第一篇：不等式證明的基本方法 經(jīng)典例題透析

經(jīng)典例題透析

類型一：比較法證明不等式

1、用作差比較法證明下列不等式：

；

(a，b均為正數(shù)，且a≠b)

（1）

（2）

思路點撥：（1）中不等號兩邊是關(guān)于a,b,c的多項式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab這樣的結(jié)構(gòu)，考慮配方來說明符號；（2）中作差后重新分組進(jìn)行因式分解。

證明：

（1）

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立，（2）

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取等號）.∵a>0, b>0, a≠b，∴a+b>0,(a-b)2>0，∴

∴

.，總結(jié)升華：作差，變形（分解因式、配方等），判斷差的符號，這是作差比較法證明不等式的常用方法。

舉一反三：

【變式1】證明下列不等式：

(1)a2+b2+2≥2(a+b)

(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)

(3)a2+b2≥ab+a+b-1

【答案】

（1）（a2+b2+2）-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0

∴a2+b2+2≥2(a+b)（2）證法同（1）

（3）2（a2+b2）-2（ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0

∴2（a2+b2）≥2（ab+a+b-1)，即a2+b2≥ab+a+b-1

【變式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求證：ax2+by2≥(ax+by)2

【答案】

ax2+by2-(ax+by)2

=ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy =a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy =ab(x-y)2≥0 ∴ax2+by2≥(ax+by)2

2、用作商比較法證明下列不等式：

(a，b均為正實數(shù)，且a≠b)，且a，b，c互不相等）

（1）

（2）（a，b，c∈

證明：

（1）∵a3+b3>0, a2b+ab2>0.∴，∵a, b為不等正數(shù)，∴

∴，∴

（2）證明：

不妨設(shè)a>b>c，則

∴

所以，總結(jié)升華：當(dāng)不等號兩邊均是正數(shù)乘積或指數(shù)式時，常用這種方法，目的是約分化簡.作商比較法的基本步驟:判定式子的符號并作商變形 判定商式大于1或等于1或小于1 結(jié)論。

舉一反三：

【變式1】已知a>2，b>2，求證：a+b2，b>2

∴

∴

∴

【變式2】已知a，b均為正實數(shù)，求證：aabb≥abba

【答案】

∵a>0, b>0, ∴ aabb與abba均為正，∴，分類討論可知（分a>b>0, a=b>0, 0

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號成立，∴ aabb≥abba.類型二：綜合法證明不等式

3、a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc 證明：

法一：由b2+c2≥2bc, a>0,得a(b2+c2)≥2abc，同理b(c2+a2)≥2abc，c(a2+b2)≥2abc

∵a,b,c不全相等，∴上述三個等號不同時成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.法二：∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，∴a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均為正數(shù)，由三個數(shù)的平均不等式得：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2)

∴不等式成立.總結(jié)升華：綜合法是由因?qū)Ч?，從已知出發(fā)，根據(jù)已有的定義、定理，逐步推出欲證的不等式成立。

舉一反三：

【變式1】a , b, m∈R+，且a

【答案】

∵00, ∴am0, ∴.【變式2】求證lg9·lg11<1.【答案】

∵lg9>0, lg11>0，∴

∴ , ∴l(xiāng)g9·lg11<1.，4、若a>b>0，求證：.思路點撥：不等號左邊是一個各項皆正的“和的形式”，但左側(cè)是兩項而右側(cè)都出現(xiàn)了特征數(shù)“3”.因此啟發(fā)我們將左側(cè)拆成3項的和利用平均值定理.證明：，∵ a>b>0, ∴a-b>0, b>0, ，∴ ，∴

舉一反三：

（當(dāng)且僅當(dāng)，即a=2，b=1的等號成立）

【變式】x, y,z∈R+, 求證：

證明：∵ x, y,z∈R+,∴ ，同理，∴ ，∴，a2-2ac+c2

5、已知a,b>0，且2c>a+b，求證：

證明：要證

只需證：

即證：

∵a>0，只需證a+b<2c

∵已知上式成立，∴原不等式成立。

總結(jié)升華：

1．分析法是從求證的不等式出發(fā)，分析使之成立的條件，把證不等式轉(zhuǎn)化為判斷這些條件是否具備的

問題，若能肯定這些條件都成立，就可斷定原不等式成立。

2．分析法在不等式證明中占有重要地位，是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。

3．基本思路：執(zhí)果索因

4.格式：要證??，只需證??，只需證??，因為??成立，所以原不等式得證。

舉一反三：

【變式1】求證：a3+b3>a2b+ab2(a，b均為正數(shù)，且a≠b)

【答案】

要證a3+b3>a2b+ab2，即證(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b)

∵a，b∈

，∴a+b>0 只需證a2+b2-ab≥ab，只需證a2+b2≥2ab 只需證(a-b)2≥0，∵(a-b)2≥0顯然成立 所以原不等式成立。

【變式2】a , b, m∈R+，且a

【答案】

∵ b>0且b+m>0，.∴，∴

成立

∴.【變式3】求證：

【答案】

要證

只需證，而，只需證，只需證，顯然成立，所以原不等式得證。

【變式4】若a>1，b>1，c>1，ab=10求證：logac+logbc≥4lgc

【答案】

要證logac+logbc≥4lgc，只需證

只需證，只需證

∵，∴成立

所以原不等式成立

【變式5】設(shè)x>0，y>0，x≠y，求證：

證明：要證

只需證，只需證

只需證

因x>0，y>0，x≠y，所以x2y2[3(x-y)2+4xy]>0成立

所以

類型四：反證法證明不等式

6、已知a,b,c∈(0,1)，求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一個不大于。

思路點撥：此題目若直接證，從何處入手？對于這樣正面情況較為復(fù)雜的問題，可以考慮使用反證法。

證明：假設(shè)原結(jié)論不成立，即，則三式相乘有：??①

又∵0

總結(jié)升華：反證法的基本思路是：“假設(shè)——矛盾——肯定”，采用反證法證明不等式時，從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過程中，每一步推理都必須是正確的。由于本題題目的結(jié)論是：三個數(shù)中“至少有一個不大于

”，情況比較復(fù)雜，會出現(xiàn)多個由異向不等式組

”，結(jié)構(gòu)簡單明了，成的不等式組，一一證明十分繁雜，而對結(jié)論的否定是三個數(shù)“都大于為推出矛盾提供了方便，故采用反證法是適宜的。

舉一反三：

【變式】已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0

【答案】

假設(shè)a≤0

若a<0，∵abc>0，∴bc<0

又由a+b+c>0，則b+c>-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0，與題設(shè)矛盾

若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可證：b>0，c>0

類型五：放縮法證明不等式

7、若a,b,c,dR+，求證：

思路點撥：記中間4個分式之和的值為m，顯然，通過通分求出m的值再與1、2比大小是困難的，可考慮運用放縮法把異分母化成同分母。

證明：記

∵a,b,c,dR+，∴

∴1

總結(jié)升華：證后半部分，還可用“糖水公式”，即

常用的放縮技巧主要有：

① f(x)為增函數(shù)，則f(x-1)

進(jìn)行放縮。

② 分式放縮如

③ 根式放縮如

舉一反三：

；

【變式1】求證：

【答案】

∴

【變式2】 當(dāng)n>2時，求證：logn(n-1)logn(n+1)<1

【答案】

∵n>2，∴l(xiāng)ogn(n-1)>0，logn(n+1)>0

∴

∴n>2時，logn(n-1)logn(n+1)<1

類型六：其他證明不等式的方法

1.構(gòu)造函數(shù)法

8、已知a>2，b>2，求證：a+b

當(dāng)a>2時，f(a)

∴a+b

總結(jié)升華：不等式證明方法很靈活。分析不等式的結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性，使問題變得非常簡單。

舉一反三：

【變式】已知a≥3，求證：

【答案】。

令（x≥0).∵f(x)在x∈[0,+∞)上是遞減函數(shù)，∴f(a-1)

2、三角換元法：

9、求證： [0,π]，證明：∵-1≤x≤1，∴令x=cos, 則

∵-1≤sin≤1，10、若x2+y2≤1，求證：

證明：設(shè)

則

11、若x>1，y>1，求證：

證明：設(shè)

則

12、已知：a>1,b>0，a-b=1，求證：

證明：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨設(shè)

則

總結(jié)升華：

①若0≤x≤1，則可令

②若x2+y2=1，則可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π)

③若x2-y2=1，則可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π)

④若x≥1，則可令，若xR，則可令

舉一反三：

【變式1】已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd

【答案】

∵x2=a2+b2，∴不妨設(shè)

∵y2=c2+d2，∴不妨設(shè)

∴

∴xy≥ac+bd

【變式2】已知x>0，y>0，2x+y=1，求證：

【答案】

由x>0,y>0，2x+y=1，可設(shè)

則

類型六：一題多證

13、若a>0，b>0，求證：

思路點撥：由于a>0，b>0，所以求證的不等式兩邊的值都大于零，本題用作差法，作商法和綜合法，分析法給出證明。

證明：

證法一：作差法

∵a,b>0，∴a+b>0,ab>0

∴

證法二：作商法，得證。

∵a>0,b>0,∴a+b>0，∴得證。

證法三：分析法

要證，只需證a3+b3≥(a+b)ab

只需證(a+b)(a2-ab+b2)≥(a+b)ab(∵a+b>0)

只需證a2-ab+b2≥ab

只需證(a-b)2≥0

∵(a-b)2≥0成立，∴得證 證法四：綜合法

∵a>0,b>0，∴同向不等式相加得：

舉一反三：

【變式】已知

【答案】

證法一：

都是實數(shù)，且求證：，同理

證法二： 即

.證法三：

要證

所以原不等式成立.證法四：

原不等式等價于不等式

用比較法證明

且

，只需證

只需證

又

所以

證法五：

設(shè)

則

即

故可考慮用三角換元法.證法六：

用向量的數(shù)量積來證明

設(shè)，

第二篇：不等式的證明方法經(jīng)典例題

不等式的證明方法

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點，證明方法多種多樣，近幾年高考出現(xiàn)較為形式較為活躍，證明中經(jīng)常需與函數(shù)、數(shù)列的知識綜合應(yīng)用，靈活的掌握運用各種方法是學(xué)好這部分知識的一個前提，下面我們將證明中常見的幾種方法作一列舉。

a2?b2a?b注意a?b?2ab的變式應(yīng)用。常用(其中a,b?R?)來解決有?2222關(guān)根式不等式的問題。

一、比較法

比較法是證明不等式最基本的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑。

1、已知a,b,c均為正數(shù)，求證：

111111????? 2a2b2ca?bb?cc?a

二、綜合法

綜合法是依據(jù)題設(shè)條件與基本不等式的性質(zhì)等，運用不等式的變換，從已知條件推出所要證明的結(jié)論。

2、a、b、c?(0,??)，a?b?c?1，求證：

4a2?b2?c2?4413

3、設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，求證：a?b?c?abc(a?b?c)

4、知a,b,c?R，求證:

a2?b?2b2?c?2c2?a?2(a?b?c)

211(1?)(1?)?9xy5、x、y?(0,??)且x?y?1，證：。

6、已知a,b?R,a?b?1求證：?1????1??1?1??1???.a??b?9

三、分析法

分析法的思路是“執(zhí)果索因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。

7、已知a、b、c為正數(shù)，求證：

2(a?ba?b?c3?ab)?3(?abc)23

8、a、b、c?(0,??)且a?b?c?1，求證a?b?c?3。

四、換元法

換元法實質(zhì)上就是變量代換法，即對所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作適當(dāng)?shù)淖儞Q，以達(dá)到化難為易的目的。

9、b?1，求證：ab?(1?a2)(1?b2)?1。

22x?y?1，求證：?2?x?y?210、114??.a?bb?ca?c1222212、已知1≤x＋y≤2，求證：≤x－xy＋y≤3．

211、已知a>b>c,求證：

13、已知x－2xy＋y≤2，求證：| x＋y |≤10．

14、解不等式5?x?221x?1＞

2215、－1≤1?x－x≤2．

五、增量代換法

在對稱式(任意互換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量進(jìn)行代換，代換的目的是減少變量的個數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡．

16、已知a，b?R，且a＋b = 1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥

六、利用“1”的代換型

2225． 2111已知a,b,c?R?,且 a?b?c?1,求證： ???9.abc17、七、反證法

反證法的思路是“假設(shè)?矛盾?肯定”，采用反證法時，應(yīng)從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過程中，每一步推理必須是正確的。

18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求證：p＋q≤2．證明：反證法 33119、已知a、b、c?（0，1），求證：(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a，不能均大于4。

20、已知a,b,c∈（0，1），求證：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a 不能同時大于

1。

421、a、b、c?R，a?b?c?0，ab?bc?ca?0，a?b?c?0，求證：a、b、c均為正數(shù)。

八、放縮法

放縮時常用的方法有：1去或加上一些項2分子或分母放大（或縮?。?用函數(shù)單調(diào)性放縮4用已知不等式放縮

22、已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：1＜＜2．

bdac＋＋＋

a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b23、n?N，求證：*2(n?1?1)?1?12?13???1n?2n?1。

24、A、B、C為?ABC的內(nèi)角，x、y、z為任意實數(shù)，求證：x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC。

證

九、構(gòu)造函數(shù)法

構(gòu)造函數(shù)法證明不等式24 設(shè)0≤a、b、c≤2，求證：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．

25、設(shè)a、b∈R，且a＋b =1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥?222225． 226、設(shè)a＞0，b＞0，a＋b = 1，求證：2a?1＋2b?1≤22． 1．實數(shù)絕對值的定義:

|a|=

這是去掉絕對值符號的依據(jù)，是解含絕對值符號的不等式的基礎(chǔ)。

2．最簡單的含絕對值符號的不等式的解。

若a>0時，則

|x|

|x|>a x<-a或x>a。

注:這里利用實數(shù)絕對值的幾何意義是很容易理解上式的，即|x|可看作是數(shù)軸上的動點P(x)到原點的距離。

3．常用的同解變形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；

|f(x)|<|g(x)| f2(x)

4．三角形不等式:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

第三篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明的常用方法經(jīng)典例題

關(guān)于不等式證明的常用方法

(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證

(2)綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法換元法主要放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法 典型題例

例1證明不等式1?

12?1

3???1

n?2n(n∈N*)知識依托 本題是一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等 例2求使x?y≤ax?y(x＞0，y＞0)恒成立的a 知識依托 該題實質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出來，等價轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1求證(a+11)(b+)ba證法一(分析綜合法）證法二(均值代換法)證法三(比較法）證法四(綜合法)證法五(三角代換法）鞏固練習(xí)已知x、y是正變數(shù),a、b是正常數(shù),且ab?=1，x+y的最小值為xy設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，則ad與bc的大小關(guān)系是 若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、q的大小順序是__________ 已知a，b，c為正實數(shù)，a+b+c=1求證1(2)a?2?3b?2?c?2≤6

312已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2= x，y，z∈［0，］ 23(1)a2+b2+c2≥證明下列不等式b?c2c?a2a?b2z≥2(xy+yz+zx)x?y?abc

y?zz?xx?y111??(2)若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，則≥2(??)xyzxyz(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，則

已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n(1)證明 niAi

m＜miAi

n(2)(1+m)n＞(1+n)m

若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求證 a+b≤2，ab≤1不等式知識的綜合應(yīng)用

典型題例

例1用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)設(shè)容器高為h米，蓋子邊長為a米，(1)求a關(guān)于h的解析式；(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時，V最大？求出V的最大值(求解本題時，不計容器厚度)

知識依托本題求得體積V的關(guān)系式后，應(yīng)用均值定理可求得最值

例2已知a，b，c是實數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當(dāng)－1≤x≤1時|f(x)|≤

1(1)|c|≤1；

(2)當(dāng)－1 ≤x≤1時，|g(x)|≤2；

(3)設(shè)a＞0，有－1≤x≤1時，g(x)的最大值為2，求f(x)

知識依托 二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，絕對值不等式

例3設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的兩個根x1、x2滿足0＜x1＜x2(1)當(dāng)x∈［0，x1)時，證明x＜f(x)＜x1；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，證明 x0＜

x

1鞏固練習(xí)

定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間［0，+∞)的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a＞b＞0，給出下列不等

式，其中正確不等式的序號是()

①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)①③

B②④

C①④

②③

下列四個命題中①a+b≥

2ab②sin2x+

4≥4③設(shè)x，y都是正數(shù)，若則x+y的最小值是12④?=1，2

xysinx

若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，則|x－y|＜2ε，其中所有真命題的序號是__________

已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，設(shè)方程f(x)=x的兩實數(shù)根為x1，x2

(1)如果x1＜2＜x2＜4，設(shè)函數(shù)f(x)的對稱軸為x=x0，求證x0＞－1；(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值范圍

設(shè)函數(shù)f(x)定義在R上，對任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且當(dāng)x＞0時，0＜f(x)＜

1(1)f(0)=1，且當(dāng)x＜0時，f(x)＞1；

(2)f(x)在R上單調(diào)遞減；

(3)設(shè)集合A={(x，y)|f(x2)·f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=?，求a的取值范圍

2x2?bx?c

已知函數(shù)f(x)=(b＜0)的值域是［1，3］，2x?1

(1)求b、c的值；

(2)判斷函數(shù)F(x)=lgf(x)，當(dāng)x∈［－1，1］時的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)若t∈R，求證 lg

711≤F(|t－|－|t+|)≤566數(shù)列與不等式的交匯題型分析及解題策略

【命題趨向】

數(shù)列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現(xiàn)，試題還可能涉及到與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)等知識綜合一起考查.主要考查知識數(shù)列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用.【典例分析】

題型一 求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問題

求得數(shù)列與不等式結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：(1)若函數(shù)f(x)在定義域為D，則當(dāng)x∈D時，有f(x)≥M恒成立?f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立?f(x)max≤M；(2)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識化簡不等式，再通過解不等式解得.11

1【例1】等比數(shù)列{an}的公比q＞1，第17項的平方等于第24項，求使a1＋a2＋…＋an＞…恒成立的正整數(shù)n的取

a1a2an值范圍.【例2】（08·全國Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．

(Ⅰ)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．【點評】 一般地，如果求條件與前n

項和相關(guān)的數(shù)列的通項公式，則可考慮Sn與an的關(guān)系求解

題型二 數(shù)列參與的不等式的證明問題

此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴(kuò)大或縮小、項數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的.【例3】 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；(Ⅱ)設(shè)p、q都是正整

1數(shù)，且p≠q，證明：Sp+q＜(S2p＋S2q)．【點評】 利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對作差后的式子進(jìn)行變形，途徑主要有：（1）

2因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.【例4】(08·安徽高考)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈N*，其中c為實數(shù).(Ⅰ)證明：an∈[0，1]對任意n∈N*11成立的充分必要條件是c∈[0，1]；(Ⅱ)設(shè)0＜c＜，證明：an≥1－(3c)n?1，n∈N*；（Ⅲ）設(shè)0＜c＜，證明：a12＋a22＋…＋an

2332

＞n＋1－n∈N*.1－3c

題型三 求數(shù)列中的最大值問題

求解數(shù)列中的某些最值問題，有時須結(jié)合不等式來解決，其具體解法有：(1)建立目標(biāo)函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；(2)首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；(3)利用條件中的不等式關(guān)系確定最值.【例5】(08·四川)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為______.【例6】 等比數(shù)列{an}的首項為a1＝2002，公比q＝－．(Ⅰ)設(shè)f(n)表示該數(shù)列的前n項的積，求f(n)的表達(dá)式；(Ⅱ)當(dāng)n

取何值時，f(n)有最大值．

題型四 求解探索性問題

數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.【例7】 已知{an}的前n項和為Sn，且an＋Sn＝4.(Ⅰ)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(Ⅱ)是否存在正整數(shù)k，使

【點評】在導(dǎo)出矛盾時須注意條件“k∈N*”，這是在解答數(shù)列問題中易忽視的一個陷阱.【例8】(08·湖北)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1＝λ，an+1＝n＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ為實數(shù)，n為正整

3數(shù).（Ⅰ）對任意實數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）設(shè)0＜a＜b,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由.數(shù)列與不等式命題新亮點

例1 把數(shù)列一次按第一個括號一個數(shù),按第二個括號兩個數(shù),按第三個括號三個數(shù),按第四個括號一個數(shù)?,循環(huán)分為(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23)?,則第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為_____.點評:恰當(dāng)?shù)姆纸M,找到各數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是解決之道.此外,這種題對觀察能力有較高的要求.例2 設(shè)A.bn

Sk+1－2

＞2成立.Sk－2

?an?是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列, bn?an?1?an?2,cn?an?an?3,則()

S

?cnB.bn?cnC.bn?cnD.bn?cn

點評:此題較易入手,利用作差法即可比較大小,考察數(shù)列的遞推關(guān)系.例3 若對x?(??,?1],不等式(m

?m)2x?()x?1恒成立,則實數(shù)m的取值范圍()

A

B

D

A.(?2,3)B.(?3,3)C.(?2,2)D.(?3,4)

例4四棱錐S-ABCD的所有棱長均為1米,一只小蟲從S點出發(fā)沿四棱錐的棱爬行,若在每一頂點處選擇不同的棱都是等可能的.設(shè)小蟲爬行n米后恰好回到S點的概率為Pn(1)求P2、P3的值;(2)求證: 3Pn?1?Pn

例5 已知函數(shù)

?1(n?2,n?N)(3)求證: P2?P3???Pn>6n?5(n?2,n?N)

4f?x??x2?x.(1)數(shù)列

?an?滿足: a1?0,an?1?f??an?,若?

1?對任意的n?N恒成立,試求a1的取值范圍;2i?11?ai,Sk為數(shù)列?cn?的前k項和, Tk為數(shù)列?cn?的1?bn

n

(2)數(shù)列

?bn?滿足: b1?1,bn?1?f?bn??n?N?,記cn?

Tk7

?.?10k?1Sk?Tk

n

前k項積,求證

例6(1)證明: ln

?1?x??x(x?0)(2)數(shù)列?an?中.a1?1,且an???1?

?1?1

a??n?2?;?n?1

2n?1?n

2①證明: an【專題訓(xùn)練】

?

7?n?2?②an?e2?n?1? 4

aaD．a(chǎn)6a8（）D．bn≤cn

（）

1．已知無窮數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，則有

aaA．＜

a6a8

aaB．

a6a8

aaC．＞a6a8

2．設(shè){an}是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列，bn＝an+1＋an+2，cn＝an＋an+3，則

A．bn＞cn

B．bn＜cn

C．bn≥cn

3．已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為正項等比數(shù)列，公比q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，則（）

A．a(chǎn)6＝b6 A．9 A．S4a5＜S5a4

B．a(chǎn)6＞b6 B．8 B．S4a5＞S5a4

C．a(chǎn)6＜b6 C．7 C．S4a5＝S5a4 S

(n＋32)Sn+1

1C．

D．a(chǎn)6＞b6或a6＜b6（）D．6 D．不確定（）

150

4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足５＜ak＜８，則k＝

5．已知等比數(shù)列{an}的公比q＞0，其前n項的和為Sn，則S4a5與S5a4的大小關(guān)系是（）

6．設(shè)Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，則函數(shù)f(n)＝

A．

120

B．

130

D．

7．已知y是x的函數(shù)，且lg3，lg(sinx－)，lg(1－y)順次成等差數(shù)列，則

A．y有最大值1，無最小值B．y有最小值

（）

1111

C．y有最小值，最大值1D．y有最小值－1，最大值11212

（）

Ｄ．(－∞，－1?∪?3，＋∞)

8．已知等比數(shù)列{an}中a2＝1，則其前3項的和S3的取值范圍是

Ａ．(－∞，－1?

Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)Ｃ．?3，＋∞)

9．設(shè)3b是1－a和1＋a的等比中項，則a＋3b的最大值為()

A．1（）

A．充分不必要條件 11．{an}為等差數(shù)列，若

A．11

B．必要不充分條件C．充分比要條件

D．既不充分又不必要條件

（）

B．2

C．

3D．4

10．設(shè)等比數(shù)列{an}的首相為a1，公比為q，則“a1＜0，且0＜q＜1”是“對于任意n∈N*都有an+1＞an”的a1，且它的前n項和Sn有最小值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時，n＝ a10

B．17

C．19

D．21

12．設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對任意實數(shù)x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是

1A．?，2)

B．[，2]

（）1

C．1)

D．[1]

S13．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，記Tn＝，如果存在正整數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n，Tn≤M都

n

成立．則M的最小值是__________．

14．無窮等比數(shù)列{an}中，a1＞1，|q|＜1，且除a1外其余各項之和不大于a1的一半，則q的取值范圍是________.(a＋b)

215．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是________.cd

Ａ．0

Ｂ．1

Ｃ．2

Ｄ．

416．等差數(shù)列{an}的公差d不為零，Sn是其前n項和，給出下列四個命題：①A．若d＜0，且S3＝S8，則{Sn}中，S5和S6都是

{Sn}中的最大項；②給定n，對于一定k∈N*(k＜n)，都有an?k＋an+k＝2an；③若d＞0，則{Sn}中一定有最小的項；④存在k∈N*，使ak－ak+1和ak－ak?1同號 其中真命題的序號是____________.17．已知{an}是一個等差數(shù)列，且a2＝1，a5＝－5．（Ⅰ）求{an}的通項an；（Ⅱ）求{an}前n項和Sn的最大值．

18．已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1＝1，且點(an，an+1)(n∈N*）在函數(shù)y＝x2＋1的圖象上.(Ⅰ)求數(shù)列｛an｝的通項公式；(Ⅱ)

若列數(shù)｛b｝滿足b＝1,b＝b＋2an，求證：b ·b＜b2.n

n+1

n

n

n+2

n+1

19．設(shè)數(shù)列{an}的首項a1∈(0，1)，an＝

3－an?1

n＝2，3，4，….2

（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝a3－2an，證明bn＜bn+1，其中n為正整數(shù)． 20．已知數(shù)列{an}中a1＝2，an+1＝(2－1)(an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{an}中b1＝2，bn+1＝

3bn＋4

n＝1，2，3，….2＜bn≤a4n?3，n＝1，2，3，… 2bn＋

321．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為f?(x)＝6x－2，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N*)均在函

數(shù)y＝f(x)的圖像上.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；

1m

（Ⅱ）設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn＜對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m

20anan＋1

22．?dāng)?shù)列，?是常數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)a2??1時，求?及a3的值；（Ⅱ）2，?）?an?滿足a1?1，an?1?(n2?n??)an（n?1，數(shù)列?an?是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；（Ⅲ）求?的取值范圍，使得存在正整數(shù)m，當(dāng)n?m時總有an

一、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

（一）、利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式

?0．

利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的問題

某個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于（或小于）0時，則該單調(diào)遞增（或遞減）。因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的。

1、直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大

（?。?，來證明不等式成立。

x2例1：x>0時,求證；x?－ln(1+x)＜02、把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的。例2：已知：a,b∈R,b>a>e, 求證:ab>b a,(e為自然對數(shù)的底)

（二）、利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值（或值域）后，再證明不等式。

導(dǎo)數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值.因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最?。┲禃r不等式都成立，可得該不等式恒成立。從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題。例

3、求證：n∈N*,n≥3時，2n >2n+1 例

4、g

x2?(b?1)2的定義域是A=[a,b)，其中a,b∈R+,a

(x)?(?1)Aax

若x1∈Ik=[k2,(k+1)2), x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2)

3、利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，再證明不等式。例5：f(x)=

3x－x, x1,x2∈[－1,1]時，求證：|f(x1)－f(x2)|≤

二、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題

不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為m>f(x)(或m

a

?(?9(a?R),對f(x)定義域內(nèi)任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范圍

x

nn?

1例

7、已知a＞0，n為正整數(shù)，（Ⅰ）設(shè)y=(x?a)，證明y??n(x?a)；

n

（Ⅱ）設(shè)fn(x)=xn－(x?a)，對任意n≥a，證明f ’n+1(n+1)＞（n+1）f ’n（n）。

例

6、已知函數(shù)f(x)

三、利用導(dǎo)數(shù)解不等式 例8：函數(shù)

?ax(a?0),解不等式f(x)≤1

第四篇：證明不等式的基本方法

證明不等式的基本方法

一、比較法

(1)作差比較法

3322【例1】已知a,b都是正數(shù)，且a?b，求證：a?b?ab?ab

【1-1】 已知a?b，求證：a3?b3?ab(a?b)

【1-2】已知a?b，求證：a4?6a2b2?b4?4ab(a2?b2)

(2)作商比較法

abba【例2】已知a,b都是正數(shù)，求證：ab?ab，當(dāng)且僅當(dāng)a?b時，等號成立.【2-1】已知a,b,c都是正數(shù)，求證：abc

二、綜合法與分析法

(1)綜合法

【例3】已知a,b,c?0,且不全相等，求證：a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

【3-1】已知a1,a2,...,an?R?，且a1a2...an?1, 求證：(1?a1)(1?a2)...(1?an)?21 n2222222a2b2c?ab?cba?cca?b.【3-2】已知a,b,c?R?，用綜合法證明：

(1)(ab?a?b?1)?(ab?ac?bc?c2)?16abc；(2)2(a3?b3?c3)?a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)

(2)分析法

【例4】設(shè)x?0,y?0，且x?y?1.求證：

【4-1】已知a,b,c是不全相等的正數(shù).求證：

三、反證法與放縮法(1)反證法

【例5】已知x,y?0,，且x?y?2,，試證：

【5-1】設(shè)0?a,b,c?1，證明：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不能都大于

1???8 xyxy

bcacab???a?b?c abc

1?x1?y,中至少有一個小于2.yx

(2)放縮法

【例6】用放縮法證明不等式 ：

【6-1】用放縮法證明不等式 ：

【6-2】用放縮法證明不等式 ：

1)?1

1111???...??1(m?1,m?N*)2m?1m?22m

11111n?1??2?2?...?2?(n?2,3,4,...)2n?123nn

...??n?N*?(n?1)

2(n?N*)【6-3】用放縮法證明不等式 ：

...?2

四、數(shù)學(xué)歸納法

11S?(a?).【例7】在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項和Sn滿足nn

2an

（1）求a1,a2,a3；（2）由（1）猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。

【7-1】.已知數(shù)列{an}前n項和為Sn??an?()

n?1

?2(n?N*).(1)令bn?2nan，求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式；(2)設(shè)cn?

【7-1】已知各項為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an?1?2an?anan?1，a2?a4?2a3?4.n?15n

an，且{cn}的前n項和為Tn，試比較Tn與的大小，并予以證明.n2n?1

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)令bn?an2，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，試比較并予以證明.Tn?1?122log2bn?1?2

與的大小，2log2bn?14Tn

第五篇：證明基本不等式的方法

2.2 證明不等式的基本方法——分析法與綜合法

●教學(xué)目標(biāo)：

1、理解綜合法與分析法證明不等式的原理和思維特點.2、理解綜合法與分析法的實質(zhì)，熟練掌握分析法證明不等式的方法與步驟.●教學(xué)重點：綜合法與分析法證明不等式的方法與步驟

●教學(xué)難點：綜合法與分析法證明不等式基本原理的理

●教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1、復(fù)習(xí)比較法證明不等式的依據(jù)和步驟？

2、今天學(xué)習(xí)證明不等式的基本方法——分析法與綜合法

二、講授新課：

1、綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法 綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чā?/p>

用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：例

1、已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：.分析：觀察題目，不等式左邊含有“a2+b2”的形式，我們可以創(chuàng)設(shè)運用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右邊有三正數(shù)a,b,c的“積”，我們可以創(chuàng)設(shè)運用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教師引導(dǎo)學(xué)生，完成證明）

解：∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性質(zhì)定理4，得a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③

因為a,b,c為不全相等的正數(shù)，所以以上三式不能全取“=”號，從而①,②,③三式也不能全取“=”號.由不等式的性質(zhì)定理3的推論，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.點評：（1）綜合法的思維特點是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。基本不等式以及一些已經(jīng)得證的不等式往往與待證的不等式有著這樣或那樣的聯(lián)系,作由此及彼的聯(lián)想往往能啟發(fā)我們證明的方向.嘗試時貴在聯(lián)想，浮想聯(lián)翩，思潮如涌。

（2）在利用綜合法進(jìn)行不等式證明時，要善于直接運用或創(chuàng)設(shè)條件運用基本不等式，其中拆項、并項、分解、組合是變形的重要技巧.變式訓(xùn)練：已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證： 例

2、已知 且，求證： 分析：觀察要證明的結(jié)論，左邊是 個因式的乘積，右邊是2的 次方，再結(jié)合，發(fā)現(xiàn)如果能將左邊轉(zhuǎn)化為 的乘積，問題就能得到解決。

2、分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實（定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法 這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法。

①用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是： ②分析法論證“若A則B”這個命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要證明命題B1為真，從而有……這只需要證明命題B2為真，從而又有……這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故B必真。

例3． 求證： 分析：觀察結(jié)構(gòu)特點，可以利用分析法。

點評：①分析法的思維特點是：執(zhí)果索因.對于思路不明顯,感到無從下手的問題宜用分析法探究證明途徑.另外,不等式的基本性質(zhì)告訴我們可以對不等式做這樣或那樣的變形,分析時貴在變形,不通思變,變則通!

②證明某些含有根式的不等式時,用綜合法比較困難，常用分析法.③在證明不等式時,分析法占有重要的位置.有時我們常用分析法探索證明的途徑,然后用綜

合法的形式寫出證明過程,這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.例

4、已知，求證： 分析：要證的不等式可以化為 即 觀察上式，左邊各項是兩個字母的平方之積，右邊各項涉及三個字母，可以考慮用

三、課堂練習(xí)：

1、已知a,b,c,d∈R,求證：ac+bd≤ 分析一：用分析法

證法一：(1)當(dāng)ac+bd≤0時,顯然成立(2)當(dāng)ac+bd>0時,欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即證2abcd≤b2c2+a2d2即證0≤(bc-ad)

2因為a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二：用綜合法 證法二：(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)

2∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd故命題得證 分析三：用比較法

證法三：∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤ 點評：用分析法證明不等式的關(guān)鍵是,尋求不等式成立的充分條件.因此,經(jīng)常要對原不等式進(jìn)行化簡,常用的方法有:平方、合并、有理化、去分母等,但要注意所做這些變形是否可以逆推,若不能逆推,則不可使用.2、已知 且 求證：（分析法）

四、課堂小結(jié)：

綜合法與分析法證明不等式的方法與步驟

五、課后作業(yè)：

課本P25—26習(xí)題2.2—2,3,4,5,6,7,8,9