不等式的證明更是天津高考的難點(diǎn)。這類問(wèn)題大致可以分為兩種：如果這樣簡(jiǎn)單分類的話，那么顯然第二種題型會(huì)比第一種更復(fù)雜[2]。對(duì)于第一種題型，題目中已然給出了我們要證明的“對(duì)象”，即便我們對(duì)原數(shù)列“無(wú)從下手”，也可以根據(jù)“式”的偶性，將不等號(hào)右邊的式子也看作是某一數(shù)列的“和”，再通過(guò)“和轉(zhuǎn)項(xiàng)”的方式找到其對(duì)應(yīng)的“項(xiàng)”，從而我們不妨逐項(xiàng)比較，最后累加達(dá)到目的。此外，山窮水復(fù)之時(shí)，數(shù)學(xué)歸納法也是個(gè)不錯(cuò)的選擇。所以，對(duì)于第一種題型來(lái)說(shuō)，有多種比較成熟的應(yīng)對(duì)方法，這里就不逐一列舉。然而，對(duì)于第二種題型，“和轉(zhuǎn)項(xiàng)”與歸納法則不再適用。題目中要求尋找的，類似于這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和的“極限”，而這個(gè)“極限”則是一個(gè)常數(shù)。在處理這一類問(wèn)題時(shí)，我們通常要將原數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行一定程度的放縮與變形，處理成為一個(gè)能夠求和的數(shù)列，并且由變形后數(shù)列的“和”可以進(jìn)一步證明我們想要的結(jié)論（如果將變形后數(shù)列的前n項(xiàng)和看作一個(gè)函數(shù)，那么待證明的常數(shù)C通常是這個(gè)函數(shù)的極限）。顯然，這執(zhí)行起來(lái)十分困難，要求學(xué)生有足夠的“數(shù)學(xué)遠(yuǎn)見”，并且要記一些常用的方法和結(jié)論，無(wú)疑是“霧里看花”。因?yàn)?，即使在這些結(jié)論上下了很大功夫，題目稍加變化后，學(xué)生們?nèi)允歉械健盁o(wú)從下手”。況且，即便命題人不改變題目的結(jié)構(gòu)，僅僅是將不等式的強(qiáng)度加大，學(xué)生在解題時(shí)，還是會(huì)陷入漫無(wú)目的“嘗試”。所以，數(shù)列前n項(xiàng)和不等式的證明一直以來(lái)都是高考的難點(diǎn)，而那些盡可能巧妙地解決這類問(wèn)題的方法大多都指向“構(gòu)造”的思想。而“構(gòu)造”需要“數(shù)學(xué)遠(yuǎn)見”，要求學(xué)生具備極好的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，非一日之功。況且，想要通過(guò)做題、總結(jié)的方式培養(yǎng)這種“素養(yǎng)”，絕非易事。為解決這一瓶頸，筆者嘗試從高中數(shù)學(xué)內(nèi)部尋找一種容易為高中生理解，又不會(huì)涉及“知識(shí)超綱”問(wèn)題，且盡可能普遍適用的方法和視角來(lái)解決這一類問(wèn)題，并試圖探究其內(nèi)在“本原”。于是，筆者發(fā)現(xiàn)了——定積分。對(duì)照以上兩種方法，不難發(fā)現(xiàn)利用定積分放縮的方法十分優(yōu)美、簡(jiǎn)潔，并且在很大意義上揭示了級(jí)數(shù)不等式的本質(zhì)。下面以天津市近兩年高考與模擬的壓軸題為例深刻體會(huì)定積分放縮法的優(yōu)越性。由例1.及其變式不難看出，利用定積分放縮法往往并不是直接放縮至待證“對(duì)象”本身，而是構(gòu)造了一個(gè)比待證不等式強(qiáng)度更大的不等式，然后再次放縮到需要的“對(duì)象”。綜述：定積分放縮法作為一種簡(jiǎn)潔、優(yōu)美的解題方法，在解決由“數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)”所引申出的“證明數(shù)列前n項(xiàng)和不等式”的問(wèn)題中有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，具有一定程度的普適性。無(wú)疑為學(xué)生遇到問(wèn)題“無(wú)從下手”時(shí)，提供了一套系統(tǒng)的構(gòu)思程序。定積分放縮法中處處滲透了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，并將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到數(shù)列是離散的數(shù)值函數(shù)這一本質(zhì)，有機(jī)地反映了將“代數(shù)-幾何-分析”綜合起來(lái)的“數(shù)學(xué)美”，有助于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。定積分放縮法是建立在常規(guī)放縮法基礎(chǔ)之上的拓展，二者地位等同，相互依存。和一切的數(shù)學(xué)模型一樣，我們希望但永遠(yuǎn)不能將所有問(wèn)題都用一個(gè)“統(tǒng)一的方法”來(lái)解決。數(shù)學(xué)的靈魂，在于各分支間的融會(huì)貫通，“統(tǒng)一的方法”和“永動(dòng)機(jī)”一樣是不存在的。數(shù)學(xué)本身的“包羅萬(wàn)象”，足以從其自身內(nèi)部醞釀出千變?nèi)f化的解題方法。由此可見，數(shù)學(xué)的精神在于各個(gè)數(shù)學(xué)分支的互相穿插與多種解法間內(nèi)在緊密聯(lián)系的數(shù)學(xué)邏輯。這就是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。參考文獻(xiàn)[1].《淺談高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用》[M].廣東石油化工學(xué)院，22-24[2].李廣修.證明不等式的定積分放縮法[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2008,47（7）：55-57[3].意琦行，數(shù)海拾貝.證明級(jí)數(shù)不等式的積分放縮法[J].光量子，2015；10；29[4].《高等數(shù)學(xué)》[M].同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，2014第7版：251-327致謝感謝天津市第一〇二中學(xué)數(shù)學(xué)組：馬萍，嚴(yán)虹，紀(jì)洪偉，張倩老師對(duì)我研究的幫助與支持。感謝“高中數(shù)學(xué)解題研究會(huì)”杜巍老師給予的幫助。感謝“高中數(shù)學(xué)解題研究會(huì)”提供優(yōu)良的研究平臺(tái)及學(xué)術(shù)氛圍。感謝周圍對(duì)我研究的支持和認(rèn)可。

第四篇：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的證明方法

等比數(shù)列前n項(xiàng)和的證明方法

若公比q=1,則Sn=a1+a2+...+an=a1+a1+...+a1=na1 等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+...+an=a1(1-q^n)/(1-q)(公比q≠1)

證:Sn=a1+a1q+a1q^2...+a1q^(n-1)...........(1)qSn=a1q+a1q^2+....a1q^(n-1)+a1q^n.......(2)

(1)-(2):

(1-q)Sn=a1-a1q^n

∴Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

第五篇：裂項(xiàng)放縮證明數(shù)列不等式

策略

一、裂項(xiàng)放縮證明數(shù)列不等式

若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來(lái)解題。例1-

1、（全國(guó)I理-22壓軸題）設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和Sn?項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn?

2n

43an?

?

2n?

1?

23，n?1,2,3,???（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通

n

Sn，n?1,2,3,???，證明：?Ti?

i?1

例1-

2、（湖北理-17）已知二次函數(shù)y?f(x)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)?6x?2，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)

?

和為Sn，點(diǎn)(n,Sn)(n?N)均在函數(shù)y?f(x)的圖像上。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn?

3anan?

1，Tn是

數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn?

m20

對(duì)所有n?N?都成立的最小正整數(shù)m；

例1-

3、（重慶理-22壓軸題）設(shè)數(shù)列{a}滿足a1?2,an?1?an?

n

1an

(n?1,2,?).（Ⅰ）證明a?

n

2n?1對(duì)一切正整數(shù)n

成立；（Ⅱ）令bn?

ann

(n?1,2,?)，判定b與b

n

n?

1的大小，并說(shuō)明理由

例1-

4、已知n?N*，求1?

例1-

5、設(shè)an?1?

2a

?

3???

1n

＜2n

?

a

???

1n

a,a?2.求證：an?2.策略

二、均值不等式放縮證明不等式 例2-

1、設(shè)Sn?

例3-

2、已知函數(shù)f(x)?

例3-

3、已知a,b為正數(shù)，且a?b

1?

1?2?2?3???n(n?1).求證

n(n?1)

2?Sn?

(n?1)

.4x

x

1?

4求證：f(1)?f(2)???f(n)?n?

n?1

?

.，試證：對(duì)每一個(gè)n?N?，(a?b)n

?a?b?2

nn2n

?2

n?1

.策略

三、調(diào)整分式值放縮證明數(shù)列不等式（尾式或局部放縮）

一個(gè)分式若分母不變分子變大則分式值變大，若分子不變分母變大則分式值變?。灰粋€(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大（“加糖不等式”）---姐妹不等式:

ba?b?ma?m

(b?a?0,m?0)和

ba?b?ma?m

(a?b?0,m?0)

例3-

1、（福建理-22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an?1=2an+1(n∈N?)（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足4b1明:

例3-

2、證明：(1?1)(1?3)(1?5)?(1?2n?1)?

即證：1?3?5???(2n?1)?

例3-

3、證明:(1?1)(1?)(1?)?(1?

713n?

2)?

－1 b2－2

4?

4bn－

1=(a

n

+1)bn(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列;（Ⅲ）證

n2

?

3＜

a1a2

?

a2a3

???

anan?1

＜

n2

(n∈N).*

2n?1和(1?

?

12)(1?1

14)(1?

16)?(1?

12n)?

12n?1

2?4?6??2n

2n?1

和

1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n

2n?1

3n?1.例3-

4、已知a、b、c為三角形的三邊，求證：1＜

例3-

5、求證:

13?

1?

13?2?1

???

13?

2n?1

abc

＋＋＜2。b?ca?ca?b

?1

?

策略

四、單調(diào)性放縮證明不等式

例4-

1、（湖南理-19）已知函數(shù)f(x)?x?sinx,數(shù)列{an}滿足:0?a1?1,an?1?f(an),n?1,2,3,?.證明:（I）．0?an?1?an?1;（II）．a(chǎn)n?1?

例4-2（遼寧理-21）已知函數(shù)f(x)?ax?

0?a1?

2,an?1?f(an),n?N

?

an.32

x的最大值不大于

.16，又當(dāng)x?[

11,]42

時(shí)

f(x)?

.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設(shè)，證明an?

1n?

1x1例4-

3、（北京理-19）數(shù)列?xn?由下列條件確定：

xn?1??a?0，1?a?

?xn??,n?N．（I）證明：對(duì)n?2總有xn???2?xn?

a；

(II)證明：對(duì)n?2總有xn?xn?

1例4-

4、設(shè)Sn??2?

例4-

5、求證：(1?1)(1?)(1?)?(1?

12n?

1)?

2n?1.2?3???n(n?1).求證

n(n?1)

2?Sn?

(n?1)2

.策略五：二項(xiàng)式放縮證明不等式

nn01nn01

2?(1?1)?Cn?Cn???Cn,2?Cn?Cn?n?1,2?C?C?C?例5-

1、已知a1?1,an?1?(1?

例5-

2、證明2?(1?

n

例5-

3、設(shè)n?1,n?N，求證(3)

n

0n1n2n

n

?n?2

212

n

.證明a

n

?n(n?1)(n?2)

?e

1n?n)an?

n

1n)?3.n

?

8(n?1)(n?2)

策略六：遞推放縮證明數(shù)列不等式

例6-

1、（全國(guó)高考）設(shè)數(shù)列?a?滿足an?1?an?nan?1?n?N??，當(dāng)a1?3時(shí)證明對(duì)所有n?1, 有(i)an?n?2；

n

(ii)

11?a

1?

11?a

2???

11?an

?

例6-

2、(重慶理-22壓軸題)數(shù)列{an}滿足a1?1且an?1?(1?

1n?n)an?

2n

(n?1).（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

an?2(n?2)；（Ⅱ）已知不等式ln(1?x)?x對(duì)x?0成立,證明:an?e(n?1)，其中無(wú)理數(shù)e?2.71828?

例6-

3、（湖北理-22壓軸題）已知不等式

12?13???

1n?12[log

n],n?N,n?2.[log

?

2n]表示不超過(guò)log2b,n?3.n 的最大

整數(shù)。設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1?b(b?0),an?

nan?1n?an?

1,n?2,n?N?，證明：an?

2?b[log

n]

例6-

4、（浙江理-20壓軸題）已知函數(shù)f（x）=x3+x2，數(shù)列{xn}（xn＞0）的第一項(xiàng)x1=1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：

*

曲線y=f（x）在（xn+！，f（xn+！））處的切線與經(jīng)過(guò)（0，0）和（xn，f（xn））兩點(diǎn)直線平行（如圖）。求證：當(dāng)n∈N時(shí)

2（Ⅰ）xn?xn?3xn?1?2xn?1（Ⅱ）()

n?

11n?2

?xn?()

策略七：分項(xiàng)討論放縮證明數(shù)列不等式

例

7、（2004年全國(guó)3理-22壓軸題）（14分）已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn?2an?(?1)n,n?1.（1）寫出數(shù)列?an?的前三項(xiàng)a1,a2,a3；（2）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)m?4，有

策略八： 數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式

例8-

1、（江西理-21倒二題）（12分）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)（1）證明an?an?1?2,n?N;（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.例8-

2、（江西理-22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝

1a4

?

1a5

???

1am

?

.,且滿足:a0?1,an?1?

an,(4?an),n?N.，且an＝

n?2，n?N）（1）求數(shù)列｛an｝

2an－1＋n－1

3nan－1

?的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1?a2???an?2?n！