第一篇：不等式的證明方法論文

重慶三峽學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

題目：不等式的證明方法

院 系 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范類）年 級(jí) 2009級(jí) 學(xué)生姓名 楊家成 學(xué)生學(xué)號(hào) 200906034134 指導(dǎo)教師 向以華

完成畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）時(shí)間 2013 年 5 月

目 錄

摘要................................................................I Abstract...........................................................II 引言................................................................1

楊家成：不等式的證明方法

2013屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（師范類）畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

例1 已知a1,a2?an都是正數(shù)，求證：

?ai??i?1i?1nn1?n2． ai證明：構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組：

a1,a2?an;2111,?a1a2an，由柯西不等式，得

2??a?nii?1nn2?1??n1?????，即 ????ai????i?1ai?i?1?ai???n??a?nii?12?1??n?2????1?，??????i?1?i?1?ai?n2所以?a??aii?1i?11i?n2．

2.2.2 均值不等式

定理1.2設(shè)a1,a2?,an是n個(gè)正數(shù)，則Hn?Gn?An?Qn稱為均值不等式.其中

Hn?n111????a1a2an，Gn?na1a2?an，An?a1?a2???an，n222a?a2???an.Qn?1n例2 已知0?a?1,x?y?0，求證：logaax?ay?loga2?xy2??1． 8證明：由0?a?1，a?0,a?0，得，ax?ay?2ax?ay?2ax?y，從而 logaax?ay?loga2ax?y?loga2?????x?y2，故只要證明x?y11?，即x?y?即可． 28422111?11?x?y?x?x???x????，等號(hào)在x?（這時(shí)y??）時(shí)取得，242?44?所以logaax?ay?loga2???1． 8

楊家成：不等式的證明方法

2.2.3 排序不等式

定理1.3 設(shè)a1?a2???an,b1?b2???bn則有

a1bn?a2bn?1???anb

（倒序積和）

?a1br1?a2br2???anbrn（亂序積和）

?a1b1?a2b2???anbn,（順序積和）

其中r1,r2,?,rn是1,2,?,n的一個(gè)排列，即

倒序積和≤亂序積和≤順序積和． 例3 設(shè)a1,a2,?,an是n個(gè)互不相同的自然數(shù)，證明：

1?an111a?????a1?2???． 2223n2n證明：設(shè)b1,b2,?bn是a1,a2,?,an的一個(gè)排列且b1?b2???bn，11，所以由排序不等式，得，???22n2bnanba2b1?2????a????． 122222n2nbnb11????1????又因?yàn)閎1?1,b2?2,?,bn?n，故b1?2，22n22nan111a???即1??????a1?2．

23n22n2說明：排序不等式適用于與數(shù)的排列相關(guān)的問題.因1?從應(yīng)用中，可看出在利用重要不等式來證明不等式時(shí)必須注意重要不等式所需要的條件，以及有時(shí)需要變形等適當(dāng)處理，湊成重要不等式的形式.除了已介紹的二種方法，分析法、綜合法、反證法、換元法、構(gòu)造法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等也能解決初等數(shù)學(xué)中多數(shù)不等式證明問題，但對(duì)于一些不等式的證明，單靠初等方法是不夠的，因此，需要借助高等數(shù)學(xué)知識(shí)微積分來更進(jìn)一步擴(kuò)廣加深證明不等式的研究.接下來就探討微積分在證明不等式中的應(yīng)用.2013屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（師范類）畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

3.1 利用函數(shù)的單調(diào)性

在證明不等式中最常見，最有用的方法之一就是函數(shù)單調(diào)性法，先來看相關(guān)定理.定理 3.1 設(shè)函數(shù)f?x?在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f?x?在I上遞增(減)的充要條件是：

f??x??0??0?．

證明:“?”若f?x?為增函數(shù)，則對(duì)每一個(gè)x0?I當(dāng)x?x0時(shí)有

f?x??f?x0??0令x?x0即得f??x??0． x?x0“?” 若f?x?在區(qū)間I上恒有f??x??0，則對(duì)任意的x1,x2?I?x1?x2?應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在???x1,x2??I，使得f?x2??f?x1??f?????x2?x1??0由此得到f?x?在I上為增函數(shù)．

定理 3.2 設(shè)函數(shù)y?f?x?在?a,b?上連續(xù),在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，① 若在?a,b?內(nèi)，f??x??0，那么函數(shù)y?f?x?在?a,b?上嚴(yán)格單調(diào)增加； ② 若在?a,b?內(nèi)，f??x??0，那么函數(shù)y?f?x?在?a,b?上嚴(yán)格單調(diào)遞減.例1 求證：當(dāng)0?x?證明：設(shè)f?x??

f??x??由0?x??2時(shí)，sinx?2?x．

sinx???，x??0,?，x?2?xcosx?sinx?x?tanx?cosx?，22xx?2，sinx?x?tanx可知，???f??x??0，即f?x?在?0,?上嚴(yán)格遞減，?2?又由于f?x?在x??2處連續(xù)，故f?x??f????2??． 2???nn例2 已知m,n都是正整數(shù)，且1?m?n，證明：不等式?1?m???1?n?． 證明：原不等式等價(jià)于ln?1?m?ln?1?n?，令 ?mn

楊家成：不等式的證明方法

f?x??f??x??ln?1?x?，x?2，則

xx??1?x?ln?1?x?x?xln?1?x?x?1?ln?1?x?????0,?1?x?x2?1?x?x2?1?x?x2即f?x?在?2,???上嚴(yán)格遞減，所以f?m??f?n?，即?1?m?n??1?n?m成立．

說明：對(duì)冪指式情況，常取對(duì)數(shù)，作輔助函數(shù)來幫助證明.由以上例題可總結(jié)出函數(shù)的單調(diào)性法的證明不等式步驟：

① 移項(xiàng)（或其它等價(jià)變形）使不等式一端為0，另一端為所作的輔助函數(shù)f?x?； ②討論f??x? 符號(hào)來確定f?x?在指定區(qū)間的增減性，③根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值即可得證.其中步驟① 是關(guān)鍵，作出適當(dāng)輔助函數(shù)f?x?，值得注意的是步驟②討論f??x?符號(hào)，有時(shí)一階導(dǎo)的符號(hào)不能判斷，這就需要判斷二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，若仍舊不能判斷，再求三階導(dǎo)數(shù)，重復(fù)上述過程.例3 求證：tanxx????,x??0,?． xsinx?2?證明：即證明tanxx??0，即sinx?tanx?x2． xsinx2設(shè)f?x??sinx?tanx?x，則f?0??f??0??f???0??0，而

f???x??sinxsec2x?1?2secx?tan3x?4sec3xtanx?0，?f?x??0，命題得證．

例4 求證：當(dāng)x?0時(shí)，x2?1lnx??x?1?．

2????x2?1x?1?0，故f在?0,???上遞增． 證明：設(shè)f?x??lnx?,x?0，則f??x??x?x?1?x?1x?12，即?x2?1?lnx??x?1?； x?1x?12當(dāng)x?1時(shí)，f?x??f?1??0，得lnx?，即?x2?1?lnx??x?1?，x?1當(dāng)0?x?1時(shí)，f?x??f?1??0，得lnx?綜上，結(jié)論命題得證．

利用函數(shù)的單調(diào)性是證明不等式的一種常用方法，與之類似的是利用函數(shù)的極值與最值，但是這里比較的是極值與端點(diǎn)值，而不是0與端點(diǎn)值.2013屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（師范類）畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

3.2 利用微分中值定理

微分中值定理主要有羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，其中應(yīng)用最廣泛的是拉格朗日中值定理.定理3.3(拉格朗日中值定理)函數(shù)f滿足如下條件：

(ⅰ)f在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，(ⅱ)f在區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，f?b??f?a?． b?af?b??f?a??x?a?． 證明: 作輔助函數(shù)F?x??f?x??f?a??b?a則在?a,b?上至少存在一點(diǎn)?使得 f?????顯然F?a??F?b??0且F在?a,b?上滿足羅爾中值定理的條件，故存在???a,b?使得F?????f?????f?b??f?a??0，移項(xiàng)即得 b?af?b??f?a?． f?????b?a

由拉格朗日公式特點(diǎn)看出，拉格拉日中值定理適用于證明含有函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，且出現(xiàn)函數(shù)之差，自變量差及f?x?的表達(dá)式的不等式.例1 證明： 對(duì)一切h??1,h?0成立不等式證明：設(shè)f?x??ln(1?x),x?[1,h]，h?ln?1?h??h． 1?hf(x)在區(qū)間[1,h]上滿足拉格朗日中值定理，則

ln(1?h)?ln(1?h)?ln1?h,0???1，1??hhh??h，1?h1??h當(dāng)h?0時(shí)，由0???1可推知，1?1??h?1?h,h?h?h，1?h1??h當(dāng)h?0時(shí)，由0???1可推知，1?1??h?1?h,從而得到所要證明的結(jié)論．

例2 求證：sinx?siny?x?y.證明：設(shè) f(x)?sinx，則sinx?siny?(x?y)sin???(x?y)cos?，故sinx?siny?(x?y)cos??x?y.由以上二例可總結(jié)出應(yīng)用拉格朗日中值定理證明不等式的步驟：

楊家成：不等式的證明方法

①構(gòu)造函數(shù)f(x)，并確定對(duì)應(yīng)區(qū)間[a,b]； ②對(duì)f(x)在[a,b]上運(yùn)用拉格朗日中值定理；

③利用?與 a、b 之間大小關(guān)系，題中所給條件，放大或縮小f?(?)，從而推得不等式.步驟中關(guān)鍵是 2013屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（師范類）畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

故有f(例2求證：2ea?b1b)?f(x)dx． ?a2b?a12???121?2e?x2dx?2．

?11??x2?x2f(x)?e,x??,?證明：設(shè)，則，令f?(x)?0,x?0，f(x)??2xe?22????11而f(?)?f()?e2,f(0)?1，22?12?1221?fmax?1,fmin?e即e12?e?x?1，11?11?1?x2?e??(?)???2edx??(?)，1?2?22?22?12121?2?2e??e?xdx?2．

2說明：當(dāng)證明某積分不等式大于等于或小于等于定數(shù)時(shí)，往往利用轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)最值較為簡(jiǎn)單.除了積分性質(zhì)，積分中值定理也常用于證明不等式.4.2 利用積分中值定理

積分中值定理包括積分

楊家成：不等式的證明方法

?證明：設(shè)F(x)?F?(x)?x0f(t)dtxx02，則

xf(x)??f(t)dtx?f(x)?f(?)(0???x)，x依題意，得，f(?)?f(x),?F?(x)?0 ．

?在[0,??)上單調(diào)遞減，得，F(xiàn)(a)?F(b)，?即a0f(x)dxab??b0f(x)dxba0，?a?f(x)dx?b?f(x)dx．

0運(yùn)用積分中值定理，可將積分不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式來證明，同樣的思路也應(yīng)用到變限積分法中.4.3 利用二重積分證明不等式

有時(shí)將一元函數(shù)的積分問題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的二重積分問題，會(huì)給解題帶來方便.定理4.2 若f(x)在[a,b]上可積，g(y)在[c,d]上可積，則二元函數(shù)f(x)g(y)在平面區(qū)域D??(x,y)|a?x?b,c?y?d?上可積，且

??f(x)g(y)dxdy??Dbaf(x)dx?g(y)dy．

cd例1 設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在[a,b]上連續(xù)，證明Cauchy-Schwarz積分不等式bbb22???af(x)g(x)dx????af(x)dx?ag(x)dx．

??2證明：記積分區(qū)域D?[a,b]?[a,b]，利用定積分與積分變量符號(hào)無關(guān)的性質(zhì)等，有bbb???af(x)g(x)dx????af(x)g(x)dx?af(y)g(y)dy???f(x)g(x)f(y)g(y)dxdy ??D ?12222[f(x)g(y)?f(y)g(x)]dxdy ??2Dbb1b21b222f(x)dxg(y)dy?f(y)dyg(x)dx ????aaaa22

? 2013屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（師范類）畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

bb

??af2(x)dx?g2(y)dy．

a以上就是要介紹的積分在證明不等式的幾種方法，從應(yīng)用中，可看出運(yùn)用積分與微分證明不等式方法類似，都主要是利用相關(guān)的性質(zhì)，公式.由以上可以看出，微積分對(duì)證明不等式起到了重要作用.對(duì)于某些初等方法無法證明的不等式，適當(dāng)?shù)乩梦⒎e分知識(shí)就可以證明.在具體證明中要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.至于如何選擇方法，這就得熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)，通過摸清問題本質(zhì)特征，使得難解性問題轉(zhuǎn)化為可解性問題.

楊家成：不等式的證明方法

從而?fn?1?n?1的充要條件為?(1?Pn)?0，n?1?

現(xiàn)取PK??K，K?1??12n?1nn

則?fn??(1?)(1?)?(1?，)??23nn?1n?1(n?1)!n?1n?1?n1

而?(1?Pn)??(1?)???0，n?1n?1n?1n?1n?1??

?n?1，?n?1(n?1)!n?1.?(n?1)!n?1N?

?分析：欲證此不等式，可從考慮相應(yīng)的級(jí)數(shù)入手，若能證明級(jí)數(shù)收斂且

?(n?1)!?1即可.n?1?n由上可看出要利用概率論的方法對(duì)不等式進(jìn)行證明，關(guān)鍵在于針對(duì)不等式的具體形式，構(gòu)造相應(yīng)的概率模型，再利用概率論的相關(guān)性質(zhì)、定理加以證明，從而可以使一些不等式的證明大大簡(jiǎn)化.2013屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（師范類）畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

致謝

論文即將完成，回顧這篇論文的完成，是單單靠自己完成不了的，從選題到研究方法，從資料查詢到寫稿，從初稿到修改，直至最終定稿，無不受到向以華老師的悉心指導(dǎo)，深深關(guān)切.整個(gè)書寫論文過程中，向老師的治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，平易近人深深地影響了我，讓我在收獲專業(yè)知識(shí)的同時(shí)，也獲得關(guān)于治學(xué)，關(guān)于為師的道理，相信這將對(duì)我以后的學(xué)習(xí)工作帶來不小的啟迪.因此，借此機(jī)會(huì)，向尊敬的向老師表達(dá)我由衷的謝意!參考文獻(xiàn)

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析．高等教育出版社，2001.6.[2] 陳傳理，張同君．競(jìng)賽數(shù)學(xué)教程．高等教育出版社，1996.10.[3] 曹敏謙．?dāng)?shù)學(xué)分析習(xí)題集題解(三)．上海交通大學(xué)印刷廠，1979.[4] 魏全順.微分在不等式證明中的應(yīng)用，湖南

第二篇：證明不等式的方法論文

證明不等式的方法

李婷婷

摘要： 在我們數(shù)學(xué)學(xué)科中，不等式是十分重要的內(nèi)容。如何證明不等式呢？在本文中，我主要介紹了不等式概念、基本性質(zhì)和一些從初等數(shù)學(xué)中總結(jié)出的證明不等式的常用方法，分別有比較法、綜合法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、判別式法、分解法方法。證明不等式的方法多種多樣，在這里我就只例舉這些方法。證明不等式方法因題而異，靈活多變，技巧性強(qiáng)。通過學(xué)習(xí)這些證明方法，使我們進(jìn)一步掌握不等式證明，可以幫我們解決生活中的許多實(shí)際問題。

關(guān)鍵字：不等式；數(shù)學(xué)歸納法；函數(shù)；單調(diào)性

不等式作為一個(gè)重要的分析工具和分析的手段，在數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的地位，不等式的證明可分為推理性問題和探索性問題，推理性問題是指在特定條件下，闡釋證明過程，解釋內(nèi)在規(guī)律，基本方法有比較法,綜合法；探索性問題大多是與自然數(shù)有關(guān)的證明問題，常采用觀察—?dú)w納—猜想—證明的方法思路，以數(shù)學(xué)歸納法完成證明，不等式證明還有其他方法：換元法，放縮法等。不等式的證明沒有固定的程序，證法因題而易，技巧性強(qiáng)。希望通過這些方法的學(xué)習(xí)。我們可以很好的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的一些特點(diǎn)，從而開擴(kuò)我們的數(shù)學(xué)視野。

1不等式概念及基本性質(zhì)

1.1不等式的概念：表示不相等關(guān)系的式子。

實(shí)數(shù)集內(nèi)的任意兩個(gè)數(shù)a,b總是可以比較大小的，如果a?b是正數(shù)，則a?b;如果a?b是零，則a?b；如果a?b是負(fù)數(shù)，則a?b。反過來也對(duì)。即有 a≧b?a?b?0這里符號(hào)?表示等價(jià)于。

這個(gè)定義雖然簡(jiǎn)單，實(shí)際它反映不等式的性質(zhì)。許多不等式的證明，是從這個(gè)定義出發(fā)。首先，根據(jù)不等式的定義，容易證明下述不等式的簡(jiǎn)單性質(zhì)，這些性質(zhì)是證明其他不等式的基本工具。

1.2不等式基本性質(zhì)

1.2.1a?b?b?a(對(duì)稱性)1.2.2若a?b,b?c,則a?c(傳遞性)1.2.3若a?b,則a?b?b?c(加法保序性)

1.2.4若a?b,c?0，則ac?bc(乘正數(shù)保序性)1.2.5若a?b,c?d,則a?c?b?d.若a?b,c?d,a?c?b?d.a?b?0,c?d?0,則ac?bd.11?.1.2.6若a?b,ab?0,則ab

ab?.1.2.7若a?b?0,d?c?0,則cd

1.2.8若a?b?0,n?N，則an?bn,na?nb.1.2.9若a?b?0,m,n?N，則a1.2.10含絕對(duì)值的不等式

mn?b,amn?mn?b.?mn(1)x?a?x2?a2??a?x?ax?b?a??a?b?x?a?b(2)x?a?a?0??x2?a2?x?a或x??a.?3?a?b?a?b?a?b.?4?a1?a2?...?an?a1?....?an.1.2.11若a,b?R，則a2?0,?a?b??0.21.2.12若a,b?R，則?a?b?ab.符號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)成立。由這個(gè)不等式還可以得到22x2?y2?x?y?xy??x,y?R?,??2?2?另一些常用的不等式：

ba??2a,b?R?.ab????a?b?c3?abc.符號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)成立。1.2.13若a,b,c?R,則

3?

2證明不等式的基本策略

2.1比較策略

比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡(jiǎn)稱為求差法)和商值比較法(簡(jiǎn)稱為求商法)。比較證明不等式的一般步驟是：作差——變形——判斷——結(jié)論。為了判斷作差后的符號(hào)，有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù)，或者一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式，也可變形為幾個(gè)因式的積的形式，以便判斷其正負(fù)。

2.2分析綜合策略

分析綜合法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性。

綜合法是由已知條件和已知不等式出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的不等式；分析法則要逐步找出使結(jié)論成立的充分條件，最后歸結(jié)為已知不等式或者已知條件。對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的不等式，往往要通過分析法或者分析法與綜合法交替使用來尋找證明的途徑。

2.3構(gòu)造策略 所謂構(gòu)造，就是當(dāng)某些數(shù)學(xué)問題用通常的辦法難以奏效時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征性質(zhì)，從新的角度、用新的觀點(diǎn)觀察分析、解釋對(duì)象，抓住反映問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，用已知數(shù)學(xué)關(guān)系為支架，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對(duì)象，使原題中隱晦不清的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造中的數(shù)學(xué)對(duì)象中清楚地展現(xiàn)出來，從而借助該數(shù)學(xué)對(duì)象解決數(shù)學(xué)問題的 2 方法。

用構(gòu)造法解題時(shí)，被構(gòu)造的對(duì)象是多種多樣的，按它的內(nèi)容，分為某種模型、函數(shù)、恒等式、復(fù)數(shù)等，可以達(dá)到簡(jiǎn)捷、明快、以巧取勝的目的。在運(yùn)用構(gòu)造法解題時(shí)，一要明確構(gòu)造的目的，即為什么要構(gòu)造；二要弄清楚問題的特點(diǎn)，以便依據(jù)特點(diǎn)、確立方案、實(shí)現(xiàn)構(gòu)造、達(dá)到目的。

3證明不等式的基本方法和技巧

3.1 比較法

比較法是證明不等式的最基本，最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡(jiǎn)稱為求差法)和商值比較法(簡(jiǎn)稱為求商法)。3.1.1 作差法

在比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b的大小時(shí)，可借助a?b的符號(hào)來判斷.步驟一般為：作差——變形——判斷（正號(hào)、負(fù)號(hào)、零）.變形時(shí)常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應(yīng)用已知定理、公式等.abba [例1] 已知a、b?R?,求證：ab?ab，等號(hào)當(dāng)且僅只當(dāng)a?b時(shí)成立。

[分析] 由于要證的不等式關(guān)于a,b對(duì)稱，且式子不復(fù)雜，比較的式子都由字母a，b組成，左右兩式存在公因式ab，可考慮用作差法來做，作差判斷符號(hào)。

[證明] 設(shè)a?b?0.bb?a?b?0,?aabb?abba?abbbaa?b?ba?b?0，??從而原不等式得證。顯然上面的不等式當(dāng)且僅aa?b?ba?b?a?b?時(shí)等號(hào)成立，故原不等式當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)成立等號(hào)。

[評(píng)價(jià)] 因?yàn)樽霾罘ㄊ歉鶕?jù)差值的符號(hào)來判斷，所以在 比較差值的時(shí)候容易出錯(cuò)，一定要謹(jǐn)慎。3.1.2 作商法

在證題時(shí)，一般在a，b均為正數(shù)時(shí)，借助

aa?1或?1來判斷其大小，bab步驟一般為：作商——變形——判斷（大于1或小于1）.[例2]已知a?2，求證：log?a?1?a?loga?a?1? [分析] 先判斷不等號(hào)兩邊是否是正數(shù)。因?yàn)閍>2,所以loga?a?1??0,loga?a?1??0，這時(shí)我們可考慮用作商法來比較大小，利用對(duì)數(shù)函數(shù)公式，通過變形化簡(jiǎn)即可判斷了。

[證明] 由原題得：

loga?a?1?log?a?1?a1?loga?a?1?1 ??loga?a?1????loga?a?1??loga?a?1?2又因?yàn)?/p>

loga?a?1??loga?a?1???loga?a?1????loga?a?1??????2????log?aa2?14????log2aa422?

?1所以原式＞1，故命題得證。

[評(píng)價(jià)]首先判斷了左右兩式均是正數(shù)，而且是對(duì)數(shù)形式，這種常用作商法目的在于好利用公式約分化簡(jiǎn)，構(gòu)造容易比較大小的形式得出結(jié)論。3.2 綜合法

利用某些已經(jīng)證明過的不等式，例如算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的定理、均值定理等等，利用這些不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法就是綜合法。

[例3]a,b,c為互不相容的正數(shù)，且abc?1，求證：

111???a?b?c.abc[分析] 因?yàn)閍bc?1且a,b,c為互不相容的正數(shù)。觀察前后的式子聯(lián)想起我們所學(xué)的均值定理a1?a2???ann?a1a2?an。把1換成abc的形式帶入式子，化簡(jiǎn)之后就得nbc+ac+ba,再根據(jù)學(xué)過的均值定理來構(gòu)造式子，變形化簡(jiǎn)可證。

[證明] 化簡(jiǎn)過程為：

111bc?acac?abab?bc???bc?ac?ba????bc?ac?ac?ab?ab?bcabc222?a?b?c,所以111???a?b?c.故命題得證。這樣的方法主要靠平時(shí)知識(shí)的積累和應(yīng)用。abc[評(píng)價(jià)]先化簡(jiǎn)后我們得到的式子就可把整個(gè)不等式看成一個(gè)整體，根據(jù)不等式定理、性質(zhì)經(jīng)過變形、運(yùn)算，導(dǎo)出欲證的不等式。3.3放縮法

是要證明不等式A

11?來做，縮小分母，擴(kuò)大不等號(hào)左邊的式子。2n(n?1)n 4 [證明] ?1111 ???2nn(n?1)n?1n?1111111115117??????1??(?????)??(?)?.22222123n223n?1n42n4[評(píng)價(jià)]此題采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，不一定從第一項(xiàng)開始，須根據(jù)具體題型分別對(duì)待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。

3.4 數(shù)學(xué)歸納法

對(duì)于含有n(n?N)的不等式，當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)不等式成立，如果使不等式在n?k(n?N)時(shí)成立的假設(shè)下，還能證明不等式在n?k?1時(shí)也成立，那么肯定這個(gè)不等式對(duì)n取第一個(gè)值以后的自然數(shù)都能成立.[例5]：證明不等式

111??...??1?n?N?.n?1n?23n?1[分析]：此題是一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首先想到數(shù)學(xué)歸納法。可分析n=1時(shí)，當(dāng)n=k時(shí)，當(dāng)n=k+1時(shí)三種情況來討論，若在假設(shè)下都成立，那么足以說明n在定義內(nèi)取任何值都使原式成立。

11113????1.n?1n?2n?312?2?假設(shè)當(dāng)n?k,不等式成立1?1?1?...?1?1.k?1k?2k?33k?4要證當(dāng)n?k?1時(shí)不等式成立，即[證明] ?1?當(dāng)n?1,11111112??...??????1??1.k?1k?23k?13k?23k?33k?4k?13?k?1??3k?2??3k?4? [評(píng)價(jià)] 對(duì)于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題我們常用數(shù)學(xué)歸納法來做，在驗(yàn)證命題 n=k(n整數(shù))正確的基礎(chǔ)上，證明命題具有傳遞性，而第二步實(shí)際上是一次邏輯的推理代替了無限的驗(yàn)證過程，所以說數(shù)學(xué)歸納法是一種合理、切實(shí)可行的科學(xué)證明方法，實(shí)現(xiàn)了有限到無限的飛躍。3.5 換元法

在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明達(dá)到簡(jiǎn)化.主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示。此法如果運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題根據(jù)具體問題，實(shí)施的三角代換方法有：①若x?y?1，可設(shè)x?cos?,y?sin?；②若x?y?1，可設(shè)x?rcos?,y?rsin??0?r?1?；③對(duì)于含有的不等式，由于x?1，可設(shè)x?cos?；④若x?y?z?xyz，由tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC知，可設(shè)

2222x?tanA,y?tanB,z?tanC其中A?B?C??。(2)增量換元法：在對(duì)稱式(任意交換 5 兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a?b?c?0等)的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過換元達(dá)到減元，使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。如a?b?1，可以用a?1?t,b?t進(jìn)行換元。

2222 [例6] 已知x,y?R且x?y?1.求證x?2xy?y?2.[分析] 在式中有xy≤1不 等式，可聯(lián)想到上面性質(zhì)中的第②點(diǎn)：若x2?y2?1，可設(shè)x?rcos?,y?rsin??0?r?1?，化為三角函數(shù)來帶入要證明的式子就較為簡(jiǎn)便。

[證明] 設(shè)x?rcos?,y?rsin?,r?1,則22x2?2xy?y2?r2cos?2?2cos?sin??sin?2?r2cos2??sin2?????2r2sin?2????2.4??

[評(píng)價(jià)]這里用的三角代換是換元法的一種。題目形式上比較復(fù)雜，但有一定的規(guī)律，則可采用變量代換法，通過換元，把生疏的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為重要不等式形式使證題思路自然、簡(jiǎn)捷。它的基本思路是：按照代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選用適當(dāng)?shù)娜枪?，進(jìn)行三角代換，把代數(shù)題轉(zhuǎn)化為三角題，從而用三角知識(shí)去解。3.6 判別式法

根據(jù)已知的或構(gòu)造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)的根，解集，函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式應(yīng)滿足的不等式，從而推出欲證的不等式方法。判別式法應(yīng)用

2f(y)x?g(y)x??(y)?0形極其廣泛，它的使用范圍是“解答函數(shù)的解析式可以轉(zhuǎn)化為

2式的一類函數(shù)的最大（?。┲祷蛑涤騿栴}”，學(xué)習(xí)時(shí)注意對(duì)x項(xiàng)系數(shù)f(y)?0和f(y)?0兩種情況的討論。

2f(y)x?g(y)??(y)?0,f(y)?0，依據(jù)x?R,??0求出y的范圍。方法：①由②討論f(y)?0時(shí)的x的值是否是函數(shù)y的定義域中的值？若是，則y的范圍含f(y)?0a1x2?b1x?c1a??b2a2x?b2x?c2的y值，是否不含這個(gè)值.本題解法對(duì)證明形如“，a1x2?b1x?c1c??da2x?b2”的不等式具有一般性。

1x2?x?13??[例7] 求證:22x?12。

[分析] 此題目不等號(hào)中間式子可構(gòu)造成一元二次函數(shù)，要注意對(duì)x的系數(shù)的兩種情況討論 6 x2?x?1y?22(1?y)x?x?1?y?0，x?1證明：設(shè)，則

2y?1x?R,??1?4(1?y)?0,得（1）當(dāng)時(shí)，由13?y?,(y?1)2 2

2(1?y)x?x?1?y?0，得x=0（2）當(dāng)y=1時(shí)，由x2?x?1y?x2?1的定義域中的一個(gè)值，所以y=1是它的值域中的一個(gè)值.由（1）而x=0是函數(shù)131x2?x?13?y???2222x?12。和（2）知，即[評(píng)價(jià)] 用判別式法證明不等式，實(shí)際上就是求函數(shù)的最大（最?。┲祷蛑涤?它的使用

2f(y)x?g(y)??(y)?0,f(y)?0形式的一類函數(shù)范圍是“解答函數(shù)的解析式可以轉(zhuǎn)化

2的最大（小）值或值域問題”，學(xué)習(xí)時(shí)注意對(duì)x項(xiàng)系數(shù)f(y)?0和f(y)?0兩種情況的討論。

3.7 分解法

按照一定的法則，把一個(gè)數(shù)或式分解為幾個(gè)數(shù)或式，使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易解的基本問題，以便分而治之，各個(gè)擊破，從而達(dá)到證明不等式的目的.[例8] 求證：1?1111111?????? 26122030426[分析] 此題不等號(hào)左邊為同分子異分母的7個(gè)分?jǐn)?shù)和，分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是從1開始每相鄰兩個(gè)自然數(shù)乘積，符號(hào)為加減交替，可利用我們學(xué)過的式子使相同式子相消，即可得答案。[證明] 因?yàn)?/p>

111??來做，n(n?1)nn?1111??

n(n?1)nn?***1??????????=＜原題得2233445566776 所以 原式=1-?證。

[評(píng)價(jià)]只要利用學(xué)過的公式來分解式子就更容易了，但這題要注意符號(hào)，符號(hào)容易出錯(cuò)。3.8函數(shù)極值法

在不等式證明中，我們常常構(gòu)造函數(shù)f(x)，而f(x)構(gòu)造好后，如果在所給函數(shù)區(qū)間上無法判斷f(x)符號(hào)，即當(dāng)函數(shù)不具有單調(diào)性時(shí)，可以考慮用極值與最值的方法進(jìn)行證明

[例9] 設(shè)x?R，求證：?4?cos2x?3sinx?21.8[分析] 此題可構(gòu)造成一元二次方程的頂點(diǎn)式進(jìn)行證明。

3?1?[證明] f(x)?cos2x?3sinx?1?2sin2x?3sinx??2?sinx???2

4?8?當(dāng)sinx?231時(shí)，f(x)max?2;48當(dāng)sinx??1時(shí)，f(x)min??4.故 ?4?cos2x?3sinx?21.8[評(píng)價(jià)]這題難在于化簡(jiǎn)f(x)來構(gòu)造函數(shù)，用一元二次方程的頂點(diǎn)式求最值較易。3.9函數(shù)單調(diào)法

當(dāng)x屬于某區(qū)間，有f?(x)?0，則f(x)單調(diào)上升；若f?(x)?0，則f(x)單調(diào)下降.推廣之，若證f(x)?g(x)，只須證f(a)?g(a)及f?(x)?g?(x),(x?(a,b))即可.[例10] 證明不等式e?1?x,x?0.[分析] 所求不等式中有e，結(jié)構(gòu)不復(fù)雜，求導(dǎo)數(shù)是它本身，這樣用求導(dǎo)法來做應(yīng)容易。靠導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性就可把極值求出，即可證明不等式。

[證明]設(shè)f?x??e?1?x,則f'?x??e?1。xxxx故當(dāng)x?0時(shí)，f'?x?>0,f嚴(yán)格遞增； 當(dāng)x?0時(shí)，f'?x??0嚴(yán)格遞減。

又由于f在x?0處連續(xù)，則當(dāng)x?0時(shí)f?x??f?0??0，從而得證。

[評(píng)價(jià)]此題目具有冪指數(shù)函數(shù)形式，對(duì)不等式進(jìn)行移項(xiàng)、整理，在此基礎(chǔ)上根據(jù)函數(shù)單調(diào)性證明之。利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，不等式兩邊必須可導(dǎo)，對(duì)所構(gòu)造的輔助函數(shù)f（x）應(yīng)在某閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，然后通過在開區(qū)間f'?x?的符號(hào)判斷間上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性來解決不等式問題。

f（x）在閉區(qū)4小結(jié)

不等式的證明方法很多，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止以上所述，每一種方法都具有一定的特點(diǎn)和使用性，并有一定的規(guī)律可循，只有在多分析多總結(jié)的基礎(chǔ)上，才能把握問題的實(shí)質(zhì)，熟練運(yùn)用各種證明技巧，提高解決問題的水平。各種證明方法之間也并不是孤立的，有時(shí)一個(gè)不等式也可能有好多種證明方法。我們?cè)谧C明不等式中不必拘泥某種單一的方法，需要因地制宜根據(jù)不同的情況選擇不同的方法來論證，可根據(jù)具體的情況靈活選擇最簡(jiǎn)單、最優(yōu)化的方法，從而達(dá)到最佳的證明效果，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性和實(shí)用性。

經(jīng)過這段時(shí)間的畢業(yè)論文設(shè)計(jì)和對(duì)相關(guān)資料的收集，我對(duì)于不等式的證明有了深刻的了解和認(rèn)識(shí)。學(xué)習(xí)了這些方法，可以幫助我們解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽 8 象思維能力以及養(yǎng)成勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

參考文獻(xiàn): ［1］李長(zhǎng)明,周煥山.初等數(shù)學(xué)研究[M].北京:高等教育出版社,1995,253-263.［2］葉慧萍.反思性教學(xué)設(shè)計(jì)-不等式證明綜合法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2005,10(3):89-91 ［3］張順燕 數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用［M］北京：北京大學(xué)出版社。2003 ［4］數(shù)學(xué)分析.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1999,87.［5］李海港，張傳法.利用均值不等式求最值的技巧［M］.學(xué)術(shù)期刊:高中數(shù)理化（高二）GAOZHONG SHU-LI-HUA。2007年第1期。

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第三篇：證明不等式方法

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯(cuò)法多種多樣，本節(jié)通這一些實(shí)例，歸納整理證明不等式時(shí)常用的方法和技巧。1比較法

比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種?；舅枷胧前央y于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時(shí)，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較）

例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab

2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來說明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。

∵（a3+b3)(a2b+ab2)

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

證明： =(a-b)2(a+b)

又∵(a-b)2≥0a+b≥0

∴(a-b)2(a+b)≥0

即a3+b3≥a2b+ab2

例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba

分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對(duì)稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達(dá)到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小

證明：由a、b的對(duì)稱性，不妨解a＞b＞0則

aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b

∵ab0，∴ab1，a-b0

∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba

練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法

利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：

（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

（3）若a、b同號(hào)，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1-b2+b1-a2≤

1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y2

2證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

∴b1-a2+a1-b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時(shí)，等號(hào)成立

練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(a-b)b≥

33綜合法

綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。

例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252

證明：∵ a0，b0，a+b=1

∴ab≤14或1ab≥

4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2

=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252

練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+cn

3求證：2f（n）≤f（2n）

4分析法

從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個(gè)條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時(shí)，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。

例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

分析：觀察求證式為一個(gè)連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價(jià)于 ｜a-c｜＜c2-ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。

要證c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

只需證-c2-ab＜a-c＜c2-ab

證明：即證 ｜a-c｜＜c2-ab

即證(a-c)2＜c2-ab

即證 a2-2ac＜-ab

∵a＞0，∴即要證 a-2c＜-b 即需證2+b＜2c，即為已知

∴ 不等式成立

練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）

25放縮法

放縮法是在證明不等式時(shí)，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：（1）舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)），（2）在和或積中換大（或換?。┠承╉?xiàng)，（3）擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑?。

例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)

求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

2分析：觀察式子特點(diǎn)，若將4個(gè)分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。

證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞

ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=

1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d

∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2

綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2

練習(xí)5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜1

6換元法

換元法是許多實(shí)際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見的是三角換元。

(1)三角換元：

是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問題時(shí)，使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角問題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。

例

7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求證0＜A＜

1證明： ∵x，y∈R+，且x-y=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）

∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ

=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ

=sinθ

∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1

復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤

3(2)比值換元：

對(duì)于在已知條件中含有若干個(gè)等比式的問題，往往可先設(shè)一個(gè)輔助未知數(shù)表示這個(gè)比值，然后代入求證式，即可。

例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥431

4證明：設(shè)x-1=y+12=z-23=k

于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+

2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

=14(k+514)2+4314≥4314

7反證法

有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。

例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤

2分析：本題已知為p、q的三次，而結(jié)論中只有一次，應(yīng)考慮到用術(shù)立方根，同時(shí)用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。

證明：解設(shè)p+q＞2，那么p＞2-q

∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q

3將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0

即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤

2練習(xí)7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.求證：a＞0，b＞0，c＞0

8數(shù)學(xué)歸納法

與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通?？紤]用數(shù)學(xué)歸納法來證明。用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟缺一不可。

例10：設(shè)n∈N，且n＞1,求證：(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12

分析：觀察求證式與n有關(guān)，可采用數(shù)學(xué)歸納法

證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左= 43，右=52

∵43＞52∴不等式成立

（2）假設(shè)n=k(k≥2，k∈n)時(shí)不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①

要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+12·

2k+22k+1＞2k+32②

對(duì)于②〈二〉2k+2＞2k+1·2k+3

〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)

〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3

〈二〉4＞3③

∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立

由（1）（2）證明可知，對(duì)一切n≥2（n∈N），原不等式成立

練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞132

49構(gòu)造法

根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達(dá)到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。

1構(gòu)造函數(shù)法

例11：證明不等式：x1-2x ＜x2（x≠0）

證明：設(shè)f（x）=x1-2x-x2（x≠0）

∵f(-x)

=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x

2=x1-2x-［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2

=f（x）

∴f（x）的圖像表示y軸對(duì)稱

∵當(dāng)x＞0時(shí)，1-2x＜0，故f（x）＜0

∴當(dāng)x＜0時(shí)，據(jù)圖像的對(duì)稱性知f（x）＜0

∴當(dāng)x≠0時(shí)，恒有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）

練習(xí)9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：b-b2-ab＜a＜b+b2-ab

2構(gòu)造圖形法

例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）-f（b）|＜ |a-b|

分析：由1+x2 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

于是如下圖，設(shè)A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2

|AB|=|a-b|又0A|-|0B＜|AB|∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|

練習(xí)10：設(shè)a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(a-c)+c(b-c)≤ab

10添項(xiàng)法

某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項(xiàng)”技巧，能得到快速求解的效果。

1倍數(shù)添項(xiàng)

若不等式中含有奇數(shù)項(xiàng)的和，可通過對(duì)不等式乘以2變成偶數(shù)項(xiàng)的和，然后分組利用已知不等式進(jìn)行放縮。

例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立）證明：∵a、b、c∈R+

∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a·2bc+b·2ca+c·2ac)=3abc

當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。

2平方添項(xiàng)

運(yùn)用此法必須注意原不等號(hào)的方向

例14 ：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，求證：

(1+13)(1+15)…(1+12n-1＞ 2n+1 2)

證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時(shí)ba＞ b+ma+m

∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n-1)］2=（43、65…2n2n-1)（43、65…2n2n-1)＞（54、76…2n+12n)（43、65…2n2n-1)=2n+13＞ 2n+14＞

∴(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+1 2)

3平均值添項(xiàng)

例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤3

32分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術(shù)平均值添項(xiàng)sin π

3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立）∵0＜x+y2＜ π，-π2＜ x-y2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosx-y

2∴上式成立

反復(fù)運(yùn)用這個(gè)命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2·2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332

∴sinA+sinB≠sinC≤332

練習(xí)11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤18

4利用均值不等式等號(hào)成立的條件添項(xiàng)

例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18

分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時(shí)，等號(hào)成立

證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①

同理b4+3(12)4 ≥b②

∴a4+b4≥12(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③

∵a≠b ∴①②中等號(hào)不成立∴③中等號(hào)不成立∴ 原不等式成立

1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對(duì)任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯(cuò)解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說明c存在。

正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23，因?yàn)閤,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。

6.2已知x,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

錯(cuò)解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz

錯(cuò)因：根據(jù)不等式的性質(zhì)：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡(jiǎn)得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:

x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

6.3 設(shè)x+y>0，n為偶數(shù)，求證yn-1xn+xn-1yn≥

1x 1y

錯(cuò)證：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y

=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

n為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xn-yn和xn-1-yn-

1同號(hào)，∴yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

錯(cuò)因：在x+y>0的條件下，n為偶數(shù)時(shí)，xn-yn和xn-1-yn-1不一定同號(hào)，應(yīng)分x、y同號(hào)和異號(hào)兩種情況討論。

正解：應(yīng)用比較法：

yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

① 當(dāng)x>0,y>0時(shí)，(xn-yn)(xn-1-yn-1)≥ 0，(xy)n >0

所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

≥0故：yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

② 當(dāng)x,y有一個(gè)是負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)x>0,y<0，且x+y>0，所以x>|y|

又n為偶數(shù)時(shí),所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)>0 又(xy)n >0，所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn ≥0即 yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

綜合①②知原不等式成立

第四篇：數(shù)學(xué)不等式證明方法論文開題報(bào)告

湖北大學(xué)

本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題報(bào)告 題目高中數(shù)學(xué)不等式的證明方法

姓名梁艷平學(xué)號(hào) ***7 專業(yè)年級(jí)

2011級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師付應(yīng)雄職稱副教授

2015年03月03日

本課題的研究目的及意義

現(xiàn)實(shí)世界中的量有相等關(guān)系，也有不等關(guān)系，凡是與比較量的大小有關(guān)的問題，都要用到不等式的知識(shí)。不等式在解決最優(yōu)化、最優(yōu)控制、經(jīng)濟(jì)等各類實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，它是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)和技術(shù)的一個(gè)基本工具。

不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，在歷年高考中頗為重視。由于不等式的形式各異，所以證明方法靈活、技巧多樣，因此不等式的證明也是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一。為了突破難點(diǎn)，我認(rèn)為有必要對(duì)一些常見的證明方法和典型例題進(jìn)行一些思考、研究和總結(jié)。

已了解的本課題國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀。

不等式的證明方法在國(guó)內(nèi)外的研究都趨于高深、復(fù)雜、多方向化。不等式的證明方法也大多用于競(jìng)賽和考察數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

本課題的研究?jī)?nèi)容

本課題主要研究不等式一些常見的證明方法：比較法，綜合法，分析法，反證法，放縮法，數(shù)學(xué)歸納法，換元法，構(gòu)造法和判別式法等。

本課題研究的實(shí)施方案、進(jìn)度安排。

首先通過查閱國(guó)內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)資料對(duì)不等式的證明方法做一個(gè)全面的了解，并了解學(xué)生對(duì)于不等式的證明方法的掌握程度與思考方式，其次，對(duì)于每種方法要舉出一個(gè)典型的例子來幫助讀者理解。

2015年1月——2014年2月：搜集、分析資料，確定題目；

2015年3月初：開題報(bào)告；

2015年3月初——3月底：撰寫論文初稿；3月31日前提交紙質(zhì)版初稿；

2015年4月中旬前：修改論文，定稿：外文翻譯；

2015年4月底：論文答辯。

已查閱的主要參考文獻(xiàn)

[1]胡漢明.不等式證明問題的思考方法.數(shù)學(xué)通訊.2004（11）.[2]韓京俊.初等不等式的證明方法.哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社.[3]嚴(yán)鎮(zhèn)軍.不等式.人民教育出版社.[4]王勝林.衛(wèi)賽民.證明不等式的幾種特殊方法，數(shù)學(xué)通訊.[5]張聯(lián)升.名師伴你行.北京光明日?qǐng)?bào)出版社.2006.01.26-27頁

[6]馬勇.新課標(biāo)高中基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn).北京教育出版社.2007.113-114頁

[7]李長(zhǎng)明，周煥山.初等數(shù)學(xué)研究.高等教育出版社（253-262頁）

[8]韓京俊.初等不等式的證明方法.哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社.[9]王勝林.衛(wèi)賽民.證明不等式的幾種特殊方法.數(shù)學(xué)通訊.[10]華羅庚.數(shù)學(xué)歸納法.北京科學(xué)出版社，2002.[11]南山.柯西不等式與排序不等式.上海教育出版社，2007.[12]E.貝肯巴赫，R.貝爾曼.不等式入門.北京大學(xué)出版社，1985.[13]G.H.哈代，J.E.李特伍德，G.波里亞.不等式.北京科學(xué)出版社，1965.指導(dǎo)教師意見 簽名： 年月日

系或?qū)I(yè)審核意見1．通過；

負(fù)責(zé)人： 年月日

2．完善后通過；

３．不通過

第五篇：不等式證明若干方法

安康學(xué)院 數(shù)統(tǒng)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 11 級(jí)本科生

論文（設(shè)計(jì)）選題實(shí)習(xí)報(bào)告

11級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)《科研訓(xùn)練2》評(píng)分表

注：綜合評(píng)分?60的為“及格”； <60分的為“不及格”。