第一篇：不等式的證明·典型例題2

不等式的證明·典型例題

【例1】 已知a，b，c∈R+，求證：a3+b3+c3≥3abc． 【分析】 用求差比較法證明．

證明：a3+b3+c3-3abc=[(a+b)3+c3]-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[a2+b2+c2-ab-bc-ca]

∵a，b，c∈R+，∴a+b+c＞0．

(c-a)]2≥0 即 a3+b3+c3-3abc≥0，∴a3+b3+c3≥3abc．

【例2】 已知a，b∈R+，n∈N，求證：(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1)．【分析】 用求差比較法證明． 證明：左-右=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1 =abn+anb-an+1-bn+1 =a(bn-an)+b(an-bn)=(bn-an)(a-b)當(dāng)a＞b＞0時，bn-an＜0，a-b＞0，∴(*)＜0；

(*)當(dāng)b＞a＞0時，bn-an＞0，a-b＜0，∴(*)＜0； 當(dāng)a=b＞0時，bn-an=0，a-b=0，∴(*)=0． 綜上所述，有(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)≤0． 即(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1)．

【說明】 在求差比較的三個步驟中，“變形”是關(guān)鍵，常用的變形手段有配方、因式分解等，常將“差式”變形為一個常數(shù)，或幾個因式積的形式．

【例3】 已知a，b∈R+，求證aabb≥abba． 【分析】 采用求商比較法證明． 證明：∵a，b∈R+，∴abba＞0

綜上所述，當(dāng)a＞0，b＞0，必有aabb≥abba． 【說明】 商值比較法的理論依據(jù)是：

【例4】 已知a、b、c是不全等的正數(shù)，求證： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc．

【分析】 采用綜合法證明，利用性質(zhì)a2+b2≥2ab． 證明：∵b2+c2≥2bc，a＞0，∴a(b2+c2)≥2abc．

①

同理b(c2+a2)≥2abc

②

c(a2+b2)≥2abc

③

∵a，b，c不全相等，∴①，②，③中至少有一個式子不能取“=”號 ∴①+②+③，得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc． 【例5】 已知a，b，c∈R+，求證：(1)(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc；

【分析】 用綜合法證明，注意構(gòu)造定理所需條件． 證明：

(1)ab+a+b+1=(a+1)(b+1)，ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c)．

∴(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥16abc 因此，當(dāng)a，b，c∈R+，有

(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c)≥16abc．

2【說明】 用均值定理證明不等式時，一要注意定理適用的條件，二要為運用定理對式子作適當(dāng)變形，把式子分成若干分，對每部分運用均值定理后，再把它們相加或相乘．

【分析】 采用分析法證明．

(*)∵a＜c，b＜c，∴a+b＜2c，∴(*)式成立． ∴原不等式成立．

用充分條件代替前面的不等式．

【例7】 若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：

證明二：(綜合法)∵a，b，c∈R+，abc成立．上式兩邊同取常用對數(shù)，得

【說明】 分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面．在證法一中，前面是分析法，后面是綜合法，兩種方法結(jié)合使用，使問題較易解決．分析法的證明過程恰恰是綜合法的分析、思考過程，綜合法的證明方法是分析思考過程的逆推．

【例8】 已知a＞2，求證loga(a-1)·loga(a+1)＜1．

【分析】 兩個對數(shù)的積不好處理，而兩個同底對數(shù)的和卻易于處理．因為我們可以先把真數(shù)相乘再取對數(shù)，從而將兩個對數(shù)合二為一，平均值不等式恰好有和積轉(zhuǎn)化功能可供利用．

證明：∵a＞2，∴l(xiāng)oga(a-1)＞0，loga(a+1)＞0． 又loga(a-1)≠loga(a+1)

∴l(xiāng)oga(a-1)·loga(a+1)＜1．

【說明】 上式證明如果從loga(a-1)·loga(a+1)入手，得loga(a-1)

二為一了．另外，在上述證明過程中，用較大的logaa2代替較小的loga(a2-1)，并用適當(dāng)?shù)牟坏忍栠B結(jié)，從而得出證明．這種方法通常叫做“放縮法”．同樣，也可以用較小的數(shù)代替較大的數(shù)，并用適當(dāng)?shù)牟坏忍栠B結(jié)．

【例9】 已知：a，b，c都是小于1的正數(shù)；

【分析】 采用反證法證明．其證明思路是否定結(jié)論從而導(dǎo)出與已知或定理的矛盾．從而證明假設(shè)不成立，而原命題成立．對題中“至少

∵a，b，c都是小于1的正數(shù)，故與上式矛盾，假設(shè)不成立，原命題正確．

【說明】 反證法是利用互為逆否命題具有等價性的思想進行推證的．反證法必須羅列各種與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一種可能，則反證都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命題常用反證法．

|a|≤1．

【說明】 換元法是將較為復(fù)雜的不等式利用等價轉(zhuǎn)換的思想轉(zhuǎn)換成易證明的不等式．常用的換元法有(1)，若|x|≤1，可設(shè)x=sinα，α∈R；(2)若x2+y2=1，可設(shè)x=sinα，y=cosα；(3)若x2+y2≤1，可設(shè)x=

【例11】 已知a1、a2、?an，b1、b2、?bn為任意實數(shù)，求

證明：構(gòu)造一個二次函數(shù)

它一定非負，因它可化為(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+?+(anx-bn)2．

∴Δ≤0，(當(dāng)a1，a2，?an都為0時，所構(gòu)造式子非二次函數(shù)，但此時原不等式顯然成立．)

【說明】上例是用判別式法證明的“柯西不等式”，它可寫為：

變量分別取|a+b|，|a|、|b|時就得到要證的三個式子．因此，可考慮從函數(shù)

∴f（x2）＞f（x1），f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)． 取x1=|a+b|，x2=|a|+|b|，顯然0≤x1≤x2． ∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|）．

【說明】這里是利用構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合放縮法來證明不等式的．應(yīng)注意的是，所給函數(shù)的單調(diào)整性應(yīng)予以論證．

【例13】已知a，b，m，n∈R，且a2+b2=1，m2+n2=1，求證：|am+bn|≤1． 證法一：（比較法）

證法二：（分析法）

∵a，b，m，n∈R，∴上式成立，因此原不等式成立． 證法三：（綜合法）

∵a，b，m，n∈R，∴（|a|-|m|）2≥0，（|b|-|n|）2≥0． 即a2+m2≥2|am|，b2+n2≥2|bn| ∴a2+m2+b2+n2≥2（|am|+|bn|）∵a2+b2=1，m2+n2=1，∴|am|+|bn|≤1 ∴|am+bn|≤|am|+|bn|≤1． 證法四：（換元法）

由已知，可設(shè)a=sinα，b=cosα，m=sinβ，n=cosβ． 于是|am+bn|=|sinαsinβ+cosαcosβ|=|cos（α-β）|≤1． 【說明】一個不等式的證明方法往往不只一種，要注意依據(jù)題目特點選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/p>

【例14】已知f（x）=x2-x+c，且|x-a|＜1，（a，b，c∈R）求證：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

【分析】絕對值不等式的證明充分利用絕對值不等式性質(zhì)：

證明：|f（x）－f（a）|=|x2-x+c-a2+a-c| =|（x+a）（x-a）-（x-a）|=|x-a||x+a-1|＜|x+a-1| =|（x-a）+2a-1|＜|x-a|+|2a|+|（-1）|＜1+2|a|+1=2（|a|+1）． ∴|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

【例15】當(dāng)h與|a|，|b|，1中最大的一個相等，求證：當(dāng)|x|＞h時，由已知，有|x|＞h≥|a|，|x|＞h≥|b|，|x|＞h≥1 ∴|x|2≥b．

第二篇：不等式的證明典型例題分析

不等式的證明典型例題分析

例1 已知，求證：．

證明 ∵

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．

點評 在利用差值比較法證明不等式時，常采用配方的恒等變形，以利用實數(shù)的性質(zhì)例2 已知均為正數(shù)，求證.．

分析 由于所證不等式兩端都是冪和積的形式，且

證明

這時為不等正數(shù)，不失一般性，設(shè)，.為正數(shù)，可選用商值比較法.，.由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，所以

即

例3 已知

求證：..，．

分析 不等式的左端是根式，而右端是整式，應(yīng)設(shè)法通過適當(dāng)?shù)姆趴s變換將左式各根式的被開方式轉(zhuǎn)化為完全平方式．

證明 ∵

∴，．

即．

兩邊開方，得．

同理可得三式相加，得．． ．

例4 設(shè)，求證：

分析 當(dāng)所證結(jié)論在形式上比較繁雜時，一般都可采用分析法.證明 要證明

只要證

因為，故只要證

由于函數(shù)故只要證

即證

只要證

即證

在上是減函數(shù)，這是顯然成立的，故原不等式成立.點評 分析法是一種不斷探求要證明不等式成立的充分條件的方法，表述證明過程時應(yīng)予以注意.例5 已知都是正數(shù)，求證：

（1）

（2）

分析 用綜合法證明.證明（1）∵

都是正數(shù)，則，∴

∴，即

（2）∵

都是正數(shù)，則，點評

變形.例6

證明

點評

∴

用不等式的平均值定理證明不等式時，要注意定理的條件，還要注意為運用定理而作出的適當(dāng)已知，且，求證：（1）；（2）（1）∵，∴

（2）

其中的放縮是以給出的條件或已證結(jié)果被運用作為思考的目標.3

第三篇：不等式的證明方法經(jīng)典例題

不等式的證明方法

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點，證明方法多種多樣，近幾年高考出現(xiàn)較為形式較為活躍，證明中經(jīng)常需與函數(shù)、數(shù)列的知識綜合應(yīng)用，靈活的掌握運用各種方法是學(xué)好這部分知識的一個前提，下面我們將證明中常見的幾種方法作一列舉。

a2?b2a?b注意a?b?2ab的變式應(yīng)用。常用(其中a,b?R?)來解決有?2222關(guān)根式不等式的問題。

一、比較法

比較法是證明不等式最基本的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑。

1、已知a,b,c均為正數(shù)，求證：

111111????? 2a2b2ca?bb?cc?a

二、綜合法

綜合法是依據(jù)題設(shè)條件與基本不等式的性質(zhì)等，運用不等式的變換，從已知條件推出所要證明的結(jié)論。

2、a、b、c?(0,??)，a?b?c?1，求證：

4a2?b2?c2?4413

3、設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，求證：a?b?c?abc(a?b?c)

4、知a,b,c?R，求證:

a2?b?2b2?c?2c2?a?2(a?b?c)

211(1?)(1?)?9xy5、x、y?(0,??)且x?y?1，證：。

6、已知a,b?R,a?b?1求證：?1????1??1?1??1???.a??b?9

三、分析法

分析法的思路是“執(zhí)果索因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。

7、已知a、b、c為正數(shù)，求證：

2(a?ba?b?c3?ab)?3(?abc)23

8、a、b、c?(0,??)且a?b?c?1，求證a?b?c?3。

四、換元法

換元法實質(zhì)上就是變量代換法，即對所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作適當(dāng)?shù)淖儞Q，以達到化難為易的目的。

9、b?1，求證：ab?(1?a2)(1?b2)?1。

22x?y?1，求證：?2?x?y?210、114??.a?bb?ca?c1222212、已知1≤x＋y≤2，求證：≤x－xy＋y≤3．

211、已知a>b>c,求證：

13、已知x－2xy＋y≤2，求證：| x＋y |≤10．

14、解不等式5?x?221x?1＞

2215、－1≤1?x－x≤2．

五、增量代換法

在對稱式(任意互換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量進行代換，代換的目的是減少變量的個數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡．

16、已知a，b?R，且a＋b = 1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥

六、利用“1”的代換型

2225． 2111已知a,b,c?R?,且 a?b?c?1,求證： ???9.abc17、七、反證法

反證法的思路是“假設(shè)?矛盾?肯定”，采用反證法時，應(yīng)從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過程中，每一步推理必須是正確的。

18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求證：p＋q≤2．證明：反證法 33119、已知a、b、c?（0，1），求證：(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a，不能均大于4。

20、已知a,b,c∈（0，1），求證：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a 不能同時大于

1。

421、a、b、c?R，a?b?c?0，ab?bc?ca?0，a?b?c?0，求證：a、b、c均為正數(shù)。

八、放縮法

放縮時常用的方法有：1去或加上一些項2分子或分母放大（或縮?。?用函數(shù)單調(diào)性放縮4用已知不等式放縮

22、已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：1＜＜2．

bdac＋＋＋

a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b23、n?N，求證：*2(n?1?1)?1?12?13???1n?2n?1。

24、A、B、C為?ABC的內(nèi)角，x、y、z為任意實數(shù)，求證：x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC。

證

九、構(gòu)造函數(shù)法

構(gòu)造函數(shù)法證明不等式24 設(shè)0≤a、b、c≤2，求證：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．

25、設(shè)a、b∈R，且a＋b =1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥?222225． 226、設(shè)a＞0，b＞0，a＋b = 1，求證：2a?1＋2b?1≤22． 1．實數(shù)絕對值的定義:

|a|=

這是去掉絕對值符號的依據(jù)，是解含絕對值符號的不等式的基礎(chǔ)。

2．最簡單的含絕對值符號的不等式的解。

若a>0時，則

|x|

|x|>a x<-a或x>a。

注:這里利用實數(shù)絕對值的幾何意義是很容易理解上式的，即|x|可看作是數(shù)軸上的動點P(x)到原點的距離。

3．常用的同解變形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；

|f(x)|<|g(x)| f2(x)

4．三角形不等式:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

第四篇：高中數(shù)學(xué)不等式典型例題解析

高中數(shù)學(xué)不等式典型例題解析

高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng)http://004km.cn/

概念、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié)

不等式

一．不等式的性質(zhì)：

1．同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：[同向相加，異向相減] 若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；[同向相乘，異向相除]

3．左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若

bn或

4．若

；若

1a，則，則，則

1b

。如

（1）對于實數(shù)a,b,c中，給出下列命題：

①若則； ④若

； ②若則 ⑤若

則則

； ③若

則

；

； ⑥若

a

⑦若

則；

則

； ⑧若

1a

1b，則。

其中正確的命題是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知

（答：

ca 的取值范圍是______

（答：），）；（3）已知，則，且的取值范圍是______

則

二．不等式大小比較的常用方法：

1．作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果； 2．作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函數(shù)的單調(diào)性； 7．尋找中間量或放縮法 ；

8．圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如

（1）設(shè)

a 的大小

（答：當(dāng)

時，且，比較logat和log

（時取等號）；當(dāng)

時，京翰教育http://004km.cn/

（時取等號））；

（2）設(shè)，，試比較p,q的大小

（答：）；

（3）比較1+logx3與且或

2logx2；當(dāng)

時，1+logx3＞2logx2；當(dāng)?shù)拇笮。ù穑寒?dāng)

時，1+logx3＜

時，1+logx3＝2logx2）

三．利用重要不等式求函數(shù)最值時，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積

最大，積定和最小”這17字方針。如（1）下列命題中正確的是 A、1x 的最小值是2 2

4x4x

0)的最大值是

0)的最小值是、C、（答：C）；

（2）若，則的最小值是______、（答：）；

（3）正數(shù)x,y滿足，則 的最小值為______

（答：）；

4.常用不等式有：（1

(根據(jù)目標不等式左右 的運算結(jié)構(gòu)選用)；（2）a、b、，且僅當(dāng)時，取等號）；（3）若

b

a

如果正數(shù)a、b滿足，則ab，則

（當(dāng)

（糖水的濃度問題）。如

的取值范圍是_________

（答：）

五．證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：

作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。).常用的放縮技巧有：

n

1n

如（1）已知，求證：

(2)已知，求證：（3）已知，且(4)若，求證：

；； ；

a、b、c

是不全相等的正數(shù)，求證：

lg

lg

ca

； 2

（5）已知，求證：若

1已知，求證：（8）求證：

n；

1n

；(6)

。

六．簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次

因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如

（1）解不等式

（答：

（2）

不等式

（答：的解集是____ 或）； 的解集為的解集為

或）。

（3）設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R，且，的解集為，則不等式______

（答：）；（4）要使?jié)M足關(guān)于x的不等式（解集非空）的每一個x的值

和x

中的一個，則實數(shù)a的至少滿足不等式取值范圍是______.（答：[7，818)）

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通

分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。如

（1）解不等式

2）； 的解集為，則關(guān)于x的不等式

（答：

（2）關(guān)于x的不等式 的解集為____________）.（答：

八．絕對值不等式的解法：

1．分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如解不等式

|

（答：）；

（2）利用絕對值的定義；

（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式

（答：

（4）兩邊平方：如

若不等式______。

（答：{）

九．含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵．”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是?”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如

（1）若loga，則a

對

恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為）的取值范圍是__________

（答：或

（2）解不等式

ax）；

1a

1a

或）時，時，（答：

}；

時，{x|或

；

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）

不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關(guān)于x的不等式的解集為，則不等式的解集為

__________（答：（－1,2））

十一．含絕對值不等式的性質(zhì)：

a、b同號或有號或有

； a、b異

如設(shè)，實數(shù)a滿足，求證：

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方

式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1).恒成立問題

若不等式

若不等式

在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上如（1）設(shè)實數(shù)x,y滿足，當(dāng)時，c的取值范圍是______）（答：；（2）不等式）；

在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上

對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍_____（答：

（3）若不等式取值

對滿足的所有m都成立，則x的范圍_____

（答：（（4）若不等式

n

，））；

對于任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取

值范圍是_____

（答：）；

（5）若不等式對求m的 取值范圍.（答：）

2).能成立問題

若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式上

；

若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式上的如

已知不等式范圍____

（答：）

3).恰成立問題

若不等式在區(qū)間D上恰成立, 解集為D； 的所有實數(shù)x都成立，成立,則等價于在區(qū)間D

成立,則等價于在區(qū)間D

則等價于不等式的若不等式解集為D.在區(qū)間D上恰成立, 則等價于不等式的在實數(shù)集R上的解集不是空集，求實數(shù)a的取值

第五篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明的常用方法經(jīng)典例題

關(guān)于不等式證明的常用方法

(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證

(2)綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法換元法主要放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法 典型題例

例1證明不等式1?

12?1

3???1

n?2n(n∈N*)知識依托 本題是一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等 例2求使x?y≤ax?y(x＞0，y＞0)恒成立的a 知識依托 該題實質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a呈現(xiàn)出來，等價轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1求證(a+11)(b+)ba證法一(分析綜合法）證法二(均值代換法)證法三(比較法）證法四(綜合法)證法五(三角代換法）鞏固練習(xí)已知x、y是正變數(shù),a、b是正常數(shù),且ab?=1，x+y的最小值為xy設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，則ad與bc的大小關(guān)系是 若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、q的大小順序是__________ 已知a，b，c為正實數(shù)，a+b+c=1求證1(2)a?2?3b?2?c?2≤6

312已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2= x，y，z∈［0，］ 23(1)a2+b2+c2≥證明下列不等式b?c2c?a2a?b2z≥2(xy+yz+zx)x?y?abc

y?zz?xx?y111??(2)若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，則≥2(??)xyzxyz(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，則

已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n(1)證明 niAi

m＜miAi

n(2)(1+m)n＞(1+n)m

若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求證 a+b≤2，ab≤1不等式知識的綜合應(yīng)用

典型題例

例1用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)設(shè)容器高為h米，蓋子邊長為a米，(1)求a關(guān)于h的解析式；(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時，V最大？求出V的最大值(求解本題時，不計容器厚度)

知識依托本題求得體積V的關(guān)系式后，應(yīng)用均值定理可求得最值

例2已知a，b，c是實數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當(dāng)－1≤x≤1時|f(x)|≤

1(1)|c|≤1；

(2)當(dāng)－1 ≤x≤1時，|g(x)|≤2；

(3)設(shè)a＞0，有－1≤x≤1時，g(x)的最大值為2，求f(x)

知識依托 二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，絕對值不等式

例3設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的兩個根x1、x2滿足0＜x1＜x2(1)當(dāng)x∈［0，x1)時，證明x＜f(x)＜x1；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，證明 x0＜

x

1鞏固練習(xí)

定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間［0，+∞)的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a＞b＞0，給出下列不等

式，其中正確不等式的序號是()

①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)①③

B②④

C①④

②③

下列四個命題中①a+b≥

2ab②sin2x+

4≥4③設(shè)x，y都是正數(shù)，若則x+y的最小值是12④?=1，2

xysinx

若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，則|x－y|＜2ε，其中所有真命題的序號是__________

已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，設(shè)方程f(x)=x的兩實數(shù)根為x1，x2

(1)如果x1＜2＜x2＜4，設(shè)函數(shù)f(x)的對稱軸為x=x0，求證x0＞－1；(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值范圍

設(shè)函數(shù)f(x)定義在R上，對任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且當(dāng)x＞0時，0＜f(x)＜

1(1)f(0)=1，且當(dāng)x＜0時，f(x)＞1；

(2)f(x)在R上單調(diào)遞減；

(3)設(shè)集合A={(x，y)|f(x2)·f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=?，求a的取值范圍

2x2?bx?c

已知函數(shù)f(x)=(b＜0)的值域是［1，3］，2x?1

(1)求b、c的值；

(2)判斷函數(shù)F(x)=lgf(x)，當(dāng)x∈［－1，1］時的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)若t∈R，求證 lg

711≤F(|t－|－|t+|)≤566數(shù)列與不等式的交匯題型分析及解題策略

【命題趨向】

數(shù)列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現(xiàn)，試題還可能涉及到與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)等知識綜合一起考查.主要考查知識數(shù)列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用.【典例分析】

題型一 求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問題

求得數(shù)列與不等式結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：(1)若函數(shù)f(x)在定義域為D，則當(dāng)x∈D時，有f(x)≥M恒成立?f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立?f(x)max≤M；(2)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識化簡不等式，再通過解不等式解得.11

1【例1】等比數(shù)列{an}的公比q＞1，第17項的平方等于第24項，求使a1＋a2＋…＋an＞…恒成立的正整數(shù)n的取

a1a2an值范圍.【例2】（08·全國Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．

(Ⅰ)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．【點評】 一般地，如果求條件與前n

項和相關(guān)的數(shù)列的通項公式，則可考慮Sn與an的關(guān)系求解

題型二 數(shù)列參與的不等式的證明問題

此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴大或縮小、項數(shù)的增加與減少等手段達到證明的目的.【例3】 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；(Ⅱ)設(shè)p、q都是正整

1數(shù)，且p≠q，證明：Sp+q＜(S2p＋S2q)．【點評】 利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對作差后的式子進行變形，途徑主要有：（1）

2因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.【例4】(08·安徽高考)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈N*，其中c為實數(shù).(Ⅰ)證明：an∈[0，1]對任意n∈N*11成立的充分必要條件是c∈[0，1]；(Ⅱ)設(shè)0＜c＜，證明：an≥1－(3c)n?1，n∈N*；（Ⅲ）設(shè)0＜c＜，證明：a12＋a22＋…＋an

2332

＞n＋1－n∈N*.1－3c

題型三 求數(shù)列中的最大值問題

求解數(shù)列中的某些最值問題，有時須結(jié)合不等式來解決，其具體解法有：(1)建立目標函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進而求得最值；(2)首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；(3)利用條件中的不等式關(guān)系確定最值.【例5】(08·四川)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為______.【例6】 等比數(shù)列{an}的首項為a1＝2002，公比q＝－．(Ⅰ)設(shè)f(n)表示該數(shù)列的前n項的積，求f(n)的表達式；(Ⅱ)當(dāng)n

取何值時，f(n)有最大值．

題型四 求解探索性問題

數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進行運算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.【例7】 已知{an}的前n項和為Sn，且an＋Sn＝4.(Ⅰ)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(Ⅱ)是否存在正整數(shù)k，使

【點評】在導(dǎo)出矛盾時須注意條件“k∈N*”，這是在解答數(shù)列問題中易忽視的一個陷阱.【例8】(08·湖北)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1＝λ，an+1＝n＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ為實數(shù)，n為正整

3數(shù).（Ⅰ）對任意實數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）設(shè)0＜a＜b,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由.數(shù)列與不等式命題新亮點

例1 把數(shù)列一次按第一個括號一個數(shù),按第二個括號兩個數(shù),按第三個括號三個數(shù),按第四個括號一個數(shù)?,循環(huán)分為(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23)?,則第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為_____.點評:恰當(dāng)?shù)姆纸M,找到各數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是解決之道.此外,這種題對觀察能力有較高的要求.例2 設(shè)A.bn

Sk+1－2

＞2成立.Sk－2

?an?是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列, bn?an?1?an?2,cn?an?an?3,則()

S

?cnB.bn?cnC.bn?cnD.bn?cn

點評:此題較易入手,利用作差法即可比較大小,考察數(shù)列的遞推關(guān)系.例3 若對x?(??,?1],不等式(m

?m)2x?()x?1恒成立,則實數(shù)m的取值范圍()

A

B

D

A.(?2,3)B.(?3,3)C.(?2,2)D.(?3,4)

例4四棱錐S-ABCD的所有棱長均為1米,一只小蟲從S點出發(fā)沿四棱錐的棱爬行,若在每一頂點處選擇不同的棱都是等可能的.設(shè)小蟲爬行n米后恰好回到S點的概率為Pn(1)求P2、P3的值;(2)求證: 3Pn?1?Pn

例5 已知函數(shù)

?1(n?2,n?N)(3)求證: P2?P3???Pn>6n?5(n?2,n?N)

4f?x??x2?x.(1)數(shù)列

?an?滿足: a1?0,an?1?f??an?,若?

1?對任意的n?N恒成立,試求a1的取值范圍;2i?11?ai,Sk為數(shù)列?cn?的前k項和, Tk為數(shù)列?cn?的1?bn

n

(2)數(shù)列

?bn?滿足: b1?1,bn?1?f?bn??n?N?,記cn?

Tk7

?.?10k?1Sk?Tk

n

前k項積,求證

例6(1)證明: ln

?1?x??x(x?0)(2)數(shù)列?an?中.a1?1,且an???1?

?1?1

a??n?2?;?n?1

2n?1?n

2①證明: an【專題訓(xùn)練】

?

7?n?2?②an?e2?n?1? 4

aaD．a(chǎn)6a8（）D．bn≤cn

（）

1．已知無窮數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，則有

aaA．＜

a6a8

aaB．

a6a8

aaC．＞a6a8

2．設(shè){an}是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列，bn＝an+1＋an+2，cn＝an＋an+3，則

A．bn＞cn

B．bn＜cn

C．bn≥cn

3．已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為正項等比數(shù)列，公比q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，則（）

A．a(chǎn)6＝b6 A．9 A．S4a5＜S5a4

B．a(chǎn)6＞b6 B．8 B．S4a5＞S5a4

C．a(chǎn)6＜b6 C．7 C．S4a5＝S5a4 S

(n＋32)Sn+1

1C．

D．a(chǎn)6＞b6或a6＜b6（）D．6 D．不確定（）

150

4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足５＜ak＜８，則k＝

5．已知等比數(shù)列{an}的公比q＞0，其前n項的和為Sn，則S4a5與S5a4的大小關(guān)系是（）

6．設(shè)Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，則函數(shù)f(n)＝

A．

120

B．

130

D．

7．已知y是x的函數(shù)，且lg3，lg(sinx－)，lg(1－y)順次成等差數(shù)列，則

A．y有最大值1，無最小值B．y有最小值

（）

1111

C．y有最小值，最大值1D．y有最小值－1，最大值11212

（）

Ｄ．(－∞，－1?∪?3，＋∞)

8．已知等比數(shù)列{an}中a2＝1，則其前3項的和S3的取值范圍是

Ａ．(－∞，－1?

Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)Ｃ．?3，＋∞)

9．設(shè)3b是1－a和1＋a的等比中項，則a＋3b的最大值為()

A．1（）

A．充分不必要條件 11．{an}為等差數(shù)列，若

A．11

B．必要不充分條件C．充分比要條件

D．既不充分又不必要條件

（）

B．2

C．

3D．4

10．設(shè)等比數(shù)列{an}的首相為a1，公比為q，則“a1＜0，且0＜q＜1”是“對于任意n∈N*都有an+1＞an”的a1，且它的前n項和Sn有最小值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時，n＝ a10

B．17

C．19

D．21

12．設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對任意實數(shù)x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是

1A．?，2)

B．[，2]

（）1

C．1)

D．[1]

S13．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，記Tn＝，如果存在正整數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n，Tn≤M都

n

成立．則M的最小值是__________．

14．無窮等比數(shù)列{an}中，a1＞1，|q|＜1，且除a1外其余各項之和不大于a1的一半，則q的取值范圍是________.(a＋b)

215．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是________.cd

Ａ．0

Ｂ．1

Ｃ．2

Ｄ．

416．等差數(shù)列{an}的公差d不為零，Sn是其前n項和，給出下列四個命題：①A．若d＜0，且S3＝S8，則{Sn}中，S5和S6都是

{Sn}中的最大項；②給定n，對于一定k∈N*(k＜n)，都有an?k＋an+k＝2an；③若d＞0，則{Sn}中一定有最小的項；④存在k∈N*，使ak－ak+1和ak－ak?1同號 其中真命題的序號是____________.17．已知{an}是一個等差數(shù)列，且a2＝1，a5＝－5．（Ⅰ）求{an}的通項an；（Ⅱ）求{an}前n項和Sn的最大值．

18．已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1＝1，且點(an，an+1)(n∈N*）在函數(shù)y＝x2＋1的圖象上.(Ⅰ)求數(shù)列｛an｝的通項公式；(Ⅱ)

若列數(shù)｛b｝滿足b＝1,b＝b＋2an，求證：b ·b＜b2.n

n+1

n

n

n+2

n+1

19．設(shè)數(shù)列{an}的首項a1∈(0，1)，an＝

3－an?1

n＝2，3，4，….2

（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝a3－2an，證明bn＜bn+1，其中n為正整數(shù)． 20．已知數(shù)列{an}中a1＝2，an+1＝(2－1)(an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{an}中b1＝2，bn+1＝

3bn＋4

n＝1，2，3，….2＜bn≤a4n?3，n＝1，2，3，… 2bn＋

321．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過坐標原點，其導(dǎo)函數(shù)為f?(x)＝6x－2，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N*)均在函

數(shù)y＝f(x)的圖像上.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；

1m

（Ⅱ）設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn＜對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m

20anan＋1

22．?dāng)?shù)列，?是常數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)a2??1時，求?及a3的值；（Ⅱ）2，?）?an?滿足a1?1，an?1?(n2?n??)an（n?1，數(shù)列?an?是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；（Ⅲ）求?的取值范圍，使得存在正整數(shù)m，當(dāng)n?m時總有an

一、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

（一）、利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式

?0．

利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的問題

某個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于（或小于）0時，則該單調(diào)遞增（或遞減）。因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性達到證明不等式的目的。

1、直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大

（?。瑏碜C明不等式成立。

x2例1：x>0時,求證；x?－ln(1+x)＜02、把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達到證明不等式的目的。例2：已知：a,b∈R,b>a>e, 求證:ab>b a,(e為自然對數(shù)的底)

（二）、利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值（或值域）后，再證明不等式。

導(dǎo)數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值.因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最?。┲禃r不等式都成立，可得該不等式恒成立。從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題。例

3、求證：n∈N*,n≥3時，2n >2n+1 例

4、g

x2?(b?1)2的定義域是A=[a,b)，其中a,b∈R+,a

(x)?(?1)Aax

若x1∈Ik=[k2,(k+1)2), x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2)

3、利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，再證明不等式。例5：f(x)=

3x－x, x1,x2∈[－1,1]時，求證：|f(x1)－f(x2)|≤

二、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題

不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為m>f(x)(或m

a

?(?9(a?R),對f(x)定義域內(nèi)任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范圍

x

nn?

1例

7、已知a＞0，n為正整數(shù)，（Ⅰ）設(shè)y=(x?a)，證明y??n(x?a)；

n

（Ⅱ）設(shè)fn(x)=xn－(x?a)，對任意n≥a，證明f ’n+1(n+1)＞（n+1）f ’n（n）。

例

6、已知函數(shù)f(x)

三、利用導(dǎo)數(shù)解不等式 例8：函數(shù)

?ax(a?0),解不等式f(x)≤1