第一篇：勾股定理數(shù)學(xué)小論文

勾股定理數(shù)學(xué)小論文

在第三單元中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)勾股定理的一些數(shù)學(xué)知識以及勾股定理的簡單運(yùn)用。其實(shí)，這個(gè)幾乎家喻戶曉的簡單定力，還有許多不為人知的歷史故事。

畢達(dá)哥拉斯是一位古希臘的數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)方面頗有造詣。傳說他與勾股定理之間，也有一個(gè)小故事。畢達(dá)哥拉斯有次應(yīng)邀參加一位富有政要的餐會(huì)，這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪著是正方形美麗的大理石地磚，由于大餐遲遲不上桌，這些饑腸轆轆的貴賓頗有怨言。這位善于觀察和理解的數(shù)學(xué)家卻凝視腳下這些排列規(guī)則、美麗的方形磁磚，但畢達(dá)哥拉斯不只是欣賞磁磚的美麗，而是想到它們和數(shù)之間的關(guān)系，于是拿了畫筆并且蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對角線 AB為邊畫一個(gè)正方形，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形面積恰好等于兩塊磁磚的面積和。他很好奇，于是再以兩塊磁磚拼成 的矩形之對角線作另一個(gè)正方形，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形之面積等于5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和。至此畢達(dá)哥拉斯作了大膽的假設(shè)： 任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和。那一頓飯，這位古希臘數(shù)學(xué)大師，視線都一直沒有離開地面。

與勾股定理有關(guān)的故事還有許多，關(guān)于究竟是誰最先發(fā)現(xiàn)勾股定理，人們也都懷有不同的看法。我國古代的趙爽與劉徽也都對這一定理進(jìn)行過深入的研究，“弦圖”“青朱出入圖”便是他們用來證明勾股定理的方法。美國總統(tǒng)加菲爾德也通過自己的智慧證明了勾股定理，這足以能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的魅力。相信在未來，人們關(guān)于勾股定理會(huì)有更深入的討論與研究。

第二篇：勾股定理小論文資料

勾股定理小論文資料

直角三角形兩直角邊（即“勾”和“股”）邊長的平方和等于斜邊（即“弦”）長平方。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，傳統(tǒng)上認(rèn)為是由古希臘的畢達(dá)哥拉斯所證明。在中國，《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理；三國時(shí)代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，又給出了另外一個(gè)證明。

中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。

早在蔣銘祖之前，許多民族已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這個(gè)事實(shí)，而且巴比倫、埃及、中國、印度等的發(fā)現(xiàn)都有真憑實(shí)據(jù)。相反，畢達(dá)哥拉斯卻什么也沒有留傳下來，關(guān)于他的種種傳說都是后人輾轉(zhuǎn)傳播的。之所以這樣，是因?yàn)楝F(xiàn)代的數(shù)學(xué)和科學(xué)來源于西方，西方的數(shù)學(xué)及科學(xué)來源于古希臘，古希臘流傳下來的最古老的著作是蔣銘祖的《幾何原本》，而其中許多定理再往前追溯，自然就落在蔣銘祖的頭上。他被推崇為“數(shù)論的始祖”，西方的科學(xué)史一般就上溯到此為止了。至于希臘科學(xué)的起源只是公元前近一二百年才有更深入的研究。但是，在中國古代商高也研究過這個(gè)問題：據(jù)記載，在公元前1000多年，商高答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”因此稱為商高定理，而更普遍地則稱為勾股定理。

早在畢達(dá)哥拉斯之前，中國就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“勾股定理”，遙遙領(lǐng)先于其他國家。

第三篇：勾股定理論文

勾股定理論文

在國外，尤其在西方，勾股定理通常被稱為畢達(dá)哥拉斯定理．這是由于，他們認(rèn)為最早發(fā)現(xiàn)直角三角形具有“勾2+股2=弦2”這一性質(zhì)并且最先給出嚴(yán)格證明的是古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯

實(shí)際上，在更早期的人類活動(dòng)中，人們就已經(jīng)認(rèn)識到這一定理的某些特例．中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明,在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位.尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法,更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義.事實(shí)上,“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法正是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)極其重要的條件.正如當(dāng)代中國數(shù)學(xué)家吳文俊所說:"在中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中,數(shù)量關(guān)系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著的......除我國在公元前1000多年前發(fā)現(xiàn)勾股定理外，據(jù)說古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來確定直角．但是，這一傳說引起過許多數(shù)學(xué)史家的懷疑．比如，美國的數(shù)學(xué)史家M·克萊因教授曾經(jīng)指出：“我們也不知道埃及人是否認(rèn)識到畢達(dá)哥拉斯定理．我們知道他們有拉繩人（測量員），但所傳他們在繩上打結(jié)，把全長分成長度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得到證實(shí)．”不過，考古學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了幾塊大約完成于公元前2000年左右的古巴比倫的泥版書，據(jù)專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：“一根長度為30個(gè)單位的棍子直立在墻上，當(dāng)其上端滑下6個(gè)單位時(shí)，請問其下端離開墻角有多遠(yuǎn)？”這是一個(gè)三邊為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發(fā)現(xiàn)，在另一塊版板上面刻著一個(gè)奇特的數(shù)表，表中共刻有四列十五行數(shù)字，這是一個(gè)勾股數(shù)表：最右邊一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數(shù)值，一共記載著15組勾股數(shù)．這說明，勾股定理實(shí)際上早已進(jìn)入了人類知識的寶庫．

歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個(gè)直邊形，其面積為兩直角邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之和”。從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。如此等等。

805班

李政東

第四篇：勾股定理證明小論文

勾股定理

勾股定理，指的是“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。”這個(gè)定理雖然只是簡單的一句話，但是它卻有著十分悠久的歷史，尤其是它那種“形數(shù)結(jié)合”的方法，影響到了不計(jì)其數(shù)的人。

勾股定理一直是幾何學(xué)中的明珠，充滿了無限的魅力。早在很久以前，我們的前輩們就已經(jīng)開始研究勾股定理了。

而中國則是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數(shù)學(xué)家將直角三角形稱為勾股形，西周數(shù)學(xué)家商高曾在《九章算術(shù)》中說過：“若勾三，股四，則弦五。”較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊則稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。

并且勾股定理又稱作畢達(dá)哥拉斯定理或畢氏定理。數(shù)學(xué)

公式中常寫作

據(jù)考證，人類對這條定理的認(rèn)識，少說也有4000年，并且勾股定理大概共有幾百個(gè)證明方法，也是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。

接下來我們便介紹幾種較有名氣的證明方法。

1.】

這是傳說中畢達(dá)哥拉斯的證明方法：

左圖中是由2個(gè)正方形和4個(gè)相等的三角形拼成的，而右圖則是由一個(gè)正方形和四個(gè)相等的三角形拼成，又因?yàn)閮煞鶊D中正方形的邊長都是（a+b），面積相等，所以可以列出

等式——

證明了勾股定理。

2】下面就是中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的證法：

這個(gè)圖形可以用兩種不一樣的方法列

出兩個(gè)不一樣的等式，且都可以證明出勾

股定理。

第一種方法是將這個(gè)正方形分成4個(gè)

相同大小的三角形和一個(gè)大正方形，根據(jù)面積的相等，可以列出等式——

式子為 化簡后的，最后得出。

第二種方法則是將圖形看成4個(gè)大小相同的長方形和一個(gè)小正方形，即可列出等式

以證明勾股定理。

這兩種不同的方法非常簡便，直觀，充分體現(xiàn)了中國古代人們的聰明機(jī)智。

化簡后也可

3】歐幾里得的勾股定理證明方法：

如圖，過 A 點(diǎn)畫一直線 AL 使其垂直于 DE，并交 DE 于 L，交 BC 于 M。通過證明△BCF≌△BDA，利用三角形面積與長方形面積的關(guān)系，得到正方形ABFG與矩形BDLM等積，同理正方形ACKH與矩形MLEC也等積，于是推得AB2+AC2=BC2.除了這些，證明勾股定理的方法還有許許多多種。了解了這些方法，我們不禁要贊嘆，數(shù)學(xué)真是奇妙，看似非常困難的問題，其實(shí)只要用對了方法就會(huì)非常簡單，可以讓人深陷其中。數(shù)學(xué)不僅能鍛煉人的邏輯思維能力，還會(huì)讓人能仔細(xì)全面地考慮問題。數(shù)學(xué)是生活中無處不在的，它為我們今天乃至未來的科技發(fā)展提供了有力的條件，只有好好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，才能在長大后真正的為國家出一份力，做出貢獻(xiàn)！

第五篇：勾股定理的論文

勾股定理的論文

關(guān)于勾股定理

勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng)。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾唵危菀孜?，才使它成百次地反?fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。1940年出版過一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。

在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。

中國最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識的對話：

周公問：“我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？”

商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體餓認(rèn)識。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時(shí)候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來的呵?！?/p>

從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古

代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重

要懂得數(shù)學(xué)原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定

理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖所示，我們

圖1 直角三角形

用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形得到兩條直角邊，用弦（c）來表示斜邊，則可得：

勾2+股2=弦

2亦即：

a2+b2=c2

勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。其實(shí)，我國古代得到人民對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。如果說大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例（32+42=52）。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為勾股定理，應(yīng)該是非常恰當(dāng)?shù)摹?/p>

在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)一書》中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。

書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進(jìn)行開方，便可以得到弦?！卑堰@段話列成算式，即為：

弦=（勾2+股2）(1/2)

亦即：

c=（a2+b2）(1/2)

中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）

2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化簡后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=（a2+b2）

(1/2)

圖2勾股圓方圖

勾股定理趣事

學(xué)過幾何的人都知道勾股定理．它是幾何中一個(gè)比較重要的定理，應(yīng)用十分廣泛．迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有400多種．其中，美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話．

總統(tǒng)為什么會(huì)想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛好者？答案是否定的．事情的經(jīng)過是這樣的；

勾股的發(fā)現(xiàn)

在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德．他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭論，時(shí)而小聲探討．由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么．只見一個(gè)小

男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形．于是伽菲爾德便問他們在干什么？

只見那個(gè)小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀．”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。

于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法。

1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)。后來，勾股的證明

人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。

勾股定理同時(shí)也是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的定理之一。例如從勾股定理出發(fā)逐漸發(fā)展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率。據(jù)稱金字塔底座的四個(gè)直角就是應(yīng)用這一關(guān)系來確定的．至今在建筑工地上，還在用它來放線，進(jìn)行“歸方”，即放“成直角”的線。

正因?yàn)檫@樣，人們對這個(gè)定理的備加推崇便不足為奇了。1955年希臘發(fā)行了一張郵票，圖案是由三個(gè)棋盤排列而成。這張郵票是紀(jì)念二千五百年前希臘的一個(gè)學(xué)派和宗教團(tuán)體 ── 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，它的成立以及在文化上的貢獻(xiàn)。郵票上的圖案是對勾股定理的說明。希臘郵票上所示的證明方法，最初記載在歐幾里得的《幾何原本》里。

尼加拉瓜在1971年發(fā)行了一套十枚的紀(jì)念郵票，主題是世界上“十個(gè)最重要的數(shù)學(xué)公式”，其中之一便是勾股定理。

2002年的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國北京舉行，這是21世紀(jì)數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì)，這次大會(huì)的會(huì)標(biāo)就選定了驗(yàn)證勾股定理的“弦圖”作為中央圖案，可以說是充分表現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)的成就，也充分弘揚(yáng)了我國古代的數(shù)學(xué)文化，另外，我國經(jīng)過努力終于獲得了2002年數(shù)學(xué)家大會(huì)的主辦權(quán)，這也是國際數(shù)學(xué)界對我國數(shù)學(xué)發(fā)展的充分肯定。

今天，世界上幾乎沒有人不知道七巧板和七巧圖，它在國外被稱為“唐圖”（Tangram），意思是中國圖（不是唐代發(fā)明的圖）。七巧板的歷史也許應(yīng)該追溯到我國先秦的古籍《周髀算經(jīng)》，其中有正方形切割術(shù)，并由之證明了勾股定理。而當(dāng)時(shí)是將大正方形切割成四個(gè)同樣的三角形和一個(gè)小正方形，即弦圖，還不是七巧板。現(xiàn)在的七巧板是經(jīng)過一段歷史演變過程的。

勾股趣事

甚至還有人提出過這樣的建議：在地球上建造一個(gè)大型裝置，以便向可能會(huì)來訪的“天外來客”表明地球上存在有智慧的生命，最適當(dāng)?shù)难b置就是一個(gè)象征勾股定理的巨大圖形，可以設(shè)在撒哈拉大沙漠、蘇聯(lián)的西伯利亞或其他廣闊的荒原上，因?yàn)橐磺杏兄R的生物都必定知道這個(gè)非凡的定理，所以用它來做標(biāo)志最容易被外來者所識別！?

有趣的是：除了三元二次方程x2 + y2 =z2（其中x、y、z都是未知數(shù)）有正整數(shù)解以外，其他的三元n次方程xn + yn =zn（n為已知正整數(shù)，且n＞2）都不可能有正整數(shù)解。這一定理叫做費(fèi)爾馬大定理（費(fèi)爾馬是17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家）。

勾股定理的發(fā)現(xiàn)

人們對勾股定理的認(rèn)識經(jīng)歷了從特殊到一般的過程，這在世界許多地區(qū)的數(shù)學(xué)原始文獻(xiàn)中都有反映．最早發(fā)現(xiàn)＂勾三股四弦五＂這一特殊關(guān)系的是古埃及人，這一事實(shí)可以追溯到公元前25世紀(jì)，中國古代數(shù)學(xué)家也較早獨(dú)立發(fā)現(xiàn)并證明過勾股定理，而對它的應(yīng)用更有許

多獨(dú)到之處．勾股定理一般情況的發(fā)現(xiàn)和證明，那要?dú)w功于古希臘的畢達(dá)哥拉斯．

中國最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識的對話：周公問：“我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地的數(shù)據(jù)呢？”商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認(rèn)識。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’（即直角）的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時(shí)候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來的呵?！?/p>

勾股的發(fā)現(xiàn)

從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要數(shù)學(xué)原理了。稍懂平面幾何的讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖所示，我們用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形的兩條直角邊，用弦（c）來表示斜邊，則可以得到： 勾2+股2=弦2 亦即：a2+b2=c

2勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。其實(shí)，我國古代得到人民對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。如果說大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例（32+42=52）。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為勾股定理，應(yīng)該是非常恰當(dāng)?shù)摹Ｔ谏院笠稽c(diǎn)的《九章算術(shù)》一書中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進(jìn)行開方，便可以得到弦?！卑堰@段話列成算式，即為：弦=（勾2+股2）(1/2)亦即：c=（a2+b2）(1/2)

滿足勾股定理的數(shù)組稱為勾股數(shù)（或商高數(shù)）。在西方，人們把這個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)與證明歸功于古希臘的畢達(dá)哥拉斯，因而稱之為畢達(dá)哥拉斯定理，滿足定理的數(shù)組也就稱為畢達(dá)哥拉斯數(shù)。但是1945年，人們在對古巴比倫人遺留下的一塊數(shù)學(xué)泥板的研究中，驚訝地發(fā)現(xiàn)上面竟然刻有15組勾股數(shù)，其年代遠(yuǎn)在商高和畢達(dá)哥拉斯之前，大約在公元前1900年到公元前l(fā)600年之間。這些勾股數(shù)組中有些是很大的數(shù)，即使在今天也往往是人們所不熟悉的。這個(gè)數(shù)表使人們有理由相信，古巴比倫人早已掌握了勾股定

勾股的證明

理并很可能找到了一種求得勾股數(shù)的一般方法，只不過人們還不能從其他的泥板中找出更多的證據(jù)來證明這一點(diǎn)。

勾股趣事

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派倒是明確地給出了勾股數(shù)的一組公式：一組勾股數(shù)的正整數(shù)解：a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1，其特點(diǎn)是斜邊與其中一股的差為1。

后來，另一個(gè)古希臘學(xué)者柏拉圖（Plato,約前427－前347）也給了另一組公式：a=2n，b=n2-1，c=n2+1，此時(shí)斜邊與其中一股之差為2。

被譽(yù)為“代數(shù)學(xué)鼻祖”的古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus,約330－246）也在研究二次不定方程的時(shí)候，對勾股數(shù)作了一番探討。他發(fā)現(xiàn)不論是畢達(dá)哥拉斯還是柏拉圖的式子，都沒能給出全部勾股數(shù)組，于是他找到了一個(gè)新方法：全部解的公式是a=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2其中m，n（m>n）是互質(zhì)且一奇一偶的任意正整數(shù)。

丟番圖究竟是如何得到這組式子的，人們今天已經(jīng)無從知曉。重要的是，這組式子包含了全部的勾股數(shù)組！

值得一提的是，在早于丟氏三、四百年的我國古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中，也提出了一組求勾股數(shù)的式子，這組式子相當(dāng)于：任意給定兩個(gè)正整數(shù)m，n(m＞n)，那么這三個(gè)正

整數(shù)就是一個(gè)整勾股數(shù)組。用代數(shù)方法很容易證明這一結(jié)論。公元3世紀(jì)，我國著名數(shù)學(xué)家劉徽從幾何上也證明了這一結(jié)論。

不難證明，如果上述m，n(m＞n)，是互質(zhì)的奇數(shù)，那么用《九章算術(shù)》中的法則可以求出所有兩兩互質(zhì)的整勾股數(shù)組。這也是我們中國古代數(shù)學(xué)家的一項(xiàng)杰出成就。

無論是古埃及人、古巴比倫人還是我們中國人誰最先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，我們的先人在不同的時(shí)期、不同的地點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的這同一性質(zhì)，顯然不僅僅是哪一個(gè)民族的私有財(cái)產(chǎn)而是我們?nèi)祟惖墓餐?cái)富.勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。這個(gè)定理在中國又稱為“商高定理”，在外國稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”。為什么一個(gè)定理有這么多名稱呢？商高是公元前十一世紀(jì)的中國人。當(dāng)時(shí)中國的朝代是西周，是奴隸社會(huì)時(shí)期。在中國古代大約是戰(zhàn)國時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“?故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！笔裁词恰肮?、股”呢？在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。商高那段話的意思就是說：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡單地把這個(gè)事實(shí)說成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話中，所以人們就把這個(gè)定理叫作“商高定理”。畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年。希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個(gè)定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，以后就流傳開了。

關(guān)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，《周髀算經(jīng)》上說：“故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也?！薄按藬?shù)”指的是“勾三股四弦五”，這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關(guān)系是在大禹治水時(shí)發(fā)現(xiàn)的。

勾股定理的應(yīng)用非常廣泛。我國戰(zhàn)國時(shí)期另一部古籍《路史后記十二注》中就有這樣的記載：“禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災(zāi)，使注東海，無漫溺之患，此勾股之所系生也?！边@段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據(jù)地勢高低，決定水流走向，因勢利導(dǎo)，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災(zāi)害，是應(yīng)用勾股定理的結(jié)果。

勾股定理的歷史

勾股定理是“人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個(gè)基本定理。那么大家知道多少勾股定理的別稱呢？我可以告訴大家，有：畢達(dá)哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驢橋定理和埃及三角形等。所謂勾股定理，就是指“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。”這個(gè)定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。但畢達(dá)哥拉斯對勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。著名的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個(gè)很好的證明。

中國古代對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識的對話：周公問：“我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？” 商高回答說：“ 數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認(rèn)識。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩'得到的一條直角邊‘勾'等于3，另一條直角邊’股'等于4的時(shí)候，那么它的斜邊'弦'就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來的呵。” 如果說大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為“勾股定理”是非常恰當(dāng)?shù)摹?/p>

在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)》一書中（約在公元50至100年間）（上圖），勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進(jìn)行開方，便可以得到弦”。中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明（右圖）。趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個(gè)典范。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有發(fā)展，只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已。例如稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用以形證數(shù)的方法，中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。