第一篇：構(gòu)造函數(shù)法證明導(dǎo)數(shù)不等式的八種方法
導(dǎo)數(shù)專題：構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法
1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。
2、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。以下介紹構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法：
1、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù) 【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時(shí)，恒有1?1?ln(x?1)?x x?
12、作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)?
3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明
【例3】（2007年，山東卷）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln（4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明
【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)
5、主元法構(gòu)造函數(shù)
1223x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?x23的圖象的下方；
111?1)?2?3 都成立.nnn1?x)?x,g(x)?xlnx 例．（全國(guó)）已知函數(shù)f(x)?ln((1)求函數(shù)f(x)的最大值；
(2)設(shè)0?a?b,證明 ：0?g(a)?g(b)?2g（6、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 例．已知函數(shù)f(x)?ae?xa?b)?(b?a)ln2.212x 2(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)若a=1,求證:x＞0時(shí),f(x)>1+x
7.對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）例：證明當(dāng)x?0時(shí),(1?x)
8.構(gòu)造形似函數(shù)
例：證明當(dāng)b?a?e,證明ab?ba
【思維挑戰(zhàn)】
1、（2007年，安徽卷）設(shè)a?0,f(x)?x?1?lnx?2alnx
22求證：當(dāng)x?1時(shí)，恒有x?lnx?2alnx?1，1?1x?e1?x2
2、（2007年，安徽卷）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)
f(x)?
52122x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且b?a?3alna，求證：f(x)?g(x)
22xb，求證：對(duì)任意的正數(shù)a、b，恒有l(wèi)na?lnb?1?.1?xa3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?
4、（2007年，陜西卷）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若a < b，則必有
（）
（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)
（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)
第二篇：構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法
構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。
解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何
2、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)
【例2】已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時(shí)，恒有1?1?ln(x?1)?x x?11?1，從其導(dǎo)數(shù)入手即x?1分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)g(x)?ln(x?1)?可證明。根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。
1、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明
【例1】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)
【變式1】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式f(x)>f?(x)，且y?f(x)?1為奇函數(shù).求不等式f(x)
4、換元法構(gòu)造函數(shù)證明
【例4】（2007年，山東卷）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(1n?1)?11n2?n3 都成立.分析：本題是山東卷的
5、對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）【例5】證明當(dāng)x?0時(shí),(1?x)1?1x?e1?x2
6、構(gòu)造形似函數(shù)
【例6】證明當(dāng)b?a?e,證明ab?ba7、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 【例7】已知函數(shù)f(x)?aex?12x2(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)若a=1,求證:x＞0時(shí),f(x)>1+x
8、主元法構(gòu)造函數(shù)
【例8】（全國(guó)）已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx
(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設(shè)0?a?b,證明 ：0?g(a)?g(b)?2g(a?b2)?(b?a)ln2.【思維挑戰(zhàn)】
1、（2007年，陜西）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若a
（A）af(b)≤bf(a)（B）bf(a)≤af(b)（C）af(a)≤f(b)（D）bf(b)≤f(a)
2、（2007年，安徽卷）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)?12x2?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且b?52a2?3a2lna，求證：f(x)?g(x)
3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x1?x，求證：對(duì)任意的正數(shù)a、b, 恒有l(wèi)na?lnb?1?ba.
第三篇：構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法
導(dǎo)數(shù)之構(gòu)造函數(shù)法證明不等式
1、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù) 【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時(shí)，恒有
1?
【解】f?(x)?1?ln(x?1)?x x?11x?1?? x?1x?1∴當(dāng)?1?x?0時(shí)，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù)
當(dāng)x?0時(shí)，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù) 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間(0,??)
于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0，因此，當(dāng)x??1時(shí)，f(x)?f(0)?0，即ln(x?1)?x?0∴l(xiāng)n(x?1)?x（右面得證）現(xiàn)證左面，令g(x)?ln(x?1)?111x?1，則g?(x)? ??22x?1x?1(x?1)(x?1)當(dāng)x?(?1,0)時(shí),g?(x)?0;當(dāng)x?(0,??)時(shí),g?(x)?0，即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù)，在x?(0,??)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0，1?1?0 x?111?1?ln(x?1)?x ∴l(xiāng)n(x?1)?1?，綜上可知，當(dāng)x??1時(shí),有x?1x?1∴當(dāng)x??1時(shí)，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?
2、作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)?12x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)2g(x)? 23x的圖象的下方； 32312x?x?lnx，32【解】設(shè)F(x)?g(x)?f(x)，即F(x)?1(x?1)(2x2?x?1)則F?(x)?2x?x?=
xx21
(x?1)(2x2?x?1)當(dāng)x?1時(shí)，F(xiàn)?(x)=
x從而F(x)在(1,??)上為增函數(shù)，∴F(x)?F(1)?∴當(dāng)x?1時(shí) g(x)?f(x)?0，即f(x)?g(x)，故在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?
3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明
【例3】證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(只需令
1?0 623x的圖象的下方。3111?1)?2?3 都成立.nnn1?x n32【解】令h(x)?x?x?ln(x?1)，13x3?(x?1)2?則h?(x)?3x?2x?在x?(0,??)上恒正，x?1x?12所以函數(shù)h(x)在(0,??)上單調(diào)遞增，∴x?(0,??)時(shí)，恒有h(x)?h(0)?0，即x?x?ln(x?1)?0，∴l(xiāng)n(x?1)?x?x 對(duì)任意正整數(shù)n，取x?32231111?(0,??)，則有l(wèi)n(?1)?2?3 nnnn4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明
【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)
【解】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴構(gòu)造函數(shù) F(x)?xf(x)，則F(x)? xf?(x)+f(x)>0，從而F(x)在R上為增函數(shù)。'?a?b ∴F(a)?F(b)即 af(a)>bf(b)
5、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性
x例．已知函數(shù)f(x)?ae?12x 2(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)若a=1,求證:x＞0時(shí),f(x)>1+x x解：(1)f′(x)＝ ae－ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上為增函數(shù)，∴f′(x)≥０對(duì)ｘ∈Ｒ恒成立，-ｘ即ａ≥ｘｅ對(duì)ｘ∈Ｒ恒成立 記ｇ（ｘ）＝ｘｅ，則ｇ′(ｘ)＝ｅ－ｘｅ=(1-x)e，當(dāng)ｘ＞１時(shí)，ｇ′（ｘ）＜０，當(dāng)ｘ＜１時(shí)，ｇ′（ｘ）＞０． 知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上為增函數(shù),在(1,+ ∞)上為減函數(shù), ∴g(x)在x=1時(shí),取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e, 即a的取值范圍是[1/e, + ∞)
x(2)記F(X)=f(x)－(1+x)=e?x-ｘ-ｘ-ｘ-x
12x?1?x(x?0)2則F′(x)=e-1-x, xx令h(x)= F′(x)=e-1-x,則h′(x)=e-1 當(dāng)x>0時(shí), h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上為增函數(shù), 又h(x)在x=0處連續(xù), ∴h(x)>h(0)=0 即F′(x)>0 ,∴F(x)在(0,+ ∞)上為增函數(shù),又F(x)在x=0處連續(xù), ∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x．
6.對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）例：證明當(dāng)x?0時(shí),(1?x)1?1x?e1?x2
7.構(gòu)造形似函數(shù)
例：證明當(dāng)b?a?e,證明a?b
例：已知m、n都是正整數(shù)，且1?m?n,證明：(1?m)?(1?n)
強(qiáng)化訓(xùn)練：
1、設(shè)a?0,f(x)?x?1?lnx?2alnx
求證：當(dāng)x?1時(shí)，恒有x?ln2x?2alnx?1
nmba3
2、已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)?12x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且2b? 52a?3a2lna，求證：f(x)?g(x)2x，求證：對(duì)任意的正數(shù)a、b，1?x3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?恒有l(wèi)na?lnb?1?
b.a
4、f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若a < b，則必有（）
（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)
（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)
mx2 5．設(shè)函數(shù)f（x）=e+x﹣mx．
（1）證明：f（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；
（2）若對(duì)于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范圍．
6、已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)，證明：對(duì)任意.7．已知函數(shù)f（x）=x+ax﹣lnx，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
2（2）令g（x）=f（x）﹣x，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由；（3）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，證明：
．
8．已知函數(shù)f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)范圍；（Ⅲ）求證：
．
在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值
29.設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（2）證明不等式：
10．已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù)．
（n∈N）．
*（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)m，n，不等式
恒成立．
11．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣
﹣bx（Ⅰ）當(dāng)a=b=時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+
＜x≤3），其圖象上任意一點(diǎn)P（x0，y0）處切線的斜率k≤恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
12.已知函數(shù)f（x）=x+2ax﹣alnx﹣1（1）a≠0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若不等式2xlnx≤xf′（x）+a+1恒成立，其中f′（x）f（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
13.已知函數(shù)f(x)=ln
221?x.1－x(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)（0，f(0)）處的切線方程；
x3(Ⅱ)求證：當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)≥2(x+);
3x3(Ⅲ)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x)>k(x+)對(duì)x∈(0,1)恒成立，求k的最大值.35
bex?114.設(shè)函數(shù)f(x)=aelnx+,曲線y=f(x)在點(diǎn)（1，f(1)）處切線方程為y=e(x-1)+2.xx(Ⅰ)求a,b；
(Ⅱ)證明：f(x)>1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性
x－xee15.已知函數(shù)f(x)=--2x.(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x),當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0,求b的最大值；
16.函數(shù)f(x)=ln(x+1)-
17.已知函數(shù)f(x)=xcosx-sinx,x∈[0,ax(a>1)討論f(x)的單調(diào)性 x?aπ]，求證：f(x)≤0； 218、已知函數(shù),，其中R.（1）討論的單調(diào)性；
（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)總有 , 當(dāng)成立，求實(shí)數(shù)
時(shí)，若存在，對(duì)于任意的，的取值范圍．
19、已知函數(shù)
.（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)，若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20、設(shè)函數(shù)表示的導(dǎo)函數(shù)，（其中）（1）求成立，求實(shí)數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若對(duì)任意的的取值范圍，都有
21、已知函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若,當(dāng)求實(shí)數(shù) 的取值范圍． ,，其中R．（Ⅰ）討論
在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)
時(shí)，若，的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，總有
成立，22、已知函數(shù).(Ⅰ)若，求曲線，若對(duì)任意
在處切線的斜率；(Ⅱ)求，均存在的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè)，使得，求的取值范圍。
第四篇：構(gòu)造函數(shù)證明不等式的八種方法[最終版]
構(gòu)造函數(shù)證明不等式的八種方法
一、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)
例：
1、已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時(shí)，但有1?
2、已知函數(shù)f(x)?ae?x1?ln(x?1)?x 1?x12x（1）若f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍。
2（2）若a=1，求證：x?0時(shí)，f(x)?1?x
二、作差法構(gòu)造函數(shù)證明
1例：
1、已知函數(shù)f(x)?x2?lnx，求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)
22g(x)?x3的圖象下方。
3思想：抓住常規(guī)基本函數(shù)，利用函數(shù)草圖分析問(wèn)題
2、已知函數(shù)f(x)?n?lnx的圖象在點(diǎn)P(m,f(x))處的切線方程為y=x，設(shè)
n（1）求證：當(dāng)x?1時(shí)，g(x)?0恒成立；（2）試討論關(guān)于x的方g(x)?mx??2lnx，x
n程mx??g(x)?x3?2ex2?tx根的個(gè)數(shù)。x3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明
例：
1、證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(?1)?
2、證明：對(duì)任意的正整n，不等式ln(?1)?
3、已知函數(shù)f(x)?ln(ax?1)?x?x?ax，（1）若321n11?，都成立。n2n31n11?3都成立。2nn2為y?f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a
3的值；（2）若y?f(x)在[1,??)上增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（3）若a=-1時(shí)，方程f(1?x)?(1?x)3?b有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。x4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明
例1 若函數(shù)y?f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf(x)??f(x)恒成立，且常數(shù)a,b滿足'
a?b，求證：af(a)?bf(b)
5、主元法構(gòu)造函數(shù)
例1.已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x，g(x)?xlnx，（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)0?a?b，證明：0?g(a)?g(b)?2g（a?b)?(b?a)ln2
26、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性
例1：已知函數(shù)f(x)?ae?x12（1）若f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍； x，2（2）若a=1，求證：x?0時(shí)，f(x)?1?x7、對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）
例1：證明當(dāng)x?0時(shí)，(1?x)1?
1x?e1?x8、構(gòu)造形似函數(shù)
例1：證明當(dāng)b?a?e，證明a?b2、已知m、n都是正整數(shù)，且1?m?n，證明：(1?m)?(1?n)
思維挑戰(zhàn)
1、設(shè)a?0，f(x)?x?1?lnx?2alnx，求證：當(dāng)x?1時(shí)，恒有x?lnx?2alnx?
12、已知定義在正實(shí)數(shù)數(shù)集上的函數(shù)f(x)?
且b?
3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?
4、f(x)是定義在(0,??)上的非負(fù)可導(dǎo)數(shù)，且滿足xf(x)?f(x)?0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若a?b，則必有（）
A.af(x)?bf(a)B.bf(a)?af(b)C.af(a)?f(b)D.bf(b)?f(a)
-'2nmba212x?2ax，g(x)?3a2lnx?b，其中a?0，252a?3a2lna，求證：f(x)?g(x)2xb，求證：對(duì)任意的正數(shù)a、b恒有l(wèi)na?lnb?1? 1?xa
第五篇：導(dǎo)數(shù)證明不等式構(gòu)造函數(shù)法類別(教師版)
導(dǎo)數(shù)證明不等式構(gòu)造函數(shù)法類別
1、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)
1?ln(x?1)?x x?11?1，分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)g(x)?ln(x?1)?x?1【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時(shí)，恒有1? 從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明。
【解】f?(x)?1x?1?? x?1x?1∴當(dāng)?1?x?0時(shí)，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù)
當(dāng)x?0時(shí)，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù) 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間(0,??)
于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0，因此，當(dāng)x??1時(shí)，f(x)?f(0)?0，即ln(x?1)?x?0 ∴l(xiāng)n(x?1)?x（右面得證），現(xiàn)證左面，令g(x)?ln(x?1)?111x?1，則g?(x)? ??22x?1x?1(x?1)(x?1)當(dāng)x?(?1,0)時(shí),g?(x)?0;當(dāng)x?(0,??)時(shí),g?(x)?0，即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù)，在x?(0,??)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0，1?1?0 x?111?1?ln(x?1)?x ∴l(xiāng)n(x?1)?1?，綜上可知，當(dāng)x??1時(shí),有x?1x?1∴當(dāng)x??1時(shí)，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?
2、作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)? 圖象的下方；
分析：函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方?不等式f(x)?g(x)問(wèn)題，即只需證明在區(qū)間(1,??)上，恒有122x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?x3的 23122x?lnx?x3，23122x?lnx?x3成立，設(shè)F(x)?g(x)?f(x)，x?(1,??)，考慮到23F(1)?1?0 6要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋寒?dāng)x?1時(shí)，F(xiàn)(x)?F(1)，這只要證明： g(x)在區(qū)間(1,??)是增函數(shù)即可?！窘狻吭O(shè)F(x)?g(x)?f(x)，即F(x)?22312x?x?lnx，321(x?1)(2x2?x?1)(x?1)(2x2?x?1)則F?(x)?2x?x?= 當(dāng)x?1時(shí)，F(xiàn)?(x)=
xxx從而F(x)在(1,??)上為增函數(shù)，∴F(x)?F(1)?∴當(dāng)x?1時(shí) g(x)?f(x)?0，即f(x)?g(x)，故在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?
3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明
1?0 623x的圖象的下方。3111?1)?2?3 都成立.nnn1 分析：本題是山東卷的第（II）問(wèn)，從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令?x，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x?0時(shí)，恒
n【例3】（2007年，山東卷）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(有l(wèi)n(x?1)?x?x成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)h(x)?x?x?ln(x?1)，求導(dǎo)即可達(dá)到證明。233213x3?(x?1)2?【解】令h(x)?x?x?ln(x?1)，則h?(x)?3x?2x?在x?(0,??)上恒正，x?1x?1322 所以函數(shù)h(x)在(0,??)上單調(diào)遞增，∴x?(0,??)時(shí)，恒有h(x)?h(0)?0，即x?x?ln(x?1)?0，∴l(xiāng)n(x?1)?x?x
對(duì)任意正整數(shù)n，取x?32231111?(0,??)，則有l(wèi)n(?1)?2?3 nnnn【警示啟迪】當(dāng)F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則x?a時(shí)，有F(x)?F(a)．如果f(a)＝?(a)，要證明當(dāng)x?a時(shí)，f(x)??(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用F(x)的單調(diào)增性來(lái)推導(dǎo)．也就是說(shuō)，在F(x)可導(dǎo)的前提下，只要證明F'(x)?０即可．
4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明
【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證： af(a)>bf(b)
【解】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴構(gòu)造函數(shù) F(x)?xf(x)，' 則F(x)? xf?(x)+f(x)>0，從而F(x)在R上為增函數(shù)。
?a?b ∴F(a)?F(b)即 af(a)>bf(b)【警示啟迪】由條件移項(xiàng)后xf?(x)?f(x)，容易想到是一個(gè)積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)F(x)?xf(x)，求導(dǎo)即可完成證明。若題目中的條件改為xf?(x)?f(x)，則移項(xiàng)后xf?(x)?f(x)，要想到是一個(gè)商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時(shí)解題多注意總結(jié)。
5、主元法構(gòu)造函數(shù)
例．（全國(guó)）已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx(1)求函數(shù)f(x)的最大值；
a?b)?(b?a)ln2.2a?b)中以b為主變?cè)獦?gòu)造函數(shù), 證明：對(duì)g(x)?xlnx求導(dǎo),則g'(x)?lnx?1.在g(a)?g(b)?2g(2(2)設(shè)0?a?b,證明 ：0?g(a)?g(b)?2g(設(shè)F(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x'a?xa?x.)]?lnx?ln),則F'(x)?g'(x)?2[g(222' 當(dāng)0?x?a時(shí)，F(xiàn)(x)?0,因此F(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù).' 當(dāng)x?a時(shí),F(x)?0,因此F(x)在(a,??)上為增函數(shù).從而當(dāng)x?a時(shí), F(x)有極小值F(a).因?yàn)镕(a)?0,b?a,所以F(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(又設(shè)G(x)?F(x)?(x?a)ln2.則G'(x)?lnx?lna?b)?0.2a?x?ln2?lnx?ln(a?x).2' 當(dāng)x?0時(shí),G(x)?0.因此G(x)在(0,??)上為減函數(shù).因?yàn)镚(a)?0,b?a,所以G(b)?0,即g(a)?g(b)?2g（6、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 例．已知函數(shù)f(x)?ae?xa?b)?(b?a)ln2.212x 2(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)若a=1,求證:x＞0時(shí),f(x)>1+x x解：(1)f′(x)＝ ae－ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上為增函數(shù)，∴f′(x)≥０對(duì)ｘ∈Ｒ恒成立，-ｘ-ｘ-ｘ-ｘ-x 即ａ≥ｘｅ對(duì)ｘ∈Ｒ恒成立 記ｇ（ｘ）＝ｘｅ，則ｇ′(ｘ)＝ｅ－ｘｅ=(1-x)e，當(dāng)ｘ＞１時(shí)，ｇ′（ｘ）＜０，當(dāng)ｘ＜１時(shí)，ｇ′（ｘ）＞０．
知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上為增函數(shù),在(1,+ ∞)上為減函數(shù), ∴g(x)在x=1時(shí),取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e, 即a的取值范圍是[1/e, + ∞)(2)記F(X)=f(x)－(1+x)=e?xx12x?1?x(x?0)2x
x 則F′(x)=e-1-x, 令h(x)= F′(x)=e-1-x,則h′(x)=e-1 當(dāng)x>0時(shí), h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上為增函數(shù), 又h(x)在x=0處連續(xù), ∴h(x)>h(0)=0 即F′(x)>0 ,∴F(x)在(0,+ ∞)上為增函數(shù),又F(x)在x=0處連續(xù), ∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x．
7.對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）例：證明當(dāng)x?0時(shí),(1?x)1?1x?e1?x2
8.構(gòu)造形似函數(shù)
例：證明當(dāng)b?a?e,證明a?b ba
例：已知m、n都是正整數(shù)，且1?m?n,證明：(1?m)?(1?n)
nm4
【思維挑戰(zhàn)】
1、設(shè)a?0,f(x)?x?1?ln2x?2alnx 求證：當(dāng)x?1時(shí)，恒有x?lnx?2alnx?1
2、已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)
f(x)?52122x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且b?a?3alna，22求證：f(x)?g(x)
3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?xb，求證：對(duì)任意的正數(shù)a、b，恒有l(wèi)na?lnb?1?.1?xa4、f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若a < b，則必有（）
（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)
【答案咨詢】
1、提示：f?(x)?1? ∴
（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)2lnx2a2lnx??1，當(dāng)x?1，a?0時(shí)，不難證明xxxf?(x)?0，即f(x)在(0,??)內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)x?1時(shí)，f(x)?f(1)?0，∴當(dāng)x?1時(shí)，恒有x?lnx?2alnx?1
123a222、提示：設(shè)F(x)?g(x)?f(x)?x?2ax?3alnx?b則F?(x)?x?2a?
2x(x?a)(x?3a)=(x?0)?a?0，∴ 當(dāng)x?a時(shí)，F(xiàn)?(x)?0，x 故F(x)在(0,a)上為減函數(shù)，在(a,??)上為增函數(shù)，于是函數(shù)F(x)在(0,??)上的最小值是F(a)?f(a)?g(a)?0，故當(dāng)x?0時(shí)，有f(x)?g(x)?0，即f(x)?g(x)
3、提示：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??1,??)，f?(x)?11x ??1?x(1?x)2(1?x)2∴當(dāng)?1?x?0時(shí)，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù)
當(dāng)x?0時(shí)，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為增函數(shù)
因此在x?0時(shí),f(x)取得極小值f(0)?0，而且是最小值
x1，即ln(1?x)?1? 1?x1?xa1bab?1? 于是ln?1? 令1?x??0,則1?bx?1abab因此lna?lnb?1?
a于是f(x)?f(0)?0,從而ln(1?x)? f(x)f(x)xf'(x)?f(x)F(x)?
4、提示：F(x)?，F(xiàn)?(x)?，故在（0，+∞）上是減函數(shù)，由a?b ?02xxx有f(a)f(b)?? af(b)≤bf(a)故選（A）ab
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