第一篇：數(shù)學(xué)放縮法

放縮法的常見技巧（1）舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)

（2）在分式中放大或縮小分子或分母。（3）應(yīng)用基本不等式放縮(例如均值不等式）。（4）應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行放縮（5）根據(jù)題目條件進(jìn)行放縮。（6）構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)行放縮。（7）構(gòu)造裂項(xiàng)條件進(jìn)行放縮。

（8）利用函數(shù)切線、割線逼近進(jìn)行放縮。

使用放縮法的注意事項(xiàng)（1）放縮的方向要一致。（2）放與縮要適度。

（3）很多時(shí)候只對(duì)數(shù)列的一部分進(jìn)行放縮法，保留一些項(xiàng)不變（多為前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng)）。（4）用放縮法證明極其簡單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強(qiáng)，稍有不慎，則會(huì)出現(xiàn)放縮失當(dāng)?shù)默F(xiàn)象。所以對(duì)放縮法，只需要了解，不宜深入。

先介紹工具

柯西不等式（可以通過向量表示形式記住即摸摸大于向量乘積）

均值不等式

調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù)

絕對(duì)值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推論1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性質(zhì)可推廣為|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推論2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立．

常用放縮思想

這幾個(gè)務(wù)必牢記

不常見不常用的不等式

這幾個(gè)一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂項(xiàng)部分

當(dāng)年apucng與V_First研究的題

二項(xiàng)平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0

第二篇：高三數(shù)學(xué)數(shù)列放縮法

數(shù)列與不等式的綜合問題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點(diǎn)，這類問題能有效地考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)列與不等式知識(shí)解決問題的能力．本文介紹一類與數(shù)列和有關(guān)的不等式問題，解決這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和． 一．先求和后放縮 例1．正數(shù)數(shù)列（1）數(shù)列的前項(xiàng)的和，滿足，試求： 的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)解：（1）由已知得，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，所以

時(shí)，求證：，作差得：，又因?yàn)?，?/p>

為正數(shù)數(shù)，所列，所以以，即是公差為2的等差數(shù)列，由（2），所以

注：一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式．如果此數(shù)列的前項(xiàng)和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列倒序相加等方法來求和． 二．先放縮再求和

1．放縮后成等差數(shù)列，再求和 例2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且

.滿足條件）求和或者利用分組、裂項(xiàng)、(1)求證：；

(2)求證： 解：（1）在條件中，令有，得，上述兩式相減，注意到

∴

，又由條件得

所以，所以

（2）因?yàn)?，所以，所?/p>

；2．放縮后成等比數(shù)列，再求和 例3．（1）設(shè)a，n∈N*，a≥2，證明：（2）等比數(shù)列{an}中，；，前n項(xiàng)的和為An，且A7，A9，A8成等差數(shù)列．設(shè)，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和為Bn，證明：Bn＜．

解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an≥a，于是，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a－1≥1，且an≥a2，于是

． ．

（2）∵，，∴公比．

∴． ． ∴3．放縮后為差比數(shù)列，再求和

．

例4．已知數(shù)列滿足：，．求證：

證明：因?yàn)?，所?/p>

與

同號(hào)，又因?yàn)椋?，即，即．所以?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得：．

令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得．

4．放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和

例5．在m（m≥2）個(gè)不同數(shù)的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時(shí)Pi＞P（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).記排列．j

（1）求a4、a5，并寫出an的表達(dá)式； 的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù)（2）令，證明，n=1,2,….（2）因?yàn)椋?又因?yàn)?，所?/p>

=綜上，..注：常用放縮的結(jié)論：（1）

（2）．

在解題時(shí)朝著什么方向進(jìn)行放縮，是解題的關(guān)鍵，一般要看證明的結(jié)果是什么形式．如例２要證明的結(jié)論、為等差數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為等差數(shù)列，再求和即可；如例3要證明的結(jié)論為等比數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列，再求和即可；如例4要證明的結(jié)論為差比數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為差比數(shù)列，再求和即可；如例5要證明的結(jié)論裂項(xiàng)相消求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為相鄰兩項(xiàng)或相隔一項(xiàng)的差，再求和即可．

為雖然證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式問題是高中數(shù)學(xué)中比較困難的問題，但是我們通過仔細(xì)分析它的條件與要證明的結(jié)論之間的內(nèi)在關(guān)系，先確定能不能直接求和，若不能直接求和則要考慮把通項(xiàng)朝什么方向進(jìn)行放縮．如果我們平時(shí)能多觀測(cè)要證明結(jié)論的特征與數(shù)列求和之間的關(guān)系，則仍然容易找到解決這類問題的突破口．

第三篇：放縮法討論

不等式的證明——放縮法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。

2、探索用放縮法證明不等式的理論依據(jù)和技巧。

放縮法：證明不等式時(shí)，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的。

若是自然數(shù)，求證

1111?2?2???2?2.2123n

2k 111???,k?2,3,4,?,n.k(k?1)k?1k

常見方法：

1、分式放縮；

2、利用已知結(jié)論放縮；

3、裂項(xiàng)放縮；

4、先放縮后求和。

放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小,尋找一個(gè)

中間量,如將A放大成C,即A?C,后證C?B.常用的放縮技巧有:

(1)舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng);

(2)在分式中放大或縮小分子或分母;

(3)應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮.如

12312①(a?)??(a?);242 111112,2?,?, ②2?kk(k?1)kk(k?1)kk?k?1 2 1?(以上k?2且k?N?)kk?k?1

歸納延伸

1.放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有：

(1)不等式的傳遞性；

(2)等量加不等量為不等量；

(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較．

2.常用的放縮技巧：

（1）對(duì)于分子分母均取正值的分式，（Ⅰ）如果分子不變，分母縮?。ǚ帜溉詾檎龜?shù)），則分式的值放大；

（Ⅱ）如果分子不變，分母放大，則分式的值縮小。

（2）①舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng)；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應(yīng)用均值不等式進(jìn)行放縮．

第四篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

數(shù)學(xué)題目是無限的，但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。我們只要學(xué)好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，掌握了必要的數(shù)學(xué)思想和方法，就能順利地應(yīng)對(duì)那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關(guān)鍵是你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有沒有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。當(dāng)然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時(shí)間，這一點(diǎn)在考試時(shí)間有限時(shí)顯得很重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學(xué)的定義、定理、法則、公式，形成良性循環(huán)。

解題需要豐富的知識(shí)，更需要自信心。沒有自信就會(huì)畏難，就會(huì)放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會(huì)輕言放棄，才會(huì)加倍努力地學(xué)習(xí)，才有希望攻克難關(guān)，迎來屬于自己的春天。

第五篇：高中數(shù)學(xué)放縮法公式

“放縮法”證明不等式的基本策略

1、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）

例

1、已知an?2n?1(n?N*).求證：

k

n

2?

3?

a1a2

?

a2a3

?...?

anan?1?

(n?N).*

證明： ?

akak?

1?

2?12

k?1

?1

?

?

12(2

k?1

?1)

?

?

13.2?2?2

k

k

?

1211

.k,k?1,2,...,n, 32

?

a1a2n2

?

a2a3?

?...?

anan?1

?

n2

?

1111n11n1(?2?...?n)??(1?n)??, 322223223

n2

*

??

a1a2

?

a2a3

?...?

anan?1

?(n?N).若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。本題在放縮時(shí)就舍去了2k?2，從而是使和式得到化簡.2、先放縮再求和（或先求和再放縮）

例

2、函數(shù)f（x）=

4xx，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

2n?

11?

4nn

?

2(n?N)

*

.證明：由f(n)=

1?4

=1-

11?4

n

?1?

12?2

12?2

?1?12

n

12?2

n

得f（1）+f（2）+…+f（n）>1?

?n?

14(1?

12?14???

n?1

2?2

???1?)?n?

n?1

?(n?N)

*

.此題不等式左邊不易求和,此時(shí)根據(jù)不等式右邊特征, 先將分子變?yōu)槌?shù)，再對(duì)分母進(jìn)行放縮，從而對(duì)左邊可以進(jìn)行求和.若分子, 分母如果同時(shí)存在變量時(shí), 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ浚质降姆趴s對(duì)于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。

3、逐項(xiàng)放大或縮小

例

3、設(shè)an?證明：∵∴ n?

?2?2?3?

n

3?4???

?n

n(n?1)(n?1)

?an?n(n?1)求證2

2(n?

12)

n(n?1)?n(n?1)?

n(n?1)??

2n?12

2n?12，∴

n(n?1)2

?an?

(n?1)

∴ 1?2?3???n?an?

本題利用n?

?

1?3???(2n?1)

2n?

1，對(duì)an中每項(xiàng)都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達(dá)到化簡的目的。

4、固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)；

例

4、求證：

1n

1?

2?

3???

1n

?

4證明：?

?

1n(n?1)

???

?

1n?1

?1?

?

1n

1n?1

1n

1n

??

?

n

?(?????)??(?)?.此題采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，不一定從第一項(xiàng)開始，須根

據(jù)具體題型分別對(duì)待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。

5、函數(shù)放縮

ln

2例5.求證：

?

ln3

3?

ln4

4???

ln33

n

n

?3?

1x

n

5n?66

ln2

(n?N)

ln33

*

.???

ln33

nn

解析:先構(gòu)造函數(shù)有

lnx?x?1?

lnxx

?1?,從而

??

ln44

?3?1?（n

?

???

n)

因?yàn)?

?

???

n

11??11??111111??

1????????????????n?n???n?

2?13? ?23??456789??2

n?1

?3n?19?3?33??9

??????????????2?3n?1?3n

6?69??1827???5n

???6?

n

5n?66

ln2

所以

?

ln33

?

ln44

???

ln33

n

n

?3?1?

n

5n6

?3?

6、裂項(xiàng)放縮

n

例6求證:k?1k

?

?

53.1n

?

1n?

4?

1??

1?2???

4n?1?2n?12n?1?

n

解析:因?yàn)?所以

?k

k?1

11?25?11

?1?2?????????1?

2n?12n?1?33?357、均值不等式放縮

例7.設(shè)

Sn?

?2?

2?3???

k

n(n?1).求證

n(n?1)

2?Sn?

(n?1)2

.解析: 此數(shù)列的通項(xiàng)為a

?k?

k(k?1)?

k?k?

1n(n?1)2

?k(k?1),k?1,2,?,n.n

n

?k?

12，??k?Sn?

k?1

?(k?

k?1

12)，n(n?1)

即

?Sn?

?

n2

?

(n?1)2

.ab?

a?b2

注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式

n，若放成k(k?1)?k?1

則得

Sn?

?

k?1

(k?1)?

(n?1)(n?3)

?

(n?1)2，就放過“度”了！

②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里

n1

1an

?

n

1?an?

a1???an

n

?

a1???an

n

a1

???

其中，n?2,3等的各式及其變式公式均可供選用。

8、二項(xiàng)放縮

n

?(1?1)

n

?Cn?Cn???Cn2n?Cn0?Cn?n?1

01n，2?C

n

n

?C

1n

?C

2n

?

n

?n?22

n

?n(n?1)(n?2)